Одномерное стационарное течение

В.А. Зенкин

Одномерное

стационарное течение

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 533
ББК 22.253.3

З-56

Зенкин, В. А.

З-56
Одномерное стационарное течение : учебно-методиче-

ское пособие / В. А. Зенкин. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 37, [3] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5277-4
Издание содержит необходимый минимум теоретических сведе-

ний и расчетных соотношений для выполнения и защиты домашнего 
задания по теме «Одномерное стационарное течение» по курсу дис-
циплины «Механика жидкости и газа. Часть 2». Приведены пример 
выполнения домашнего задания, а также требования к его оформле-
нию и список контрольных вопросов. Пособие включает справочные 
материалы о физических свойствах распространенных газовых сред, 
параметры стандартной атмосферы, а также газодинамические функ-
ции в графическом и табличном виде.

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 

13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 13.03.02 «Электроэнер-
гетика и электротехника».

                                                                              УДК 533 

                                                                                       ББК 22.253.3

 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

 
© Оформление. Издательство

ISBN 978-5-7038-5277-4                                            МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

Издание доступно в электронном виде по адресу 

bmstu.press/catalog/item/6395/

Факультет «Энергомашиностроение»

Кафедра «Поршневые двигатели»

Рекомендовано Научно-методическим советом 

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Предисловие

Учебно-методическое пособие предназначено для бакалавров, 

изучающих дисциплину «Механика жидкости и газа. Часть 2», 
включенную в образовательную программу по направлению под-
готовки 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 13.03.02. 
«Электроэнергетика и электротехника».

Цель изучения дисциплины — освоение основных законов 

механики жидкости и газа и практики применения этих законов 
для расчета и проектирования элементов газовоздушного тракта 
поршневых двигателей, в частности, системы настроенного впуск-
ного тракта на динамический наддув, что позволяет повысить 
мощность двигателя и снизить удельный расход топлива. Знание 
механики жидкости и газа позволяет проводить исследования, 
ставить и решать проблемы в проточных частях энергоустановок 
различного назначения.

Изучение дисциплины предполагает предварительное освоение 

следующих дисциплин учебного плана: физики, математического 
анализа, уравнений математической физики, термодинамики, введение 
в специальность, энергетические машины и установки, основы 
теории тепломассообмена, механика жидкости и газа, часть 1.

Цель пособия — помочь студентам успешно выполнить домашнее 
задание по теме «Одномерное стационарное течение». 
В пособии приведены основные расчетные уравнения и подходы, 
дается базовая терминология, приводятся справочные материалы.

В результате выполнения домашнего задания студенты должны 
приобрести базовые навыки инженерных расчетов в области 
движения сжимаемой среды.

Навыки выполнения инженерных расчетов и оценок являются 
одними из важнейших в профессиональной деятельности 
инженера. Соответствующие методики многообразны и имеют 
специфику в зависимости от разделов науки, на которых они 
основываются. В области течений сжимаемой жидкости первоочередной 
интерес представляют расчеты одномерных течений, 
поскольку они могут быть проведены аналитическими методами. 

Для выработки навыков решения задач первого типа предназначено 
домашнее задание по теме «Одномерное стационарное 
течение».

Настоящее учебно-методическое пособие содержит необходимый 
теоретический минимум для решения задач домашнего 
задания, примеры решенных задач, а также вспомогательный 
справочный материал. Для углубленного изучения вопроса автор 
рекомендует обращаться к разделам «Уравнения газовой динамики 
для единичной струйки», «Ускорение газового потока», «Одно-
мерные течения газа», «Течения в соплах и диффузорах» основной 
учебной литературы по курсу «Механика жидкости и газа».

Представленные в пособии примеры задач основаны на материалах 
задачника А.А Степчкова.

Условные обозначения

A 
— площадь поперечного сечения канала, м

2

a 
— скорость звука, м/с

G 
— массовый расход среды, кг/с

g 
— ускорение свободного падения, м/с

2

M 
— число Маха

m 
— коэффициент в уравнении расхода, характеризующий 

свойства среды, [м

–1 · с · K

 0,5]

p 
— давление, Па

R 
— газовая постоянная, Дж/(кг · К)

T 
— температура, К

u 
— скорость среды, м/с

z 
— высота в поле сил тяжести, м

γ 
— показатель адиабаты

λ 
— приведенная скорость

ρ 
— плотность, кг/м

3

σ 
— коэффициент сохранения полного давления

π 
— газодинамическая функция давления

τ 
— газодинамическая функция температуры

ε 
— газодинамическая функция плотности

q, y 
— расходные газодинамические функции

z, 

 f,  r — импульсные газодинамические функции

Индексы

1, 2 — обозначение сечения канала
* 
— параметры заторможенного потока

kr 
— параметр соответствует критическому режиму течения 

(M = 1) 

fly 
— полет

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Основные допущения

Для приближенного расчета течения жидкости или газа по протяженным 
каналам допустимо принять поток за одномерный, т. е. 
такой, в котором величина и направление скорости, а также термодинамические 
параметры среды (давление, плотность, температура 
и т. д.) меняются только вдоль канала. Указанные парамет- 
ры течения в данном случае следует понимать как осредненные, 
причем осреднение осуществлено таким образом, что в исходном 
и осредненном потоках одинаковы значения расхода газа, полной 
энергии и импульса. В таком случае балансовые соотношения, записываемые 
для одномерной постановки задачи, будут корректны 
и для реального потока.

Несмотря на высокий уровень абстракции, одномерный подход 
к описанию среды все еще применяется для течений, где протяженность 
каналов по направлению потока значительно превышает 
размер проходного сечения. К этому случаю относятся 
различные газопроводы, в том числе газовоздушный тракт комбинированного 
двигателя внутреннего сгорания (ДВС).

Следует иметь в виду, что, хотя уравнения допускают изменение 
площади проходного сечения по длине канала, они справедливы, 
только если это изменение происходит плавно и достаточно 
медленно; в противном случае может произойти отрыв потока от 
стенок канала с возникновением пространственного течения и 
значительных потерь энергии на местном сопротивлении. Расчет 
местных сопротивлений может быть проведен с помощью соответствующей 
справочной литературы, но рассмотрение этого вопроса 
не входит в рамки данного пособия.

Течение газа, характеризуемое изменением в каждой точке 

пространства векторов скоростей и термодинамических парамет- 
ров во времени, называют нестационарным. Если в каждой точке 
пространства указанные параметры не изменяются во времени, 
то течение газа стационарное (установившееся). Турбулентное 
течение — нестационарное по определению, однако для практи-
ческих задач допустимо использовать для турбулентного пото-
ка уравнения для установившегося течения, при условии что его 

осредненные по времени параметры не меняются. Турбулентность 
потока при этом учитывается при задании коэффициентов потерь, 
зависящих от режима течения.

Существует некоторая неоднозначность в определениях газо-

динамики и термодинамики.

В газовой динамике под идеальным течением понимается мо-

дель идеальной жидкости, т. е. течение, в котором отсутствуют 
вязкость и теплопроводность. В случае если идеальное течение 
происходит при отсутствии теплообмена с окружающей средой 
(т. е. адиабатно), говорят об идеальном адиабатном или изоэн-
тропном течении. 

Газ, идеальный в термодинамическом смысле, т. е. подчиня-

ющийся термическому уравнению состояния вида p
RT
= ρ
, обыч-

но называют термически совершенным, теплоемкость — функция 
только температуры.

Калорическое уравнение состояния позволяет ввести поня-

тие о калорически совершенном газе, т. е. газе, для которого можно 
пренебречь зависимостью теплоемкости от температуры и считать 
ее константой. Модель термически и калорически совершенного 
газа широко применяется в газовой динамике и часто обозначает-
ся термином «политропный газ».

Следует отметить, что в литературе часто встречается словосо-

четание «идеальный газ», под которым может пониматься и модель 
идеальной жидкости, и термически совершенный, и политропный 
газ. В силу неоднозначности этого термина автор настоящего по-
собия не рекомендует его использовать.

Для всех задач, указанных в данном издании, справедливы до-

пущения об одномерном стационарном течении политропного газа.

1.2. Базовая система уравнений

Для стационарного одномерного течения, рассматривая два 

произвольных сечения 1 и 2, можно записать уравнения, указан-
ные ниже.

1. Уравнение расхода G
A
u
A
u
G
1
1
1 1
2
2
2
2
=
=
=
ρ
ρ
.

Данное уравнение выражает закон сохранения массы веще-

ства. В случае стационарного течения величина плотности не из-
меняется для любого участка канала. Следовательно, количество 

массы между двумя произвольными сечениями остается неизмен-
ным. Для соблюдения закона сохранения массы необходимо, что-
бы массовые расходы в двух сечениях равнялись друг другу.

2. Обобщенное уравнение Бернулли

−
=
−
+
−
(
)+
+
∫
L
u
u
g
dp
d
L fr

2
2

1
2

2
1

1

2

2
z
z
ρ
,

где L — производимая газом работа, Дж/кг; Lfr — работа сил тре-
ния, Дж/кг.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения 

энергии в механической форме. Представленный интеграл (инте-
грал Бернулли) и его реальное значение определяются характером 
протекающего процесса. В зависимости от допущений, накла-
дываемых на среду и протекающий процесс, уравнение Бернул-
ли может быть конкретизировано. Так, для случая несжимаемой 
жидкости (ρ = const) без учета работы сил трения и при отсутствии 
работы газа уравнение Бернулли приобретает следующий вид:

u
u
g
p
p
2
2

1
2

2
1

2

2

1

1
2
0
−
+
−
(
)+
−




 =
z
z
ρ
ρ
.

Для случая изоэнтропного течения сжимаемого газа, прене-

брегая работой газа и изменением потенциальной энергии, можно 
записать

u
u
p
p
2
2

1
2

2

2

1

1
2
1
0
−
+
−
−




 =
γ

γ
ρ
ρ
.

3. Для изоэнтропного течения будет справедливо уравнение 

изоэнтропы:

p
p
1

1

2

2
ρ
ρ

γ
γ
=
.

4. Для связи давления и плотности газа с его температурой 

можно применять уравнение состояния совершенного газа:

p
RT
= ρ
.

Данное уравнение справедливо для в достаточной степени раз-

реженных газов.

1.3. Параметры заторможенного потока 

и газодинамические функции

Непосредственное использование базовой системы уравнений 

для решения практических задач часто является затруднительным, 
поэтому для расчетов сжимаемой среды используются так называ-
емые газодинамические функции, представляющие собой безраз-
мерные характеристики одномерного газового потока и выражаю-
щие связь его термогазодинамических параметров в виде простых 
функций безразмерных скоростей (M, λ). Например, семейство 
энергетических газодинамических функций (в которое входят 
функции π, τ, ε) выражают связь статических параметров газа с 
параметрами заторможенного потока. Последние представляют 
собой термодинамические параметры газа, принимаемые им при 
изоэнтропном, энергоизолированном торможении до скорости, 
равной нулю, т. е. соответствуют случаю, когда вся кинетическая 
энергия направленного движения переходит в тепловую энергию.

Наиболее распространенные стационарные газодинамические 

функции приведены в табл. 1.1. В прил. 1 можно найти основ-
ные из этих функций в графическом и табличном виде для случая 
γ = 1,4 (т. е. для воздуха).

Газодинамические функции зависят исключительно от свойств 

рассматриваемой среды; показатель адиабаты, газовая константа и 
коэффициент в формуле для определения расхода для некоторых 
распространенных газов приведены в табл. 1.2.

Расходные газодинамические функции q и y по своему физиче-

скому смыслу являются сомножителями в выражении для массо-
вого расхода газа, отражающими влияние на него режима течения. 
Достаточно высокая сложность их записи обусловлена тем, что 
скорость потока влияет на статическую плотность и скорость зву-
ка. При использовании функции q следует помнить, что она не мо-
нотонна и каждому q соответствуют два значения числа Маха: одно 
для дозвукового режима течения и второе — для сверхзвукового. 
В отличие от энергетических газодинамических функций для них 
не могут быть аналитически получены обратные функции, поэто-
му при необходимости определить из q соответствующее ему число 
Маха следует использовать численные методы решения алгебраи- 
ческих уравнений (предпочтительно) либо справочные таблицы.

Таблица 1.1

Стационарные газодинамические функции

Функциональная зависимость

Физический смысл зависимости

от числа М
от числа λ

M =
=
+

−
−

+

u

a

2

1

1
1

1

2

2

γ
λ

γ

γ
λ

λ

γ

γ
=
=

+

+
−

u

akr

1

2

1
1

2

2

2

M

M

Приведенная скорость

a
RT
=
γ
a
RT
kr =
+

2

1

γ

γ
*
Скорость звука

τ
γ
=

+
−

1

1
1

2

2
M
τ
γ

γ
λ
= −
−

+
1
1

1

2
τ = T

T *

π
γ

γ

γ
=
+
−








− −
1
1

2

2
1
M
π
γ

γ
λ

γ

γ

=
−
−

+









−

1
1

1

2
1
π = p

p*