Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Функциональный анализ в примерах и задачах

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 635932.01.99
Доступ онлайн
165 ₽
В корзину
Ревина, С. В. Функциональный анализ в примерах и задачах: учеб. пособие / Ревина С.В., Сазонов Л.И. - Ростов-на-Дону:Издательство ЮФУ, 2009. - 120 с. ISBN 978-5-9275-0683-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/556115 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»






С. В. РЕВИНА
Л. И. САЗОНОВ






        ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ


Учебное пособие









Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
2009

УДК 517.5
ББК 162
    Р 32

Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета



Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент А. Б. Моргулис





Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” на 2007-2010 гг.»





















     Ревина С. В., Сазонов Л. И.
Р 32 Функциональный анализ в примерах и задачах: учебное пособие / С. В. Ревина, Л. И. Сазонов. — Ростов н/Д: Изд- во ЮФУ, 2009. — 120 с.
         ISBN 978-5-9275-0683-5
         С помощью большого количества примеров и упражнений излагаются основы функционального анализа — понятия метрических, банаховых и гильбертовых пространств, а также их свойства.
         Учебное пособие предназначено для студентов, преподавателей и всех желающих научиться применять функциональный анализ на практике.


ISBN 978-5-9275-0683-5




УДК 517.5
ББК 162

                                                                            © Ревина С. В., Сазонов Л. И., 2009
                                                                            © Южный федеральный университет, 2009
                                                                            © Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2009

    Оглавление






Введение                                                                  5

1  Основные понятия                                                      6

   L2  Примеры задания метрик на прямой' / / /  / / / / / / / /          7
   1.3 Неравенства Гельдера и Минковского............................... 8
   1.4 Метрики в R” ................................................... 13
   1.5 Шары в метрических пространствах................................ 15
   1.6 Сходимость последовательностей ................................. 17
   1.7 Эквивалентные метрики .......................................... 17
   1.8 Декартово произведение метрических пространств.................. 18
   1.9 Открытые и замкнутые множества.................................. 19

2  Пространства последовательностей                                     21
   2.1 Определения пространств последовательностей..................... 21
   2.2 Сходимость в пространствах последовательностей ................. 23
   2.3 Связь между пространствами £р и S .............................. 25
   2.4 Сепарабельность................................................. 25
   2.5 Пример неархимедовой метрики.................................... 27

3  Пространства непрерывных и непрерывно-дифференцируемых
   функций                                                              31
   3.1 Линейные нормированные пространства С[а,Ь], С'”г[аД]............ 31
   3.2 Примеры счетно-нормированных пространств........................ 33

4  Пространства Лебега                                                  35
   4.1 Пространства Lₚ(a, b), 1 р < сю ................................ 35
   4.2 Экстремальные точки шара (0) в пространствах Lₚ(0,1) ........... 40
   4.3 Пространство Loo (а, 0.......................................... 43
   4.4 Пространства LP;/ₒc(Q).......................................... 46

5  Непрерывность отображений                                            48

6  Полнота метрических пространств                                      51
   6.1 Определение полноты............................................. 51
   6.2 Доказательство полноты.......................................... 52
   6.3 Пример неполного пространства................................... 55
   6.4 Теорема о пополнении............................................ 56
   6.5 Принцип вложенных шаров и теорема Бэра.......................... 57
3

Принцип сжимающих отображений                                       59
   7.1 Общие сведения................................................. 59
   7.2 Применение к алгебраическим уравнениям и системам.............. 60
   7.3 Применение к интегральным и дифференциальным уравнениям........ 65

8  Линейные нормированные пространства                                 72
   8.1 Банаховы пространства.......................................... 72
   8.2 Гильбертовы пространства....................................... 73
   8.3 Эквивалентные нормы ........................................... 76
   8.4 Подпространство................................................ 77
   8.5 Геометрия гильбертова пространства............................. 78
   8.6 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта........................... 79
   8.7 Базисы банаховых и гильбертовых пространств.................... 81

9  Линейные операторы в линейных нормированных пространствах 86
   9.1 Ограниченность и норма линейного оператора..................... 86
   9.2 Обратимость линейного оператора ............................... 91
   9.3 Сходимость элементов, операторов, функционалов................. 95
   9.4 Сопряженный оператор........................................... 96

10 Компактность в метрических пространствах                           100
   10.1 Относительная компактность и ограниченность.................. 100
   10.2 Критерий Хаусдорфа........................................... 101
   10.3 Гильбертов кирпич ........................................... 102
   10.4 Отображения на компактных множествах......................... 104
   10.5 Компактность в С[0,1] ....................................... 107
   10.6 Компактность в £2(0,1)....................................... 109
   10.7 Линейные вполне непрерывные операторы........................ 110

11 Топологические пространства                                        116

Литература                                                            118

4

    В ведение





   Образование студента-прикладного математика немыслимо без изучения основ функционального анализа. Методы функционального анализа применяются в математической физике, математическом моделировании, гидродинамике, теории упругости и во многих других областях. Понятия функционального анализа, обладая высокой степенью абстрактности, позволяют выявить общие закономерности в процессах и явлениях, внешне, казалось бы, существенно различных.
   Функциональный анализ, возникший в конце XIX - начале XX века в трудах Д. Гильберта, М. Фреше, Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, С. Банаха, является сравнительно молодой математической дисциплиной. Весомый вклад в его развитие внесли российские математики А. Н. Колмогоров, Н. Н. Боголюбов, Л. В. Канторович, М. Г. Крейн, И. М. Гельфанд, С. Л. Соболев и др. Уровень преподавания функционального анализа в классических университетах традиционно высок.
   В настоящем учебном пособии в основном рассматриваются метрические и линейные нормированные пространства. Фундаментальные понятия и теоремы функционального анализа иллюстрируются простыми примерами. Авторы побуждают читателя самостоятельно работать, активно пользуясь литературой и решая задачи. Пособие прошло успешную многолетнюю апробацию на практических занятиях по функциональному анализу на мехмате Ростовского государственного (с 2007 г. — Южного федерального) университета.
   Авторы выражают благодарность своим студентам и коллегам за ценные замечания по содержанию книги. Особая благодарность М.Ю. Жукову и Е. В. Ширяевой за помощь в работе и создание макета издания.
   Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики и в лаборатории математической физики Южного математического института Владикавказского научного центра РАН при финансовой поддержке РФФИ (грант А² 07-01-92213-НЦНИЛ) и Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей шко-лы"(гранты А’⁰ 2.1.1/554 и А’⁰ 2.1.1/6095).

5

    Глава 1


    Основные понятия




  В этой главе основные определения теории метрических пространств иллюстрируются простыми примерами, в основном относящимися к конечномерному случаю.
  Для первоначального ознакомления с метрическими пространствами хорошо подходит книга [11, глава 1], в ней разобрано большое количество примеров. Можно также рекомендовать книги [7, 9, 12, 13, 15].


1.1 Аксиомы метрики


   Абстрактное понятие метрики является обобщением понятия «расстояние». При этом свойства расстояния (неотрицательность; равенство нулю тогда и только тогда, когда точки пространства совпадают; симметричность; неравенство треугольника) положены в основу определения метрики.
Определение 1.1. Метрикой на множестве X называется функция р: X х X ь-> К. удовлетворяющая следующим трем аксиомам:
             1.  р(ж, у) 0, причем р(х, у) = 0 4Ф- х = у;
             2.  р(х, у) = р(у, х):,
             3.  р(ж, у) < р(ж, г) + p(z, у) \/x,y,zEX.
   Заметим, что перечисленные аксиомы не являются независимыми. Так, если в аксиоме треугольника 3 положить х = у, то, с учетом аксиомы симметричности 2, получим условие неотрицательности метрики из первой аксиомы: р(щ г) А 0.
Задача 1.1. Докажите, что аксиомы метрики эквивалентны следующим двум аксиомам:
                1- р(х,у) = 0 О х = у\
р{х,у) < /?(ж,х) + p(y,z) 4x,y,zEX.
6

Определение 1.2. Метрическим пространством называется множество с заданной на нем метрикой, т. е. пара (X, р).

   Элементы метрического пространства называются точками (это могут быть функции, числовые последовательности, операторы и т. д.). В общем случае одно и то же множество X можно превратить в различные метрические пространства, задавая по-разному метрики. Приведем примеры метрических пространств.


1.2 Примеры задания метрик на прямой

Пример 1.1. Пусть сначала X = Ж. Стандартной метрикой на прямой называется метрика, которая задается по правилу

р(х,у) = |ж - у\.

  Очевидно, что первые две аксиомы выполняются по свойствам модуля

|а| 0;  |а| = 0 4Ф- а = 0; | — а| = |а|,


а третья следует из неравенства


|а + Ь\ < |а| + \Ь\,


(1-1)

если в нем положить а = х — z, b = z — у.
  Помимо стандартной существуют и другие метрики на прямой.

Пример 1.2. Теперь зададим на X = Ж так называемую дискретную (или тривиальную) метрику:


при х = у при х ф у.

(1-2)


   Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Неравенство треугольника могло бы не выполняться только в одном случае: если в левой части этого неравенства находится единица: р{х,у) = 1, а в правой части — ноль: р(ж, z) = 0, p(z, у) = 0. Но тогда х = z = у. Следовательно, р(х, у) = 0 — противоречие.

Задача 1.2. Пусть X — произвольное множество. Докажите, что fl.2^ определяет метрику на X.


Пример 1.3. Пусть X = Ж. Зададим метрику по правилу


                              р(х, у) =


1^ - у\
1 + |z - у\'

7

   Первые две аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Для доказательства третьего свойства достаточно проверить выполнение неравенства

\а + Ь\   <    Ы     \Ь\                  /-] 04
1 + \а + ь\    1 + |а| ⁺1 + 1&Г              ¹ J
В свою очередь (1.3) следует из неравенства

\а + ь\   <    Ы + \ь\                   п д4
1 + \а + b\ 1 + |а| + \Ь[                  ¹   J
Если рассмотреть функцию f(t) = £/(1 + t) на множестве неотрицательных чисел, то (1.4) можно трактовать как свойство неубывания функции f(t). Легко убедиться, что /(£) действительно является возрастающей функцией.
Задача 1.3. Пусть X — произвольное множество, р(х,у) — метрика на нем. Покажите, что функции

Р1(х,у) =  Р^Х,У>>   р₂(х,у) = тт(/фщг/),1)
                      1 + р(х,у)
— метрики на X.
Задача 1.4. Докажите, что р(х, у) = | arctg(x) — arctg(y)| является метрикой на Ж.
Задача 1.5. Каким условиям должна удовлетворять определенная на Ж непрерывная функция и = f(v), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства р(х,у) = |/(ж) — /(у)|?


1.3 Неравенства Гельдера и Минковского


   Чтобы проверить выполнение неравенства треугольника для основных примеров метрических пространств, нам понадобится неравенство Минковского. В следующей серии упражнений устанавливается справедливость неравенства Минковского для конечных сумм, а затем оно распространяется на ряды.

Определение 1.3. Числа р и q называются сопряженными показателями, если они удовлетворяют условиям


                       1 < p,q < ос,


1
I = 1
Р

Задача 1.6. Докажите, что для любых неотрицательных чисел а и b и сопряженных показателей р и q справедливо неравенство Юнга


, ар К ао Д-----1--.
Р Q 8


(1-5)

   Указание. Считая b а bq и рассмотрите функцию

О, разделите обе части неравенства (1.5) на

, . хР 1
/(ж) =-----1----х
Р Q

при х 1.

Задача 1.7. Докажите, что в неравенстве Юнга достигается равенство

₁ ар bq ab =----1Р Q
тогда и только тогда, когда ар = bq.
Пример 1.4. Пусть а > 0, (3 > 0, а + (3 = 1. Тогда для любого г > 0₇ для любых неотрицательных а и b выполняется интерполяционное неравенство Юнга
ab < га¹/® + г⁻®/^¹^.                   (1.6)
Доказательство. Заменим в (1.5)

а -Р- г¹/ра^ Ь—>г~г,/рЬ.

Тогда, по неравенству Юнга, с учетом условий р > 1, q > 1:




Полагая а = 1/р, (3 = 1/д, приходим к (1.6).                     □
Задача 1.8. Воспользовавшись неравенством Юнга fl.5/ установите неравенство Гельдера для конечных числовых наборов

(1-7)



где р и q — сопряженные показатели.
  Указание. Разделите обе части (1.7) на правую часть и примените почленно неравенство Юнга (1.5).
Задача 1.9. Выведите условия, при которых в неравенстве Гельдера (1.7) достигается знак равенства [16]:

9

   Прир = q = 2 неравенство Гельдера (1.7) называется неравенством Коши-Буняковского:

(1-9)

   Если ввести обозначения


а = (а.!, а₂,...,ап), Ь= (6Ь Ь₂, . . . , Ьп),


через ||а||, ||6|| обозначить евклидову норму (длину) векторов а и b соответ
ственно.

а через (а, 6) — их скалярное произведение

п

то неравенство Коши-Буняковского примет вид


|(а,6)| < ||а|| • ||6||.


(1.10)

   Так как скалярное произведение векторов в Жп равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

(а, 6) = ||а|| • ||6|| cos(a, 6),


то неравенство Коши-Буняковского допускает простую геометрическую трактовку — косинус угла между векторами а и b по модулю не превосходит единицу!
  Знак равенства в неравенстве (1.10) имеет место тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны: а = СЬ.
  В следующих разделах будет показано, что вид неравенства (1.10) и его геометрический смысл сохраняются для абстрактных гильбертовых пространств.


Пример 1.5. Выведем неравенство Минковского

1 tpp < ос из неравенства Гелъдера (1.7).

10

Доказательство. Для случая р = 1 неравенство Минковского следует из элементарного неравенства для модулей


\ak + bk| \cik| + \bk|•                   (1.12)
   Пусть теперь p > 1. Применив (1.12), приходим к неравенству

С учетом того, что (р— 1)д = р, последнее неравенство преобразуется к виду

Задача 1.10. Сформулируйте условия, при которых в неравенстве Минковского (1.11) достигается знак равенства.
  Аналогично выводятся неравенства Гель дера и Минковского для рядов.

Задача 1.11. Выведите неравенство Гельдера для рядов

(1.13)

в предположении, что р и q — сопряженные показатели и ряды в правой части неравенства сходятся.

11

Задача 1.12. Выведите неравенство Минковского для рядов

в предположении, что ряды в правой части неравенства сходятся.

  Пусть по-прежнему ри q подчиняются соотношению 1 /р +1 /<? = 1, но р — положительное число, меньшее 1: 0 < р < 1. Тогда с/ будет отрицательным:




Оказывается, что в этом случае знак в неравенстве Юнга меняется на противоположный .

Задача 1.13. Докажите, что для любых положительных чисел а и b и показателей р и q, удовлетворяющих условиям
                                   1 1
О < р < 1, - + - = 1,
                                   Р Q
справедливо обратное неравенство Юнга
пр м
аЪ^— + ~.                          (1.15)
Р Q
  Указание. Для функции у = хр⁻¹ при х > 0 рассмотрите три ситуации:
1) b > аР-¹; 2) Ь = аГ\ 3) 6 < ар~х.
  Если 0 < р < 1, то в неравенствах Гельдера и Минковского так же, как в неравенстве Юнга, знак меняется на противоположный.

Задача 1.14. Докажите, что для любых положительных

ai > 0, bi > 0, 1 Д i п

и показателей р и q, удовлетворяющих условиям

0<р< 1, 1 + 1 = 1,
                                   р <1
выполняется обратное неравенство Гельдера

Доступ онлайн
165 ₽
В корзину