Нейронные сети в прикладной экономике

Министерство образования и науки российской Федерации 

уральский Федеральный университет  
иМени первого президента россии б. н. ельцина

е. а. трофимова 
вл. д. Мазуров 
д. в. гилёв

нейронные сети 
в прикладной эконоМике

рекомендовано методическим советом урФу 
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по программе магистратуры по направлению подготовки  
38.04.01 «экономика»

екатеринбург 
издательство уральского университета 
2017

ббк у.в631я73-1
 
т 761

р е ц е н з е н т ы:
М. Ю. Хачай, доктор физико-математических наук,
заведующий отделом математического программирования
(институт математики и механики им. н. н. красовского уро ран);

а. М. асадов, доктор юридических наук,
ректор уральского института экономики, управления и права

п о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й
е. а. трофимовой

Трофимова, Е. А.
т 761  
нейронные сети в прикладной экономике : [учеб. пособие] / 
е. а. трофимова, вл. д. Мазуров, д. в. гилёв ; [под общ. ред. 
е. а. трофимовой] ; М-во образования и науки рос. Федерации, 
урал. федер. ун-т. — екатеринбург : изд-во урал. ун-та, 2017. — 96 с. 

ISBN 978-5-7996-2018-9

в учебном пособии показаны методы настройки нейронных се-
тей и распознавания образов для решения задач прикладной экономики, 
в том числе персептрон розенблатта, сеть Хемминга, методы линейного 
программирования. рассмотрены также методы коллективных решений. 
приводятся примеры задач и упражнения.
для магистрантов, изучающих дисциплину «нейронные сети в при-
кладной экономике».

ббк у.в631я73-1

© уральский федеральный университет, 2017
ISBN 978-5-7996-2018-9

ОглАвлЕниЕ

ПрЕдислОвиЕ ........................................................................................................5

1. ОснОвныЕ зАдАчи рАсПОзнАвАния ОбрАзОв .................................7
1.1. примеры задач распознавания образов ..........................................................7
1.2. некоторые сведения из высшей математики ...............................................10
1.3. интеллектуальный анализ данных ...............................................................20

2. МАТЕМАТичЕскиЕ МЕТОды рАсПОзнАвАния ОбрАзОв ............22
2.1. общие представления о задаче распознавания образов .............................22
2.2. три типа основных задач распознавания образов .......................................24
2.2.1. задачи обучения распознаванию образов ..........................................24
2.2.2. задача минимизации описания ...........................................................25
2.2.3. задача таксономии или самообучения (кластер-анализ) ..................27
2.3. Модель дискриминантного анализа ..............................................................27
2.3.1. двухклассовый случай ........................................................................27
2.3.2. Модель дискриминантного анализа для k классов ...........................30
2.4. Методы дискриминантного анализа .............................................................33
2.4.1. Метод коррекции ..................................................................................33
2.4.2. линейное программирование .............................................................36
2.4.3. Метод свертки ......................................................................................37
2.4.4. Метод комитетов в дискриминантном анализе .................................40
2.4.5. Методы построения комитетов систем неравенств ..........................42
2.5. Модель таксономии ........................................................................................44
2.5.1. Метод выделения максимальных совместных подсистем ...............45
2.5.2. Метод cфер............................................................................................46

3. МОдЕли искуссТвЕнных нЕйрОнных сЕТЕй ............................47
3.1. биологическая модель нейрона .....................................................................47
3.2. Модель кибернетического нейрона ...............................................................48
3.3. классификация нейронных сетей и их свойства .........................................53
3.4. основная задача нейронных сетей ................................................................55
3.5. постановка задачи обучения нейронных сетей ...........................................57
3.6. построение нейронной сети ..........................................................................58

4. МОдЕли искуссТвЕнных нЕйрОнных сЕТЕй ............................59
4.1. персептрон розенблатта ................................................................................59
4.2. сеть Хопфилда ................................................................................................60
4.3. сеть Хемминга ................................................................................................63
4.4. сеть кохонена .................................................................................................64
4.5. нейронная сеть с генетическим алгоритмом обучения ..............................66

5. дОПОлниТЕльныЕ глАвы нЕйрОнных сЕТЕй .............................69
5.1. исторические сведения из области распознавания образов  
и нейронных сетей .........................................................................................69
5.2. распознавание в экономике ...........................................................................76
5.3. Метод ближайших соседей и комитетные конструкции .............................86

зАдАчи для сАМОсТОяТЕльнОгО рЕшЕния ......................................91

сПисОк рЕкОМЕндуЕМОй лиТЕрАТуры ...............................................94

ПрЕдислОвиЕ

предпосылкой написания данного пособия явилась необ-
ходимость проведения экономических расчетов с максимально 
возможной точностью, которые основывались бы на уже имею-
щемся опыте. например, традиционные методы прогнозирования 
спроса на некоторую продукцию в настоящее время уже не счита-
ются хорошими с точки зрения точности. более того, прогресс не 
стоит на месте, появляются новые задачи, которые также требуют 
и точности, и быстроты, и простоты их решения. к таким задачам 
можно отнести скоринг-анализ — попытку банка дать прогноз 
платежеспособности клиента и дальнейшего решения о выдаче 
ему займа. нередко встречается и задача контроля над инвести-
циями, которая выливается в задачу прогнозирования банкротства 
предприятий и т. д.
и подобных задач много. они встречаются в экономике, тех-
нике, производстве, медицине, биологии, геологии, военном деле 
и во многих других областях и послужили в какой-то степени раз-
витию эвМ, затем персональных компьютеров и многих различ-
ных компьютерных программ, которые помогают человеку решать 
описанные выше задачи, в том числе и по прогнозированию. все 
это вылилось в целое направление, которое назвали машинным 
обучением, или искусственным интеллектом.
если ранее только писатели-фантасты могли нас познакомить 
с тем, как некий робот полностью обслуживает человека, то сейчас 
это можно наблюдать повсеместно. однако обслуживать, настраи-
вать, создавать и направлять этих роботов (которые по сути своей 
есть компьютерная программа) должен человек.
безусловно, машинное обучение — огромный пласт, кото-
рый является фактически мультидисциплинарным. он объеди-
няет математиков, которые подготавливают так называемую тео-
ретическую основу программы; программистов, создающих ее 

«внутренность», и, безусловно, всех тех, ради кого программа 
и создается: физиков, экономистов, финансистов, медиков и дру-
гих специалистов, которые уже пользуются ею и, в свою очередь, 
предъявляют к ней свои требования, а также в какой-то степени ее 
дополняют.
стоит заметить, что без понимания основных ключевых поня-
тий очень сложно решить какую-то практическую задачу даже при 
помощи программы. ведь программа сама, без помощи человека, 
не сформулирует цель исследования, не сможет собрать соответст-
вующие данные, корректно их обработать. именно поэтому стоит 
заниматься изучением машинного обучения и экономистам, кото-
рые постоянно сталкиваются с задачами, которые нужно решать 
при помощи тех или иных программ.
главным образом в машинном обучении для экономистов 
можно выделить две основные части — эконометрику и нейрон-
ные сети. Что касается первой, то существует немало монографий 
и учебных пособий, в которых подробнейшим образом описаны 
теоретические аспекты и приведено немало практических задач. 
а вот по нейронным сетям тоже достаточно различных пособий, 
однако нет такого, которое бы объединяло нейронные сети с пози-
ции задачи обучения, раскрывая ее суть, показывая, что нейрон-
ные сети в целом решают задачу распознавания образов.
в данном пособии выбран подход, который ориентирован 
именно на экономистов. показано, что многие задачи прогнози-
рования в экономике сводятся к математическим моделям, кото-
рые, в свою очередь, уже на языке математики можно привести 
к задачам распознавания образов (задачам обучения), а последние 
уже решаются при помощи нейронных сетей. именно поэтому 
в пособии четко прослеживается цепочка: экономическая пред-
посылка ⇒ математическая постановка ⇒ компьютерный алго-
ритм. для ее реализации сначала дается общая постановка машин-
ного обучения, характеристика распознавания образов, затем 
приводятся некоторые необходимые математические сведения, 
а после — уже конкретные методы распознавания образов и спо-
собы их решения, т. е. разновидности нейронных сетей.

1. ОснОвныЕ зАдАчи  
рАсПОзнАвАния ОбрАзОв

1.1. Примеры задач распознавания образов

в информационную эпоху человек просто не справляется 
с тем огромным потоком информации, который ему поступает — 
дома, на работе, на улице. Человеческий мозг не справляется 
с информационными перегрузками, ведь ему постоянно прихо-
дится решать массу задач в режиме одновременности восприя-
тия и мышления. к мозгу подходит некий импульс, который он 
правильно идентифицирует и позволяет человеку принять то или 
иное решение. например, стоя у светофора на перекрестке, мы 
распознаем цвет, как только загорается зеленый — следует дей-
ствие: мы переходим дорогу. и подобных задач, в которых прихо-
дится как раз что-то распознавать или идентифицировать, немало.
примеры задач распознавания:
 • скоринг-анализ (задача классификации платежеспособно-
сти заемщика для последующего решения о выдаче займа);
 • задача распознавания штрих-кода (данная задача уже повсе-
местно используется);
 • распознавание автомобильных номеров;
 • распознавание лиц;
 • распознавание сетчатки глаза;
 • распознавание участков земной коры для нахождения 
полезных ископаемых с некоторой вероятностью;
 • распознавание изображений;
 • классификация документов и т. д.
задачи распознавания относятся к задачам теории распознава-
ния образов, которые сами по себе междисциплинарные.
приведем нестрогое определение распознавания образов: рас-
познавание образов — это отнесение исходных данных к опреде-
ленному классу с помощью выделения существенных признаков, 

характеризующих эти данные из общей массы несущественных 
данных. из такой формулировки становится понятно, что у нас 
имеются некоторые данные. как они заданы? откуда мы их взяли? 
достоверны ли они? на эти вопросы мы ответим чуть позже, сей-
час же будем считать, что данные у нас приведены в некотором 
понятном для нас виде.
эти данные относятся к каким-то исследуемым нами объек-
там и характеризуют их. то есть получается, что мы имеем про-
извольное множество объектов. у каждого множества и у каж-
дого объекта есть своя информация — свои характеристики. нам 
также известна информация о классах (образах), которые, в свою 
очередь, являются подмножествами множества объектов. необхо-
димо провести классификацию, т. е. указать, к какому классу при-
надлежит тот или ной объект.
возможны различные случаи разделения объектов на классы. 
например, объекты можно разделить линией (прямой), которую 
легко описать математически.
на рис. 1 приведен случай, когда имеются два класса объектов 
и они легко разбиваются прямой, что, однако, не всегда возможно, 
иногда, чтобы разделить объекты, необходимо использовать нели-
нейные кривые, как это показано на рис. 2.

 

 

 
 

 

 
Объекты первого класса
Объекты второго класса

рис. 1

рис. 2

более строгая математическая формулировка будет приведена 
позже. сейчас же стоит обсудить те вопросы, которые у нас возни-
кали по ходу формулирования неформального определения задачи 
распознавания образов, а также некоторые проблемы проведения 
классификации:
 • разнообразный большой объем данных;
 • противоречивость данных;
 • неформальность (плохая формализуемость) данных.
довольно часто информация, предоставляемая нам об объек-
тах, достаточно лаконичная и неполная. Многие фирмы скрывают 
свою отчетность от посторонних глаз, а значит, владея неполной 
информацией, мы не сможем точно классифицировать их на пла-
тежеспособных и на неплатежеспособных.
в некоторых случаях данные просто противоречат друг другу, 
зависят друг от друга. в экономических задачах нередко встреча-
ется ситуация, когда данные трудно выразить в количественном 
отношении. и тут встает вопрос о том, в какой форме вообще 
должны быть данные. в распознавании образов от неформаль-
ной постановки задачи, как правило текстовой, обычно перехо-
дят к математической модели. а раз так, то все данные должны 
каким-то образом выражаться количественно. понятно, что если 
это клиент банка, то мы можем количественно выразить его воз-
раст, стаж, размер заработной платы и т. п. некоторые качествен-
ные характеристики, такие как уровень образования, также можно 
попытаться выразить количественно, при помощи дамми-пере-
менных (т. е., например, 0 — среднее образование, 1 — среднее 

специальное, 2 — высшее). однако как выразить амбиции, талант? 
это уже нерешаемый на данный момент вопрос, из-за которого 
в некоторых случаях теряется точность прогнозирования.
однако, если считать, что мы все-таки собрали хорошие 
данные, составили по ним математическую модель, то нужно 
непосредственно эту модель с использованием математического 
инструментария решить. в связи с чем встает еще одна проблема: 
человек не может интерпретировать такой большой объем инфор-
мации, и ему на помощь приходит компьютерная программа. если 
говорить конкретнее, то для решения задач распознавания образов 
используют такой аппарат, как нейронные сети, которому и посвя-
щено данное пособие.
перед тем как перейти к изучению непосредственно нейрон-
ных сетей, нам необходимо, во-первых, разобраться с тем, как 
добывать правильные данные; во-вторых, как их грамотно интер-
претировать математическим языком, а для этого вспомнить неко-
торые элементы теории множеств и линейной алгебры; в-третьих, 
иметь четкое представление о задаче распознавания образов, т. е. 
уметь ставить ее математическую модель, чтобы ясно понимать, 
какая конкретно помощь нейронных сетей нам нужна, а уже затем 
можно переходить непосредственно к знакомству с нейронными 
сетями, их архитектурой, возможностями и недостатками.
некоторые свойства нейронных сетей:
«+»: нейронная сеть обучаема: чем больше ей дается инфор-
мации, тем лучше нейронная сеть выдаст результат;
«+»: высокая степень параллельности;
«−»: зашумленность (искажение).

1.2. некоторые сведения  
из высшей математики

рассмотрим векторы 
 где 
 — ком-
поненты вектора α, т. е. вектор α — это множество компонент; 

 — множество векторов.

Определение. Линейное векторное пространство V — это 
множество векторов, на котором определены операции умножения 
на скаляр («· α») и сложение векторов («+»), где данные операции 
имеют следующие свойства:

1) 
 и выполнено  
  (свойство 
коммутативности);

2) 
  
  
 (свойство дистри-
бутивности скаляра относительно суммы векторов);

3) 
  
  
 (свойство дистрибу-
тивности вектора относительно суммы скаляров);

4) 
  
  
  
 
и  
 (свойство ассоциатив-
ности);

5) 
 
 
, 
 
и 
 

6) 
  
 (существование нулевого эле-
мента), где 0 = (0, 0, …, 0) — нулевой вектор;

7) 
  

пример векторного пространства:

(
)
1
2
, 
 
,
,
,
,
n
n
x = ξ ξ
ξ
…

  где  
iξ ∈ ,

при условии, что на нем определены покомпонентная сумма 
и умножение на число.

Определение. < x, y > — скалярное произведение:

1
 
,
,

n

i
i

i
x y

=
=
<
>
ξ ζ
∑
 где  
; 

п р и м е р. пусть дано 
(
)
(
)

3,
1, 2, 5 ,
3, 4,
1 .
x
y
=
=
−


< x, y > = 1 · 3 + 2 · 4 + 5 · (−1) = 3 + 8 − 5 = 6.

свойства скалярного произведения

1)
 ,   
, 
  
, 
;
x y V
x y
y x
∀
∈
<
> = <
>

 ,     
,
,
;
2)
  
x y V
x y
x y
∀
∈ ∀α∈
< α
> = α <
>


 , ,   
  , 
,
3)
,
;
x y z V
x
y z
x z
y z
∀
∈
<
+
> = <
> + <
>

 т. е. 

нулевому вектору.

Определение. если < x, y > = 0, то 
 т. е. вектор х ортого-
нален вектору y.
Замечание. нулевой вектор ортогонален сам себе и всем дру-
гим векторам.
d (x, y) — расстояние между двумя векторами (метрика).

свойства расстояния

( ,
1)
) 0, 
d x y ≥
  причем  ( , )
0
;
d x y
x
y
=
⇔
=

(
)
,
2)
( , );
d x y
d y x
=

(
)
(
)
,
,
( ,
3)
)
d x z
d x y
d y z
≤
+
 (аксиома треугольника или нера-
венство треугольника).

Определение. Евклидово расстояние:

(
)
(
) (
)
(
)

2
1
1
2
2
1
,
(
) .

n

n
n
i
i
i
d x y

=
=
ξ − ς
+ ξ − ς
+…+ ξ − ς
=
ξ − ς
∑

(
)
:
,
.
d x y = ξ − ς


x  — норма (длина) вектора х.

Определение. Пространство, на котором определена норма, 
называется нормированным.