Избранные главы курса физики. Колебания и волны

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Л. Г. Малышев 
А. А. Повзнер 

Избранные главы курса фИзИкИ.
колебанИя И волны

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей и направлений

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета
2017

УДК 537.86(075.8)
ББК 22.336я73
          М20
Рецензенты: 
проф., д-р физ.-мат. наук А. Д. Ивлиев РГППУ; 
доц., д-р физ.-мат. наук О. А. Чикова (УрГПУ)
Научный редактор — проф., д-р физ.-мат. наук А. В. Мелких

На обложке использовано изображение с сайта http://
presentmomentproductions.com/wp-content/uploads/vibration.jpg

 
Малышев, Л. Г.
М20    Избранные главы курса физики. Колебания и волны: 
учебное пособие / Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер. — Екате-
ринбург: Изд-во Урал. ун-та, — 2017. — 200 с.

ISBN 978-5-7996-1998-5

Учебное пособие «Избранные главы курса физики. Колеба-
ния и волны» предназначено для студентов УрФУ, обучающихся 
на физических и инженерно-физических направлениях подготов-
ки, изучающих курс общей физики в соответствии с рабочей про-
граммой курса «Общая физика» и образовательными стандартами. 
Учебное пособие содержит изложение материала лекций, обсуж-
дение основных физических законов и соотношений. Изложе-
ние материала сопровождается подробным анализом и решени-
ем большого числа задач и примеров. Использование студентами 
данного учебного пособия позволит улучшить уровень их подго-
товки по данному разделу курса «Физика».

Рис. 74.

УДК 537.86(075.8)
ББК 22.336я73

ISBN 978-5-7996-1998-5 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

Д
анное пособие посвящено изложению с единых пози-
ций колебательных и волновых процессов и явлений, 
встречающихся в механике, акустике и электромагнетизме. Ос-
новная идея предлагаемой книги заключается в том, чтобы со-
единить в одном учебном пособии изложение принципов те-
ории и практические методы решения задач, дополняющих 
основные законы и теоретические положения. При изложе-
нии теоретического материала авторы стремились к обсужде-
нию основных законов, не детализируя вопросы, имеющие вто-
ростепенный характер, и излагая отдельные факты лишь в той 
мере, в какой они необходимы для понимания целого. Основ-
ной акцент в изложении делается на физическую природу рас-
сматриваемых явлений.
Книга создана на основе лекций, читавшихся студентам Фи-
зико-технологического института Уральского федерального 
университета.

Авторы.

ГЛаВа 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

1.1. ОДНОМЕРНый ГаРМОНИЧЕСКИй ОСцИЛЛЯтОР
К
олебаниями называются процессы, которые харак-
теризуются той или иной степенью повторяемости. 
Свободными или собственными называют колебания, кото-
рые происходят в системе, выведенной из положения равно-
весия и предоставленной самой себе. Такая система называ-
ется осциллятором. Простейшим видом колебаний являются 
гармонические колебания, происходящие по закону синуса или 
косинуса.
Рассмотрим свободные одномерные 
колебания, происходящие, например, 
вдоль оси х. Свободные колебания 
происходят относительно положения 
равновесия, которому соответствует 
минимум потенциальной энергии си-
стемы (рис. 1.1). Для простоты будем 
считать, что значение потенциальной энергии системы в по-
ложении равновесия равно нулю. Разложим Wp в ряд Тейлора 
вблизи положения равновесия:

x
a

Wp 

Рис. 1.1

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

5

 

W
W
a
W
x
x
a
W
x
x
a

W
x

p
p
p
x a
p
x a

p
x

=
( )+
( )
-
(
)+
( )
-
(
) +

+
( )

ў
ўў

ўўў

=
=

=

1
2
1
3

2
!

!
a x
a
-
(
) +
3
 .

 
(1.1)

Первый член разложения равен нулю из-за нашего выбора 
нулевого уровня отсчета Wp. Второй также обращается в нуль — 
первая производная потенциальной энергии равна нулю в точке 
минимума. Будем считать колебания малыми (это важно!), и тог-
да можно ограничиться в разложении первым ненулевым чле-
ном — это третий член, и он содержит вторую производную Wp 
(она положительна в точке минимума). Все высшие члены раз-
ложения отбрасываем в силу их малости.
Введем обозначения: W
x
p
x a
ў ( )
=
>
(
)
=
k k
,
0 , x
a
-
= x — так бу-
дем обозначать смещение относительно положения равнове-
сия (это греческая буква кси), и тогда разложение (1.1) прини-
мает вполне удобный вид:

 
W p = kx2

2 .(1.2)

Воспользуемся связью между силой, действующей на тело 
(на осциллятор), и его потенциальной энергией

 
F
dW
d

x = -
= -
x
kx. 
(1.3)

Эта сила стремится вернуть тело в положение равновесия, 
она называется квазиупругой (как бы упругой) силой. Такое на-
звание возникло вот почему. Формула (1.3) действительно со-
впадает с выражением для силы упругости. Но сила упруго-
сти — вполне конкретная сила, обладающая своей физической 
природой (она относится к классу электромагнитных сил). При-
рода квазиупругой силы может быть любой, но она зависит 
от смещения точно так же, как и упругая сила.

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

Формула (1.3), кстати, дает возможность понять физиче-
ский смысл параметра k — он характеризует упругие свойства 
системы.
Применим второй закон Ньютона для описания движения 
тела массой m под действием квазиупругой силы

 
m d
dt

2

2
x
kx
= -
.

В теории колебаний знак производной по времени обычно 
изображают в виде точки над соответствующей переменной 
(вторую производную — двумя точками и так далее). Перепи-
шем последнее уравнение

 
mx
kx
= -

и преобразуем его

 
x
k x
+
=
m
0.

Коэффициент k / m — величина положительная, обозначим 
ее как квадрат некоторой величины w0:

 
w
k

0 =
m. 
(1.4)

Тогда исходное уравнение принимает вид

 
x
w x
+
=
0
2
0. 
(1.5)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение 
второго порядка, которое описывает малые колебания отно-
сительно положения равновесия. Его решение можно запи-
сать в виде

 
x
w
j
=
+
(
)
A
t
cos
.
0
0
 
(1.6)

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

7

Получили уравнение гармонических колебаний. Обсудим па-
раметры, входящие в уравнение (1.6), и рассмотрим в качестве 
осциллятора частицу, совершающую гармонические колебания:
ξ — смещение частицы относительно положения равнове-
сия в момент времени t;
А — амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение ча-
стицы относительно положения равновесия;
φ = w
j
0
0
t +
 — фаза колебания в момент времени t, она харак-
теризует состояние системы;
φ0 — начальная фаза, то есть фаза в момент времени t = 0;
ω0 — циклическая частота колебаний, характеризующая бы-
строту изменения фазы.
Помимо рассмотренных используют еще два параметра:
Т — период колебаний, это время одного полного колебания;
υ — частота колебаний, равная числу колебаний в едини-
цу времени.
Между ними существует простая связь

 
T
m
=
=
=
1
2
2

0
u
p
w
p
k .  
(1.7)

Подведем некоторые итоги. Во-первых, обратим внимание 
на то, что, формулируя условия задачи, мы совершенно не кон-
кретизировали физическую природу осциллятора. По сути, 
единственным условием было то, что колебания — малые. Это 
позволяет сделать очень важный вывод: свободные колебания 
любой системы относительно положения равновесия являют-
ся гармоническими независимо от ее конкретной физической 
природы, если эти колебания –малые. Во-вторых, эти колеба-
ния происходят с собственной частотой (см. уравнение (1.5)), ко-
торая определяется упругими свойствами системы. В-третьих, 
амплитуда и начальная фаза колебаний определяется лишь на-
чальными условиями. Проще говоря, они зависят только от того 
как и в какой момент времени мы качнули систему.

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

Каков критерий малости колебаний? Колебания можно счи-
тать малыми до тех пор, пока энергия осциллятора квадратич-
но зависит от смещения относительно положения равновесия.
А что, если колебания не являются малыми в указанном 
выше смысле? Тогда в разложении (1.1) уже нельзя ограни-
читься только первым членом, отличным от нуля. Учтем сле-
дующий член, и по формуле (1.3) найдем выражение для силы:

 
F
dW

d
W
W

p

p
p
x
x
x
x
x
x
x
x
=
= -
( )
-
( )
ўў
ўўў

=
=
0
0

2
1
2
.

Теперь уравнение (1.5) примет вид

 
x
w x
x
x
x
+
= -
( )
ўўў
=
0
2
0
2
1
2W p
.

Это уравнение содержит ξ 2 и поэтому является нелиней-
ным. Колебания, описываемые нелинейными уравнениями, 
являются ангармоническими и для них не выполняется прин-
цип суперпозиции.

Задача 1. Частица массой m находится в одномерном сило-
вом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координа-
ты х по закону W
x
a
x
b
x
P ( ) =
-
/
/
2
, где а и b — положительные 
постоянные. Найти период малых колебаний частицы около 
положения равновесия.
Решение. Положению равновесия х0 соответствует минимум 
потенциальной энергии (рис. 1.2). Найдем его из условия 
dW
dx
p /
= 0:

 
-
+
=
=
2
0
2

3
2
0

a
x
b
x
x
a
b
,
.
Вычислим упругую постоянную

 
k =
( )
=
-
=
ўў
=
W
x
a
x

b
x

b
a
p
x
x0

6
2

8
0
4

0
3

4

3

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

9

и определим период колебаний по формуле

 
T
m
a
b
ma
=
=
=
2
2
4
2

0

2
p
w
p
k
p
.

Wp 

r0 

r 

0

Рис. 1.2

Задача 2. Жидкость объемом V = 16 см 3 налита в изогну-
тую U-образную трубку (рис. 1.3) с площадью сечения канала 
S = 0,50 см 2. Пренебрегая вязкостью, найти период малых ко-
лебаний жидкости.

ξ

Рис. 1.3

Решение. Предположим, мы каким-то образом вывели си-
стему из положения равновесия и уровень жидкости в левом 
колене опустился на величину ξ. Соответственно, справа он 

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

поднимется на такую же величину и в правом колене появится 
избыточный столб жидкости, вес которого будет равен

 
F
gV
gS
=
=
r
r
x
2
.

Эта сила стремится вернуть жидкость в состояние равнове-
сия, т. е. она играет роль квазиупругой силы, про которую го-
ворилось выше. Сопоставляя это выражение с формулой (1.3), 
видим, что k
r
= 2 gS, и далее легко получаем ответ

 
T
m
V
gS
V
gS
=
=
=
=
2
2
2
2
0 8
p
k
p
r
r
p
,
.
c

Задача 3. Однородный стержень положили на два быстро вра-
щающихся блока, как показано на рис. 1.4. Расстояние между 
осями блоков l = 20 см, коэффициент трения между стержнем 
и блоками μ = 0,18. Показать, что стержень будет совершать 
гармонические колебания. Найти их период.

mg 

N1 

N2 

Fтр1 
Fтр2 

l/2 -  
ξ
ξ

Рис. 1.4

Решение. На стержень действуют пять сил — сила тяже-
сти mg, две силы реакции опоры N1 и N2 и две силы трения Fтр1