Компьютерное моделирование нелинейной динамики : непрерывные модели

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

Министерство образования и науки российской Федерации

уральский Федеральный университет  

иМени первого президента россии б. н. ельцина

и. а. башкирцева, т. в. рязанова, л. б. ряшко

коМпьютерное Моделирование  
нелинейной динаМики
непрерывные модели

учебное пособие

рекомендовано методическим советом урФу
для студентов, обучающихся по программе бакалавриата 
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика»,
02.03.01 «Математика и компьютерные науки»,
02.03.02 «Фундаментальная информатика  
и информационные технологии»,
09.03.03 «прикладная информатика»

© уральский федеральный университет, 2017
ISBN 978-5-7996-2046-2

р е ц е н з е н т ы:
кафедра информационных технологий  
ано во «гуманитарный университет» 
(заведующий кафедрой
кандидат технических наук, доцент а. в. а г е н о с о в);
б. и. а н а н ь е в, доктор физико-математических наук,
ведущий научный сотрудник
института математики и механики им. н. н. красовского уро ран

удк 519.876.5(075.8)
      б334

Башкирцева, И. А.
компьютерное моделирование нелинейной динамики : непрерывные 
модели : учеб. пособие / и. а. башкирцева, т. в. рязанова, 
л. б. ряшко ; М-во образования и науки рос. Федерации, урал. федер. 
ун-т. — екатеринбург : изд-во урал. ун-та, 2017. — 84 с.

ISBN 978-5-7996-2046-2

учебное пособие является вводным курсом в методы моделирования и 
анализа разнообразных явлений нелинейной динамики, способствует развитию 
понимания внутренних механизмов сложных динамических процессов 
как детерминированных, так и стохастических систем, выработке навыков их 
компьютерного исследования.
адресовано студентам и аспирантам естественно-научных направлений — 
математикам, физикам, химикам и биологам.

б334

удк 519.876.5(075.8)

в настоящее время при исследовании сложных динамических 
процессов, наблюдаемых в различных разделах естествознания, 
наряду с аналитическими методами широко применяется компьютерное 
моделирование. в качестве математических моделей широко 
используются системы дифференциальных уравнений.
связи между взаимодействующими элементами динамических 
систем, как правило, носят нелинейный характер, что приводит 
к появлению разного рода нелинейностей в соответствующих математических 
моделях.
нелинейные системы отличаются от линейных наличием несравненно 
большего разнообразия возможных режимов функционирования. 
даже небольшое изменение параметров нелинейной 
модели может привести к резкому изменению динамики системы.
исследования  последних лет показали, что разнообразие динамики, 
наблюдаемое в нелинейных системах, можно свести к достаточно 
простым режимам, связанным с некоторыми повторяющимися 
для самых различных систем характерными типами решений. Эти 
характерные решения обладают важным свойством инвариантности. 
более того, к ним притягиваются многие другие решения исследуемой 
системы. знани е таких решений — аттракторов — позволяет 
получить представление об общей качественной картине динамики 
исследуемой нелинейной системы.
изменение параметров системы может существенно менять 
тип аттракторов. в этом случае говорят, что в системе произошла 
бифуркация.
каждая бифуркация — это радикальное изменение в динамике 
системы, сопровождающаяся исчезновением одних и появлением 
других, принципиально новых, режимов функционирования. одним 
из классических сценариев подобных преобразований служит 

Предисловие

цепочка бифуркаций: равновесие (точка покоя) — периодический 
режим (предельный цикл) — хаотический режим (странный аттрактор).

каждый переход в этой цепи сопровождается потерей устойчивости 
простого аттрактора и появлением нового, более сложного. 
таким образом, решение задачи отыскания у исследуемой системы 
аттракторов и последующий анализ их устойчивости является 
важнейшим шагом в понимании тонких механизмов ее динамики.
Функционирование любой реальной системы сопровождается 
воздействием тех или иных случайных возмущений. Шум, действующий 
в системе, может существенно деформировать ее динамику.
знакомство с широким кругом явлений нелинейной стохастической 
динамики, освоение методов их математического моделирования 
и компьютерного анализа представляется важной обязательной 
компонентой современного университетского образования студентов 
естественно-научных направлений — математиков, физиков, 
химиков и биологов.
в пособии обсуждаются основные явления и даются основы 
анализа нелинейных динамических систем, теории бифуркаций 
и стохастической динамики.
на примерах классических моделей излагаются основы теории 
устойчивости и стохастической чувствительности, приводятся ме-
тоды построения фазовых портретов и численного моделирования 
детерминированных и случайных траекторий.
заключительный параграф содержит набор заданий для ком-
пьютерного практикума.

1. Фазовый Портрет системы 
диФФеренциальных уравнений  
и его свойства

1.1. Основные понятия

автономная система дифференциальных уравнений в общем 
n-мерном случае задается следующим образом: 

 

1
1
1
2

2
2
1
2

1
2

(
,
,...,
)

(
,
,...,
)

(
,
,...,
)

n

n

n
n
n

x
f x x
x ,

x
f
x x
x ,

x
f
x x
x .

=

=

=








ее векторная запись имеет вид 

 
ẋ = f(x) 
(1)

где

 

1
1
1

2
2
1

1

(
,...,
)
(
,...,
)
=
,
( ) =
.

(
,...,
)

n

n

n
n
n

x
f x
x
x
f
x
x
x
f x

x
f
x
x





























пусть X ⊂ R
n — область определения функции f(x). предпо-
лагается, что при любых x(0) из X дифференциальное уравнение (1) 
имеет решение x = φ(t, x(0)), определенное для всех t ≥ 0, с начальным 
условием x(0) = x(0).
подробное геометрическое изображение решения x(t) с помо-
щью графика — интегральной кривой — требует (n + 1)-мерного 
пространства переменных t, x1, …, xn. если при n = 1 интегральные 
кривые располагаются на плоскости (t, x1) и их изображение не вы-
зывает особых затруднений, то уже при n = 2 соответствующие 
интегральные кривые лежат в трехмерном пространстве (t, x1, x2), 
что резко усложняет их наглядное представление.

1.2. Метод фазового пространства

для сокращения размерности можно пожертвовать переменной 
t, оставив только так называемые фазовые переменные x1, x2, …, xn, 
составляющие n-мерное фазовое пространство. при n = 2 фазовое 
пространство двумерно и называется фазовой плоскостью.
проекция интегральной кривой x(t) на фазовое пространство 
называется фазовой кривой или фазовой траекторией.
Множество фазовых кривых, отвечающих различным началь-
ным данным, называется фазовым портретом системы. во многих 
случаях фазовый портрет позволяет получить достаточно наглядное 
представление о динамике системы.
в каждой точке x фазового пространства системы (1) вектор 
f(x) есть вектор скорости движения системы вдоль фазовой кривой, 
проходящей через эту точку. вектор f(x) указывает направление 
касательной к соответствующей фазовой кривой.
Множество точек фазового пространства с указанными в них 
направлениями составляют поле направлений системы (1). поле 
направлений позволяет построить хотя бы приближенно фазовый 
портрет исследуемой системы. для этого линии, изображающие 
фазовые кривые, следует провести так, чтобы в каждой своей точке 
они имели касательную, совпадающую с полем направлений.

1.3. Устойчивость

основой качественного анализа динамических систем является 
исследование устойчивости.
Определение 1.1. решение x̅(t) системы (1) называется устой-
чивым по Ляпунову, если 

 
∀ε > 0  ∃δ > 0  : ∀t ≥ 0  ∀x(0)  

 
(0)
(0)
(0)
<
( )
( ,
) < .
x
x
x t
t x
−
δ ⇒
− ϕ
ε

в противном случае решение x̅(t) называется неустойчивым.

Определение 1.2. решение x̅(t)  системы (1) называется асимп-
тотически устойчивым, если оно устойчиво по ляпунову, и 

 
(0)
(0)
(0)
> 0:
(0)
<
( )
( ,
) = 0.
t
x
x
x
x t
t x
lim
→+∞
∃δ
∀
−
δ ⇒
− ϕ

Определение 1.3. решение x̅(t)  системы (1) называется экспо-
ненциально устойчивым, если 

 
∃α > 0  ∃K > 0  ∃δ > 0 : ∀t ≥ 0  ∀x(0)

 

(0)
(0)
(0)
(0)
<
( )
( ,
)
( )
.
t
x
x
x t
t x
Ke
x t
x
−α
−
δ ⇒
− ϕ
≤
−

Определение 1.4. Множество M ⊂ X называется инвариантом 
системы (1), если 

 
∀x(0) ∈ M  ∀t ≥ 0  φ(t, x(0)) ∈ M.

если x(0) ∈ M, то и во все последующие моменты времени 
φ(t, x(0)) ∈ M. простейшим примером инвариантного множества 
является точка покоя.
Определение 1.5. точка x̅ ∈ X  называется точкой покоя системы 
(1), если

 
∀t ≥ 0  φ(t, x̅) = x̅.

если x̅ — точка покоя, то f(x̅) = 0. все точки покоя системы (1) 
находятся из решения системы

 
f(x) = 0. 
(2)

другим примером инвариантного множества является цикл.
Определение 1.6. пусть ξ(t) является T-периодическим реше-
нием системы (1): ξ(t + T) = ξ(t). Множество г = {ξ(t) | 0 ≤ t < T} 
называется циклом.
в фазовом пространстве цикл изображается в виде замкнутой 
кривой. возьмем в качестве начальной произвольную точку цикла. 
Можно показать, что фазовая кривая соответствующего решения 
совпадает с циклом.

введем функцию ( , ) =
y Y
x Y
x
y
inf
∈

ρ
−
, задающую расстояние от 

фиксированной точки x до множества Y.
Определение 1.7. компактное инвариантное множество M си-
стемы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если справедливо 
следующее:

 
∀ε > 0  ∃δ > 0  : ∀t ≥ 0  ∀x(0).

 
ρ(x(0), M) < δ ⇒ ρ(φ(t, x(0)), M) < ε. 

Определение 1.8. компактное инвариантное множество M 
системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно 
устойчиво по ляпунову, и

 
(0)
(0)
(0)
> 0 :
(
,
) <
( ( ,
),
) = 0
t
x
x
M
t x
M
lim
→+∞
∃δ
∀
ρ
δ ⇒
ρ ϕ
.

при этом множество 
= {
|
( ( , ),
) = 0}

t
U
x
X
t x M
lim
→+∞
∈
ρ ϕ
  называется 

областью (бассейном) притяжения инвариантного множества M.
Определение 1.9. компактное инвариантное множество M си-
стемы (1) называется экспоненциально устойчивым, если 

 
∃α > 0  ∃K > 0  ∃δ > 0  : ∀t ≥ 0  ∀x(0)

 
ρ(x(0), M) < δ ⇒ ρ(φ(t, x(0)), M) ≤ Ke–αt ρ(x(0), M).

1.4. Фазовые портреты линейных систем

рассмотрим двумерную (n = 2) линейную систему 

 

11
12

21
22
=
,
=
a
a
x
Ax
A
a
a








.

пусть λ1, λ2 — собственные числа, а h1, h2 — линейно незави-
симые собственные векторы матрицы A. по этим данным общее 
решение системы записывается аналитически

 
x = c1eλ1th1 + c2eλ2th2.

здесь возможны следующие случаи:
а) λ1, λ2 — вещественные одного знака. Фазовый портрет — узел 
(рис. 1, а);
б) λ1, λ2 — вещественные разных знаков. Фазовый портрет — 
седло (рис. 1, б );
в) λ1,2 = α ± iβ — комплексно сопряженные (α ≠ 0). Фазовый 
портрет — фокус (рис. 1, в);
г) λ1,2 = ± iβ — чисто мнимые. Фазовый портрет — центр 
(рис. 1, г).

рис. 1. Фазовые портреты линейной системы:
а — узел,  б — седло,  в — фокус,  г — центр

при Re λ1,2 < 0 движение вдоль фазовых траекторий идет в на-
правлении точки покоя x̅ = 0 и 
= 0
tlim x( t )
.
→∞
 точка покоя x̅ = 0 — 
асимптотически устойчива. тогда говорят, что узел (фокус) является 
устойчивым.
при Re λ1,2 > 0 движение вдоль фазовых траекторий идет по на-
правлению от точки покоя в бесконечность. точка покоя x̅ = 0 
неустойчива. в этом случае говорят, что узел (фокус) является не-
устойчивым.
в случае центра Re λ1,2 = 0  движение происходит по замкнутым 
фазовым траекториям вокруг точки покоя. точка покоя x̅ = 0 устой-
чива (но не асимптотически).
в случае седла всегда имеется направление, движение по ко-
торому идет от точки покоя в бесконечность. поэтому здесь точка 
покоя  x̅ = 0 является неустойчивой.
приведенная здесь детальная классификация фазовых портре-
тов получена на основе аналитического представления для общего 
решения рассматриваемой линейной системы. построение точных 
аналитических решений для нелинейных систем возможно лишь 
в каких-то частных случаях.