Свободные колебания консервативных нелинейных систем с одной степенью свободы

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

А.М. Гуськов, С.В. Яресько 

 
 
 
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 
КОНСЕРВАТИВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 

 
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2 0 0 9  

УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213 
Г968 
Рецензенты: Г.Я. Пановко, А.А. Головин  

 
Гуськов А.М., Яресько С.В. 
 
Ч 24 
        Свободные колебания консервативных нелинейных 
систем с одной степенью свободы: Учеб. пособие. — М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 44 с.: ил.  

ISBN 978-5-7038-3242-4   
Представлены системы с зазорами и системы с упругими элементами, 
имеющими начальные напряжения. Подробно рассмотрено 
построение кусочно-линейной силовой характеристики таких 
систем. Даны методы получения зависимости частоты от амплитуды 
колебаний на основе как точного решения по методу припасовывания, 
так и приближенного решения с помощью прямой линеаризации 
силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного  
и приближенного решений позволяет оценить возможности широко 
применяемых на практике методов линеаризации нелинейных  
систем. 
Для студентов 3-го курса механических специальностей, изу-
чающих первую часть курсов «Аналитическая динамика и теория 
колебаний» и «Теория механических колебаний». 
 
УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7038-3242-4 
  
 
     © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

 
Г968 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Представленное учебное пособие по теории нелинейных коле-
баний систем с одной степенью свободы предназначено для сту-
дентов механических специальностей. По традиции этот раздел 
относится к первой части курсов «Аналитическая динамика и тео-
рия колебаний» и «Теория механических колебаний», изучаемых 
после освоения полного курса «Теоретическая механика». 
В результате изучения свободных колебаний консервативных 
систем с кусочно-линейной силовой характеристикой студенты 
должны достичь понимания ангармонизма колебаний нелинейных 
систем. 
Учебные задачи, включенные в пособие, предполагают обяза-
тельную выработку навыков вывода уравнений нелинейных си-
ловых характеристик для комбинированных упругих систем. В 
пособии рассмотрены системы с зазорами и системы с упругими 
элементами, имеющими начальные напряжения. Зависимость 
частоты от амплитуды колебаний необходимо вычислить как на 
основе анализа точного решения, полученного методом припасо-
вывания, так и приближенно, применяя метод прямой линеариза-
ции силовой характеристики упругой системы. Сравнение точно-
го и приближенного решений позволяет оценить возможности 
широко применяемых на практике методов линеаризации нели-
нейных систем. 
Для более полного изучения теории нелинейных колебаний 
можно рекомендовать учебники и монографии, приведенные в 
списке литературы [1 – 8]. 

ВВЕДЕНИЕ 

В пособии рассматриваются механические системы, имеющие 
лагранжиан и уравнение движения соответственно 

 
2
1
( )
( , )
( )
,
2
U q
L q q
mq
U q
m q
q
∂
=
−
⇒
= −
∂

(1) 

где  q и m — обобщенные координата и масса системы; 
/
.
q
dq dt
=

Зависимость F(q) = ∂U(q) / ∂q называется силовой характери-
стикой упругого элемента, если потенциальная энергия U(q) есть 
энергия деформации конструкции, удерживающей обобщенную 
массу m. (В специальной литературе часто употребляют неудач-
ный термин «упругая характеристика», чтобы подчеркнуть, что 
речь идет об упругом элементе.) 
Предполагается, что в состоянии {
0 ,
0}
q
q
=
=
система находится 
в устойчивом положении равновесия: 

 

2

2
0
0

( )
( )
0,
0.

q
q

U q
U q
q
q
=
=

∂
∂
=
>
∂
∂
 
(2) 

Следовательно, свободные движения вблизи положения равновесия 
имеют колебательный характер и фазовые траектории 
( )
q q

являются замкнутыми. 
Один оборот по траектории осуществляется за время, называемое 
периодом колебаний Т. Первый интеграл рассматриваемых 
систем имеет смысл полной энергии  

 
2
0
1
( , )
( )
,
2
E q q
mq
U q
E
=
+
=

(3) 

т. е. для движений, удовлетворяющих уравнению (1), 
( , )/
dE q q
dt ≡

0
≡
. Постоянная интегрирования Е0 определяется начальными условиями. 
Если упругая характеристика симметричная, т. е. 
U(q)  = U(–q) и F(q)  =  –F(–q), фазовые траектории имеют симметричный 
вид относительно осей {
}
,
q q— рис. 1. 
 

 

Рис. 1. Фазовые траектории консервативной системы  
вблизи положения устойчивого равновесия {q = 0, qq. = 0}; E02 > E01 

 
Проинтегрируем вдоль четверти полного оборота (от точки 1 
до точки 2, см. рис. 1), уравнение (3), которое на этом участке 

можно представить в виде 
[
]
0
2
( )
dt
dq
m E
U q
=−
−
. Так как в 

точке 1 при t = 0 имеем Е0 = U(A),  

 

[
]
0

2
( )
4
;
( )
,
( )
2
( )
( )

A
dq
T A
A
T A
U A
U q
m

π
=
ω
=

−
∫
 
(4) 

при этом наибольшее отклонение называется амплитудой колебания 
A =  max(q): 
(
) (
)
{
}
,
(0)
,
(0)
0
(
2)
,
(
2)
0
.
q
A q
q T
A q T
=
=
= −
=

Если известна силовая характеристика F(q), то потенциальная 
энергия определяется как 

 

0
( )
(0)
( )
( )
( )
( )
.

q
A

q
U q
U
F x dx
U A
U q
F x dx
=
+
⇒
−
=
∫
∫
 
(5) 

Интеграл (4) в общем случае находится численно. Для линейных 
систем F(q)=cq, U(q) = c q2/ 2 + C и возможно интегрирование 

в замкнутой форме. Период колебаний не зависит от амплитуды: 

2
.
T
m c
= π
 Такие колебания называются изохронными. Параметр 
с  называется жесткостью характеристики. Жесткость нелинейных 
систем является локальной характеристикой и определяется 
как тангенс угла наклона силовой характеристики к оси q: 
c(q) = dF(q) / dq. Характеристика с возрастающей жесткостью 
[ dc(q) / dq > 0, q > 0 ] называется жесткой, с убывающей жесткостью [ 
dc(q) / dq < 0, q > 0 ] — мягкой.  
В общем случае уравнение движения имеет вид m d 2q / dt 2 =  
=  –F(q). Если ввести новый масштаб времени 
0
0 ,
t
t
F
mq
←
 
где {F0 , q0} — характерные значения силы и положения, то движение 
системы будет описываться безразмерным уравнением 
d 2x / dt 2= –f (x), x = q / q0, f = F / F0. Так как рассматриваемые сис-
темы консервативны, а нулевое положение устойчиво, все траек-
тории движения являются замкнутыми, т. е. осуществляются пе-
риодические движения с частотой колебаний зависящей от 

начальных условий: 
(
)
0
0
,
.
t
t
h x
dx dt
=
=
ω =
 Выбирая в дальнейшем 

начальные условия вида {
}
0
0
,
0 ,
t
t
x
A dx dt
=
=
=
=
 будем называть 

начальное отклонение А амплитудой колебаний. При этом предпо-
лагаем, что упругая характеристика является симметричной. Для 
получения размерных частоты и амплитуды нужно выполнить об-
ратное преобразование: 
0
0
0
,
F
mq
A
Aq
ω←ω
←
. 

Данное учебное пособие посвящено определению зависимости 
частоты колебаний от амплитуды ω(A). По традиции эта зависи-
мость называется скелетной кривой для соответствующей колеба-
тельной системы. Иногда удобнее рассматривать обратную функ-
цию A(ω). Для жесткой характеристики частота свободных 
колебаний возрастает с увеличением амплитуды, для мягкой убы-
вает. Принципиальный вид этих функций показан на рис. 2. 
При исследовании реальных нелинейных систем одну из ос-
новных трудностей представляет получение силовой характери-
стики. В первом разделе пособия дан обзор различных типов сило-
вых характеристик консервативных нелинейных систем. Второй 
раздел посвящен балочным системам с предварительно поджаты-

ми упругими опорами. Силовые характеристики таких систем яв-
ляются мягкими кусочно-линейными. Балочные системы с упру-
гими опорами при наличии зазоров подробно рассмотрены в 
третьем разделе. Такие системы обладают жесткими кусочно-
линейными силовыми характеристиками. 
 

 

Рис. 2. Общий вид зависимости частоты 
свободных колебаний от амплитуды для 
жесткой (кривая 1) и мягкой (кривая 2) 
систем 

В четвертом разделе настоящего пособия изложено точное ре-
шение задачи о свободных колебаниях систем с кусочно-
линейными силовыми характеристиками на основе метода припа-
совывания.  
В пятом разделе пособия рассмотрены вопросы практического 
применения различных методов линеаризации нелинейных систем. 
В приложении содержатся требования к выполнению домаш-
него задания по рассмотренной тематике. Представлены 24 прин-
ципиальные расчетные схемы и исходные данные для 72 вариан-
тов домашнего задания. 

1. ПРОСТЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ  
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ 
СВОБОДЫ. ОСНОВНЫЕ РАЗНОВИДНОСТИ  
ХАРАКТЕРИСТИК 

Изучение колебаний любой механической системы невозмож-
но без знания ее характеристики, т. е. зависимости между обоб-
щенным перемещением и обобщенной силой, соответствующей 
этому перемещению. Такая зависимость может быть получена 
двумя путями: 
1) аналитически — в результате рассмотрения статического 
равновесия системы под действием обобщенной силы (для доста-
точно простых систем); 
2) экспериментально — непосредственным измерением ста-
тического обобщенного перемещения под действием обобщенной 
силы (для особо сложных систем). 
Полученная характеристика может быть представлена в виде 
графика или формулы. При экспериментальном определении ха-
рактеристики формула является результатом той или иной аппрок-
симации экспериментальных данных. Представление характери-
стики в виде формулы необходимо при аналитическом изучении 
колебаний системы. 
На рис. 3 представлены простые нелинейные механические ко-
лебательные системы с одной степенью свободы и показаны гра-
фики их характеристик. 
На рис. 3, а изображена каретка, которая может смещаться в 
горизонтальном направлении без трения. В центре масс каретка 
шарнирно скреплена с имеющей жесткость с пружиной, длина которой 
по вертикали равна l при силе предварительного натяжения 
N0. Горизонтальная (обобщенная) сила F связана с горизонтальным (
обобщенным) перемещением х зависимостью 

Рис. 3. Разновидности нелинейных характеристик простых  
механических колебательных систем с одной степенью свободы 

0

2
2
(
) ,
N
cl x
F
cx
x
l

−
=
+
+
 
(6) 

которая при х, достаточно малом по сравнению с l, принимает вид 

 

3

0
0
3
1 (
)
.
2

x
x
F
N
cl
N
l
l
=
+
−
 
(6а) 

Вывод выражений (6) и (6а) подробно рассмотрен в [8, § 6]. 
Смена знака х влечет и смену знака F при сохранении соотношения 
между их абсолютными величинами, т. е. характеристика симметричная. 
Симметрия характеристики является отражением 
симметрии системы относительно вертикали х = 0. Вторая производная 
силы F по перемещению х является положительной: 

 

2
2
0
0
0
2
2
2
3
0;
3
0,
2
N
N
N
dF
x
d F
x
c
c
dx
l
l
l
l
dx
l
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
−
>
=
−
>
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
(6б) 

что легко заметить также на графике F(х), наклон которого постепенно 
увеличивается с ростом абсолютной величины х (см. рис. 3, а). 
Характеристика c положительной второй производной силы по пере-
мещению называется жесткой.  
На рис. 3, б показана подобная изображенной на рис. 3, а ка-
ретка, расположенная без зазора между двумя одинаковыми упру-
гими элементами. Каждый из них симметричен относительно го-
ризонтали, проходящей через центр масс каретки, и состоит из 
двух шарнирно скрепленных в нейтральном положении пружин, 
имеющих жесткость с и длину l. Пружины помещены в шарнирно 
опертые одним краем жесткие трубки, не допускающие искривле-
ния осей пружин при смещении каретки. Наклон пружин к гори-
зонтали в нейтральном положении равен α. Аналитическое выра-
жение характеристики  

 

2
2
2 ( cos
)
1
2
cos

l
F
c l
x
x
xl
l

⎡
⎤
=
α −
−
⎢
⎥

⎢
⎥
−
α +
⎣
⎦
 
(7) 

выводится аналогично выражению (6). При х, достаточно малом 
по сравнению с l, зависимость принимает вид