Основы высшей математики
Покупка
Тематика:
Основы высшей математики
Издательство:
Издательство Уральского университета
Автор:
Меленцова Юлия Алексеевна
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 88
Дополнительно
Вид издания:
Курс лекций
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7996-2017-2
Артикул: 800355.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Учебно-методическое пособие знакомит студентов с алгеброй матриц, элементами линейной алгебры, векторной алгебры, с геометрией на плоскости. Рассмотрены такие важные понятия математического анализа, как функция, последовательность, предел, производная, неопределенный и определенный интеграл. Показаны решения конкретных задач, представлены примеры, иллюстрирующие применение математики в жизни.
Для студентов гуманитарных направлений.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки российской Федерации уральский Федеральный университет иМени первого президента россии б. н. ельцина Ю. а. Меленцова основы высшей МатеМатики курс лекций рекомендовано методическим советом урФу в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 41.03.05 «Международные отношения» екатеринбург издательство уральского университета 2017
удк 51(07) М 473 р е ц е н з е н т ы: кафедра прикладной математики и технической графики уральской государственной архитектурно-художественной академии (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор с. с. титов); о. о. коврижных, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник (институт математики и механики им. н. н. красовского уро ран) Меленцова, Ю. А. М 473 основы высшей математики : курс лекций : [учеб.-метод. пособие] / Ю. а. Меленцова ; М-во образования и науки рос. Федерации, урал. федер. ун-т. — екатеринбург : изд-во урал. ун-та, 2017. — 88 с. ISBN 978-5-7996-2017-2 учебно-методическое пособие знакомит студентов с алгеброй ма- триц, элементами линейной алгебры, векторной алгебры, с геометрией на плоскости. рассмотрены такие важные понятия математического анализа, как функция, последовательность, предел, производная, неопределенный и определенный интеграл. показаны решения конкретных задач, представ- лены примеры, иллюстрирующие применение математики в жизни. для студентов гуманитарных направлений. удк 51(07) © уральский федеральный университет, 2017 ISBN 978-5-7996-2017-2
ОглАвление предисловие ................................................................................................... 4 лекция 1. алгебра матриц ............................................................................. 6 лекция 2. Элементы линейной алгебры .................................................... 15 лекция 3. Элементы векторной алгебры ................................................... 27 лекция 4. геометрия на плоскости ............................................................. 37 лекция 5. Математический анализ. Функции одной переменной. последовательности ................................................................... 50 лекция 6. Математический анализ. пределы функций. производная функции ................................................................ 61 лекция 7. Математический анализ. геометрический смысл производной. дифференциал. неопределенный интеграл ....................................................................................... 71 лекция 8. Математический анализ. определенный интеграл ................. 79 список библиографических ссылок ........................................................... 87
ПРеДиСлОвие появление данного учебно-методического пособия связано с тем, что на изучение курса «основы высшей математики» программой, по которой обучаются студенты направления «Международные отношения», отводится всего 72 часа: 18 лекционных часов, 18 часов практических занятий и 36 для самостоятельной работы. за 8 лекций (больше за семестр прочитать не удается) можно дать только основные понятия и определения по наиболее важным и в то же время доступным разделам математики. цель методического пособия — помочь студентам овладеть этим материалом. Методическое пособие в форме лекций знакомит студентов с алгеброй матриц, элементами линейной алгебры, векторной алгебры, с геометрией на плоскости, с такими важными понятиями математического анализа, как функция, последовательность, предел, производная, неопределенный и определенный интеграл. несмотря на обилие литературы (см., например, [1–6]), студентам воспользоваться ей трудно в связи с недостатком времени, отпущенного на изучение предмета, и большим объемом излага- емого в учебниках материала. пособие поможет студентам легко и быстро найти изучаемые понятия и определения. в работе приводятся примеры, объясняющие появление и использование тех или иных математических понятий. дается наглядное толкование математических результатов. Методиче- ское пособие содержит много чертежей и рисунков, которые делают изложение более доступным и позволяют студенту понять сущность изучаемых математических объектов. решено много примеров. в первых четырех лекциях примеры нумеруются двумя числами, разделенными точкой. первое число — номер лекции,
второе — порядковый номер примера в лекции. в последних лек- циях примеры не нумеруются. такое различие в оформлении связано с тем, что в первых четырех лекциях на изложение четырех разделов математики отводится слишком мало времени. достаточно знать рассмотрен- ные в них понятия, определения и формулы, чтобы решить пред- лагаемые примеры, которые служат иллюстрацией этих определе- ний и формул. Четыре последние лекции посвящены знакомству с матема- тическим анализом. при решении предложенных в них примеров нужно не только владеть новым понятием, свойствами изучаемого объекта, но и определенными методиками решения. приводимые в этих лекциях примеры предназначены для обучения этим мето- дикам и группируются по темам. большое количество разобранных примеров поможет студенту выработать навыки самостоятельного решения задач и успешно подготовиться к тестированию. автор благодарен ольге олеговне коврижных за внима- тельное отношение и полезные замечания, которые позволили улучшить качество пособия, а также леониду сергеевичу вол- канину, способствовавшему налаживанию контактов с кафедрой прикладной математики и технической графики уральской госу- дарственной архитектурно-художественной академии, которая отрецензировала пособие, заведующему этой кафедрой доктору физико-математических наук, профессору сергею сергеевичу титову и сотрудникам, обсудившим работу на заседании кафедры.
лекция 1 АлгеБРА МАТРиЦ Основные определения Определение. Матрица — это таблица, состоящая из n строк и k столбцов. Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита. Элементы матрицы обозначаются соответствую- щими малыми буквами с индексами. первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца. например, a23 — элемент матрицы A, стоящий во второй строке и третьем столбце. все эле- менты матрицы заключаются в круглые скобки; n и k называются размерами матрицы. 11 1 11 12 21 22 1 ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... k n k n nk a a a a A A a a a a × ≡ = ≡ Пример 1.1. объем продаж. владелец двух торговых точек, продающих крупы, решил выяснить, каков в них объем продаж риса, пшена и гречи. инфор- мацию об этом можно оформить в виде таблицы: таким образом, получилась матрица 2 3 50 100 70 45 60 65 A × =
и 11 22 13 23 12 50, 60, 70, 65 , 100 . a a a a a = = = = = Через обозначают элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце. Определение. квадратная матрица — это матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Пример 1.2 2 2 3 3 50 100 70 50 100 , 45 60 65 . 45 60 1 3 7 B C × × = = − − обычно при указании размерности квадратной матрицы пишут только один индекс, т. е. 2 2 2 3 3 3 , . B B C C × × = = Определение. Элементы квадратной матрицы, имеющие оди- наковые индексы 11 22 33 , , ,..., , nn a a a a называются диагональными элементами. они образуют главную диагональ матрицы. Определение. диагональной матрицей называется такая квад ратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю. Пример 1.3 2 3 50 0 0 50 0 , 0 60 0 . 0 60 0 0 7 D F = = − Определение. единичной матрицей называется такая диа- гональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Пример 1.4 2 3 1 0 0 1 0 , 0 1 0 . 0 1 0 0 1 E E = = Определение. следом матрицы называется сумма всех диаго- нальных элементов: 11 22 ... . nn S a a a = + + + Пример 1.5. след матриц B и D равен S = 50 + 60 = 110, след матриц C и F равен S = 50 + 60 − 7 = 103. Определение. Матрица AT называется транспонированной к A, если каждая строка матрицы AT получается из соответствую- щего столбца матрицы A. 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 ... ... ... . ... ... ... ... ... ... k k n k k n n n nk a a a a a a a a A a a a a a a a a × = 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 1 2 3 ... ... ... . ... ... ... ... ... ... n n T k n n k k k nk a a a a a a a a A a a a a a a a a × = очевидно, что число строк матрицы AT равно числу столбцов матрицы A, число столбцов матрицы AT равно числу строк матрицы A.
Пример 1.6. найти матрицу AT, если 3 5 2 1 4 2 . 6 3 7 A − = − − − получим 3 1 6 5 4 3 . 2 2 7 T A − = − − − Определение. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбец: 1 ... . n a a a = Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строка: ( ) 1 ... . k b b b = Операции над матрицами рассмотрим следующие задачи. Задача 1. пусть 2 3 50 100 70 — 45 60 65 A × = объем продаж за первые две недели января, 2 3 40 90 70 — 45 80 55 B × = объем продаж за последние две недели января.
требуется найти С2 × 3 — объем продаж за январь. очевидно, для решения задачи нужно сложить элементы матриц A и B, стоящие на одинаковых местах. получим 2 3 50 40 100 90 70 70 90 190 140 . 45 45 60 80 65 55 90 140 120 C × + + + = = + + + Эта операция называется сложением матриц. 1. Сложение матриц. пусть 11 1 11 1 1 1 ... ... ... ... ... , ... ... ... . ... ... k k n k n k n nk n nk a a b b A B a a b b × × = = Матрица Cn × k называется суммой этих матриц, т. е. C = A + B, если 11 11 1 1 1 1 ... ... ... ... . ... k k n k n n nk nk a b a b C a b a b × + + = + + заметим, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности. аналогично определяется разность матриц A и B. 11 11 1 1 1 1 ... ... ... ... . ... k k n n nk nk a b a b D A B a b a b − − = − = − − Задача 2. пусть 2 3 50 30 70 — 45 30 65 A × =
цены на крупы в двух торговых точках в январе. в феврале все цены увеличились вдвое. найти матрицу цен в феврале. ясно, что каждый элемент матрицы A нужно умножить на 2. получим 100 60 140 . 90 60 130 F = операция называется умножением матрицы на число. 2. Умножение матрицы на число. пусть 11 1 1 ... ... ... ... . ... k n k n nk a a A a a × = Матрица Fn × k называется произведением матрицы A на число q, т. е. F = qA, если 11 1 1 ... ... ... ... . ... k n k n nk qa qa F qa qa × = Пример 1.7 найти 2 3 4 , T C A B E = − − + если 1 6 3 5 , , 4 6 2 4 A B − − = = − − а Е — единичная матрица. Решение 2 12 3 2 2 , , 8 12 5 4 T A B − − = = − − −
Доступ онлайн
В корзину