Выполнение домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика жидкости и газа». Часть 2. Гидродинамика

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана

А. С. Шабловский

Выполнение домашних заданий
и курсовых работ по дисциплине
«Механика жидкости и газа»

В двух частях

Часть 2
Гидродинамика

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2012

УДК 532.5(075.8)
ББК 22.253
Ш13
Рецензенты: А. Б. Ивашкин, А. В. Лепешкин

Шабловский А. С.
Ш13
Выполнение домашних заданий и курсовых работ по дисци-
плине «Механика жидкости и газа» : учеб. пособие: В 2 ч. —
Ч. 2: Гидродинамика. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2012. — 65, [3] с. : ил.
Изложены основные теоретические положения, описывающие движе-
ние жидких и газообразных сред. Приведены конкретные решения ти-
повых задач раздела «Гидродинамика». Рассмотрены режимы движения
жидкости, истечение через отверстия и насадки. Приведена методика рас-
чета местных сопротивлений, простых и сложных трубопроводов.
Для студентов машиностроительных факультетов МГТУ им. Н. Э. Бау-
мана, изучающих дисциплину «Механика жидкости и газа».
Содержание учебного пособия соответствует программам дисциплин,
преподаваемых в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

УДК 532.5(075.8)
ББК 22.253

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов,
обучающихся по направлению подготовки 141100 «Энергетическое
машиностроение» и изучающих дисциплину «Механика жидкости
и газа» (бакалавриат и специалитет).
Цель пособия — помочь студентам выработать навыки примене-
ния теоретических сведений к решению конкретных задач и, следо-
вательно, освоить практику гидравлических расчетов.
Каждый раздел пособия содержит краткие теоретические сведе-
ния, методические указания и примеры решения конкретных типо-
вых задач с количественными оценками и единицами измерения
различных параметров. В целом приведены подробные решения
19 разнообразных по тематике и степени сложности задач, с до-
статочной полнотой охватывающих основные разделы технической
гидромеханики.
Изучение изложенного в пособии материала с последующим
анализом степени влияния различных параметров на полученные
результаты в рассматриваемых конструкциях и системах поможет
студентам решать более сложные проблемы, возникающие при са-
мостоятельной работе.
Предлагаемый материал также может быть полезен студентам
других специальностей машиностроительных факультетов МГТУ
им. Н. Э. Баумана для решения частных задач при выполнении
домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика
жидкости и газа».

3

Единицы измерения физических величин

Международная система (СИ)

Величина
Единица измерения

Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение

Длина
L
метр
м

Масса
M
килограмм
кг

Время
T
секунда
с

Температура
-
кельвин
K

Площадь
L2
квадратный метр
м2

Объем
L3
кубический метр
м3

Скорость
LT −1
метр в секунду
м/c

Ускорение
LT −2
метр на секунду
в квадрате
м/с2

Угловая скорость
T −1
радиан в секунду
рад/с

Угловое
ускорение
T −2
радиан на секунду
в квадрате
рад/с2

Частота
T −1
герц
Гц

Частота вращения
T −1
оборот в секунду
об/с

Объемный расход
L3T −1
кубический метр
в секунду
м3/с

Плотность
ML−3
килограмм
на кубический
метр

кг/м3

Удельный объем
L3M −1
кубический метр
на килограмм
м3/кг

Количество
движения
MLT −1
килограмм-метр
в секунду
кг · м/с

Момент
количества
движения

ML2T −1
килограмм-метр
в квадрате
на секунду

кг · м2/с

Сила, вес
MLT −2
ньютон
Н

4

Окончание таблицы

Величина
Единица измерения

Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение

Момент силы
ML2T −2
ньютон-метр
Н · м

Импульс силы
MLT −1
ньютон-секунда
Н · с

Давление
ML−1T −2
паскаль
Па

Напор, потеря
напора
L
метр
м

Массовый расход
MT −1
килограмм
в секунду
кг/с

Работа, энергия
ML2T −2
джоуль
Дж

Мощность
ML2T −3
ватт
Вт

Модуль упругости
ML−1T −2
паскаль
Па

Динамическая
вязкость
ML−1T −1
паскаль-секунда
Па · с

Кинематическая
вязкость
L2T −1
квадратный метр
на секунду
м2/с

Поверхностное
натяжение
MT −2
ньютон на метр
Н/м

Удельная газовая
постоянная
L2T −2

−1
джоуль
на килограмм-
кельвин

Дж/(кг · K)

Удельная
теплоемкость
L2T −2

−1
джоуль
на килограмм-
кельвин

Дж/(кг · K)

1. Гидродинамика. Основные понятия
и определения

Основным объектом изучения гидродинамики является поток
жидкости, т. е. движение массы жидкости между ограничивающи-
ми твердыми поверхностями. Это может быть течение в открытых
руслах (безнапорное течение) или течение с потоками без свобод-
ной поверхности и с давлением, отличным от атмосферного (внутри
трубопроводов, насадков, элементов гидромашин и пр. — напорное
течение). Чаще всего исследуют внутренние течения жидкостей
и решают так называемую внутреннюю задачу в отличие от внеш-
ней задачи, связанной с внешним обтеканием тел сплошной средой,
которое имеет место при движении твердого тела в жидкости или
газе (воздухе). Последняя задача рассматривается в аэродинамике
и имеет свои специфические особенности.
Исследование движения жидких и газообразных сред является
более трудной и сложной задачей, чем исследование движения аб-
солютно твердого тела. Именно поэтому при таком исследовании
наряду с применением известных законов механики (в частности,
метода физического поля — метода Эйлера) часто практикуют по-
становку гидравлического эксперимента с целью получения экспе-
риментальных данных и согласования их с теоретическими выво-
дами для дальнейшего практического использования.
Для теоретических исследований в гидродинамике используют
несколько моделей жидкости. Ниже рассматриваются две из них:
а) несжимаемая невязкая жидкость (идеальная), для которой
плотность
-
= const, вязкость
-
= 0, касательное напряжение
-
= 0;
б) несжимаемая вязкая жидкость (нормальная, ньютоновская)
с параметрами
-
= const,
-
̸= 0,
-
̸= 0.

Пр им ечание. При определенных условиях могут быть использова-
ны модели сжимаемых вязких и невязких жидкостей (газов).

Течение жидкости может быть установившимся (стационарным)
или неустановившимся (нестационарным).

6

Установившееся течение — это течение, неизменное по време-
ни, при котором давление и скорость в точках рассматриваемого
пространства являются функциями лишь координат, но не зависят
от времени:

p = f1(x, y, z);
¯v = f2(x, y, z);
∂p
∂t = 0;
∂¯v
∂t = 0.

Неустановившееся течение — это течение, все характеристики
которого (или некоторые из них) изменяются во времени. В общем
случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как
от пространственного положения точек, так и от времени:

p = F1(x, y, z, t);
¯v = F2(x, y, z, t).

Расход — количество жидкости, протекающее через нормальное
(«живое») сечение потока в единицу времени. Это количество мож-
но измерять в единицах объема Q, в весовых G или массовых M
единицах. Для потока конечных размеров, когда скорость в общем
случае имеет различное значение в разных точках нормального се-
чения площадью F,
Q =

-
F
v dF.

Введя понятие vср — средняя скорость по сечению, имеем: vср =
= Q/F, тогда Q = vсрF — объемный расход, м3/с. Весовой расход,
Н/с, и массовый расход, кг/с, могут быть определены по выраже-
ниям
G =
gQ,
M =
Q.

При движении несжимаемой жидкости через любое поперечное
сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количе-
ство жидкости, следовательно, из закона сохранения массы

Q = vср1F1 = vср2F2 = const

(вдоль всего потока).
Это одно из основных уравнений гидродинамики — уравнение
постоянства расхода. Важно подчеркнуть, что указанное уравне-
ние является частным случаем общего закона сохранения вещества,
а также условием сплошности (неразрывности) течения.

7

Вторым важным уравнением, определяющим связь между дав-
лением и скоростью в движущемся потоке жидкости, является урав-
нение Бернулли. Энергетический смысл уравнения Бернулли для по-
тока идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль потока
полной удельной энергии жидкости. В частности, для двух про-
извольных поперечных сечений в случае установившегося движе-
ния идеальной жидкости и равномерного распределения скорости
по нормальному сечению можно записать следующее уравнение
энергетического баланса:

z1 + p1

g + v2
1

2g = z2 + p2

g + v2
2

2g ⇒ H1 = H2 = const

(вдоль всего потока), где H1, H2 — полная удельная механическая
энергия единицы веса перемещаемой жидкости, Дж/Н, или пол-
ный напор, м, включающий в себя соответственно геометрический,
пьезометрический и скоростной напор.
Для потока реальной вязкой жидкости следует учитывать
неравномерность распределения скорости по нормальному сече-
нию потока. В практических расчетах применяют понятие средней
скорости vср. При этом расчетное значение удельной кинетической
энергии потока получается несколько меньшим действительно-
го. Последнее обстоятельство отражают введением поправочного
коэффициента
-
(коэффициент кинетической энергии, учитываю-
щий неравномерность распределения скоростей, величина безраз-
мерная):

-
= 1

F

-
F

-
v

vср

3
dF.

При обычном распределении скоростей коэффициент
-
всегда
больше единицы, а при равномерном распределении скоростей ра-
вен единице.
Для ламинарного режима движения жидкости в круглых трубах

-
= 2, для турбулентного
-
∼= 1. В реальных условиях необходимо
учитывать также потери напора -
hп на участке от первого ис-
следуемого сечения до второго, обусловленные гидравлическими
потерями на трение hтр и потерями на местных гидравлических

8

сопротивлениях hм:
-
hп = hтр + hм.

С учетом изложенного выше уравнение Бернулли для случая
установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости записы-
вают в следующем виде:

z1 + p1

g +
1
v2
ср1
2g = z2 + p2

g +
2
v2
ср2
2g + Σhп,

где z1 и z2 — расстояния от выбранной горизонтальной плоскости
отсчета до центров соответствующих сечений, причем величина z
берется со знаком плюс, если центр сечения находится над плоско-
стью отсчета, и со знаком минус, если под ней; p1 и p2 — давления
в тех же точках (либо в абсолютной, либо в избыточной системе)
в этих сечениях; vср1 и vср2 — средние значения скоростей в этих же
сечениях.

Пр имечание. Уравнение Бернулли в таком виде применимо и для
движения газообразных сред при соблюдении одного из основных усло-
вий. Этим условием является малое значение скорости течения газа
по сравнению со скоростью распространения в нем звука.

Задача 1.1. В трубу с поршнем (рис. 1.1) необходимо всосать
за время t объем V жидкости, имеющей плотность
. При этом
нужно определить: а) с какой скоростью vп нужно перемещать
поршень? б) какую внешнюю силу P нужно при этом приложить
к поршню? в) какая работа A будет совершена при перемещении
поршня?

Рис. 1.1

9

Решение. При решении задачи принимаем следующие допу-
щения: жидкость несжимаема, движение установившееся, скорость
потока vп = const, процесс считается идеальным (гидравлическими
потерями напора пренебрегаем), жидкость невязкая, т. е. отсутству-
ет рассеяние механической энергии (она не переходит в теплоту),
и наконец, поршень идеальный (он движется в трубе без трения,
утечек нет).
Решение задачи предусматривает использование двух законов,
которые были приведены выше:
1) закон сохранения массы: Q = vF = const — уравнение посто-
янства расхода;

2) закон сохранения энергии: H = z + p

g + v2

2g = const — урав-
нение Бернулли.
Последнее утверждение кажется противоречивым. Действитель-
но, затрачиваем энергию для перемещения поршня, а полный напор
H = const. Почему энергия 1 кг жидкости в баке и энергия 1 кг
жидкости, перемещаемой в трубе за поршнем, одинакова? Объясне-
ние этому факту будет дано ниже.
а) Объемный расход, м3/с, может быть определен по форму-

ле Q = V

t . Тогда скорость поршня, м/с, равна vп = Q

F = V

t
4

D2 .
При всасывании жидкости в цилиндр сила P в ньютонах, кото-
рую нужно приложить к поршню, определяется значением вакуума
под поршнем. Исходя из условия равномерного движения поршня,
имеем

P = (pатм − pа)F = pв

D4

4 ,

где pа — абслютное давление; pв — давление вакуума.
Значение вакуума может быть определено из уравнения Бер-
нулли

z1 + p1

g + v2
1

2g = z2 + p2

g + v2
2

2g.

Выбрав сечения 1–1 и 2–2 и приняв за плоскость отсчета плос-
кость z = 0, совпадающую с уровнем жидкости в баке, получим

z1 = 0;
p1 = pатм;
v1 ∼= 0,

10