Методы звездной статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

А. В. Локтин, А. Б. Островский

МЕТОДЫ ЗВЕЗДНОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,
обучающихся по направлению подготовки
03.05.01 «Астрономия»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2018

УДК 521(075.8)
Л 733
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра астрономии и космической геодезии Национального
исследовательского Томского государственного университета
(заведующий кафедрой
доктор физико-математических наук В. А. Авдюшев);
И. И. Никифоров, кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры небесной механики
Санкт-Петербургского государственного университета

Н а у ч н ы й р е д а к т о р
доктор физико-математических наук, доцент Э. Д. Кузнецов
(Уральский федеральный университет)

Локтин, А. В.
O-777
Методы звездной статистики : учеб. пособие / А. В. Локтин,
А. Б. Островский ; [науч. ред. Э. Д. Кузнецов] ; М-во образо-
вания и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. — Екатерин-
бург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 252 с.
ISBN 978-5-7996-2315-9

В учебном пособии рассмотрены теоретические основы многомер-
ных статистических методов и способы решения практических задач
многомерной статистики в применении к проблемам звездной стати-
стики.
Для студентов, обучающихся на астрономических и геодезиче-
ских специальностях высших учебных заведений.
УДК 521(075.8)

На обложке:
гравюра «Птолемей и муза Астрономия» из книги Reisch Gregor
“Margarita Philosophica Cu Additionibus Novis” (1508).

ISBN 978-5-7996-2315-9
© Уральский федеральный университет, 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной целью курса «Методы звездной сатистики» яв-
ляется ознакомление студентов с методами, которые использу-
ются в звездно-астрономических исследованиях, а также с со-
временными многомерными методами математической стати-
стики, которые находят в астрономии существенно большее
применение, чем в недавнем прошлом. Поэтому первые гла-
вы посвящены изложению некоторых разделов многомерной
математической статистики, которые обычно не включают-
ся в университетские курсы теории вероятностей и матема-
тической статистики. В остальных главах рассматриваются
звездно-статистические методы, в первую очередь те, которые
не излагаются в общем курсе звездной астрономии и в соответ-
ствующих учебниках и пособиях.
Изложение материала в рамках курса ведется в векторной
и матричной форме, так как большинство современных книг
и руководств по математической и звездной статистике исполь-
зуют именно эту наиболее краткую форму. Во всех математиче-
ских выводах в рамках курса предполагаются непрерывность
всех функций, а также существование всех интегралов и про-
изводных.

3

Принятые в курсе обозначения в основном соответствуют
сложившейся в математической статистике традиции. Так, слу-
чайные величины, векторы и матрицы обозначаются прописны-
ми латинскими буквами, значения случайных величин, а также
элементы векторов и матриц — строчными латинскими буква-
ми, неслучайные параметры случайных величин — греческими
буквами, прописными для векторных и матричных параметров
и строчными — для скалярных. В отдельных случаях вектор-
ные величины выделяются жирным шрифтом, почти всегда
над символами имеется стрелка.
Для обозначения формул принята сквозная нумерация
из двух цифр, первая обозначает номер главы, вторая — но-
мер формулы в пределах данной главы.
Объем курса не позволяет детально рассмотреть многие ас-
пекты применения статистических методов в астрономии, по-
этому изложение носит часто конспективный характер, отдель-
ные методы изложены без выводов и доказательств. Тем не ме-
нее авторы надеются, что настоящий курс окажется полезным
и до некоторой степени восполнит отсутствие соответствующе-
го подробного учебника.
Для усвоения курса необходимо знание основ звездной аст-
рономии, по крайней мере, в объеме курса общей астрономии,
а также основ теории вероятностей и методов обработки на-
блюдений. Данное учебное пособие представляет собой перера-
ботанное и дополненное пособие А. Е. Василевского [1], на осно-
ве которого этот замечательный преподаватель до конца своей
жизни читал курс «Методы звездной статистики» на кафедре
астрономии и геодезии Уральского государственного универси-
тета им. А. М. Горького.

ВВЕДЕНИЕ

Звездная статистика представляет собой раздел астрономии, 
целью которого является изучение строения, кинематики
и эволюции звездных систем — звездных скоплений, нашей Галактики 
в целом, внегалактических объектов — методами теории 
вероятностей и математической статистики. В круг задач,
решаемых методами звездной статистики, входит также исследование 
статистических закономерностей и связей между различными 
физическими и пространственно-кинематическими
характеристиками отдельных классов объектов (не только
звездных) — лунных и планетных кратеров, образований на поверхности 
Солнца, комет, астероидов, одиночных и кратных
звезд, звездных систем разного масштаба, туманностей, различных 
классов объектов межзвездной среды, как компактных, 
так и пространственно распределенных. В последние годы 
к этим задачам добавилось исследование статистических
свойств постоянно растущей выборки экзопланет.
Звездная статистика имеет дело с огромными массивами
наблюдательных данных, часто отягощенных большими случайными 
и систематическими ошибками, поэтому естественно,
что этот раздел астрономической науки издавна является областью 
приложения математической теории обработки резуль-

5

татов эксперимента. В свою очередь, развитие звездной астрономии 
в определенной степени влияло и на развитие математической 
статистики и близких к ней математических дисциплин.
Знаменитый метод наименьших квадратов был создан К. Гауссом 
именно для астрономических приложений. Некоторые чисто 
статистические приложения, а также широко используемые
в прикладной статистике методы решения интегральных уравнений 
типа свертки были разработаны астрономами Дж. Кап-
тейном, А. Эддингтоном, К. Шварцшильдом и др.
В последние десятилетия наблюдается заметное повышение
интереса со стороны астрономов к современным методам математической 
статистики с целью извлечения максимума информации 
из массивов наблюдательных данных. Однако и в настоящее 
время часто встречаются научные работы, где исследования 
проводятся на недостаточно высоком уровне обработки 
наблюдательного материала, что ведет к неполному использованию 
информации, заложенной в наблюдательных данных,
получаемых зачастую с большими затратами труда, денежных
средств и времени, а иногда и к неправильной интерпретации
получаемых результатов. Отсюда следует, что одной из важнейших 
задач звездной статистики является выделение максимально 
доступного для данного массива наблюдательных данных 
количества полезной информации. С этим напрямую связан 
вопрос о планировании эксперимента в звездной астрономии, 
хотя эксперимент в звездной астрономии является пассивным, 
так как мы не способны непосредственно воздействовать
на изучаемые объекты. Однако выяснение вопроса, какое количество 
данных необходимо для изучения того или иного явления, 
а также точность, с которой должны получаться эти

6

данные, может сэкономить при достижении нужного нам результата 
много усилий.
Звездная астрономия XX в., за исключением его последних
десятилетий, имела дело почти исключительно с одномерны-
ми случайными величинами и одномерными распределениями.
Но по мере развития средств вычислительной техники многомерный 
статистический анализ превратился из теоретического
раздела математической статистики в мощный инструмент научных 
исследований, в средство извлечения максимальной информации 
из экспериментальных данных. Многомерные стати-
стические методы проникли во все области знания, в том числе
и в традиционно гуманитарные науки — социологию, психоло-
гию, лингвистику, широко применяются в экономике. К сожа-
лению, в астрономию эти методы внедряются медленно, что
связано, как справедливо отмечено А. С. Шаровым в преди-
словии к книге Р. Курта «Введение в звездную статистику» [2],
со слабой подготовкой астрономов в области теории вероятно-
стей и математической статистики. Данный курс в некоторой
мере преследует цель восполнить, хотя бы частично, этот про-
бел.
Следует сказать несколько слов и о современных вычис-
лительных возможностях в области математической статисти-
ки. Особо необходимо отметить язык высокого уровня и си-
стему статистических вычислений R, развитие которых под-
держивается сообществом Comprehensive R Archive Network
(CRAN). Важно, что соответствующие пакеты программ реа-
лизованы для всех основных операционных систем (Windows,
Linux, MacOS). Описание языка и принципов работы с ним рас-
пространяются бесплатно и постоянно обновляются. В настоя-

7

щее время, кроме базовых пакетов, скачиваемых вместе с си-
стемой, разработаны и доступны более 2 000 прикладных паке-
тов, реализующих практически все самые современные стати-
стические методы для применения в самых разных областях
науки. Скачать программу и пакеты можно с сайта проекта
CRAN http://cran.r-project.org и многочисленных сайтов, посвя-
щенных R, которые легко найти во Всемирной паутине.

1. МНОГОМЕРНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Случайный вектор

и его распределение

Определение 1.1. Случайные величины могут быть скаляр-
ными (одномерными) и векторными. В соответствии с об-
щим определением многомерной случайной величиной или
случайным вектором называют любую упорядоченную сово-
купность скалярных случайных величин, причем эти состав-
ляющие могут быть как независимыми, так и коррелирован-
ными — связанными некоторыми, часто скрытыми от нас,
зависимостями.

В практических приложениях случайные векторы представ-
ляют собой, как правило, упорядоченные наборы характери-
стик или признаков случайно выбранного объекта рассматри-
ваемого класса. В качестве примера мы можем рассмотреть
основные характеристики звезды (масса, радиус, светимость,
эффективная температура, возраст), причем хорошо извест-
но, что эти величины в разной степени коррелированы. Ино-
гда многомерными случайными величинами являются реаль-

9

ные векторы, например, вектор положения объекта в Галакти-
ке, вектор пространственной скорости объекта.
Любой вектор может быть записан в виде вектора-столбца,
или, что удобнее для записи, вектора-строки (транспонирован-
ного вектора-столбца), например, ⃗XT = (x1, x2, . . . , xm),
где верхний индекс T обозначает операцию транспонирова-
ния. Вектор-столбец удобнее для записи умножения вектора
на матрицу, так как запись получается более компактной. Од-
номерные составляющие вектора называются его компонента-
ми, проекциями или координатами. Геометрически компонен-
ты случайного вектора задают положение точки в m-мерном
пространстве, причем, в силу случайного характера величин
x1, x2, . . . , xm, положение этой точки от опыта к опыту меня-
ется непредсказуемым образом в соответствии с законом рас-
пределения вектора ⃗X.

Определение 1.2. Законом распределения многомерной
случайной величины ⃗X называется всякое соотношение, уста-
навливающее связь между возможными значениями этой
случайной величины и соответствующими им вероятностями. 
Наиболее общей формой закона распределения является
функция распределения вероятности случайной величины.

Определение 1.3. Функция распределения F случайного
вектора ⃗X (совместная функция распределения) есть вероятность 
попадания точки в m-мерную, неограниченную слева область 
с вершиной в точке ⃗α, причем аргументами функции
являются координаты вершины ⃗α(α1, . . . , αm) этой области:

F(α1, . . . , αm) = P(x1 < α1, . . . , xm < αm),
(1.1)

10