Аналитическое решение задач оптимального проектирования элементов несущих конструкций

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

А.А. Смердов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ

Методические указания
к выполнению домашнего задания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 624.04
ББК 38.112
С50

С50

Рецензент Б.С. Сарбаев

Смердов А.А.
Аналитическое решение задач оптимального проектирова-
ния элементов несущих конструкций: метод. указания к вы-
полнению домашнего задания / А.А. Смердов. – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 35, [5] с. : ил.

Рассмотрено аналитическое решение задач оптимального проекти-
рования элементов несущих конструкций в виде сжатых стержней.
Для студентов 5-го и 6-го курсов факультета «Специальное маши-
ностроение».
Рекомендовано
учебно-методической
комиссией
факультета
СМ
МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 624.04
ББК 38.112

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Целью настоящего домашнего задания является отработка на-
выков аналитического решения задач оптимального проектирова-
ния элементов несущих конструкций.
В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его
к защите необходимо усвоить такие основные понятия, как ска-
лярная и векторная оптимизация, варьируемые параметры, диа-
пазоны варьирования, целевая функция, функциональные ограни-
чения, минимизация массы, максимизация несущей способности,
границы предельных возможностей, а также научиться ставить и
решать задачи исследования предельных возможностей несущих
конструкций, к которым предъявляются требования минимальной
массы и максимальной несущей способности [1].

Рис. 1. Объект оптимизации

Задание
заключается
в
выбо-
ре оптимальных параметров стерж-
ней, предназначенных для восприя-
тия сжимающих нагрузок.
Схема объекта оптимизации по-
казана на рис. 1. Стержень длиной L
выполнен в виде тонкостенной тру-
бы и закреплен по торцам (при реше-
нии могут быть приняты граничные
условия свободного опирания). Кон-
струкция нагружена осевой сжимаю-
щей силой P. Считается, что задан-
ное значение P соответствует расчет-
ной нагрузке, определенной с учетом
коэффициента безопасности [2].
Целью проектирования является выбор параметров, соответ-
ствующих минимальной массе при заданной несущей способности

3

конструкции или максимальной несущей способности при задан-
ной массе.
В домашнем задании предусмотрено решение задач двух типов:
1) задачи оптимального проектирования стержня из изотроп-
ного материала при наличии ограничений на варьируемые параме-
тры;
2) задачи оптимального проектирования композитного стержня
с ортогонально армированной структурой.
Каждая из этих задач имеет свою методику решения, однако обе
они основаны на общем подходе, который рассмотрен в разд. 1. Там
приведены определения и понятия, а также вывод соотношений,
необходимых для выполнения домашнего задания.
Предлагаемый материал изучается в лекционных курсах (в
частности, приведен в учебном пособии [1]).
В разд. 2 описана методика выполнения и оформления задания,
а в разд. 3 приведены примеры выполнения домашнего задания.

1. ВЫВОД РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

1.1. Основные подходы к оптимальному проектированию
конструкции, понятия и определения

При формулировке задачи оптимального проектирования необ-
ходимо выбрать:
1) объект оптимизации;
2) варьируемые параметры;
3) критерии качества.
Выбор объекта оптимизации предполагает: выделение объек-
та как подсистемы некоторой более общей системы с установле-
нием связей между ними; выбор конструктивной схемы или круга
конструктивных схем; выбор используемых материалов (или огра-
ничение круга потенциально возможных материалов); построение
математической модели оптимизируемого объекта.
Варьируемые параметры — это те параметры, которые могут
быть изменены в соответствии с выбранным алгоритмом оптими-
зации. Параметры, которые должны сохранять постоянные значе-
ния, именуются директивными. Варьируемые параметры обычно

4

представляются в виде вектора X = {x1, x2, . . . , xn}. Число не-
зависимых варьируемых параметров n называется размерностью
задачи оптимизации. Как правило, при выборе варьируемых пара-
метров следует указать диапазоны варьирования, т. е. наименьшие
и наибольшие допустимые значения каждого параметра xi min и
xi max.
Критерии качества — это требования к свойствам проекти-
руемой конструкции. Каждое отдельное требование к какому-либо
свойству принято называть локальным критерием эффективности
(ЛКЭ). Каждый ЛКЭ может быть представлен в виде функции от
вектора варьируемых параметров.
Все ЛКЭ могут быть подразделены на два класса:
1) экстремальные критерии (требования максимума или мини-
мума данной характеристики);
2) критерии в виде ограничений (требования нахождения ха-
рактеристик в заданных пределах, обычно формулируемые в виде
неравенств).
В зависимости от того, как сформулированы ЛКЭ, задачи опти-
мального проектирования можно подразделить на несколько типов.
Если среди всех ЛКЭ есть только один экстремальный крите-
рий, а все остальные требования сформулированы как ограниче-
ния, то имеет место задача скалярной оптимизации. Количество
ограничений в скалярной задаче может быть любым. Если экс-
тремальных критериев больше одного, то это задача векторной
оптимизации. В ней также может присутствовать любое количе-
ство ограничений на свойства проектируемой конструкции.
Задача скалярной оптимизации называется также задачей ма-
тематического программирования (МП). В ней вектору варьиру-
емых параметров соответствует так называемая целевая функция
M(X), представляющая собой математическую запись единствен-
ного экстремального ЛКЭ. Кроме того, возможно произвольное
количество функций-ограничений, для каждой из которых также
установлены границы допустимых диапазонов значений. Задача
МП формулируется следующим образом: необходимо отыскать та-
кое значение X∗, при котором целевая функция принимала бы наи-
большее или наименьшее среди всех возможных значений, а все
ограничения были бы выполнены. Область значений вектора X, в
которой выполняются все ограничения, называется областью до-
пустимых решений Dx.

5

Наиболее важный класс задач векторной оптимизации — зада-
чи исследования предельных возможностей, в которых изменяются
не только варьируемые параметры, но и требования к свойствам
проектируемого изделия.
При векторной оптимизации также выделяется вектор варьи-
руемых параметров X, для которого формулируются диапазо-
ны варьирования. Однако теперь этому вектору ставится в соот-
ветствие не одна скалярная функция, а вектор эффективности
Y(X) = {y1(X), y2(X), . . . , yk(X)}. Компоненты этого вектора —
требования к свойствам конструкции, причем каждое требование
предполагает поиск максимума или минимума. В векторной задаче
также может присутствовать любое количество ограничений.
Основной подход к решению задачи векторной оптимизации
связан с выделением не одного решения, а множества оптимальных
реализаций проекта. Этот подход носит название оптимизации по
Парето, а множество полученных оптимальных решений называют
областью компромиссов или областью Парето.
Область компромиссов определяется как такое подмножество
множества допустимых решений Dx, в котором ни один из входя-
щих в него проектов не может быть улучшен по всем критериям
сразу. Это значит, что для любых двух точек этого множества X′ и
X′′ всегда можно указать критерий yi(X), значение которого луч-
ше в точке X′, и всегда можно указать критерий yj(X), значение
которого лучше в точке X′′. На основе анализа области компро-
миссов принимается решение о выборе параметров того или иного
конкретного проекта.
Для построения области компромиссов необходимо перебрать
все возможные реализации данного проекта и путем непосред-
ственного сравнения выяснить, какие из них входят в эту область,
а какие нет. Поскольку в реальных задачах это, как правило, не-
возможно (исключением являются одномерные задачи оптимиза-
ции, которые могут быть исследованы методами параметрического
анализа), для проектируемых конструкций могут быть построены
границы предельных возможностей.
Граница предельных возможностей строится в пространстве
требований к свойствам проектируемой конструкции. Для ее по-
строения сначала из вектора Y(X) выбирается один критерий
yi(X). Для этого критерия ставится и решается цикл задач ска-

6

лярной оптимизации, в которых сам он выступает в качестве це-
левой функции, а все остальные компоненты вектора Y(X) — в
качестве ограничений. Уровни ограничений в каждой скалярной
задаче выбираются разными:

yi (X) → extr; ∀j ̸= i

-
yj (X) ⩽ A(k)
j , если yj (X) → min;

yj (X) ⩾ A(k)
j , если yj (X) → max,
(1)

где k — номер текущей задачи скалярной оптимизации. Величины
A(k)
j
изменяются в пределах всего интересующего проектанта диа-
пазона; при этом строится зависимость полученных оптимальных
значений yi от A(k)
j . Затем, если это необходимо, возможен выбор
другого критерия yk(X) в качестве целевой функции и повторение
описанной процедуры. Решение скалярных задач продолжается до
тех пор, пока не будет окончательно определен вид границы пре-
дельных возможностей.
Полученная граница отделяет область доступных сочетаний
требований к свойствам проектируемой конструкции от области
невозможного при проектировании с данными директивными па-
раметрами. Исследование участков этой границы, соответствую-
щих проектам конструкций с точно заданными значениями харак-
теристик, позволяет выявить оптимальные значения варьируемых
параметров для каждого такого проекта. Примеры такого исследо-
вания приводятся ниже.
Более подробно представленные здесь подходы, понятия и
определения охарактеризованы в учебном пособии [1].

1.2. Задача оптимального проектирования
стержня из изотропного материала
при наличии ограничений

Объект оптимизации изображен на рис. 1 и представляет
собой прямолинейный стержень длиной L c тонкостенным труб-
чатым сечением, нагруженный осевой сжимающей силой P. Стер-
жень выполнен из однородного изотропного линейно-упругого
материала. Граничные условия на торцах стержня соответству-
ют шарнирному опиранию (несложно рассмотреть аналогичную
задачу и при других вариантах граничных условий).

7

Варьируемыми параметрами являются радиус стержня R и
толщина стенки h:

X = {R, h},
(2)
причем из условия тонкостенности

R ≫ h
(3)

следует, что можно не учитывать различия между средним, внеш-
ним и внутренним радиусами. Границы диапазонов варьирования
вводятся соотношениями

R ∈ (0, Rmax]; h ∈ [hmin, ∞).
(4)

Здесь учтены два наиболее типичных ограничения: на минималь-
ную толщину и на максимальный радиус. Первое из них опре-
деляется возможностями изготовления и эксплуатации стержня,
второе — конструктивными требованиями к компоновке окружа-
ющего пространства. При любых изменениях параметров должно
выполняться соотношение (3).
Директивными параметрами являются длина L, свойства ма-
териала стержня (модуль упругости E, коэффициент Пуассона ν,
предельное напряжение при сжатии [σ] и плотность материала ρ),
а также величины Rmax и hmin и коэффициент устойчивости k [2].
Критериями качества в данной задаче являются масса стерж-
ня G и предельно допустимая нагрузка Pпред (отношение Pпред/P
составляет запас по несущей способности конструкции). Масса
должна быть минимизирована, а предельная нагрузка — максими-
зирована. Таким образом, имеет место задача векторной оптими-
зации:

Y(X) = { min G(X), max Pпред(X)}.
(5)
Масса стержня может быть выражена через варьируемые пара-
метры простой формулой:

G(X) = 2πLρRh.
(6)

Несущая способность конструкции может определяться тре-
мя различными механизмами: прочностью, общей устойчивостью
(устойчивостью стержня) и местной устойчивостью (устойчиво-
стью конструкции как тонкостенной цилиндрической оболочки).

8

Каждому из них соответствует свое значение предельной нагруз-
ки. При возрастании нагрузки P конструкция разрушится по тому
механизму, которому соответствует наименьшее из этих значений.
Таким образом, максимизация несущей способности представляет
собой максимизацию наименьшей из трех функций:

max Pпред (X) = max
X∈Dx min
-
Pпр (X), P (об)
уст (X), P (м)
уст (X)
-
.
(7)

Предельная нагрузка по прочности конструкции представляет
собой произведение предельного напряжения при сжатии и пло-
щади поперечного сечения:

Pпр(X) = 2π[σ]Rh.
(8)

Предельная нагрузка по общей (стержневой) устойчивости опре-
деляется формулой Эйлера [2]

P (об)
уст (X) = π2EI
L2
= π3E
L2
R3h;
(9)

предельная нагрузка по местной (оболочечной) устойчивости для
изотропной цилиндрической оболочки [2] — по формуле

P (м)
уст (X) =
2πkE
-
3 (1 − ν2)
h2.
(10)

Решение задачи векторной оптимизации проводится в соот-
ветствии с методикой, описанной в подразд. 1.1. Выбирается один
из критериев качества — несущая способность — и решается вспо-
могательная скалярная задача (1):

max Pпред(X) при G(X) ⩽ G,
(11)

где допустимое значение ограничения G — переменная величина.
Еще более упрощается вспомогательная задача при допуще-
нии о том, что ограничение (11) для оптимальных проектов все-
гда должно выполняться в виде равенства (справедливость этого
утверждения проверяется по ходу решения). Таким образом, вспо-
могательная задача формулируется следующим образом:

max min
-
Pпр (X), P (об)
уст (X), P (м)
уст (X)
-
при G(X) = const.
(12)

9

Условие G(X) = const связывает варьируемые параметры, так
что один из них можно выразить через другой:

R =
G
2πLρ

1
h.
(13)

Подставив (13) в формулы (8)—(10), можно получить выраже-
ния для составляющих несущей способности стержня фиксиро-
ванной массы:

Pпр = [σ]
Lρ G;

P (об)
уст = EG3

8L5ρ3

1
h2 ;

P (м)
уст =
2πkE
-
3 (1 − ν2)
h2.

(14)

Зависимости (14) изображены на рис. 2. На рис. 2, а показано
условие прочности; зона прочности выделена затемнением. Так же
затемнением на рис. 2, б показана зона общей устойчивости, а на
рис. 2, г — зона местной устойчивости.

Рис. 2. Границы зон прочности (а), общей (б) и местной (в)
устойчивости для стержня фиксированной массы

Теперь нужно совместить графики и отыскать максимум несу-
щей способности в зоне, где все три затемненные зоны совпадают.
Однако совмещать эти графики следует не во всем первом квадран-
те плоскости варьируемых параметров, а только лишь в области
допустимых решений Dx, которая в данном случае определяется

10