Основы прикладной газовой динамики

Московский государственный технический университет 

имени Н. Э. Баумана 

 

 
 

В.

 

П. Строгалев, И.

 

О. Толкачева, Н.

 

В. Быков 

 
 
 

Основы прикладной газовой динамики 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 

УДК 662.764(075.8) 
ББК 22.365 
С86 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/78/book211.html 
 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Ракетные и импульсные системы» 

Рекомендовано 
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н. Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 

 
Рецензенты:  
д-р техн. наук, профессор В. Е. Смирнов,  
канд. техн. наук, доцент С. В. Ладов 

 
Строгалев, В. П.  
  
 
   Основы прикладной газовой динамики : учебное пособие / 
В. П. Строгалев, И. О. Толкачева, Н. В. Быков. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 172, [2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3980-5 

Изложены основы прикладной газовой динамики на базе фундаментальных 
трудов известных авторов, заложивших основы этой 
науки. Описаны методы построения моделей течения газовых потоков, 
которые будут полезны при проектировании как ракетных, так и 
ствольных систем. Приведены опорные формулы, что позволит читателю 
легко получить окончательный результат. 
Для студентов, изучающих курс «Прикладная газовая динамика», 
а также научных работников и инженеров. 
 
УДК 662.764(075.8) 
ББК 22.365 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3980-5 
    МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

С86 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Предлагаемое учебное пособие рекомендуется студентам, изучающим 
курс «Прикладная газовая динамика». Пособие может 
быть использовано при курсовом и дипломном проектировании, а 
также при выполнении домашних заданий. 
Современная газовая динамика представляет собой обширную 
физико-математическую дисциплину в системе знаний о поведении 
сплошных легкоподвижных сред. Объект изучения газовой динамики — 
свойство сжимаемости среды. В реальных условиях проявление 
сжимаемости сопровождается другими, во многих случаях не 
менее важными свойствами среды, такими как вязкость, теплопроводность, 
способность к химическим реакциям и т. д.  
Область практического приложения результатов и выводов газовой 
динамики весьма обширна. Она охватывает процессы и явления, 
происходящие в газе (воздухе) при движении летательных 
аппаратов, снарядов и ракет, при истечении газовых струй, при 
протекании газа через газовые турбины и компрессоры, при взры-
ве и детонации взрывчатых веществ, при распространении удар-
ных волн и их воздействии на препятствия, при формировании ку-
мулятивных струй, при волновых движениях на поверхности 
водоемов, при формировании погоды в атмосфере Земли и т. д. 
Как и в любой другой физико-математической дисциплине, в 
газовой динамике выделяют экспериментальное и теоретическое 
направления. Теоретическая газовая динамика, опираясь на ре-
зультаты экспериментов, прямое наблюдение и регистрацию па-
раметров газодинамических процессов, позволяет предсказать ход 
явления на основе анализа его математической модели и примене-
ния подходящего расчетного метода.  
Основоположниками теоретической газовой динамики считают 
немецкого математика Б. Римана (1826−1866), впервые обосно-

вавшего теорию явления образования и распространения сильного 
разрыва посредством решения дифференциальных уравнений га-
зовой динамики, и замечательного русского ученого-механика 
С.А. Чаплыгина (1869−1942), разработавшего метод исследования 
установившихся течений газа (метод Чаплыгина). Мы не упомина-
ем имена других ученых, внесших вклад в методологию исследо-
вания и предложивших конструктивные подходы к решению акту-
альных газодинамических задач. 
Принципиальной особенностью газодинамических процессов, 
создающей значительные трудности при теоретическом исследо-
вании, является их нелинейность, что отразилось в многообразии 
методов анализа и конкретных закономерностей, не укладываю-
щихся в стандартную схему. В теоретической газовой динамике 
особенно остры проблемы адекватности модели явлению, что ча-
стично снимается применением численных методов, получивших с 
развитием быстродействующих ЭВМ широкое распространение. 
Многообразие явлений, фактов, методов и трудности анализа 
привели к тому, что в газовой динамике сложился ряд самостоя-
тельных направлений исследований со своими школами и преем-
ственностью. Несомненно, это обстоятельство накладывает отпе-
чаток и на преподавание курса «Прикладная газовая динамика» в 
различных вузах. Явно ощущается отсутствие достаточно просто-
го базового учебного пособия. 
В настоящей работе сделана попытка восполнить этот пробел, 
при этом материал пособия охватывает содержание обязательного 
годового курса лекций, который вместе с упражнениями должен 
быть изложен примерно за 85 учебных часов, что наложило отпе-
чаток на отбор материала и способ его изложения. 
Почти весь изложенный материал можно найти в известных 
учебниках и монографиях, приведенных в списке литературы 
[1–13].  
От изучающего газовую динамику требуется определенная 
общая математическая культура и навыки математического анали-
за, развиваемые на первых двух курсах технических университе-
тов. Все специфические понятия, термины и обозначения разъяс-
нены непосредственно в тексте. Примеры, приведенные в пособии, 
даны с целью проверки усвоения материала и способности студен-

та самостоятельно решать частные вопросы, органически примы-
кающие к основному тексту. 
В гл. 1 изложены основные уравнения сохранения газовой ди-
намики, введены специальные понятия, такие как энтропия, эн-
тальпия и пр. Гл. 2 посвящена теории прямых и косых скачков 
уплотнения. В гл. 3 рассмотрены течения в соплах при различных 
режимах истечения, течения с непрерывным увеличением скоро-
сти. Гл. 4 посвящена изучению одномерных течений газа, расчету 
газовых течений с помощью газодинамических функций, в ней 
рассмотрены общие условия перехода к сверхзвуковому течению и 
обратно, а также исследуется распространение детонации и горе-
ния в газах. В гл. 5 даны примеры применения уравнений при-
кладной газовой динамики. В гл. 6 рассмотрена общая теория не-
стационарного движения газа. Приведены в общей постановке 
основные уравнения сохранения газовой динамики. Гл. 7 посвя-
щена вопросам исследования течений в ламинарном и турбулент-
ном пограничных слоях. Рассмотрены специальные виды течений 
с отрывом пограничного слоя, а также при взаимодействии его со 
скачком уплотнения. Даны простейшие методики расчета струй-
ных течений. В приложении приведены основные формулы, ис-
пользуемые в качестве справочного материала при решении задач 
прикладной газовой динамики. 
Главы 1−5 и 7 написаны В.П. Строгалевым и И.О. Толкачевой, 
глава 6 и приложение — Н.В. Быковым. 

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ  
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 

1.1. Уравнение неразрывности 

Основные уравнения газовой динамики будут выведены для 
элементарной струйки газа, поперечные размеры которой 
настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать посто-
янными все основные параметры потока: скорость, давление, 
температуру и плотность газа. Именно в таком виде уравнения 
газовой динамики обычно применяются в теории реактивных 
двигателей. В тех случаях, когда в пределах поперечного сечения 
рабочей струи параметры потока изменяются (в частности, не-
одинаковы значения скорости или температуры), вводится пред-
ставление о средних по сечению значениях этих величин, и тогда 
с помощью соответствующих поправок удается использовать все 
уравнения, полученные для элементарной 
струйки. Чтобы получить уравнение нераз-
рывности, рассмотрим стационарное (уста-
новившееся) движение элементарной струй-
ки газа (рис. 1.1) [1]. 
При стационарном движении в любой 
точке пространства сохраняются неизменны-
ми по времени скорость движения и парамет-
ры состояния газа или жидкости (плотность, 
давление, температура). Траектории частиц 
при таком движении называются линиями то-
ка. Отметим, что при неустановившемся дви-
жении линии тока определяются иначе и не 
совпадают с траекториями частиц. Боковая 

Рис. 1.1. Элемен-
тарная струйка 

поверхность струйки, носящая название поверхности тока, для 
жидкости (газа) непроницаема (векторы скорости течения касатель-
ны к ней); образующие поверхности тока являются линиями тока. 
Рассмотрим участок струйки между двумя нормальными к по-

верхности тока сечениями 1 и 2; заметим, что в соответствии с 
указанным на рис. 1.1 направлением движения в объеме 1−2 при-
ток газа осуществляется только через поперечное сечение 1, а рас-
ход газа — только через сечение 2. 
За бесконечно малый промежуток времени dτ выделенная 

часть струйки переместится в новое положение 1′−2′. Перемеще-
ние состоит в том, что за время dτ заштрихованный объем 1′−2 
вместит газ, вытесненный из области 1−1′, а известное количество 
газа за то же время вытечет из этого объема и заполнит область 
2−2′. Приток газа в объем 1′−2 составляет 

 
1
1 1
1, 
dm
F dl
= ρ
 

где m1 — масса газа; 
1
ρ  — плотность газа в поперечном сечении 1; 

1F  — площадь поперечного сечения 1. Расстояние 
1
dl  между се-

чениями 1 и 1′ равно произведению скорости движения на элемен-
тарный промежуток времени:
1
1
,
dl
d
=
τ
υ
 где 
1
υ — скорость в сече-

нии 1, откуда 
1
1 1 1
.
dm
F d
= ρ
τ
υ
 Расход газа из объема 1′−2 равен, 
очевидно, 
2
2
2
2
.
dm
F d
= ρ
τ
υ
 
При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплошно-
сти в движущейся среде приход газа должен равняться расходу: 

1
2
 
.
dm
dm
dm
=
=
Отсюда после соответствующего приравнивания 

расходов получаем уравнение неразрывности (закон сохранения 
массы) для единичной струйки газа при установившемся течении: 

1 1 1
2
2
2.
F
F
ρ
= ρ
υ
υ
 
Для несжимаемой жидкости, т. е. при ρ = const, это уравнение 
принимает более простую форму, которая применима к газовым 
течениям в тех случаях, когда изменениями плотности газа можно 
пренебречь. На основании уравнения неразрывности можно за-
ключить, что в местах сужения потока его скорость падает.  
Уравнение 
постоянства 
расхода 
газа 
const 
m
F
= ρ
=
υ
 
можно представить также в дифференциальной форме: dm =

.
dF
Fd
Fd
= ρ
+
ρ + ρ
υ
υ
υ  Поделив почленно это соотношение на 
,
F
ρυ
 получим 

 
.
dm
d
d
dF
m
F
ρ
=
+
+
ρ
υ
υ
 

Уравнение неразрывности, так же как и уравнение энергии, 
выводимое для единичной струйки, широко применяют при расче-
те газопроводов, гидравлических и энергетических каналов, тру-
бопроводов, реактивных двигателей и различных аппаратов, в ко-
торых происходит движение газа или жидкости. В этих случаях 
под единичной струйкой понимают не часть общего течения, 
ограниченную поверхностью тока малого сечения, а весь поток 
жидкости или газа. 

1.2. Уравнение энергии 

Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения 
энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе коор-
динат (см. рис. 1.1), т. е. рассмотрим преобразование энергии в 
одной и той же массе газа, вначале заполнявшей объем 1−2, а че-
рез бесконечно малый промежуток времени dτ переместившейся в 
положение 1′−2′. 
Приращение любого вида энергии равно разности количеств 

энергии этого вида в положениях 1′−2′ и 1−2. Ввиду того что за-
штрихованный объем 1′−2 является общим для этих двух положе-
ний, энергия массы газа, заполняющей объем 1′−2, при вычитании 
сокращается и приращение энергии измеряется разностью коли-
честв энергии в бесконечно малых объемах 2−2′ и 1−1′. Отсюда 
следует, что приращение кинетической энергии  

 
 

2
2
2 
1
к
,
2
dE
dm
−
= υ
υ
  

где 
 
dm  — массовый расход газа через поперечное сечение струй-
ки за время 
.
dτ   
Приращение потенциальной энергии (энергии положения)  

 
п
2
1
,
)
(
dE
g z
z dm
=
−
 

где g — ускорение свободного падения; 
2 
z и 
1z  — высоты распо-

ложения (нивелирные уровни) сечений 2 и 1.  
Приращение внутренней (тепловой) энергии  

 
т
1
2
,
)
(
dE
U
U
dm
=
−
  

где U
c T
=
υ
 — тепловая энергия единицы массы газа (произведе-
ние теплоемкости при постоянном объеме на абсолютную темпе-
ратуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одинакова, то 
прирост внутренней энергии 
т
2
1
(
)
.
dE
c T
T dm
=
−
υ
 
На основания выделенной части струйки газа действуют направ-

ленные внутрь и по нормали к ним внешние силы давления р. При 
перемещении газа внешние силы давления производят работу. 
Например, перенос газа из сечения 1 в сечение 1′ происходит как 
бы под действием поршня площадью 
1F  при давлении p1. Работа 

поршня за время 
 
dτ составляет 
1
1 1 1
1
.
p
p F
d
dm
τ = ρ
υ
 Точно так же 

можно представить, что давление 
2
p на сечение 2 осуществляется 
поршнем площадью 
2.
F  За время dτ газ переместит поршень в 

положение 2, произведя отрицательную работу: 
2
2
2
p F
−
υ = 

2

2
.
p dm
= − ρ
 

Силы давления, действующие на боковую поверхность струйки 
(поверхность тока), никакой работы не производят, так как они 
расположены по нормали к траекториям движения частиц газа. 
Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разно-
сти между работами поршня 1 и поршня 2: 

 
1
2
д
1
2
.
p
p
dE
dm
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
ρ
ρ
⎝
⎠
 

К газовой струйке на участке 1−2 за время dτ может быть под-

ведена теплота в количестве dW. Далее газовая струйка за время dτ 
может произвести техническую работу dl, например, приведя во 
вращение колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2. 

Наконец, следует учесть энергию, расходуемую газом за время  dτ 
на преодоление сил трения dlтр. 
Согласно первому началу термодинамики подведенные к газу 
тепловая энергия и работа сил давления расходуются на соверше-
ние технической работы, работы сил трения, а также на повыше-
ние запасов потенциальной, кинетической и внутренней энергии: 

 

2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
(
(
.
2
2
)
)
p
p
dW
dm
g z
z dm
U
U dm
dm
⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
+
−
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
ρ
ρ
⎝
⎠
⎝
⎠

υ
υ
 

Разделив все члены полученного выражения на dm, придем к 
уравнению энергии для единицы массы (1 кг) газа: 

 

2
2
1
2
2
1
тр
2
1
2
1
1
2
(
,
)
2
2
p
p
Q
L
L
g z
z
U
U
⎛
⎞
+
−
=
+
+
−
+
−
+
−
⎜
⎟
ρ
ρ
⎝
⎠

υ
υ
 

где 
/
Q
dW
dm
=
 — теплота, подводимая к 1 кг газа на участке 1−2; 

L = dl / dm — техническая работа, совершаемая 1 кг газа на том же 
участке; 
тр
/
L
dl dm
=
 — работа сил трения, приходящаяся на 1 кг 

газа. 
Приток теплоты в общем случае осуществляется двумя способами: 
извне (
нар
Q
) за счет теплообмена через боковую поверхность 
струйки, изнутри (
вн
Q ) за счет преобразования в теплоту 
работы трения. Таким образом, 
нар
вн.
Q
Q
Q
=
+
 Вторая часть теплового 
потока, очевидно, в точности равна энергии, расходуемой газом 
на совершение работы трения: 
вн
тр.
dQ
L
=
 

Из термодинамики известно уравнение состояния совершенного 
газа  
 
,
pw
RT
=
 

где R — газовая постоянная; удельный объем газа w — величина, 
обратная плотности: 
1/ .
w =
ρ  Отсюда 
/
.
p
RT
ρ =
  
Кроме того, известно соотношение, связывающее теплоемкость 
при постоянном объеме 
Vc
и теплоемкость при постоянном 
давлении 
:
p
c
 
.
V
p
c
c
R
=
+