Расчет на прочность общепромышленных сосудов и аппаратов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2020

С. В. Морданов

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ  
ОБЩЕПРОМЫШЛЕННЫХ 
СОСУДОВ И АППАРАТОВ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета  
для студентов вуза, обучающихся по направлению подготовки
18.03.02, 18.04.02 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы 
в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии»

УДК 66.023:539.4(075.8)
ББК 
30.121я73

 
М79

ISBN 978-5-7996-3037-9 
© Уральский федеральный университет, 2020

М79
Морданов, С. В.
Расчет на прочность общепромышленных сосудов и аппаратов : 
учебное пособие / С. В. Морданов ; Министерство науки и высшего 
образования Российской Федерации, Уральский федеральный 
университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина. —  Екатеринбург 
: Изд-во Урал. ун-та, 2020. — 236 с. : ил. —  Библиогр.: 
с. 231–235. — 100 экз. —  ISBN 978-5-7996-3037-9. —  Текст : непос-
редственный.

ISBN 978-5-7996-3037-9

В учебном пособии рассматриваются основы нормативного расчета 
на прочность и устойчивость технологических сосудов и аппаратов хими-
ческих, нефтехимических, пищевых и смежных производств в условиях 
статического нагружения. Приведены основные сведения о физике напря-
женного состояния, нормативной базе расчета на прочность сосудов и ап-
паратов химических и смежных производств. Рассмотрены методики нор-
мативного расчета на прочность основных узлов химико- технологического 
оборудования.
Предназначено для студентов бакалавриата и магистратуры, изучаю-
щих дисциплины «Расчет и конструирование химического оборудования», 
«Расчет на прочность элементов оборудования атомной промышленности».

УДК 66.023:539.4(075.8)
ББК 30.121я73

Ре ц е н з е н т ы:
отдел расчетов прочности и надежности машин и аппаратов
Свердловского научно- исследовательского института химического 
машиностроения (начальник отдела Я. С. Голуб);
Е. Ю. Мотовилов, ведущий инженер- конструктор
(ЗАО фирма «АЗОС», Екатеринбург)

На обложке:
Схема нагружения аппарата с мешалкой.  
Рисунок С. В. Морданова

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 
7

Введение 
8

1. Основы сопротивления материалов 
10
Принятые условные обозначения 
10
1.1. Основные физико-механические свойства  
и характеристики конструкционных материалов  
и конструкций 
11
1.2. Основные геометрические характеристики сечений 
19
1.3. Нагрузки, действующие на конструкции 
22
1.4. Узлы опирания и опорные реакции 
23
1.5. Статически определимые и статически  
неопределимые системы 
24
1.6. Растяжение-сжатие, изгиб, сдвиг и кручение 
27
1.7. Общие сведения об устойчивости 
31
1.8. Результирующие напряжения 
37

2. Основные положения нормативного расчета на прочность 
тонкостенных сосудов и аппаратов 
39
2.1. Нормативная база по расчету на прочность 
общепромышленных технологических сосудов и аппаратов 
39
2.2. Нагрузки, предусмотренные нормативным расчетом 
на прочность 
42
2.3. Этапы нормативного расчета на прочность,  
режимы нагружения и допускаемые напряжения 
47

3. Расчет на прочность цилиндрических и конических обечаек 
и выпуклых днищ и крышек 
54
Принятые условные обозначения 
54
3.1. Физические основы нормативного расчета оболочек 
на прочность 
55
3.1.1. Строение осесимметричных оболочек 
55
3.1.2. Общий случай напряженного состояния тонкостенной 
оболочки 
59
3.1.3. Основные положения безмоментной теории оболочек 
61
3.1.4. Упрощенный вывод уравнений равновесия  
тонкостенной осесимметричной оболочки 
62
3.2. Частные решения уравнений равновесия тонкостенной 
осесимметричной оболочки 
72
3.3. Пример нормативного расчета цилиндрической обечайки 
на прочность и устойчивость 
80

4. Расчет на прочность плоских днищ и крышек 
91
Принятые условные обозначения 
91
4.1. Физические основы нормативного расчета пластин 
на прочность 
92
4.1.1. Общие сведения об изгибе тонких пластин 
92
4.1.2. Упрощенный вывод уравнений изгиба тонкой пластины 93
4.2. Сферический изгиб тонкой пластины, нагруженной  
равномерно распределенной нагрузкой 
98
4.3. Пример нормативного расчета плоской крышки 
101

5. Локальные напряжения. Основы моментных методов  
расчета на прочность 
108
Принятые условные обозначения 
108
5.1. Локальные и средние напряжения,  
причины возникновения локальных напряжений 
109
5.2. Равновесие зон локальных напряжений оболочек.  
Общая последовательность решения краевой задачи 
111
5.3. Пример решения краевой задачи 
114

6. Укрепление отверстий в цилиндрических и конических  
обечайках и выпуклых днищах 
129
Принятые условные обозначения 
129
6.1. Физические основы нормативной методики укрепления 
отверстий 
130
6.2. Общая последовательность нормативного расчета 
по укреплению одиночных и взаимно влияющих отверстий 136
6.3. Пример нормативного расчета по укреплению одиночного 
отверстия 
137

7. Нормативный расчет на прочность и герметичность  
фланцевых соединений 
144
Принятые условные обозначения 
144
7.1. Напряженное состояние фланцевого соединения 
146
7.2. Общая последовательность нормативного расчета  
фланцевого соединения на прочность и герметичность 
150
7.3. Пример нормативного расчета фланцевого соединения 
на статическую прочность и герметичность 
152

8. Нормативный расчет на прочность элементов кожухотрубных 
теплообменников 
174
Принятые условные обозначения 
174
8.1. Напряженное состояние элементов кожухотрубного 
теплообменника 
176
8.2. Общая последовательность расчета на прочность 
кожухотрубного теплообменника с жесткими трубными 
решетками 
181
8.3. Пример расчета теплообменной камеры с жесткими  
трубными решетками 
182

9. Нормативный расчет на прочность опорных узлов  
сосудов и аппаратов 
198
Принятые условные обозначения 
198
9.1. Напряженное состояние опорных узлов 
200
9.1.1. Напряженное состояние при опирании  
на опорные лапы 
200

9.1.2. Напряженное состояние при опирании  
на опорные стойки 
201
9.1.3. Напряженное состояние при опирании  
на седловые опоры 
203
9.2. Общая последовательность нормативного расчета  
на прочность опорных узлов сосудов и аппаратов 
204
9.2.1. Общие сведения о расчете на прочность опорных узлов 204
9.2.2. Последовательность расчета узлов опирания  
на опорные лапы 
205
9.2.3. Последовательность расчета узлов опирания  
на опорные стойки 
206
9.2.4. Последовательность расчета узлов опирания  
на седловые опоры 
207
9.3. Примеры нормативного расчета на прочность  
опорных узлов сосудов и аппаратов 
208
9.3.1. Пример расчета узла опирания обечайки  
на опорные лапы 
208
9.3.2. Пример расчета узла опирания днища  
на опорные стойки 
212
9.3.3. Пример расчета узла опирания обечайки  
на седловые опоры 
215

Библиографические ссылки 
228

Библиографический список 
231

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии рассматриваются основы нормативного 
расчета на прочность тонкостенных сосудов и аппаратов в условиях 
статического нагружения. Его цель —  разъяснить основные прин-
ципы нормативного расчета общепромышленного оборудования, 
которое применяется на химических, металлургических, пищевых 
и смежных производствах.
Пособие состоит из девяти разделов. В разд. 1 в минимально 
необходимом объеме приведены основы сопротивления матери-
алов. В разд. 2 изложены общие положения нормативного расчета 
на прочность сосудов и аппаратов. Раздел 3 посвящен безмоментной 
теории оболочек и расчету на прочность и устойчивость цилиндри-
ческих и конических обечаек и выпуклых днищ и крышек. В разд. 4 
рассмотрены основы напряженного состояния тонких пластин при 
изгибе и нормативный расчет плоских днищ и крышек. В разд. 5 
рассказывается об отличиях средних и локальных напряжений, 
причинах возникновения локальных напряжений и общей методике 
расчета краевой задачи. Раздел 6 посвящен расчету на прочность 
днищ и крышек вблизи отверстий. В разд. 7 и 8 соответственно рас-
смотрены вопросы напряженного состояния и расчета фланцевых 
соединений и элементов кожухотрубных теплообменников. Раздел 9 
посвящен расчету опорных узлов сосудов и аппаратов.

ВВЕДЕНИЕ

Расчет на прочность сосудов и аппаратов химической про-
мышленности и смежных отраслей в России обеспечен обширной 
нормативной базой, основу которой составляют государственные 
стандарты ГОСТ 34233.1–2017 —  ГОСТ 34233.12–2017. В данных 
нормативных документах методики расчета элементов оборудова-
ния отрасли изложены достаточно полно и подробно. Приложения 
к государственным стандартам содержат необходимую для выпол-
нения расчетов на прочность справочную информацию по физико-
механическим свойствам очень большого количества конструкци-
онных материалов. Несмотря на некоторые недостатки (опечатки, 
редкие несоответствия обозначений на рисунках и в уравнениях), 
отечественная нормативная база по расчету на прочность сосудов 
и аппаратов является самодостаточной, универсальной и удобной 
для специалистов. Более того, когда нормативные методики явным 
образом не предусматривают выполнение тех или иных расчетов, 
общие принципы нормативного расчета позволяют в большинстве 
случаев выполнить необходимые расчеты элементов оборудования.
Возможно, единственным и самым существенным недостатком 
нормативных методик расчета сосудов и аппаратов на прочность 
является то, что в них никоим образом не объясняется физика 
напряженного состояния узлов оборудования, не объясняется, от-
куда взялись расчетные уравнения. Но такой упрек по отношению 
к нормативным документам несправедлив, поскольку у них нет цели 
объяснять физику. Тем не менее данное обстоятельство существенно 
затрудняет использование нормативных методик при отсутствии 
практического опыта их применения, т. е. в первую очередь при 
использовании студентами.

Существенную помощь в понимании физики напряженного 
состояния могут оказать различные учебные издания, например, ра-
боты З. Б. Канторовича, В. М. Говоркова, С. П. Тимошенко, М. Ф. Ми-
халева и других авторов. Однако данные работы часто писались 
в то время, когда нормативная база по расчетам сосудов и аппаратов 
на прочность была не столь универсальна и не так систематизи-
рована, как сегодня. Большинство такой литературы —  учебники 
по дисциплине «Расчет и конструирование». Помимо сведений 
о физике напряженного состояния они содержат справочные данные 
и нормативные и ненормативные методики по конструированию 
и расчетам, актуальные на момент написания работ. А нормы, пусть 
и не в плане физических основ, все же меняются. Кроме того, даже 
между ГОСТ Р 52857–2007 и заменившем его ГОСТ 34233–2017 
имеются существенные различия, которые могут отразиться на ре-
зультатах тех или иных расчетов. Поэтому если для студента, изуча-
ющего основы дисциплины, большой разницы между стандартами 
2007 и 2017 гг. нет, то в практическом плане разница может быть 
критичной. Автор настоятельно рекомендует читателю обращаться 
к учебной литературе для понимания физики напряженного состо-
яния, но практические расчеты выполнять только по актуальным 
нормативным методикам.
Различные справочные издания, например работы А. С. Тимо-
нина и А. А. Лащинского, также будут очень полезны при изучении 
дисциплины. Однако и к ним относятся те же замечания по норма-
тивным методикам, что и к учебной литературе.
В нашем учебном пособии мы рассмотрим основы напряжен-
ного состояния элементов и типовых узлов оборудования отрасли 
и связь между современными нормативными методиками расчета 
на прочность оборудования химической промышленности и физи-
кой напряженного состояния элементов этого оборудования.

1. ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Принятые условные обозначения

A 
—  площадь сечения, м2

E 
—  модуль упругости, Па
F 
—  сила, Н
G 
—  модуль сдвига, Па
I 
—  момент инерции сечения, м4

k 
—  линейная жесткость, Н/м;

 
 
характеристика жесткости стержня при изгибе, 1/м
L 
—  линейный размер, м
M 
—  изгибающий момент, м
Q 
—  сила, Н
q 
—  линейно распределенная нагрузка, Н/м
R 
—  реактивная сила, Н
S 
—  статический момент сечения, м · м2 (м3)
T 
—  крутящий момент, м
w 
—  момент сопротивления сечения, м3

x, y, z —  декартовы оси;
 
 
координаты вдоль декартовых осей, м
γ 
—  относительная деформация сдвига
Δl 
—  линейная деформация, м
μ 
—  коэффициент Пуассона
ε 
—  относительная нормальная деформация
ρ 
—  радиус изгиба, м
σ 
—  нормальное напряжение, Па
τ 
—  касательное напряжение, Па

1.1. Основные физико-механические свойства 
и характеристики конструкционных материалов 
и конструкций

Автор надеется, что читатель уже прослушал общие механи-
ческие специальные курсы, посвященные расчетам на прочность 
и напряженным состояниям конструкций (металловедение, сопро-
тивление материалов, детали машин и др.), но тем не менее счита-
ет необходимым привести в данном учебном пособии основные 
сведения о физике напряженного состояния и дать четкие и одно-
значные определения физико-механическим свойствам и основным 
характеристикам материалов и конструкций. Для более полного 
и строгого понимания рекомендуется обратиться к соответствую-
щей профильной литературе.
Напряженные состояния конструкций определяются нагрузка-
ми, действующими на них, свойствами конструкционных материа-
лов, строением конструкций (включая схему опирания). При рас-
четах на прочность, как и при любых других инженерных расчетах, 
очень важно понимать физический смысл терминов, которыми мы 
будем оперировать.
Под прочностью мы будем понимать способность конструкции 
сохранять работоспособность в заданном режиме нагружения. Дан-
ное определение достаточно широкое и может учитывать многие 
факторы, необходимые для нормальной работы конкретной кон-
струкции. У разных конструкций набор факторов, характеризующих 
работоспособность, может отличаться. В узком смысле прочностью 
называют свойство материала работать не разрушаясь, испытывая 
механические напряжения, возникающие под воздействием внеш-
них сил и моментов.
Жесткостью конструкции будем называть ее способность со-
хранять форму под нагрузкой, т. е. сопротивляться деформациям. 
Противоположную по смыслу и часто обратную по величине ха-
рактеристику будем называть податливостью.
Устойчивостью конструкции называют способность сохранять 
форму равновесия под нагрузкой. Для оболочек, напряженным 
состоянием которых мы будем заниматься в рамках нашего курса, 

сохранение формы равновесия означает сохранение постоянства 
радиусов кривизны меридиана оболочки и кольцевого сечения.
Под упругостью понимают способность конструкции восста-
навливать свою форму после снятия нагрузки. Таким образом, если 
после снятия нагрузки конструкция восстанавливает свою началь-
ную форму, деформации этой конструкции под нагрузкой называют 
упругими. Если конструкция после снятия нагрузки не восстанав-
ливает начальную форму полностью, деформации называют пла-
стическими.
Нормативные методики расчета на прочность сосудов и аппара-
тов чаще всего предназначены для расчета на прочность в области 
упругих деформаций. Более того, деформации в области действия 
расчетных уравнений нормативных методик часто прямо пропор-
циональны действующим на конструкцию нагрузкам, т. е. подчи-
няются закону Гука.
Закон Гука показывает связь между деформациями конструк-
ции и нагрузками, действие которых испытывает конструкция. 
Рассмотрим закон Гука для растяжения-сжатия стержня, а именно 
в одномерном, «школьном» виде:

 
,
F
k l
= ∆  
(1.1)

где F —  растягивающая или сжимающая сила, действующая на стер-
жень, Н; k —  линейная жесткость стержня, Н/м; Δl —  удлинение 
стержня, м.
Линейная жесткость стержня при растяжении-сжатии рассчи-
тывается по уравнению

 
,
EA
k
L
=
 
(1.2)

где L —  длина стержня в недеформированном состоянии, м.
Линейная жесткость стержня при работе на растяжение-сжатие, 
таким образом, зависит от его размеров (свойств конструкции) 
и от модуля упругости материала стержня (свойств материала). 
Модуль упругости E является одним из важных физико-механиче-
ских свойств конструкционных материалов, использующихся при 
расчетах на прочность. Он характеризует способность материала 

сопротивляться растяжению и сжатию. Для сталей значение модуля 
упругости составляет около 2 · 1011 Па (2 · 105 МПа).
В физике напряженных состояний часто пользуются не абсо-
лютными, а относительными деформациями:

 
.l
L
∆
ε =
 
(1.3)

Для характеристики нагруженных состояний пользуются не аб-
солютными нагрузками, так как при прочих равных условиях эле-
менты с разными площадями сечений воспринимают абсолютные 
нагрузки неодинаково, а напряжениями, т. е. нагрузками, распреде-
ленными в сечениях (отнесенными к площадям сечений):

 
.
F
A
σ =
 
(1.4)

Механические напряжения, таким образом, являются удельны-
ми характеристиками сил, действующих в сечениях. Механические 
напряжения бывают нормальными и касательными. Схема механи-
ческих напряжений для общего случая напряженного состояния 
в бесконечно малом элементе твердого тела представлена на рис. 1.1. 
Нормальными напряжениями называют напряжения, действующие 
на элементарных площадках вдоль нормалей к этим площадкам, 
касательными —  напряжения, действующие на элементарных пло-
щадках по касательным (вдоль площадок).
Нормальные напряжения возникают под действием растяже-
ния-сжатия и изгиба, касательные напряжения —  под действием 
кручения и сдвига (среза). Для лучшего понимания приведем анало-
гию, в которой деформациям сопоставим движение. Под действием 
внешних сил элементарный объем может перемещаться вдоль осей 
x, y, z или вращаться вокруг этих осей. Сопротивлению продольным 
перемещениям (деформациям) соответствуют нормальные напря-
жения, вращению (кручению) —  касательные напряжения.
Подставив выражения (1.2)–(1.4) в уравнение (1.1), получим

 
,
EA
F
l
EA
L
=
∆ =
ε  
(1.5)

откуда

 
или
 
.
E
E
σ
σ =
ε
ε =
 
(1.6)

Уравнение (1.6) является классической формой записи закона 
Гука для одномерного напряженного состояния. Для трехосного 
напряженного состояния без учета касательных напряжений закон 
Гука принимает вид

 
(
)
1
,
x
x
y
z
E
ε =
σ −µσ −µσ
 
(1.7)

 
(
)
1
,
y
y
x
z
E
ε =
σ −µσ −µσ
 
(1.8)

 
(
)
1
,
z
x
y
x
E
ε =
σ −µσ −µσ
 
(1.9)

где μ —  коэффициент Пуассона.

σz

Z

X
Y

σx
σy

τxz

τxy
τyx

τyz

τzx
τzy

Рис. 1.1. Схема механических напряжений для общего случая 
напряженного состояния в бесконечно малом элементе твердого тела