Аналитическое решение задач оптимального проектирования элементов несущих конструкций

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

А.А. Смердов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ

Методические указания
к выполнению домашнего задания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 624.04
ББК 38.112
С50

С50

Рецензент Б.С. Сарбаев

Смердов А.А.
Аналитическое решение задач оптимального проектирования 
элементов несущих конструкций: метод. указания к выполнению 
домашнего задания / А.А. Смердов. – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 35, [5] с. : ил.

Рассмотрено аналитическое решение задач оптимального проектирования 
элементов несущих конструкций в виде сжатых стержней.
Для студентов 5-го и 6-го курсов факультета «Специальное машиностроение».

Рекомендовано
учебно-методической
комиссией
факультета
СМ
МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 624.04
ББК 38.112

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Целью настоящего домашнего задания является отработка навыков 
аналитического решения задач оптимального проектирования 
элементов несущих конструкций.
В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его
к защите необходимо усвоить такие основные понятия, как скалярная 
и векторная оптимизация, варьируемые параметры, диапазоны 
варьирования, целевая функция, функциональные ограничения, 
минимизация массы, максимизация несущей способности,
границы предельных возможностей, а также научиться ставить и
решать задачи исследования предельных возможностей несущих
конструкций, к которым предъявляются требования минимальной
массы и максимальной несущей способности [1].

Рис. 1. Объект оптимизации

Задание
заключается
в
выборе 
оптимальных параметров стержней, 
предназначенных для восприятия 
сжимающих нагрузок.
Схема объекта оптимизации показана 
на рис. 1. Стержень длиной L
выполнен в виде тонкостенной трубы 
и закреплен по торцам (при решении 
могут быть приняты граничные
условия свободного опирания). Конструкция 
нагружена осевой сжимающей 
силой P. Считается, что заданное 
значение P соответствует расчетной 
нагрузке, определенной с учетом
коэффициента безопасности [2].
Целью проектирования является выбор параметров, соответствующих 
минимальной массе при заданной несущей способности

3

конструкции или максимальной несущей способности при задан-
ной массе.
В домашнем задании предусмотрено решение задач двух типов:
1) задачи оптимального проектирования стержня из изотроп-
ного материала при наличии ограничений на варьируемые параме-
тры;
2) задачи оптимального проектирования композитного стержня
с ортогонально армированной структурой.
Каждая из этих задач имеет свою методику решения, однако обе
они основаны на общем подходе, который рассмотрен в разд. 1. Там
приведены определения и понятия, а также вывод соотношений,
необходимых для выполнения домашнего задания.
Предлагаемый материал изучается в лекционных курсах (в
частности, приведен в учебном пособии [1]).
В разд. 2 описана методика выполнения и оформления задания,
а в разд. 3 приведены примеры выполнения домашнего задания.

1. ВЫВОД РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

1.1. Основные подходы к оптимальному проектированию
конструкции, понятия и определения

При формулировке задачи оптимального проектирования необ-
ходимо выбрать:
1) объект оптимизации;
2) варьируемые параметры;
3) критерии качества.
Выбор объекта оптимизации предполагает: выделение объек-
та как подсистемы некоторой более общей системы с установле-
нием связей между ними; выбор конструктивной схемы или круга
конструктивных схем; выбор используемых материалов (или огра-
ничение круга потенциально возможных материалов); построение
математической модели оптимизируемого объекта.
Варьируемые параметры — это те параметры, которые могут
быть изменены в соответствии с выбранным алгоритмом оптими-
зации. Параметры, которые должны сохранять постоянные значе-
ния, именуются директивными. Варьируемые параметры обычно

4

представляются в виде вектора X = {x1, x2, . . . , xn}. Число не-
зависимых варьируемых параметров n называется размерностью
задачи оптимизации. Как правило, при выборе варьируемых пара-
метров следует указать диапазоны варьирования, т. е. наименьшие
и наибольшие допустимые значения каждого параметра xi min и
xi max.
Критерии качества — это требования к свойствам проекти-
руемой конструкции. Каждое отдельное требование к какому-либо
свойству принято называть локальным критерием эффективности
(ЛКЭ). Каждый ЛКЭ может быть представлен в виде функции от
вектора варьируемых параметров.
Все ЛКЭ могут быть подразделены на два класса:
1) экстремальные критерии (требования максимума или минимума 
данной характеристики);
2) критерии в виде ограничений (требования нахождения характеристик 
в заданных пределах, обычно формулируемые в виде
неравенств).
В зависимости от того, как сформулированы ЛКЭ, задачи оптимального 
проектирования можно подразделить на несколько типов.
Если среди всех ЛКЭ есть только один экстремальный критерий, 
а все остальные требования сформулированы как ограничения, 
то имеет место задача скалярной оптимизации. Количество
ограничений в скалярной задаче может быть любым. Если экстремальных 
критериев больше одного, то это задача векторной
оптимизации. В ней также может присутствовать любое количество 
ограничений на свойства проектируемой конструкции.
Задача скалярной оптимизации называется также задачей математического 
программирования (МП). В ней вектору варьируемых 
параметров соответствует так называемая целевая функция
M(X), представляющая собой математическую запись единственного 
экстремального ЛКЭ. Кроме того, возможно произвольное
количество функций-ограничений, для каждой из которых также
установлены границы допустимых диапазонов значений. Задача
МП формулируется следующим образом: необходимо отыскать такое 
значение X∗, при котором целевая функция принимала бы наибольшее 
или наименьшее среди всех возможных значений, а все
ограничения были бы выполнены. Область значений вектора X, в
которой выполняются все ограничения, называется областью допустимых 
решений Dx.

5

Наиболее важный класс задач векторной оптимизации — задачи 
исследования предельных возможностей, в которых изменяются
не только варьируемые параметры, но и требования к свойствам
проектируемого изделия.
При векторной оптимизации также выделяется вектор варьируемых 
параметров X, для которого формулируются диапазоны 
варьирования. Однако теперь этому вектору ставится в соответствие 
не одна скалярная функция, а вектор эффективности
Y(X) = {y1(X), y2(X), . . . , yk(X)}. Компоненты этого вектора —
требования к свойствам конструкции, причем каждое требование
предполагает поиск максимума или минимума. В векторной задаче
также может присутствовать любое количество ограничений.
Основной подход к решению задачи векторной оптимизации
связан с выделением не одного решения, а множества оптимальных
реализаций проекта. Этот подход носит название оптимизации по
Парето, а множество полученных оптимальных решений называют
областью компромиссов или областью Парето.
Область компромиссов определяется как такое подмножество
множества допустимых решений Dx, в котором ни один из входящих 
в него проектов не может быть улучшен по всем критериям
сразу. Это значит, что для любых двух точек этого множества X′ и
X′′ всегда можно указать критерий yi(X), значение которого лучше 
в точке X′, и всегда можно указать критерий yj(X), значение
которого лучше в точке X′′. На основе анализа области компромиссов 
принимается решение о выборе параметров того или иного
конкретного проекта.
Для построения области компромиссов необходимо перебрать
все возможные реализации данного проекта и путем непосредственного 
сравнения выяснить, какие из них входят в эту область,
а какие нет. Поскольку в реальных задачах это, как правило, невозможно (
исключением являются одномерные задачи оптимизации, 
которые могут быть исследованы методами параметрического
анализа), для проектируемых конструкций могут быть построены
границы предельных возможностей.
Граница предельных возможностей строится в пространстве
требований к свойствам проектируемой конструкции. Для ее по-
строения сначала из вектора Y(X) выбирается один критерий
yi(X). Для этого критерия ставится и решается цикл задач ска-

6

лярной оптимизации, в которых сам он выступает в качестве це-
левой функции, а все остальные компоненты вектора Y(X) — в
качестве ограничений. Уровни ограничений в каждой скалярной
задаче выбираются разными:

yi (X) → extr; ∀j ̸= i

yj (X) ⩽ A(k)
j , если yj (X) → min;

yj (X) ⩾ A(k)
j , если yj (X) → max,
(1)

где k — номер текущей задачи скалярной оптимизации. Величины
A(k)
j
изменяются в пределах всего интересующего проектанта диа-
пазона; при этом строится зависимость полученных оптимальных
значений yi от A(k)
j . Затем, если это необходимо, возможен выбор
другого критерия yk(X) в качестве целевой функции и повторение
описанной процедуры. Решение скалярных задач продолжается до
тех пор, пока не будет окончательно определен вид границы пре-
дельных возможностей.
Полученная граница отделяет область доступных сочетаний
требований к свойствам проектируемой конструкции от области
невозможного при проектировании с данными директивными па-
раметрами. Исследование участков этой границы, соответствую-
щих проектам конструкций с точно заданными значениями харак-
теристик, позволяет выявить оптимальные значения варьируемых
параметров для каждого такого проекта. Примеры такого исследо-
вания приводятся ниже.
Более подробно представленные здесь подходы, понятия и
определения охарактеризованы в учебном пособии [1].

1.2. Задача оптимального проектирования
стержня из изотропного материала
при наличии ограничений

Объект оптимизации изображен на рис. 1 и представляет
собой прямолинейный стержень длиной L c тонкостенным труб-
чатым сечением, нагруженный осевой сжимающей силой P. Стер-
жень выполнен из однородного изотропного линейно-упругого
материала. Граничные условия на торцах стержня соответству-
ют шарнирному опиранию (несложно рассмотреть аналогичную
задачу и при других вариантах граничных условий).

7

Варьируемыми параметрами являются радиус стержня R и
толщина стенки h:

X = {R, h},
(2)
причем из условия тонкостенности

R ≫ h
(3)

следует, что можно не учитывать различия между средним, внеш-
ним и внутренним радиусами. Границы диапазонов варьирования
вводятся соотношениями

R ∈ (0, Rmax]; h ∈ [hmin, ∞).
(4)

Здесь учтены два наиболее типичных ограничения: на минималь-
ную толщину и на максимальный радиус. Первое из них опре-
деляется возможностями изготовления и эксплуатации стержня,
второе — конструктивными требованиями к компоновке окружа-
ющего пространства. При любых изменениях параметров должно
выполняться соотношение (3).
Директивными параметрами являются длина L, свойства ма-
териала стержня (модуль упругости E, коэффициент Пуассона ν,
предельное напряжение при сжатии [σ] и плотность материала ρ),
а также величины Rmax и hmin и коэффициент устойчивости k [2].
Критериями качества в данной задаче являются масса стерж-
ня G и предельно допустимая нагрузка Pпред (отношение Pпред/P
составляет запас по несущей способности конструкции). Масса
должна быть минимизирована, а предельная нагрузка — максими-
зирована. Таким образом, имеет место задача векторной оптими-
зации:

Y(X) = { min G(X), max Pпред(X)}.
(5)
Масса стержня может быть выражена через варьируемые пара-
метры простой формулой:

G(X) = 2πLρRh.
(6)

Несущая способность конструкции может определяться тре-
мя различными механизмами: прочностью, общей устойчивостью
(устойчивостью стержня) и местной устойчивостью (устойчиво-
стью конструкции как тонкостенной цилиндрической оболочки).

8

Каждому из них соответствует свое значение предельной нагруз-
ки. При возрастании нагрузки P конструкция разрушится по тому
механизму, которому соответствует наименьшее из этих значений.
Таким образом, максимизация несущей способности представляет
собой максимизацию наименьшей из трех функций:

max Pпред (X) = max
X∈Dx min
Pпр (X), P (об)
уст (X), P (м)
уст (X)
.
(7)

Предельная нагрузка по прочности конструкции представляет
собой произведение предельного напряжения при сжатии и пло-
щади поперечного сечения:

Pпр(X) = 2π[σ]Rh.
(8)

Предельная нагрузка по общей (стержневой) устойчивости опре-
деляется формулой Эйлера [2]

P (об)
уст (X) = π2EI
L2
= π3E
L2
R3h;
(9)

предельная нагрузка по местной (оболочечной) устойчивости для
изотропной цилиндрической оболочки [2] — по формуле

P (м)
уст (X) =
2πkE
3 (1 − ν2)
h2.
(10)

Решение задачи векторной оптимизации проводится в соответствии 
с методикой, описанной в подразд. 1.1. Выбирается один
из критериев качества — несущая способность — и решается вспомогательная 
скалярная задача (1):

max Pпред(X) при G(X) ⩽ G,
(11)

где допустимое значение ограничения G — переменная величина.
Еще более упрощается вспомогательная задача при допущении 
о том, что ограничение (11) для оптимальных проектов всегда 
должно выполняться в виде равенства (справедливость этого
утверждения проверяется по ходу решения). Таким образом, вспомогательная 
задача формулируется следующим образом:

max min
Pпр (X), P (об)
уст (X), P (м)
уст (X)
при G(X) = const.
(12)

9

Условие G(X) = const связывает варьируемые параметры, так
что один из них можно выразить через другой:

R =
G
2πLρ

1
h.
(13)

Подставив (13) в формулы (8)—(10), можно получить выражения 
для составляющих несущей способности стержня фиксированной 
массы:

Pпр = [σ]
Lρ G;

P (об)
уст = EG3

8L5ρ3

1
h2 ;

P (м)
уст =
2πkE
3 (1 − ν2)
h2.

(14)

Зависимости (14) изображены на рис. 2. На рис. 2, а показано
условие прочности; зона прочности выделена затемнением. Так же
затемнением на рис. 2, б показана зона общей устойчивости, а на
рис. 2, г — зона местной устойчивости.

Рис. 2. Границы зон прочности (а), общей (б) и местной (в)
устойчивости для стержня фиксированной массы

Теперь нужно совместить графики и отыскать максимум несущей 
способности в зоне, где все три затемненные зоны совпадают.
Однако совмещать эти графики следует не во всем первом квадранте 
плоскости варьируемых параметров, а только лишь в области
допустимых решений Dx, которая в данном случае определяется

10