Функциональный анализ в примерах и задачах
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Южный федеральный университет
Год издания: 2009
Кол-во страниц: 120
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9275-0683-5
Артикул: 635932.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.04: Прикладная математика
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» С. В. РЕВИНА Л. И. САЗОНОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2009
УДК 517.5 ББК 162 Р 32 Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент А. Б. Моргулис Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” на 2007-2010 гг.» Ревина С. В., Сазонов Л. И. Р 32 Функциональный анализ в примерах и задачах: учебное пособие / С. В. Ревина, Л. И. Сазонов. — Ростов н/Д: Изд- во ЮФУ, 2009. — 120 с. ISBN 978-5-9275-0683-5 С помощью большого количества примеров и упражнений излагаются основы функционального анализа — понятия метрических, банаховых и гильбертовых пространств, а также их свойства. Учебное пособие предназначено для студентов, преподавателей и всех желающих научиться применять функциональный анализ на практике. ISBN 978-5-9275-0683-5 УДК 517.5 ББК 162 © Ревина С. В., Сазонов Л. И., 2009 © Южный федеральный университет, 2009 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2009
Оглавление Введение 5 1 Основные понятия 6 L2 Примеры задания метрик на прямой' / / / / / / / / / / / 7 1.3 Неравенства Гельдера и Минковского............................... 8 1.4 Метрики в R” ................................................... 13 1.5 Шары в метрических пространствах................................ 15 1.6 Сходимость последовательностей ................................. 17 1.7 Эквивалентные метрики .......................................... 17 1.8 Декартово произведение метрических пространств.................. 18 1.9 Открытые и замкнутые множества.................................. 19 2 Пространства последовательностей 21 2.1 Определения пространств последовательностей..................... 21 2.2 Сходимость в пространствах последовательностей ................. 23 2.3 Связь между пространствами £р и S .............................. 25 2.4 Сепарабельность................................................. 25 2.5 Пример неархимедовой метрики.................................... 27 3 Пространства непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций 31 3.1 Линейные нормированные пространства С[а,Ь], С'”г[аД]............ 31 3.2 Примеры счетно-нормированных пространств........................ 33 4 Пространства Лебега 35 4.1 Пространства Lₚ(a, b), 1 р < сю ................................ 35 4.2 Экстремальные точки шара (0) в пространствах Lₚ(0,1) ........... 40 4.3 Пространство Loo (а, 0.......................................... 43 4.4 Пространства LP;/ₒc(Q).......................................... 46 5 Непрерывность отображений 48 6 Полнота метрических пространств 51 6.1 Определение полноты............................................. 51 6.2 Доказательство полноты.......................................... 52 6.3 Пример неполного пространства................................... 55 6.4 Теорема о пополнении............................................ 56 6.5 Принцип вложенных шаров и теорема Бэра.......................... 57 3
Принцип сжимающих отображений 59 7.1 Общие сведения................................................. 59 7.2 Применение к алгебраическим уравнениям и системам.............. 60 7.3 Применение к интегральным и дифференциальным уравнениям........ 65 8 Линейные нормированные пространства 72 8.1 Банаховы пространства.......................................... 72 8.2 Гильбертовы пространства....................................... 73 8.3 Эквивалентные нормы ........................................... 76 8.4 Подпространство................................................ 77 8.5 Геометрия гильбертова пространства............................. 78 8.6 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта........................... 79 8.7 Базисы банаховых и гильбертовых пространств.................... 81 9 Линейные операторы в линейных нормированных пространствах 86 9.1 Ограниченность и норма линейного оператора..................... 86 9.2 Обратимость линейного оператора ............................... 91 9.3 Сходимость элементов, операторов, функционалов................. 95 9.4 Сопряженный оператор........................................... 96 10 Компактность в метрических пространствах 100 10.1 Относительная компактность и ограниченность.................. 100 10.2 Критерий Хаусдорфа........................................... 101 10.3 Гильбертов кирпич ........................................... 102 10.4 Отображения на компактных множествах......................... 104 10.5 Компактность в С[0,1] ....................................... 107 10.6 Компактность в £2(0,1)....................................... 109 10.7 Линейные вполне непрерывные операторы........................ 110 11 Топологические пространства 116 Литература 118 4
В ведение Образование студента-прикладного математика немыслимо без изучения основ функционального анализа. Методы функционального анализа применяются в математической физике, математическом моделировании, гидродинамике, теории упругости и во многих других областях. Понятия функционального анализа, обладая высокой степенью абстрактности, позволяют выявить общие закономерности в процессах и явлениях, внешне, казалось бы, существенно различных. Функциональный анализ, возникший в конце XIX - начале XX века в трудах Д. Гильберта, М. Фреше, Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, С. Банаха, является сравнительно молодой математической дисциплиной. Весомый вклад в его развитие внесли российские математики А. Н. Колмогоров, Н. Н. Боголюбов, Л. В. Канторович, М. Г. Крейн, И. М. Гельфанд, С. Л. Соболев и др. Уровень преподавания функционального анализа в классических университетах традиционно высок. В настоящем учебном пособии в основном рассматриваются метрические и линейные нормированные пространства. Фундаментальные понятия и теоремы функционального анализа иллюстрируются простыми примерами. Авторы побуждают читателя самостоятельно работать, активно пользуясь литературой и решая задачи. Пособие прошло успешную многолетнюю апробацию на практических занятиях по функциональному анализу на мехмате Ростовского государственного (с 2007 г. — Южного федерального) университета. Авторы выражают благодарность своим студентам и коллегам за ценные замечания по содержанию книги. Особая благодарность М.Ю. Жукову и Е. В. Ширяевой за помощь в работе и создание макета издания. Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики и в лаборатории математической физики Южного математического института Владикавказского научного центра РАН при финансовой поддержке РФФИ (грант А² 07-01-92213-НЦНИЛ) и Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей шко-лы"(гранты А’⁰ 2.1.1/554 и А’⁰ 2.1.1/6095). 5
Глава 1 Основные понятия В этой главе основные определения теории метрических пространств иллюстрируются простыми примерами, в основном относящимися к конечномерному случаю. Для первоначального ознакомления с метрическими пространствами хорошо подходит книга [11, глава 1], в ней разобрано большое количество примеров. Можно также рекомендовать книги [7, 9, 12, 13, 15]. 1.1 Аксиомы метрики Абстрактное понятие метрики является обобщением понятия «расстояние». При этом свойства расстояния (неотрицательность; равенство нулю тогда и только тогда, когда точки пространства совпадают; симметричность; неравенство треугольника) положены в основу определения метрики. Определение 1.1. Метрикой на множестве X называется функция р: X х X ь-> К. удовлетворяющая следующим трем аксиомам: 1. р(ж, у) 0, причем р(х, у) = 0 4Ф- х = у; 2. р(х, у) = р(у, х):, 3. р(ж, у) < р(ж, г) + p(z, у) \/x,y,zEX. Заметим, что перечисленные аксиомы не являются независимыми. Так, если в аксиоме треугольника 3 положить х = у, то, с учетом аксиомы симметричности 2, получим условие неотрицательности метрики из первой аксиомы: р(щ г) А 0. Задача 1.1. Докажите, что аксиомы метрики эквивалентны следующим двум аксиомам: 1- р(х,у) = 0 О х = у\ р{х,у) < /?(ж,х) + p(y,z) 4x,y,zEX. 6
Определение 1.2. Метрическим пространством называется множество с заданной на нем метрикой, т. е. пара (X, р). Элементы метрического пространства называются точками (это могут быть функции, числовые последовательности, операторы и т. д.). В общем случае одно и то же множество X можно превратить в различные метрические пространства, задавая по-разному метрики. Приведем примеры метрических пространств. 1.2 Примеры задания метрик на прямой Пример 1.1. Пусть сначала X = Ж. Стандартной метрикой на прямой называется метрика, которая задается по правилу р(х,у) = |ж - у\. Очевидно, что первые две аксиомы выполняются по свойствам модуля |а| 0; |а| = 0 4Ф- а = 0; | — а| = |а|, а третья следует из неравенства |а + Ь\ < |а| + \Ь\, (1-1) если в нем положить а = х — z, b = z — у. Помимо стандартной существуют и другие метрики на прямой. Пример 1.2. Теперь зададим на X = Ж так называемую дискретную (или тривиальную) метрику: при х = у при х ф у. (1-2) Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Неравенство треугольника могло бы не выполняться только в одном случае: если в левой части этого неравенства находится единица: р{х,у) = 1, а в правой части — ноль: р(ж, z) = 0, p(z, у) = 0. Но тогда х = z = у. Следовательно, р(х, у) = 0 — противоречие. Задача 1.2. Пусть X — произвольное множество. Докажите, что fl.2^ определяет метрику на X. Пример 1.3. Пусть X = Ж. Зададим метрику по правилу р(х, у) = 1^ - у\ 1 + |z - у\' 7
Первые две аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Для доказательства третьего свойства достаточно проверить выполнение неравенства \а + Ь\ < Ы \Ь\ /-] 04 1 + \а + ь\ 1 + |а| ⁺1 + 1&Г ¹ J В свою очередь (1.3) следует из неравенства \а + ь\ < Ы + \ь\ п д4 1 + \а + b\ 1 + |а| + \Ь[ ¹ J Если рассмотреть функцию f(t) = £/(1 + t) на множестве неотрицательных чисел, то (1.4) можно трактовать как свойство неубывания функции f(t). Легко убедиться, что /(£) действительно является возрастающей функцией. Задача 1.3. Пусть X — произвольное множество, р(х,у) — метрика на нем. Покажите, что функции Р1(х,у) = Р^Х,У>> р₂(х,у) = тт(/фщг/),1) 1 + р(х,у) — метрики на X. Задача 1.4. Докажите, что р(х, у) = | arctg(x) — arctg(y)| является метрикой на Ж. Задача 1.5. Каким условиям должна удовлетворять определенная на Ж непрерывная функция и = f(v), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства р(х,у) = |/(ж) — /(у)|? 1.3 Неравенства Гельдера и Минковского Чтобы проверить выполнение неравенства треугольника для основных примеров метрических пространств, нам понадобится неравенство Минковского. В следующей серии упражнений устанавливается справедливость неравенства Минковского для конечных сумм, а затем оно распространяется на ряды. Определение 1.3. Числа р и q называются сопряженными показателями, если они удовлетворяют условиям 1 < p,q < ос, 1 I = 1 Р Задача 1.6. Докажите, что для любых неотрицательных чисел а и b и сопряженных показателей р и q справедливо неравенство Юнга , ар К ао Д-----1--. Р Q 8 (1-5)
Указание. Считая b а bq и рассмотрите функцию О, разделите обе части неравенства (1.5) на , . хР 1 /(ж) =-----1----х Р Q при х 1. Задача 1.7. Докажите, что в неравенстве Юнга достигается равенство ₁ ар bq ab =----1Р Q тогда и только тогда, когда ар = bq. Пример 1.4. Пусть а > 0, (3 > 0, а + (3 = 1. Тогда для любого г > 0₇ для любых неотрицательных а и b выполняется интерполяционное неравенство Юнга ab < га¹/® + г⁻®/^¹^. (1.6) Доказательство. Заменим в (1.5) а -Р- г¹/ра^ Ь—>г~г,/рЬ. Тогда, по неравенству Юнга, с учетом условий р > 1, q > 1: Полагая а = 1/р, (3 = 1/д, приходим к (1.6). □ Задача 1.8. Воспользовавшись неравенством Юнга fl.5/ установите неравенство Гельдера для конечных числовых наборов (1-7) где р и q — сопряженные показатели. Указание. Разделите обе части (1.7) на правую часть и примените почленно неравенство Юнга (1.5). Задача 1.9. Выведите условия, при которых в неравенстве Гельдера (1.7) достигается знак равенства [16]: 9
Прир = q = 2 неравенство Гельдера (1.7) называется неравенством Коши-Буняковского: (1-9) Если ввести обозначения а = (а.!, а₂,...,ап), Ь= (6Ь Ь₂, . . . , Ьп), через ||а||, ||6|| обозначить евклидову норму (длину) векторов а и b соответ ственно. а через (а, 6) — их скалярное произведение п то неравенство Коши-Буняковского примет вид |(а,6)| < ||а|| • ||6||. (1.10) Так как скалярное произведение векторов в Жп равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (а, 6) = ||а|| • ||6|| cos(a, 6), то неравенство Коши-Буняковского допускает простую геометрическую трактовку — косинус угла между векторами а и b по модулю не превосходит единицу! Знак равенства в неравенстве (1.10) имеет место тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны: а = СЬ. В следующих разделах будет показано, что вид неравенства (1.10) и его геометрический смысл сохраняются для абстрактных гильбертовых пространств. Пример 1.5. Выведем неравенство Минковского 1 tpp < ос из неравенства Гелъдера (1.7). 10
Доказательство. Для случая р = 1 неравенство Минковского следует из элементарного неравенства для модулей \ak + bk| \cik| + \bk|• (1.12) Пусть теперь p > 1. Применив (1.12), приходим к неравенству С учетом того, что (р— 1)д = р, последнее неравенство преобразуется к виду Задача 1.10. Сформулируйте условия, при которых в неравенстве Минковского (1.11) достигается знак равенства. Аналогично выводятся неравенства Гель дера и Минковского для рядов. Задача 1.11. Выведите неравенство Гельдера для рядов (1.13) в предположении, что р и q — сопряженные показатели и ряды в правой части неравенства сходятся. 11
Задача 1.12. Выведите неравенство Минковского для рядов в предположении, что ряды в правой части неравенства сходятся. Пусть по-прежнему ри q подчиняются соотношению 1 /р +1 /<? = 1, но р — положительное число, меньшее 1: 0 < р < 1. Тогда с/ будет отрицательным: Оказывается, что в этом случае знак в неравенстве Юнга меняется на противоположный . Задача 1.13. Докажите, что для любых положительных чисел а и b и показателей р и q, удовлетворяющих условиям 1 1 О < р < 1, - + - = 1, Р Q справедливо обратное неравенство Юнга пр м аЪ^— + ~. (1.15) Р Q Указание. Для функции у = хр⁻¹ при х > 0 рассмотрите три ситуации: 1) b > аР-¹; 2) Ь = аГ\ 3) 6 < ар~х. Если 0 < р < 1, то в неравенствах Гельдера и Минковского так же, как в неравенстве Юнга, знак меняется на противоположный. Задача 1.14. Докажите, что для любых положительных ai > 0, bi > 0, 1 Д i п и показателей р и q, удовлетворяющих условиям 0<р< 1, 1 + 1 = 1, р <1 выполняется обратное неравенство Гельдера
Доступ онлайн
В корзину