Центрально существенные кольца

А.А. Туганбаев 

ЦЕНТРАЛЬНО  

СУЩЕСТВЕННЫЕ  

КОЛЬЦА 

Монография 

Москва 

Издательство «ФЛИНТА» 

2022 

 
 

УДК 512.55 
ББК  22.144 

Т81 

Т81     

Туганбаев А.А. 
  Центрально  существенные  кольца :  монография  / 
А.А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 160 с. — 
ISBN 978-5-9765-5093-3. — Текст : электронный.

Монография является первой в мире книгой, где систе-

матически изучаются интенсивно изучаемые математи-
ками кольца R, являющиеся существенными расширени-
ями модулей RC над своим центром C (центрально суще-
ственные кольца). В книге изучаются как центрально суще-
ственные ассоциативные кольца (с единицей и без еди-
ницы), так и центрально существенные полукольца и не- 
ассоциативные кольца, а также алгебраические конструк-
ции, приводящие к таким кольцам. 

Книга может служить основой специальных курсов для
студентов и аспирантов, а также быть полезна профессио-
нальным математикам и преподавателям математики. 

УДК 512.55 
ББК  22.144 

ISBN 978-5-9765-5093-3  
 © Туганбаев А.А., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Оглавление 

 
Введение 
5 

Глава 1. Полупервичные, локальные, совершенные 
и полуартиновы кольца ................................................... 
 
11 
1.1. Общие свойства ............................................................ 
11 
1.2. Полупервичные и несингулярные кольца .................. 
17 

1.3. Локальные и полусовершенные кольца ..................... 
20 

1.4. Совершенные и полуартиновы кольца ....................... 
22 

Глава 2. Градуированные кольца  
и внешние алгебры ............................................................ 
 
26 

2.1. Градуированные кольца ............................................... 
26 

2.2. Внешние алгебры над полями ..................................... 
29 

2.3. Внешние алгебры над кольцами ................................. 
31 

Глава 3. Конструкции колец ........................................... 
36 

3.1. Кольца многочленов, рядов и частных ...................... 
36 

3.2. Групповые кольца ........................................................ 
39 

3.3. Кольца частных, групповые  
и полугрупповые кольца ..................................................... 
 
49 

3.3.1. Кольца частных и групповые кольца .............. 
49 

3.3.2. Кольца частных и полугрупповые кольца ...... 
56 

3.4. Конструкция одного ЦС кольца .................................. 
63 

3.5. ЦС кольцо R с некоммутативным R/J(R) ................... 
67 

3.6. Локальные подалгебры треугольных алгебр ............. 
71 

3.7. Кольца эндоморфизмов абелевых групп .................... 
81 

Глава 4. Дистрибутивные и цепные кольца ................ 
93 

4.1. Цепные артиновы кольца ............................................ 
93 

4.2. Цепные нётеровы кольца ............................................. 
100 

4.3. Кольца с плоскими идеалами ...................................... 
108 

4.4. Дистрибутивные нётеровы кольца ............................. 
113 

Глава 5. Центрально существенные полукольца ....... 
121 

5.1. Общие сведения ............................................................ 
121 

Глава 6. Неассоциативные кольца ................................ 
131 

6.1. Виды центральной существенности ........................... 
131 

6.2. Приведенные и полупервичные кольца ..................... 
135 

6.3. Процесс Кэли-Диксона ................................................ 
140 
6.4. Процесс Кэли-Диксона и центральная  
существенность ................................................................... 
 
144 

6.5. Алгебры кватернионов и октонионов ........................ 
148 

Литература ........................................................................... 
151 

Некоторые обозначения ...................................................... 
156 

Предметный указатель ........................................................ 
158 

 
 
 

Введение

Памяти Виктора Тимофеевича Маркова

Во введении и главах 1–5 слово кольцо означает ассоциативное
кольцо. По умолчанию предполагается, что кольцо обладает
ненулевой единицей; случай не обязательно унитальных ко-
лец оговаривается особо. В главе 6 слово кольцо означает не
обязательно ассоциативное кольцо.

Не обязательно унитальное кольцо A называется центрально
существенным или ЦС кольцом, если либо A коммутативно,
либо для любого нецентрального элемента a ∈ A существу-
ют такие ненулевые центральные элементы x и y, что ax = y.

Ясно, что любое коммутативное кольцо является централь-
но существенным. Унитальное кольцо A с центром Z(A) цен-
трально существенно в точности тогда, когда Z(A)-модуль A
– существенное расширение Z(A)-модуля Z(A).

Глядя на определение центрально существенного кольца A мо-
жет показаться, что такое кольцо, возможно, коммутативно.
Действительно, A обладает многими свойствами коммутатив-
ных колец. Например:

• все идемпотенты кольца A центральны (см. 1.1.4 ниже);

• если кольцо A полупервично, то кольцо A коммутативно
(см. теорему 1.2.2 ниже);

• Если A – центрально существенное локальное кольцо, то

5

кольцо A/J(A) – поле и поэтому коммутативно; см. 1.3.2.

• Если A – полуартиново справа или слева, центрально су-
щественное кольцо, то фактор-кольцо A/J(A) коммута-
тивно; см. теорему 1.4.5.

Однако, центрально существенное кольцо A может быть весь-
ма далеким от коммутативного кольца. Например:

• фактор-кольцо A/J(A) кольца A по первичному радика-
лу может не быть центрально существенным и, в частно-
сти, полупервичное кольцо A/J(A) может не быть ком-
мутативным (см. теорему 3.5.5);

• фактор-кольца кольца A по идеалам, порожденным цен-
тральными идемпотентами, не обязательно центрально
существенны (см. пример 2.2.5);

• фактор-кольца кольца A не обязательно центрально су-
щественны (см. два предыдущих пункта);

• существуют конечные некоммутативные центрально су-
щественные групповые алгебры; пример 1 ниже;

• существуют конечные некоммутативные центрально су-
щественные внешние алгебры (см. пример 2 ниже);

• существуют такие абелевы группы G без кручения ко-
нечного ранга, что их кольца эндоморфизмов являются
некоммутативными центрально существенными кольца-
ми (см. теорему 3.7.13(c)).

Пример 1. Пусть F – поле порядка 2 и G = Q8 – группа
кватернионов порядка 8, т.е. G – группа с двумя образую-
щими a, b и определяющими соотношениями a4 = 1, a2 = b2

и aba−1 = b−1; см. [24, Section 4.4]. Тогда групповая алгебра

6

FG – некоммутативное конечное локальное центрально суще-
ственное кольцо, состоящее из 256 элементов (это следует из
предложения 3.2.4 ниже).

Приведем некоторые необходимые понятия. Для кольца A обозначим 
через Z(A) (или C(A)), J(A), N(A) и K(A) центр, радикал 
Джекобсона, первичный радикал и радикал Кёте (т.е.
сумму всех ниль-идеалов, которая является наибольшим ниль-
идеалом) соответственно. Мы также положим [a, b] = ab − ba
для любых двух элементов a, b кольца A. Для группы или полугруппы 
X через Z(X) (или C(X)) обозначается ее центр.

Пример 2. Приведем еще один пример некоммутативного конечного 
центрально существенного кольца. Пусть F – поле
из трех элементов, V – векторное F-пространство с базисом
e1, e2, e3, и пусть Λ(V ) – внешняя алгебра1 для V . Так как
e1 ∧ e1 = e2 ∧ e2 = e3 ∧ e3 = 0 и любое произведение образующих 
равно ±произведению образующих с возрастающими
индексами, Λ(V ) – конечная 8-мерная F-алгебра с базисом

{1, e1, e2, e3, e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3, e1 ∧ e2 ∧ e3},

|Λ(V )| = 38, ek ∧ ei ∧ ej = −ei ∧ ek ∧ ej = ei ∧ ej ∧ ek.

Поэтому, если x = α0 · 1 + α1
1e1 + α2
1e2 + α3
1e3+

+α1
2e1 ∧ e2 + α2
2e1 ∧ e3 + α3
2e2 ∧ e3 + α3e1 ∧ e2 ∧ e3, то

[e1, x] =
2α2
1e1 ∧ e2 + 2α3
1e1 ∧ e3,
[e2, x] = − 2α1
1e1 ∧ e2 + 2α3
1e2 ∧ e3,
[e3, x] = − 2α1
1e1 ∧ e3 − 2α2
1e2 ∧ e3.

Поэтому x лежит в центре Z(Λ(V )) алгебры Λ(V ) в точности
тогда, когда α1
1 = α2
1 = α3
1 = 0, откуда центр алгебры Λ(V )
имеет размерность 5. При этом, если α1
1 ̸= 0, то

x ∧ (e2 ∧ e3) = α0e2 ∧ e3 + α1
1e1 ∧ e2 ∧ e3 ∈ Z(Λ(V )) \ {0}.

1См. 2.2.1.

7

Кроме того, e2∧e3 ∈ Z(Λ(V )). Аналогичные рассуждаем, если
α2
1 ̸= 0 или α3
1 ̸= 0. Поэтому Λ(V ) – конечное центрально
существенное некоммутативное кольцо.

Пример 3. Этот пример, утверждение (∗) и его доказательство 
принадлежат рецензенту статьи [43], любезно предоставившему 
примеры некоммутативных центрально существенных 
колец, возникающих из конструкции, описанной в [28].

(∗) Если B – такой идеал кольца A, что B ⊆ Z(A) и A/B –
поле, то A – центрально существенное кольцо.

Допустим, что A некоммутативно и a – нецентральный элемент 
в A. Если aB ̸= 0 то ясно, что Z(A) ∩ aZ(A) ̸= 0. Допустим 
противное, т.е. aB = 0. Так как a /∈ B и A/B – поле, то
элемент a обратим по модулю B, т.е. sa = 1−x для некоторых
s ∈ A и x ∈ B. Для любого y ∈ B имеем 0 = say = y − xy,
откуда xB = B = xA, x – центральный идемпотент, и A имеет
пирсовское разложение A = Ax ⊕ A(1 − x) где оба слагаемых 
Ax = B и A(1 − x) ∼= A/B коммутативны. Поэтому A
коммутативно. Это противоречит выбору A, и (∗) верно.

Остается рассмотреть простейший случай конструкции, приведенной 
в [28, Proposition 7] (мы сохраняем обозначения этой
статьи). Пусть F = Q(x, y) – поле рациональных функций.

Рассмотрим две частные производные d1 =
∂
∂x и d2 =
∂
∂x.

Тогда кольцо A = T(F, F) матриц
⎧
⎨

⎩

⎛

⎝
f
d1(f)
g
0
f
d2(f)
0
0
f

⎞

⎠

f, g ∈ F

⎫
⎬

⎭

и его идеал

B = ˆF =

⎧
⎨

⎩

⎛

⎝
0 0 g
0 0 0
0 0 0

⎞

⎠

g ∈ F

⎫
⎬

⎭

8

удовлетворяют условиям утверждения (∗). Приведем некоторые определения. Для модуля M цоколем
Soc M называется сумма всех простых подмодулей в M; если
M не содержит простых подмодулей, то Soc M = 0 по определению. 
Модуль M называется конечномерным (в смысле Гол-
ди), если M не содержит подмодуля, который является бесконечной 
прямой суммой ненулевых подмодулей. Модуль M
называется нетеровым (соотв., артиновым), если M не содержит 
бесконечную строго возрастающую (соотв., строго убывающую) 
цепь подмодулей. Прямые слагаемые свободных модулей 
называются проективными модулями. Модуль M называется 
наследственным, если все подмодули модуля M проективны. 
Модуль M называется дистрибутивным (соотв., цепным),
если решетка подмодулей модуля M дистрибутивна (соотв.,
является цепью). Напомним, что модуль X называется существенным 
расширением подмодуля Y модуля X, если Y ∩Z ̸= 0
для любого ненулевого подмодуля Z в X. В этом случае Y
называется существенным подмодулем модуля X. Подмодуль
Y модуля X называется замкнутым (в X), если Y = Y ′ для
любого подмодуля Y ′ модуля X, являющегося существенным
расширением модуля Y .

Кольцо A называется областью, если A не имеет ненулевых де-
лителей нуля. Коммутативная область A называется дедекин-
довой областью, если A – коммутативная наследственная нёте-
рова область. Если A – кольцо, то собственный идеал B коль-
ца A называется вполне первичным если фактoр-кольцо A/B
– область. Кольцо A называется инвариантным справа (соотв.,
инвариантным слева), если все правые (соотв., левые) идеалы
кольца A являются идеалами. Кольцо R называется полупер-
вичным (соотв., первичным), если R не имеет нильпотентных
ненулевых идеалов (соотв., произведение любых двух ненуле-
вых идеалов кольца R не равно нулю). Кольцо R называется

9

арифметическим, если решетка его двусторонних идеалов дис-
трибутивна, т.е. X ∩(Y +Z) = X ∩Y +X ∩Z для любых трех
идеалов X, Y, Z кольца R. Ясно, что коммутативное кольцо
дистрибутивно справа (соотв., слева) в точности тогда, когда
кольцо арифметично. Элемент r кольца R называется левым
неделителем нуля или регулярным справа элементом, если из
соотношения rx = 0 следует соотношение x = 0 для любого
x ∈ R. Заметим, что односторонние делители нуля являют-
ся двусторонними делителями нуля в центрально существен-
ном кольце; см. 1.1.2(a). Кольцо R имеет правое (соотв., левое)
классическое кольцо частных Qcl(Rr) (соотв., Qcl(Rl)) в точно-
сти тогда, когда для любых таких двух элементов a, b ∈ R, что
b – неделитель нуля, существуют такие элементы c, d ∈ R, что
d – неделитель нуля и bc = ad (соотв., cb = da). Если кольца
Qcl(Rr) и Qcl(Rl) существуют, то они изоморфны друг другу
над R. В этом случае говорят, что существует двустороннее
кольцо частных Qcl(R).

Для кольца R и подмножества S в R обозначим через ℓR(S)
левый аннулятор {r ∈ R | rS = 0} множества S. Правый ан-
нулятор rR(S) определяется аналогично. Для правого (соотв.,
левого) R-модуля M его вполне инвариантный подмодуль, об-
разованный всеми элементами, аннуляторы которых являются
существенными правыми (соотв., левыми) идеалами в R, на-
зывается сингулярным подмодулем для M и обозначается через
SingM. При M = RR (соотв., M = RR) идеал SingM называ-
ется правым (соотв., левым) сингулярным идеалом кольца R.

Необходимая информация по теории колец содержится в [61],
[3], [33], [69], [26], [32]. Информацию об абелевых группах см.
в [20] и [31].

Автор благодарен А.Н.Абызову и О.В.Любимцеву за участие
в редактировании рукописи.

10

Глава 1

Полупервичные, локальные,
совершенные и полуартиновы
кольца

В главе 1 слово кольцо означает ассоциативное кольцо. По
умолчанию предполагается, что кольцо обладает ненулевой
единицей; случай не обязательно унитальных колец оговаривается 
особо.

1.1
Общие свойства

1.1.1. Замечание.
Если A – кольцо, в котором множество B всех левых делителей
нуля является идеалом, то B – вполне первичный идеал.

Пусть a, b ∈ A и ab ∈ B. Тогда существует такой элемент
x ∈ A \ {0}, что abx = 0. Если bx = 0, то b ∈ B. В противном
случае из соотношения a(bx) = 0 следует, что a ∈ B. 1.1.2. Неделители нуля в ЦС кольцах.
Пусть A – центрально существенное кольцо.

a. Каждый левый (соотв., правый) неделитель нуля a кольца

11

A – правый (соотв., левый) неделитель нуля кольца A.

b. Кольцо A равномерно1 слева в точности тогда, когда A равномерно 
справа.

c. Если кольцо A равномерно справа и B = Sing AA, то B –
множество всех (левых или правых) делителей нуля кольца A
и B – вполне первичный идеал кольца A.

d. Если кольцо A имеет собственный идеал B, содержащий
все левые делители нуля кольца A, то фактор-кольцо A/B
коммутативно.

e. Если идеал B кольца A содержит все центральные делители
нуля кольца A, то ℓ.AnnA(B) ⊆ Z(A).

a. Рассмотрим только случай, где a – левый неделитель
нуля. Можно считать, что a – центральный элемент кольца A.
Допустим противное. Тогда ba = 0 для некоторого ненулевого
элемента b кольца A. Так как b ̸= 0, то существуют такие
ненулевые центральные элементы x, y кольца A, что bx = y ̸=
0. Тогда ya = bxa = bax = 0. Получено противоречие.

b. Допустим, что кольцо A равномерно справа и a1, a2 – нену-
левые элементы кольца A. Существуют такие ненулевые цен-
тральные элементы x1, x2, y1, y2 кольца A, что a1x1 = y1,
a2x2 = y2. Тогда

Aa1 ∩ Aa2 ⊇ Ax1a1 ∩ Ax2a2 = a1x1A ∩ a2x2A = y1A ∩ y2A ̸= 0.

c. По определению правого сингулярного идеала все его эле-
менты являются левыми делителями нуля. Наоборот, пусть a
– левый или правый делитель нуля кольца A. Тогда r(a) ̸= 0
в силу первого утверждения леммы; в равномерном справа
кольце, это означает, что r(a) – существенный правый идеал,
т.е. a ∈ B. Теперь используем замечание 1.1.1.

1Модуль M называется равномерным, если любые два его ненулевых подмодуля
имеют ненулевое пересечение.

12