Продольные и крутильные колебания однородных стержней и валов

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

А.А. Пожалостин, А.В. Паншина  
 
 
 
Продольные и крутильные колебания  
однородных стержней и валов 

 
Методические указания к изучению курса лекций 
по дисциплине «Теория колебаний»  
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 534.113 
ББК 22.213 
         П46 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1399.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» имени профессора Н.Е. Жуковского 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук А.Н. Темнов 
 
 Пожалостин, А. А. 
Продольные и крутильные колебания однородных стержней 
 и валов : методические указания к изучению курса лекций по 
дисциплине «Теория колебаний» / А. А. Пожалостин, А. В. Пан-
шина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. 
— 30, [6] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4359-8 
 
Изложены предусмотренные учебным планом МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана основы теории колебаний. Рассмотрены вопросы, связанные с коле-
баниями распределенных одномерных механических систем: продольные 
и крутильные свободные и вынужденные колебания с постоянным перио-
дом. Материал сформирован в виде лекций. Предложены вопросы для 
самопроверки. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей. 
 
 УДК 534.113 
 ББК 22.213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4359-8                              
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

П46 

Предисловие 

Издание предназначено для самостоятельной работы студентов 
МГТУ им. Н.Э. Баумана при изучении дисциплины «Теория коле-
баний». Цель — ознакомить студентов с основами теории колеба-
ний, а преподавателей — с методикой преподавания этого курса, 
что, по сути, способствует формированию общекультурных и 
профессиональных компетенций. 
Общекультурные компетенции включают в себя: 
 владение целостной системой научных знаний об окружаю-
щем мире; 

 умение применять базовые положения теории колебаний в 
решении профессиональных задач; 

 способность использовать профессионально-ориентирован-
ную риторику, владеть методами создания понятных профессио-
нально-специализированных текстов; 

 способность работать в коллективе, в том числе и над меж-
дисциплинарными проектами; 

 умение на научной основе организовать свой труд, оценить с 
большой степенью самостоятельности результаты своей деятель-
ности; 

 способность получать и обрабатывать информацию из раз-
личных источников, готовность интерпретировать, структуриро-
вать и оформлять ее в доступном для других виде; 

 навыки работы с компьютером как средством управления, 
готовность работать с программными средствами общего назначе-
ния; 

 участие в работе над инновационными проектами с исполь-
зованием базовых методов исследовательской деятельности; 

 владение культурой мышления, склонность к обобщению, 
анализу, систематизации знаний, умение логически верно, аргу-
ментированно и ясно строить свою речь. 
К профессиональным компетенциям относятся: 
 в области проектно-конструкторской деятельности — спо-
собность и готовность проводить техническое проектирование с 
использованием знаний, умений и навыков, полученных при изу-

чении курса теории колебаний; готовность участвовать в состав-
лении технических заданий; 

 в области научно-исследовательской деятельности — спо-
собность и готовность принимать участие в научно-исследова-
тельских работах в качестве исполнителя, выполняя техническую 
работу с применением компьютерных технологий, умение и го-
товность обрабатывать результаты научно-исследовательской ра-
боты, оформлять материалы для получения патентов и авторских 
свидетельств, готовить к публикации научные статьи и оформлять 
технические отчеты; 

 в области экспериментальной деятельности — способность и 
готовность участвовать в разработке технического задания и про-
граммы проведения экспериментальных работ. 
В издании также рассмотрены продольные и крутильные коле-
бания однородных стержней и валов. Изложены вопросы, связан-
ные с колебаниями распределенных одномерных механических 
систем, с приближенными методами расчета систем с конечным 
числом степеней свободы, автоколебаниями, параметрическими 
колебаниями систем с одной степенью свободы. Рассмотрены ко-
лебания со строго постоянным периодом.  
Материал методических указаний сформирован в виде пяти 
лекций. Лекции содержат теоретическую часть с определениями и 
выводами основных уравнений и соотношений. Материал снабжен 
иллюстрациями. Предлагаются контрольные вопросы для само-
проверки. 

 

1. Вводная лекция 

В данном курсе рассматриваются вопросы теории колебаний 
применительно как к системам с сосредоточенными параметрами, 
т. е. к механическим системам с одной, двумя и n степенями сво-
боды (системы с конечным числом степеней свободы), так и к си-
стемам с распределенными параметрами, т. е. к механическим  
системам с бесконечным числом степеней свободы. 
В задачах на системы с распределенными параметрами рас-
сматриваются продольные и поперечные колебания балок, кру-
тильные колебания валов, в основном малые колебания механиче-
ских систем околоустойчивого положения равновесия. Случаи, 
когда движение системы не будет малым, оговариваются особо.  
В данном курсе изучаются периодические движения системы 
со строго постоянным периодом колебаний.  
Периодом колебаний Т (с) будем называть наименьший про-
межуток времени, по прошествии которого движение повторяется, 
т. е. координаты и скорости удовлетворяют равенствам: 

 
( )
(
),
( )
(
).
x t
x t
T
x t
x t
T






 

Пусть имеется система материальных точек с массами 
(
1, ...,
).
k
m
k
N

 Ее движение описывается обобщенными коорди-
натами 
( ) (
1,..., )
iq t
i
n

. Тогда колебательным движением будем 
называть такое движение, при котором значения декартовых коор-
динат 
1
1
1
(
),
(
,...,
),
(
,...,
)
,...,
k
k
k
n
n
n
x q
q
y
q
q
z
q
q
 материальных точек 
системы то уменьшаются, то увеличиваются с течением времени.  
Наш курс основывается на методах классической механики 
Ньютона: на теореме об изменении количества движения 
,
Q  на 
теореме об изменении кинетического момента 
О
K  как относительно 
неподвижного центра 
,
О  так и относительно центра масс С.  
Используются также принципы аналитической механики: принцип 
Даламбера, принцип возможных перемещений Лагранжа, общее 
уравнение динамики, уравнения Лагранжа II рода. 

Кратко рассмотрим все эти методы [1]. 
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в 
декартовых координатах на плоскости имеют вид 
 
,
.
kx
ky
k
k
mx
F
my
F





 

Начальные условия имеют вид 
при
0:
t 
 

0
0
0
0
(0)
,
(0)
,
(0)
,
(0)
.
x
x
y
y
x
x
y
y







  
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в 
естественных осях на плоскости имеют вид 

 

2
,
.
k
kn
k
k

v
ms
F
m
F







 

Начальные условия: 
при
0:
t 
 

 
0
0
(0)
,
(0)
.
s
s
s
s



  

Дифференциальные уравнения движения материальной точки  
в полярных координатах: 
 
2
(
)
,
(
2
)
.
kr
kp
k
k
m r
r
F
m r
r
F
 

 
 







 

Начальные условия:  
при 
0:
t 
 

 
0
0
0
0
(0)
,
(0)
,
(0)
,
(0)
.
r
r
r
r


 


 




 
 

Количество 
движения 
системы 
материальных 
точек 
(
1, ...,
):
k
m
k
N

 

 
k k
k
Q
m v
 
 или 
,
С
Q
mv

 

где 
.
k
k
m
m

 

Теорема об изменении количества движения системы имеет 
вид 

 
( ),
e
k
k

dQ
F
dt  
 

где
( )
e
kF
— вектор внешней для системы силы. 

Попутно отметим, что главный вектор системы внутренних сил 

( )
( )
0.
i
i
k
k
R
F



 

Теорема о движении центра масс системы имеет вид 

 
( )
e
С
k
k
ma
F

. 

Здесь 
,
С
С
a
r
   где радиус-вектор центра масс C  системы 
определяется соотношением 

 
1
.
С
k k
k
r
m r
m


 

Начальные условия: 
при 
0:
t 
 

 
0
0
(0)
,
(0)
.
C
C
C
C
r
r
r
r




 

Кинетический момент системы материальных точек относи-
тельно неподвижного центра 
:
O  

 
.
O
k
k k
k
K
r
m v



 

Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвиж-
ной оси 
:
Oz  

 
,
Oz
Oz
z
K
J

  

где 
2
Oz
Cz
J
J
md



 — момент инерции тела относительно оси 
;
Oz

Cz
J
  — момент инерции тела относительно параллельной оси, про-
ходящей через центр масс 
;
C  m  — масса тела; d — расстояние 
между осями.  
Теорема об изменении кинетического момента 
O
K  имеет вид 

 
( )
(
)
e
O
O
k
k

dK
M
F
dt

. 

Здесь 
( )
(
)
e
O
k
M
F
 — момент k-й силы относительно центра 
.
O  

Проецируя это уравнение на ось 
,
Oz  получим: 

 
( )
(
).
e
Oz
Oz
k
k
J
M
F
 

 

Начальные условия: 
при 
0:
t 
 

 
0
0
(0)
,
(0)
.

 

 


 

Кинетический момент при сложном движении системы: 

 
( ),
r
O
C
C
C
K
r
mv
K



 

где 
C
v  — абсолютная скорость центра масс; 
( )
r
C
K
 — кинетический 
момент системы относительно центра масс 
,
С  т. е. относительно 
системы отсчета, связанной с центром масс и движущейся посту-
пательно. 
Теорема об изменении кинетического момента относительно 
центра масс имеет вид 

 

( )
( )
(
).

r
e
C
C
k
k

dK
M
F
dt

 

Принцип Даламбера для системы материальных точек: 

 
0
(
1,...,
),
k
k
k
F
R
k
N

  

 

где 
k
F  — активная сила, приложенная к k-й материальной точке 
системы; 
k
R  — реакция связи; 
k
k
k
m a
  
 — сила инерции Да-
ламбера k-й материальной точки системы. 

1

N

k
C
k
ma


 
  

 — главный вектор сил инерции точек си-

стемы. 
Следствия из принципа Даламбера:  
1) 
0;
k
k
k
k
k
k
F
R


 



 

2) 
(
,
,
)
0.
O
k
k
k
k
M
F R 


 

Вектор 
( )
(
)
и
O
k
O
k

M
L



 — главный момент сил инерции то-

чек системы относительно неподвижного центра 
.
O  
Имеет место соотношение: 

 
( )
.
и
O
O
dK
L
dt
 
 

В подвижной системе отсчета относительно центра масс С  

 

( )
( )
.

r
и
C
O
dK
L
dt
 
 

Принцип Даламбера — Лагранжа (общее уравнение динами- 
ки) [1, 2] имеет вид 

 
0
(
1,...,
).
k
k
k
k
k
k
k
k
k

F
r
R
r
r
k
N




 





 

Здесь первое слагаемое — возможная работа активных сил на 
возможном перемещении системы {
,
1,...,
}.
kr
k
N


 Второе слага-
емое — возможная работа реакций связей на возможном переме-
щении системы, третье слагаемое — возможная работа сил инер-
ции на возможном перемещении системы. 
Имеет место формула 

 
( )
,
и
k
k
C
O
k
r
v dt
L
dt


 
  



 

где dt  — мыслимый дифференциал времени. 
Принцип возможных перемещений Лагранжа. В случае идеаль-
ных связей, когда 
0,
k
k
k
R
r



 имеем необходимое и достаточное 

условие равновесия механической системы: 
 
0.
k
k
k
F
r



 

Удобным способом составления дифференциальных уравнений 
движения систем с голономными связями являются уравнения Ла-
гранжа II рода: 

 
(
1,...,
),
i
i
i

d
T
T
Q
i
n
dt
q
q



 









 

где 
iq  — i-я обобщенная координата системы; n— число степе-
ней свободы системы; T  — кинетическая энергия системы в абсо-

лютном движении; 
k
i
k
i
k

r
Q
F
q


 

 — обобщенная сила, соответ-

ствующая i-й обобщенной координате. 
Наиболее общим способом составления дифференциальных 
уравнений движения систем и установления естественных гранич-
ных условий является принцип Гамильтона: 

 

2

1
(
П)
0,

t

t
T
dt




 

где   — символ первой вариации функционала 

2

1
(
П)
,

t

t
T
dt


 П — 

потенциальная энергия системы. 
Принцип выводится на основании гипотез классической меха-
ники Ньютона и справедлив для систем, имеющих различную фи-
зическую природу. 

Лекция 2. Колебания систем с распределенными  
параметрами 

Рассмотрим малые колебания механических систем с распре-
деленными параметрами относительно положения устойчивого 
равновесия. Каждый элемент системы обладает свойствами как 
инерции, так и упругости. В качестве таких систем рассмотрены 
одномерные системы: стержни, валы, балки. 

Основные допущения 

Материал, из которого изготовлены тела, подчиняется закону 
Гука: 
,
Е
  
 где  E — модуль Юнга 1-го рода;   — деформация;  
  — напряжение в материале.  
Материал однороден и изотропен, т. е. свойства образцов, вы-
резанных в теле, не зависят от направления, по которому вырезан 
образец. 
Стержень — это тело, размеры которого в поперечном направ-
лении существенно меньше его длины.