Высшая математика. Часть I

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

ВЫСШАЯ 
МАТЕМАТИКА

Часть I

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ 
для студентов инженерных направлений 
и специальностей УрФУ

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2016

УДК 51(075.8)
ББК 22я73
          В93
Авторы:
В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева, Ю. В. Шапарь, И. А. Шестакова
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного экономического 
университета (завкафедрой, канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. Б. Мельников);
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. И. Н. Белоусов (Институт математики и механики 
УрО РАН)
Научный редактор — доц., канд. физ.-мат. наук Б. М. Веретенников
 

В93
    Высшая математика : учебное пособие / В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, 
М. М. Михалева, Ю. В. Шапарь, И. А. Шестакова.— Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2016. — Ч. I. — 296 с.

ISBN 978-5-7996-1779-0 (ч. 1)
ISBN 978-5-7996-1778-3

Учебное пособие включает в себя основные разделы высшей математики: введение 
в математический анализ, теория функций одной переменной, теория функций 
нескольких переменных, векторная алгебра, аналитическая геометрия. После каждого 
раздела предлагаются упражнения для самостоятельного решения. Предназначено 
для студентов инженерных направлений и специальностей УрФУ.

Библиогр.: 10 назв. Табл. 5. Рис. 92.
УДК 51(075.8)
ББК 22я73

ISBN 978-5-7996-1779-0 (ч. 1) 
© Уральский федеральный 
ISBN 978-5-7996-1778-3 
     университет, 2016

Учебное издание

Белоусова Вероника Игоревна, Ермакова Галина Михайловна, 
Михалева Марина Михайловна, Шапарь Юлия Викторовна, 
Шестакова Ирина Александровна

ВысШая МатЕМатика

Редактор Н. П. Кубыщенко
Верстка О. П. Игнатьевой

Подписано в печать 25.05.2016. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Печать цифровая. Гарнитура Newton.
Уч.-изд. л. 10. Усл. печ. л. 17,2. Тираж 200 экз. Заказ 127.

Издательство Уральского университета 
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5. Тел.: 8(343)375-48-25, 375-46-85, 374-19-41. E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620075, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4. Тел.: 8(343) 350-56-64, 350-90-13. Факс: 8(343) 358-93-06
E-mail: press-urfu@mail.ru

Оглавление

Список обозначений .................................................................6

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ .............................................7
1. Множества. Операции над множествами ............................7

1.1. Элементы теории множеств. Основные определения ...7
1.2. Операции над множествами ..........................................8

2. Функции. Элементарные функции ...................................12

2.1. Способы задания функции..........................................13
2.2. Некоторые свойства функции .....................................13
2.3. Элементарные функции ..............................................15
2.4. Построение графиков функций с помощью 
        их свойств ....................................................................22
2.5. Гиперболические функции .........................................28

3. Числовые последовательности ..........................................31
4. Предел последовательности. Предел функции .................34

4.1. Основные определения и теоремы ..............................34
4.2. Вычисление пределов ..................................................44
4.3. Сравнение бесконечно малых функций .....................48
5. Непрерывность функции ...................................................53

5.1. Точки разрыва функции ..............................................53
5.2. Непрерывность функции на множестве .....................55

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 
                ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .........................................60
1. Производная и дифференциал функции ..........................60
1.1. Дифференцируемость функции в точке .....................61
1.2. Приложения производной к задачам геометрии 
        и механики ...................................................................63
1.3. Правила дифференцирования ....................................64
1.4. Обратная функция. Производная обратной 
        функции .......................................................................65
1.5. Техника дифференцирования .....................................68
1.6. Логарифмическое дифференцирование .....................72

Оглавление

2. Дифференцирование функций, заданных неявно 
      и параметрически ..............................................................76
3. Производные и дифференциалы высших порядков .........78
3.1. Производные высших порядков .................................78
3.2. Дифференциалы высших порядков ............................80
4. Формула Тейлора ...............................................................82
5. Правило Лопиталя ..............................................................88
6. Исследование функций. Построение графиков ...............92

Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
                ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......99
1. Основные понятия .............................................................99
2. Предел и непрерывность функции нескольких 
      переменных ......................................................................108
3. Производные и дифференциалы функций 
      нескольких переменных ..................................................116
3.1. Частные производные первого порядка и полный 
        дифференциал функции нескольких переменных ..116
3.2. Дифференцирование сложных функций ..................130
3.3. Дифференцирование неявно заданных функций ....137
3.4. Производная по направлению. Градиент .................141
4. Производные и дифференциалы высших порядков .......146
4.1. Производные высших порядков ...............................146
4.2. Дифференциалы высших порядков ..........................154
4.3. Формула Тейлора для функции нескольких 
        переменных ................................................................159
5. Экстремум функции нескольких переменных ................165
5.1. Локальный экстремум функции нескольких 
        переменных ................................................................165
5.2. Абсолютный экстремум функции нескольких 
        переменных ................................................................172
5.3. Условный экстремум функции нескольких 
        переменных ................................................................175

Оглавление

Глава 4. АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ...179
1. Векторная алгебра ............................................................179

1.1. Определители второго и третьего порядка ...............179
1.2. Векторы. Проекция вектора на ось. Скалярное 
        произведение векторов ..............................................183
1.3. Векторное произведение векторов ............................189
1.4. Смешанное произведение векторов .........................192

2. Аналитическая геометрия ................................................196

2.1. Уравнение плоскости ................................................196
2.2. Уравнения прямой в пространстве ...........................198
2.3. Метрические задачи аналитической геометрии 
        в пространстве ...........................................................200
2.4. Уравнения прямой на плоскости ..............................208
2.5. Кривые второго порядка ...........................................209
2.6. Поверхности второго порядка ...................................217

3. Алгебраические структуры ...............................................222

3.1. Понятие алгебраической структуры .........................222
3.2. Комплексные числа ...................................................225
3.3. Кольцо многочленов .................................................230
3.4. Алгебра матриц ..........................................................238
3.5. Определители n-го порядка .......................................253

4. Строение линейного пространства .................................258

4.1. Определение линейного пространства .....................258
4.2. Линейная зависимость ..............................................261
4.3. Конечномерное линейное пространство ..................266
4.4. Ранг матрицы .............................................................270
4.5. Общая теория систем линейных уравнений (СЛУ)..283

Список литературы ...............................................................296

Список обозначений

a b
x
R a
x
b
;
{
:
}
(
) =
О
<
<
 — интервал;

a b
x
R a
x
b
;
{
:
}
(
] =
О
<
Ј
 — полуинтервал;

a b
x
R a
x
b
;
:
[
] =
О
Ј
Ј
{
} — сегмент (отрезок);

a b
x
R a
x
b
;
{
:
}
[
) =
О
Ј
<
 — полусегмент;

Здесь a b
,  — действительные числа, a
b
< ;  множества — числовые 
промежутки.
" — для всех, для любого;
$  — существует, найдется;
$! — существует (найдется) единственный;
знак Ы  заменяет выражение «тогда и только тогда, когда»;
знак Ю  заменяет выражение «следует», «следовательно»;

Глава 1.  
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1. Множества. Операции над множествами

1.1. Элементы теории множеств. Основные определения

Множество является одним из неопределяемых понятий математики. 
Под множеством понимают совокупность некоторых 
объектов, объединенных общим признаком, свойством. 
Например, множество натуральных чисел, множество действительных 
чисел, множество функций, непрерывных на отрезке, 
множество многочленов с действительными коэффициентами 
степени, не превышающей n . Объекты, составляющие множество, 
называются его элементами.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского 
алфавита A B C
, , , …Элементы множества обозначают 
строчными буквами a, b, c, …
Утверждение «элемент a принадлежит множеству A » символически 
записывается как a
A
О
, а «элемент a не принадлежит 
множеству A » символически записывается как a
A
П
.
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, 
называется пустым и обозначается символом Ж .
Определение. Множество Bназывается подмножеством 
множества A , если все элементы множества B  принадлежат 
множеству A . Обозначение: B
A
Н
.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

Определение. Множества A и B называются равными, если 

B
A
Н
 и A
B
Н
. Обозначение: A
B
=
.
Определение. Подмножество Bмножества A  называется 
собственным, если существует элемент множества A , не принадлежащий 
множеству B . Обозначение: B
A
М
.
Утверждение. Пустое множество Ж  является подмножеством 
любого множества, т. е. Ж М B , а любое множество — несобственное 
подмножество самого себя, т. е. B
B
Н
.
Если в задаче рассматриваются подмножества одного 
и того же множества, то это множество называется универсальным 
и обозначается через U .
Например, числовые промежутки — подмножества множества 
R , в этом смысле R  — универсальное множество.
Множество можно задать либо перечислением всех его элементов, 
либо указанием характеристического свойства элементов 
множества.
Например, множество A = {a; b; c; d} — задано перечислением 
его четырех элементов. Множество X
x
N x
=
О
<
{
:
}
5  состоит 
из натуральных чисел таких, что элементы множества меньше 
5, т. е. X ={
}
1 2 3 4
; ; ;
.

1.2. Операции над множествами

1. Объединение (сумма) множеств A  и B  
(обозначается A
B
И
) есть множество, каждый 
элемент которого принадлежит множеству A  или множеству B  (хотя бы одному 
из объединяемых множеств), т. е. 
A
B
x x
A
x
B
И
=
О
О
{
}
:
или 
. Соответствующая 
диаграмма приведена на рис. 1.1.

Пример 1. Если A ={
}
1 3 5 7
; ; ;
 и B ={
}
2 4 6 8
; ; ;
, то A
B
И
 = 

= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Рис. 1.1

1.2. Операции над множествами

Запись x
A
B
П
И
 означает, что x
A
П
 и 

x
B
П
 (одновременно).

2. Пересечение (произведение) множеств A  
и B  (обозначается A
B
З
) есть множество, 
каждый элемент которого принадлежит 
множеству A  и множеству B  одновременно, 
т. е. A
B
x x
A
З
=
О
{ :
и x
B
О
} . Соответствующая диаграмма 

приведена на рис. 1.2.

Пример 2. Если A = (
)
1 3
;
 и B =[
]
0 2
;
, то A
B
З
= (
]
1 2
;
.

Запись x
A
B
П
З
 означает, что x
A
П
 или x
B
П
 (хотя бы одному 
из двух множеств).

3. Разность множеств A
B
\
=  {x : x О A 
и  х П В, т. е. это множество, каждый элемент 
которого принадлежит множеству A  
и не принадлежит множеству B . Соответствующая 
диаграмма приведена на рис. 1.3.

Пример 3. 
Если A =[
]
0 3
;
 и B =  , то A
B
\
;
;
;
=[
)И(
)И(
)
0 1
1 2
2 3 .

4. Иногда рассматривается симметрическая 
разность двух множеств: А D В = 

A
B
B
A
D
= (
)З(
) =
\
\
=
И
(
)
З
(
)
A
B
A
B
\
. 
Соответствующая 
диаграмма приведена 
на рис. 1.4.
5. Если U  — универсальное множество  
и A
U
М
, то дополнение множества A  
(до универсального множества) есть разность 
U
A
A
\
=
. Геометрически множество A  соответствует 
всем тем точкам из U , которые 

не принадлежат A : A
x x
U
x
A
=
О
П
{
}
:
и
. Соответствующая 
диаграмма приведена на рис. 1.5.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

свойства операций над множествами:
1. A
B
B
A
A
B
B
A
И
=
И
З
=
З
;;

2. 
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
И
(
)И
=
И
И
(
)
З
(
)З
=
З
З
(
)
;;

3. 
A
B
C
A
C
B
C
И
(
)З
=
З
(
)И
З
(
) ;

 
A
B
C
A
C
B
C
З
(
)И
=
И
(
)З
И
(
) ;

4. A
A
A
A
A
A
И
=
З
=
;;

5. A
A
A
ИЖ =
ЗЖ = Ж
;;

6. Законы де Моргана: A
B
A
B
A
B
A
B
И
=
З
З
=
И
;
.

Приведем примеры числовых множеств:
 =
ј
ј
{
}
1 2 3
, , ,
,
n
 — множество натуральных чисел;

 = ј -
-
-
ј
{
}
,
,
,
, , , , ,
3
2
1 0 1 2 3
 – множество целых чисел;

 =
О
О
мно
ьэю

n
m n
Z m
N
,
,
— множество рациональных чисел;

  – множество иррациональных чисел (чисел, не являющихся 
рациональными);

 = -
+
(
)
Ґ
Ґ
;
 — множество действительных чисел.

Пример 4.
На плоскости Oxy  построить множества A , B , A
B
З
, 

A
B
И
, A
B
\
, B
A
\
, A B
D
, где A
x y
x
y
= (
)
Ј
+
Ј
{
}
,
:1
9
2
2
, 

B
x y
x
= (
)
<
<
{
,
:
}
1
2 .

Решение.
На рис. 1.6 представлено множество A . На рис. 1.7 — множество 
B .
На рис. 1.8 показан результат объединения множеств A  и 

B  — A
B
И
. На рис. 1.9 представлен результат пересечений множеств 
A  и B  — A
B
З
.

1.2. Операции над множествами

На рис. 1.10 и 1.11 представлены результаты 
разности A
B
\
 и B
A
\
 соответственно.

На рис. 1.12 представлен результат симметрической 
разности множеств A  и B  — 
A B
D
.

Упражнения для самостоятельной подготовки

1. Для каких множеств пустое множество является собственным (
несобственным) подмножеством?

2. Для множеств A , B , C  найти множества A
B
C
D
И
(
)З
=
, 

A
C
B
K
З
(
)
=
З
, представить множества на числовой оси Ox .

Рис. 1.6

Рис. 1.9

Рис. 1.7

Рис. 1.10

Рис. 1.8

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

а) A =[
)И{
}
0 2
3 4
,
;
, B = (
)
1 4
;
, C =  ;

б) A = -[
)
2 0
;
, B = -
-
(
)И{
}
3
1
1 2 3
;
; ;
, C =  ;

в) A =[
)И{ }
1 3
4
,
, B = -
(
)И{
}
1 4
1 2 3
;
; ;
, C =  ;

г) A = -[
)И(
]
2 3
5 6
;
;
, B
n n
={ } =1

10 , C =  .

3. На плоскости Oxy  построить множества A , B , A
B
З
, 

A
B
И
, A
B
\
, B
A
\
, A B
D
, где

а) A
x y
x
y
= (
)
+
Ј
{
}
,
:
2
2
4
4 , B
x y
x
y
= (
)
+
>
{
,
:
}
2
1 ;

б) A
x y
x
y
= (
)
+
Ј
{
}
,
:
2 , B
x y
y
x
= (
)
і
-
{
}
,
:
1 ;

в) A
x y
x
y
= (
)
-
Ј
{
}
,
:
1 , B
x y
x
y
= (
)
+
Ј
{
}
,
:
2
2
1 ;

г) A
x y
x
= (
)
+
Ј
{
}
,
: 2
3
4 , B
x y
y
= (
)
Ј
Ј
{
}
,
:1
2 .

2. Функции. Элементарные функции

Определение. Функцией f , действующей из множества X  

во множество Y , называется правило, по которому каждому 
элементу множества X  ставится в соответствие единственный 
элемент множества Y : y
f x
=
( ) .

Множество X  называется областью определения функции 

f , множество f A
y
Y
x
X y
f x
( ) =
О
$ О
=
( )
{
}
:
— областью значений 
функции f .

Введем ряд обозначений. Если задана функция f , которая 

определена на множестве X  и принимает значения в множестве 
Y , то

· f
X
Y
:
®
 или X
Y

f
®
;

2. Функции. Элементарные функции

· область определения функции f  (множество X ) обозначается 
D f( ) ;

· область значений функции f  (множество Y ) обозначается 
R f
E f
( )
( )
(
).

2.1. Способы задания функции

Наиболее часто встречаются следующие три способа задания 
функций: табличный, графический и аналитический.
При табличном способе задания функции составляется та-
блица, в которой указывается ряд значений аргумента и соот-
ветствующих значений функции.
При графическом способе задания дается график функции, 
при этом ее значения, соответствующие тем или иным значе-
ниям аргумента, непосредственно находятся из этого графика.
При аналитическом способе задания функция определяется 
с помощью аналитического выражения, т. е. с помощью фор-
мулы, указывающей, какие действия надо совершить над зна-
чением аргумента, чтобы получить соответствующее значение 
функции. Часто функция задается только с помощью аналити-
ческого выражения (формулы), без каких-либо дополнительных 
условий. В таких случаях под областью определения функции 
понимают совокупность всех тех значений аргумента, для ко-
торых это выражение имеет смысл и приводит к действитель-
ным значениям функции.

2.2. Некоторые свойства функции

Пусть дана функция y
f x
=
( ) . К основным свойствам функ-

ции относятся монотонность, периодичность, четность и огра-
ниченность.