Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

И. Н. Огородников

ВВЕДЕНИЕ В ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ 
ФИЗИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ:

специальные главы высшей 
математики для технологов

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета 
в качестве учебного пособия для студентов вуза, 
обучающихся по направлениям подготовки 
140800.68 «Ядерные физика и технологии», 
201000.68 «Биотехнические системы и технологии» 
и специальности 140801.65 «Электроника и автоматика  
физических установок»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

УДК 517.9:53(075.8)
ББК 22.161.6я73+22.3я73
          О-39

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. В. Г. Панов и д-р физ.-мат. наук, 
проф. А. Н. Вараксин (лаборатория математического моделирования 
в экологии и медицине Института промышленной экологии Уральского 
отделения Российской академии наук); д-р физ.-мат. наук,  
гл. науч. сотр. лаборатории оптики металлов Института физики метал-
лов Уральского отделения Российской академии наук В. И. Соколов

Научный редактор — проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Кислов

На обложке — изображение из личного архива автора

О-39
Огородников, И. Н.
Введение в обратные задачи физической диагностики: спе-
циальные главы высшей математики для технологов : учебное 
пособие / И. Н. Огородников. — Екатеринбург : Изд-во Урал. 
ун-та, 2017. — 199, [1] с.
ISBN 978-5-7996-1950-3

Учебное пособие «Введение в обратные задачи физической диагностики: 
специальные главы высшей математики для технологов» нацелено на фор-
мирование у студентов практических навыков разработки теоретических  
и математических моделей и методов расчета современных физических уста-
новок и устройств автоматики физических установок, приборов радиацион-
ной безопасности человека и окружающей среды, а также различных прибо-
ров биофизического и медицинского назначения.
Пособие предназначено для студентов технических специальностей физико-
технологического института всех уровней обучения и соответствует федераль-
ному государственному образовательному стандарту третьего поколения.

Библиогр.: 50 назв. Табл. 5. Рис. 26.
УДК 517.9:53(075.8)
ББК 22.161.6я73+22.3я73

ISBN 978-5-7996-1950-3
© Уральский федеральный 
     университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1. Математический аппарат обратных задач взаимодействия физических
полей с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.
Вводные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1.
Прямые и обратные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2.
Некорректные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.3.
Обратные задачи естествознания и косвенные методы физической
диагностики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.4.
Проблема обработки и интерпретации наблюдений . . . . . . . . .
17
1.2.
Основные интегральные уравнения, возникающие при решении
физических задач
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.1.
Определение и классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.2.
Линейные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.3.
Нелинейные интегральные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2.4.
Задачи, приводящие к интегральным уравнениям . . . . . . . . . .
30
1.2.5.
Операторная форма интегрального уравнения . . . . . . . . . . . .
35
1.2.6.
Интегральное уравнение с ядром, имеющим слабую зависимость .
37
1.3.
Элементы теории линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.1.
Вводные понятия и определения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.2.
Примеры линейных пространств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.3.
Понятие гильбертова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.4.
Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4.
Элементы теории оптимизации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.1.
Двойственность в оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.2.
Численные алгоритмы минимизации функционалов
. . . . . . . .
61

2. Методы решения некорректных обратных задач для интегральных
и дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.1.
Понятия корректно и некорректно поставленных задач . . . . . . . . . . .
69
2.2.
Понятие резольвенты и точные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.1.
Формулы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.2.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.3.
Разложение в ряд по собственным функциям ядра . . . . . . . . . . . . . .
84
2.3.1.
Собственные функции и характеристические значения . . . . . . .
84
2.3.2.
Собственные функции симметричного ядра . . . . . . . . . . . . .
86
2.3.3.
Разложение ядра по собственным функциям . . . . . . . . . . . . .
90
2.3.4.
Решение интегрального уравнения через характеристические
значения и собственные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.4.
Интегральные уравнения 1-го рода
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4.1.
Уравнение Вольтерра 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4.2.
Уравнение Фредгольма 1-го рода
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.4.3.
Операторные уравнения 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5.
Регуляризирующий алгоритм и априорная информация . . . . . . . . . . . 101

3

2.6.
Метод регуляризации на компактных множествах . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.1.
Понятие компактных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6.2.
Некорректные задачи на компактах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6.3.
Основные свойства метода регуляризации на компактных
множествах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.6.4.
Конечно-разностные аналоги компактных множеств в L2 . . . . . . 114
2.6.5.
Применение классических алгоритмов минимизации в рамках
метода регуляризации на компактных множествах
. . . . . . . . . 118
2.7.
Метод регуляризации А. Н. Тихонова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.7.1.
Постановка задачи. Сглаживающий функционал
. . . . . . . . . . 124
2.7.2.
Выбор параметра регуляризации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.8.
Метод обобщенной невязки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.9.
Метод итеративной регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.9.1.
Основные сведения из теории вариационных неравенств . . . . . . 133
2.9.2.
Аппроксимация Браудера – Тихонова решений вариационных
неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.9.3.
Принцип итеративной регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.10. Элементы теории двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.10.1. Двойственная вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.10.2. Классический алгоритм Удзавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.11. Элементы теории обратных задач для дифференциальных уравнений . . . 147

3. Интегральные уравнения в задачах взаимодействия полей излучений
с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.
Обратные задачи физической диагностики, приводящие к уравнениям
типа Вольтерра и Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1.
Определение производной по экспериментальным данным
. . . . 149
3.1.2.
Уравнение теплопроводности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.1.3.
Уравнение переноса излучения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.4.
Просвечивание, рефрактометрия и радиометрия атмосферы . . . . 167
3.2.
Обратные задачи, приводящие к уравнениям типа Фредгольма . . . . . . . 175
3.2.1.
Численные методы решения обратной задачи рассеяния . . . . . . 175

4. Обратные задачи восстановления сигналов, задачи компьютерной
томографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.
Восстановление сигнала на входе интегрирующих измерительных
приборов по сигналу, регистрируемому на выходе . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2.
Задачи компьютерной томографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.
Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Список библиографических ссылок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Предметно-именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебное пособие основано на семестровом курсе лек-
ций с условным названием «Специальные главы высшей математики (Вве-
дение в обратные задачи физической диагностики)», который читается
в Уральском федеральном университете для студентов старших курсов
физико-технологического института, специализирующихся в электрони-
ке и автоматике физических установок, защите от излучений, радиацион-
ной экологии, биомедицинской инженерии, а также в конструировании
приборов для применения в области радиационной безопасности чело-
века и окружающей среды. Учебное пособие может быть полезно и для
студентов других родственных специальностей.
Прежде всего отметим, что название курса «специальные главы» в
данном случае подразумевает «избранные главы». Круг вопросов, под-
готовленных для включения в данный курс, касается методов решения
обратных задач естествознания в области предметной деятельности вы-
пускников физико-технологического института – это радиационная фи-
зика и ряд смежных с ней вопросов, включая инструментальные мето-
ды экспериментальной физики, экологии и биомедицинской инженерии.
Подчеркнем также четыре важных принципа, положенные в основу по-
строения данного учебного курса.
Во-первых, по рассматриваемым вопросам существует огромное ко-
личество публикаций, которые написаны профессиональными математи-
ками и рассчитаны прежде всего на математическую аудиторию. Основ-
ная цель данного учебного пособия – на основании этих публикаций
попытаться изложить различные вопросы, касающиеся методов реше-
ния обратных некорректных задач естествознания, для студентов физико-
технологического направления, которые хотя и имеют достаточно высо-
кий уровень физико-математической подготовки, но специализируются в
различных технологических областях и не имеют специальной матема-
тической подготовки, необходимой для чтения этой литературы.
Во-вторых, знание элементарных математических вопросов, касаю-
щихся методов решения обратных некорректных задач естествознания,
необходимо для их успешного использования в обширной области пред-
метной деятельности выпускников физико-технологического института,
которая простирается от технологических аспектов ядерной физики, ра-
диационной экологии и биотехнических систем до инструментальных
методов экспериментальной физики, электроники и автоматики. Для то-
го чтобы подготовить читателя к восприятию вопросов, которые могут

5

Предисловие

выходить за рамки обычного уровня математической подготовки техни-
ческого вуза, учебный курс содержит вспомогательный раздел, где изла-
гаются элементарно необходимые специальные математические вопросы.
Отсюда название учебного курса – «Специальные главы высшей матема-
тики». Следует особо подчеркнуть, что изложение этих избранных мате-
матических вопросов не может претендовать на полноту и математиче-
скую строгость, т. к. дано фрагментарно и в очень ограниченном объеме –
только то, что действительно необходимо для последующего изложения
методов решения обратных некорректных задач естествознания. Кроме
того, это изложение дано в несколько редуцированной форме в расчете
на аудиторию, не специализирующуюся профессионально в области ма-
тематики. Так, например, теоремы в этом изложении приведены лишь в
качестве справочного материала – их количество минимизировано, а вме-
сто доказательства в каждом случае дается ссылка на первоисточник (с
указанием конкретных страниц первоисточника), где содержится полное
и всестороннее математическое исследование обсуждаемого вопроса. За-
интересованный читатель без труда найдет указанные первоисточники.
В-третьих, как явствует из названия, при рассмотрении практических
приложений рассматриваемых методов в конкретных предметных обла-
стях данный учебный курс ограничивается рассмотрением только мате-
матической стороны каждого вопроса. Иными словами, при рассмотрении 
частных вопросов практического применения обсуждаемых методов
в каждой конкретной предметной области (например, компьютерная томография) 
не затрагиваются ни техническая, ни технологическая стороны 
этих вопросов, оставляя эту проблематику для специализированных
учебных курсов.
В-четвертых, по рассматриваемым проблемам существует значительное 
количество учебной и научной литературы. В частности, авторами
некоторых основополагающих монографий являются известные академики: 
Андрей Николаевич Тихонов
[1–5], Александр Андреевич Самарский [
6], Михаил Михайлович Лаврентьев [7], Андрей Николаевич Колмогоров [
8]. Список библиографических ссылок, приведенный в конце пособия, 
не может претендовать на полноту, т. к. охватывает лишь небольшое 
количество публикаций, которые были реально использованы при
подготовке учебного курса.
Рассмотрим по главам содержание учебного пособия и перечислим
основные публикации, использованные при подготовке отдельных глав.
В первой главе приведены дополнительные сведения, необходимые
для дальнейшего обсуждения теории и методов решения обратных некорректных 
задач. Сведения по каждому вопросу приведены фрагментарно
и в минимальном объеме, только то, что действительно будет необходимо
для обсуждения в последующих главах:

6

Предисловие

об истории методов решения «некорректных задач» [9];

обратные задачи естествознания и косвенные методы физической
диагностики [10];

проблема обработки и интерпретации научных наблюдений [11];

понятие нормального решения [4, 12];

интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода,
уравнения Абеля [13];

элементы теории линейных пространств [14];

элементы теории оптимизации и двойственности [15, 16];

численные алгоритмы минимизации функционалов [17].
Во второй главе обсуждаются методы решения интегральных уравнений [
13, 18, 19], понятие регуляризирующего алгоритма и априорной
информации [4, 20, 21], а также численные методы решения некорректных 
обратных задач:

метод регуляризации на компактных множествах [2];

метод регуляризации А.Н. Тихонова, согласование ошибки задания
исходных данных и параметра регуляризации [2, 6];

метод и принцип обобщенной невязки [2];

 метод и принцип итеративной регуляризации, формулировка нели-
нейных задач физической диагностики в терминах вариационных нера-
венств, аппроксимация Браудера–Тихонова [22, 23];

элементы двойственного метода регуляризации, итеративная регу-
ляризация классического алгоритма Удзавы [24, 25];

элементы теории обратных задач для дифференциальных уравне-
ний, простейшая обратная задача для уравнения теплопроводности и ме-
тоды ее регуляризации [26].
В третьей главе рассмотрены примеры обратных задач физической
диагностики, приводящих к интегральным уравнениям типа Вольтерра,
Абеля и Фредгольма:

определение производной по экспериментальным данным [17];

обратные задачи для уравнений переноса излучения [27] и тепло-
проводности [28];

обратные задачи просвечивания, рефрактометрии и радиометрии,
возникающие при исследовании атмосферы [29–34];

обратная задача рассеяния на примере электродинамики и кванто-
вой механики [35].
В четвертой главе кратко обсуждаются задачи восстановления сигна-
ла на входе интегрирующих измерительных приборов по сигналу, реги-
стрируемому на выходе
[7], а также трансмиссионная и эмиссионная
задачи компьютерной томографии [27].

7

Предисловие

Следует отметить, что теория и методы решения некорректных обрат-
ных задач естествознания представляют собой весьма обширную, дина-
мично развивающуюся область знаний. Помимо упомянутых выше пуб-
ликаций значительное влияние на формирование программы учебного
курса, его подготовку и подбор материалов для учебного пособия сыгра-
ли работы А.С. Леонова [36], М.И. Сумина [25] и А.Г. Яголы [37]. Одна-
ко в наше пособие включен лишь ограниченный круг вопросов, выбор и
глубина освещения которых продиктованы, в первую очередь, требовани-
ями федеральных государственных образовательных стандартов высше-
го профессионального образования по направлениям «Ядерные физика и
технологии», «Биомедицинская инженерия» и «Биотехнические системы
и технологии».
Многие современные направления развития теории решения обрат-
ных некорректных задач остались вне рамок учебного пособия. Так, на-
пример, в данном пособии не обсуждаются детали такого исключительно
важного направления развития, как теория двойственной регуляризации,
даются только самые общие представления об этой теории. Однако заин-
тересованный и подготовленный читатель без труда найдет соответству-
ющие материалы, например, в [25].
Другой круг вопросов, также оставшийся за рамками учебного по-
собия, касается практической реализации методов решения некоррект-
ных обратных задач физической диагностики. Обсуждение инструмен-
тальных средств, вспомогательных и демонстрационных компьютерных
программ потребовало привлечения значительного объема сугубо тех-
нической информации, лежащей вне основного русла данного учебного
пособия. Поэтому все вопросы, касающиеся практической реализации
методов, вынесены в отдельное учебное пособие, которое полностью со-
гласовано с излагаемым здесь теоретическим материалом.

8

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
С ВЕЩЕСТВОМ

1.1. Вводные понятия

Основной целью учебного курса является изложение избранных во-
просов, касающихся методов решения обратных задач естествознания.
Обратные задачи играют важную роль в процессе познания окружаю-
щей действительности. Это обусловлено несколькими причинами. Назо-
вем лишь три основные причины.
Во-первых, объекты, изучаемые естественными науками, могут не
быть доступны для прямого изучения инструментальными средствами.
Поэтому такие объекты можно исследовать только на основе косвенных
проявлений каких-либо свойств. Особо это касается исследования при-
кладных задач, для которых типична ситуация, когда объект, подлежа-
щий изучению, является недоступным или труднодоступным для прямо-
го наблюдения и измерения его свойств. В качестве примера перечислим
некоторые из таких областей естествознания. В геофизике сюда отно-
сятся поиск полезных ископаемых и изучение глубинных свойств Земли
и Мирового океана. В астрофизике таковыми являются все наблюдаемые
космические объекты и явления. Все объекты микромира недоступны для
непосредственного изучения, в качестве примера упомянем только задачу
определения структуры кристаллов в кристаллографии. В области тех-
ники и технологий можно назвать проблемы неразрушающего контроля
качества изделий и конструкций, а также выявления дефектов внутри ра-
ботающих механизмов и физических установок. В медико-биологической
области упомянем медицинские исследования, направленные на выявле-
ние патологий внутренних органов человека.
Во-вторых, проведение самого эксперимента может быть невозмож-
ным, потому что он может быть запрещен законодательно либо быть
слишком опасен, либо исследуемый объект является уникальным и су-
ществует только в единственном экземпляре.
В-третьих, проведение эксперимента может быть связано с неприем-
лемо большими финансовыми затратами. Существуют и другие причины,
которые могут препятствовать прямому наблюдению и изучению объекта
исследования.

9

1. Математический аппарат теории обратных задач

Во всех этих случаях можно только собирать и накапливать некоторые
косвенные данные об исследуемом объекте. Стоит особо отметить, что в
этих случаях собранная информация определяется не только природой
исследуемого объекта, но и тем, какие инструментальные средства были
для этого использованы.
В естественных и прикладных науках основные законы природы вы-
ражают обычно на языке дифференциальных уравнений. Решаемая зада-
ча при этом сводится либо к задаче определения коэффициентов диф-
ференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных),
либо к определению правой части или начальных условий по некоторым
известным функционалам их решения. Следует особо подчеркнуть, что
в отличие от прямых задач для дифференциальных уравнений, когда задано 
уравнение и требуется найти его решение, в данном случае имеем
дело с обратными задачами для дифференциальных уравнений. Термин
«обратная задача» следует понимать как задачу с обратными причинно-
следственными отношениями, т. е. задачу восстановления неизвестных
причин по известным следствиям. Неизвестные «причины» при этом конкретизируются 
в виде неизвестных коэффициентов, правой части или начальных 
условий. В качестве известных «следствий» принято использовать 
некоторые функционалы от решения дифференциальных уравнений.
Несмотря на разнообразие обсуждаемых выше задач, все они могут
быть сведены к математическим задачам типа

ˆAz = u,
(1.1)

где z – модель объекта, u – результаты косвенных наблюдений, ˆA – оператор 
связи между z и u. В случае прямой задачи известно z, надо найти
неизвестное u. В случае обратной задачи все наоборот – по известному u
надо найти неизвестное z.
Еще в глубокой древности была осознана роль обратных задач в познании 
мира. Так, Аристокл (Платон) предложил мысленный эксперимент – 
миф о пещере. Суть которого заключается в следующем: люди,
помещенные в пещеру и прикованные там, видят только тени неких предметов, 
которые проносят мимо входа, или тени людей, проходящих вблизи 
пещеры. В аллегорической форме ставится вопрос, насколько адекватны 
будут представления узников пещеры об окружающем их мире? В
метафорической форме этот миф отражает ситуацию, которая весьма типична 
для естествознания и возникает при обработке экспериментальных
данных. Несовершенство приборов и органов чувств, а также инструментальные 
погрешности измерений ставят исследователей, в некотором
смысле, в положение узников мифической пещеры.

10

1.1. Вводные понятия

1.1.1. Прямые и обратные задачи

Строгие в математическом смысле термины – прямые и обратные
задачи, решаемые в рамках уже построенной модели, – ввел в научный
обиход академик А.Н. Тихонов (1906–1993).

1.
Прямые задачи – задачи отыскания следствий известных или заданных 
причин (поля при заданных источниках, реакция прибора при
заданных воздействиях и т. д.), т. е. задачи, решаемые «вдоль» причинно-
следственных или казуальных связей. Прямая задача состоит в теоретическом 
определении u по заданным z и ˆA.
Прямые задачи отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях 
мы примем какое-то решение z ∈ Z ? В частности, чему при данном
решении z будут равны следствие u или какая-либо целевая функция (показатель 
эффективности или же ряд таких показателей). Для решения
такой задачи строится математическая модель, позволяющая выразить
один или несколько показателей эффективности через заданные условия
и элементы решения.

2.
Обратные задачи – задачи отыскания причин известных или
заданных следствий. Они возникают, когда интересующие нас характеристики 
объекта недоступны для непосредственного наблюдения. Это,
например, восстановление характеристик источников полей по заданным
их значениям в некоторых точках, восстановление или интерпретация
исходного сигнала по известному выходному сигналу и т. д.
Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение z для того,
чтобы показатель эффективности обратился в максимум (или минимум
для некоторых задач)? Математическая природа обратных задач заклю-
чается в определении z – математической модели объекта по заданным
u и ˆA. Однако если определение z из соотношения (1.1) трактовать как
решение этого функционального уравнения, то решение z, как правило,
сильно неустойчиво по отношению к сколь угодно малым неточностям
при определении u, неизбежно возникающим при экспериментальных на-
блюдениях.
Собственно говоря, любая задача измерения – обратная, любая фи-
зическая теория – решение обратной задачи. Кстати, в этом физика (как
и любая другая область естествознания), занимающаяся внешним ми-
ром, кардинально отличается от математики. В математике доказатель-
ство остается верным навсегда. Утверждения математики не могут быть
более и менее убедительными. А в физике это совершенно обычно. Да-
же после появления некоторой общепринятой интерпретации невозмож-
но формально доказать, что она – единственно правильная.

11

1. Математический аппарат теории обратных задач

Обратные задачи решаются «против» причинно-следственных связей.
Процедура их связана с преодолением серьезных математических и кон-
цептуальных трудностей, главным из которых является требование на-
личия априорного представления об объекте изучения. Успех этой про-
цедуры сильно зависит как от качества и количества полученных экс-
периментальных данных, так и от способа их обработки. То есть в наше
представление об объекте изучения так или иначе должен входить способ
получения информации о нем.
Термин «обратная задача» используют и для сложных задач интер-
претации, т. е. таких задач, когда:

неодновременно и не независимо друг от друга измеряется большое
число параметров;

число параметров вообще неопределенно велико;

исходные данные обладают большими размерностями (тысячи и
десятки тысяч факторов и состояний объекта управления или наблюде-
ния), для них неизвестен закон распределения, они являются неполными,
неточными и зашумленными.
Принципиальной чертой этих задач является то, что они могут быть
переопределены, т. е. иметь противоречивые условия; недоопределены,
т. е. исходных данных не хватает для однозначного решения; негрубы,
т. е. физически нереализуемы.

1.1.2. Некорректные задачи

Понятие о некорректных задачах математики было введено в 1902 году
Жаком Адамаром, который впервые предложил разделить все задачи на
корректные и некорректные. Выдающийся французский математик Жак
Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963) прожил долгую и плодотворную 
жизнь, преподавал во многих высших учебных заведениях
Франции, сделал немало научных открытий, однако исследование некорректных 
задач является наиболее значимым из его научных достижений.
Ж. Адамар назвал некорректными те математические задачи, решения которых 
существенно изменяются при сколь угодно малых изменениях коэффициентов, 
параметров, начальных или граничных условий.
Поскольку на практике измерить и задать для расчета идеально точно
величину коэффициентов, параметров и т. п. почти всегда невозможно,
то практический смысл имеют, разумеется, только корректные задачи –
те, решения которых не меняются существенно при неизбежных малых
погрешностях в задании параметров, при малых изменениях (вариациях)
их. Фактически математика на протяжении всех трех тысяч лет своего
существования решала корректные задачи, и лишь Адамар в 1902 году
доказал существование целого класса задач некорректных. Ситуация в

12