Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Введение в теорию гладких многообразий

Покупка
Артикул: 798128.01.99
Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения и примеры. Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики.
Натанзон, С. М. Введение в теорию гладких многообразий / С. М. Натанзон. - Москва : МЦНМО, 2020. - 94 с. - ISBN 978-5-4439-3451-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1918521 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
С. М. Натанзон

Введение в теорию
гладких многообразий

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
Н

Натанзон С. М.
Введение в теорию гладких многообразий
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая 
теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де
Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения 
и примеры.
Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов 
второго курса Независимого московского университета и факультета 
математики Высшей школы экономики.

Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Введение в теорию
гладких многообразий. — М.: МЦНМО: НМУ, . —
ISBN ----.

Учебное издание для вузов

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () --
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Натанзон С. М., .
© МЦНМО, .

Оглавление

§ . Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Категория гладких многообразий
. . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Морфизмы и изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Задание многообразий уравнениями . . . . . . . . . . . . 
§ . Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Операторы дифференцирования в точке . . . . . . . . . . 
.. Координатное описание касательных векторов
. . . . . 
.. Дифференциал отображения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Гладкие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Регулярные точки отображения
. . . . . . . . . . . . . . . 
.. Теорема Сарда о критических значениях . . . . . . . . . . 
.. Теорема Уитни о вложении многообразий . . . . . . . . . 
§ . Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Сечения расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Сопряжение и тензорное произведение расслоений . . 
.. Внешние степени расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Тензорные поля и дифференциальные формы
. . . . . . . . . 
.. Тензорные расслоения и тензоры
. . . . . . . . . . . . . . 
.. Дифференциальные формы в локальной карте . . . . . . 
.. Инвариантность оператора дифференцирования . . . . 
.. Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . 
§ . Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
..
Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Общая формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Частные случаи формулы Стокса: формулы Грина, Гаус-
са—Остроградского и классическая формула Стокса . . 
§ . Когомологии де Рама
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Определение когомологий де Рама
. . . . . . . . . . . . . 
.. Гладкие отображения и когомологии . . . . . . . . . . . . 
.. Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама 
.. Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Когомологическая последовательность Майера—Вьето-
риса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Риманова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


Оглавление

.. Алгебра векторных полей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Аффинная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Аффинная связность, согласованная с римановой мет-
рикой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Параллельный перенос и геодезические . . . . . . . . . . 
.. Риманов тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

§ . Введение

Многообразия (в частности, гладкие многообразия) являются
одним из главных объектов изучения в математике. Это связано
с тем, что именно на языке многообразий удобно описывать фунда-
ментальные законы естествознания.
Определение многообразия было выкристаллизовано в течение
почти ста лет, начиная с середины XIX века. Имеются многообразия
разного вида с теми или иными дополнительными структурами, мы
будем заниматься гладкими многообразиями.
Гладкие многообразия можно представлять себе как гладкие фи-
гуры в многомерном пространстве. Примерами таких многообра-
зий могут служить поверхность Земли или более сложные поверх-
ности типа тора. Однако изучать многообразия и функции на них
значительно сложнее, чем привычное пространство n и функции
на нем. Это связано с тем, что обычно на многообразии (например,
на сфере) не существует глобальной системы координат.
Многообразие — это геометрический объект, склеенный из от-
дельных карт, т. е. кусков пространства n. В рамках одной карты
можно пользоваться методами обычного многомерного анализа.
Взаимосвязь различных карт между собой зависит от топологиче-
ских свойств конкретного многообразия и составляет важную часть
теории многообразий.
Мы начинаем с определения гладкого многообразия и основ-
ных примеров. Широкий класс важных примеров многообразий да-
ют множества уровня гладких отображений. Далее мы доказываем
в некотором смысле обратное утверждение (теорему Уитни) о том,
что всякое m-мерное гладкое многообразие гладко вкладывается
в пространство 2m+1. Для этого мы подробно обсуждаем свой-
ства касательных пространств в точках многообразия, отображения
между многообразиями и критические значения этих отображений
(теорема Сарда).
Далее мы переходим к обсуждению современных методов иссле-
дования многообразий. Они основаны на разработанной во второй
половине XX века теории векторных расслоений, которая позволя-
ет определить и исследовать широкий класс отображений (сечений
расслоения), играющих для теории многообразий ту же роль, что
и вектор-функции в классическом многомерном анализе.
Специальную роль в теории гладких многообразий играют тен-
зорные и внешние степени касательных и кокасательных расслое-
ний. Их сечения (тензоры) несут важную информацию о свойствах


§ . Введение

многообразий. Мы подробно исследуем особенно важный класс тен-
зоров, называемых дифференциальными формами. На этом классе
тензоров удается определить операции дифференцирования и инте-
грирования, похожие на соответствующие операции классического
анализа. Более того, мы доказываем, что на произвольном гладком
многообразии между этими операциями существует взаимосвязь
(общая формула Стокса), обобщающая классическую формулу Нью-
тона—Лейбница. Следствием этой общей формулы являются клас-
сическая формула Грина, формула Гаусса—Остроградского и др.
Далее мы переходим к изучению когомологий де Рама. Эта тео-
рия, созданная в середине XX века, выявляет глубокую взаимосвязь
между множеством дифференциальных форм и топологическими
свойствами многообразия. Мы доказываем, в частности, гомотопи-
ческую инвариантность когомологий де Рама и теорему Майера—
Вьеториса, помогающую вычислять когомологии де Рама и свя-
занные с ними топологические инварианты для широкого класса
многообразий.
Заключительный параграф посвящен римановой геометрии, т. е.
многообразиям, на которых задана метрика, позволяющая изме-
рять расстояние между точками. С помощью метрики можно также
определить параллельный перенос касательных векторов, написать
уравнение линии минимальной длины и построить тензор кривиз-
ны, измеряющий отличие метрики от евклидовой.
В этом параграфе, как и на протяжении всей книги, мы обсужда-
ем понятия, результаты и конструкции как на инвариантном языке,
позволяющем понять их общематематический смысл, так и в коор-
динатной форме, позволяющей выполнять реальные вычисления.

Книга является записью лекций, которые автор читал для сту-
дентов второго курса Независимого московского университета и
факультета математики Высшей школы экономики.
Автор благодарит С. М. Гусейн-Заде за консультации и С. Н. Ма-
лыгина за помощь в редактировании книги.

§ . Категория гладких многообразий

.. Гладкие многообразия

Анализ, который вы изучали на -м курсе, позволяет исследовать
подмножества M ⊆ n. Все точки множества M наделяются координатами 
из n, и это позволяет отождествлять функции на множестве 
M с функциями от n переменных f (x1,…, xn). В реальной жизни, 
однако, интересующие нас множества не имеют естественных
координат и эти координаты приходится вводить дополнительно.
Более того, эти координаты можно вводить по-разному.
Например, для описания и исследования Московской области ее
удобно покрыть мысленной сеткой параллелей и меридианов, расстояния 
между которыми измеряются в километрах. Но можно, конечно, 
как это делалось раньше, покрыть область сеткой, где расстояние 
измеряется в верстах. Можно вообще, если это покажется
удобным, повернуть сетку на какой-то угол. Для согласования различных 
систем координат нужно использовать функции перехода,
пересчитывающие одну систему координат в другую.
Такой подход, что особенно важно, годится и для множеств, которые 
не являются подмножествами пространства n, например,
для исследования всего земного шара или областей, гомеоморфных
тору, и т. п. В этом случае мы поступаем так, как это делается в картографии, 
т. е. мы произвольным образом покрываем множество
областями (картами), гомеоморфными областям в n, вводим на
этих областях системы координат и указываем отображения перехода 
между системами координат для подмножеств, попадающих
в несколько карт. Для того чтобы функции, гладкие в одной системе 
координат, оставались гладкими и в другой системе координат,
надо, чтобы отображения перехода были гладкими.

Дадим теперь формальное определение. Рассмотрим хаусдорфо-
во сепарабельное топологическое пространство M. Картой размерности 
n на M называется пара (U,ϕ), где U ⊂ M — открытое подмножество 
в M и ϕ: U → n — гомеоморфизм на открытое подмножество 
ϕ(U) ⊂ n.
Карты {(Uα1,ϕα1)} и {(Uα2,ϕα2)} называются пересекающимися,
если Uα1 ∩Uα2 ̸=∅. Пересекающимся картам отвечают непустые множества 
V1 =ϕα1(Uα1 ∩Uα2), V2 =ϕα2(Uα1 ∩Uα2) и гомеоморфизм ϕ1,2 =
= ϕα2ϕ−1
α1 : V1 → V2. Отображения ϕ1,2 называются отображениями 
перехода, переходными отображениями или переходными функциями.


§ . 
Категория гладких многообразий

Гладким атласом на M размерности n называется такое семей-
ство карт {(Uα,ϕα) | α ∈ A} размерности n, что
α∈A
Uα = M и все

отображения перехода являются гладкими, т. е. бесконечно диф-
ференцируемыми отображениями. Карту (U,ϕ) назовем согласо-
ванной с гладким атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}, если все отображения
перехода между картами (U,ϕ) и (Uα,ϕα) являются гладкими.
Гладкие атласы {(Uα,ϕα)|α∈A} и {(Uβ,ϕβ)|β ∈B} считаются эк-
вивалентными, если их объединение {(Uα,ϕα),(Uβ,ϕβ)|α∈A,β ∈B}
также является гладким атласом.
Задача .. Докажите, что гладкие атласы {(Uα,ϕα) | α ∈ A} и
{(Uβ,ϕβ) | β ∈ B} эквивалентны тогда и только тогда, когда все
карты (Uβ,ϕβ) согласованы с атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}.
Класс эквивалентности гладких атласов размерности n называ-
ется гладкой структурой размерности n. Многообразие M с гладкой
структурой размерности n называется гладким многообразием раз-
мерности n. В этом случае мы пишем dim M = n. Приведем несколь-
ко простейших примеров гладких многообразий.
Пример .. Векторное пространство n обладает естественной
картой, превращающей ее в гладкое многообразие. Эта гладкая
структура на n называется стандартной. Гладкая структура на n

единственна при n ̸= 4, а на 4 имеется континуальное семейство
попарно неэквивалентных гладких структур.
Пример .. Рассмотрим гладкую функцию f : X → на области
X ⊂ n. Ее график Γf = {(x, f(x)) ⊂ n+1 | x ∈ X} обладает естествен-
ной картой ϕ: Γf → X, где ϕ(x, f (x)) = x. Эта карта превращает Γf
в гладкое многообразие.
Задача-пример .. Сфера

Sn =
x = (x1,…, xn+1) ∈ n+1 |

n+1
j=1
(x j)2 = 1
обладает атласом карт (U+
i ,ϕ+
i ), (U−
i ,ϕ−
i ), где i = 1,…, n + 1. Эти
карты состоят из областей U+
i = {x ∈ Sn | xi > 0}, U−
i = {x ∈ Sn | xi < 0}
и отображений ϕ±
i (x1,…, xn+1) = (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn+1). Докажи-
те, что этот атлас гладкий.
Задача-пример .. Зададим структуру гладкого многообразия
на проективной плоскости P2. Будем представлять ее как мно-
жество прямых в 3, проходящих через начало координат. Каж-
дая из прямых задается вектором с координатами (x, y, z), при-
чем пропорциональные векторы задают одну и ту же прямую. Рас-
смотрим на P2 атлас из трех карт (U1,ϕ1), (U2,ϕ2), (U3,ϕ3), где

.. Морфизмы и изоморфизмы


U1 = {(x, y, z) | x ̸= 0}, U2 = {(x, y, z) | y ̸= 0}, U3 = {(x, y, z) | z ̸= 0},

ϕ1(x, y, z) =
y

x , z

x

, ϕ2(x, y, z) =
x

y , z

y

, ϕ3(x, y, z) =
x

z , y

z

. Дока-

жите, что этот атлас гладкий. Постройте гладкий атлас для Pn.

.. Морфизмы и изоморфизмы

Изучим вопрос, какие дополнительные свойства приобретет то-
пологическое многообразие M, если зафиксировать на нем гладкий
атлас {(Uα,ϕα) | α ∈ A}. В этом случае гомеоморфизм ϕα: U → n

позволяет отождествить область Uα c областью в n и считать, что
функции на Uα — это обычные функции от n переменных. Отобра-
жения перехода между картами позволяют исследовать глобальные
свойства отображения. На пересечении двух карт отображение пе-
рехода записывается как отображение замены координат.
Для любой лежащей в Uα окрестности U ⊂ Uα и точки p ∈ U ⊂ Uα
мы можем, в частности, указать, какие отображения области U
в пространство k считаются гладкими в точке p. Ввиду гладкости
отображений перехода между картами (т. е. гладкости замены ко-
ординат в n) множество гладких отображений на U не зависит от
того, подмножеством какой конкретно карты Uα считается множе-
ство U.
По тем же причинам множество гладких отображений не меня-
ется при замене гладкого атласа на эквивалентный ему. Таким об-
разом, структура гладкого многообразия позволяет выделить среди
всех отображений M → k класс гладких отображений и с помощью
карт исследовать их методами многомерного математического ана-
лиза.

Пусть M и N — гладкие многообразия. Рассмотрим отображение
F : M → N и карты (U,ϕ), (V,ψ) из гладких атласов многообразий
M и N соответственно, причем F(U) ⊂ V. Отображение F называет-
ся гладким на U, если отображение ψFϕ−1 : ϕ(U) → ψ(V) является
гладким в смысле многомерного анализа. Назовем отображение F
гладким в точке p ∈ M, если оно гладкое в некоторой окрестности
точки p.
Задача .. Докажите, что гладкость отображения в точке не за-
висит от выбора карты (V,ψ) и не меняется при замене атласа на
эквивалентный.
Отображение F : M → N, гладкое в каждой точке, назовем глад-
ким отображением. Такие отображения считаются морфизмами
в категории гладких многообразий.


§ . Категория гладких многообразий

Гладкое отображение f : M → гладкого многообразия M в ве-
щественную прямую со стандартной гладкой структурой на ней на-
зывается гладкой функцией. Гладкие функции на M образуют алгеб-
ру (M).
Гомеоморфизм F : M → N между гладкими многообразиями на-
зывается диффеоморфизмом, если он и обратный к нему гомеомор-
физм F−1: N → M являются гладкими. Другими словами, диффео-
морфизм — это изоморфизм в категории гладких многообразий.
Гладкие многообразия, между которыми существует диффеомор-
физм, называются диффеоморфными.
Гладкие функции и отображения на диффеоморфных многооб-
разиях обладают одинаковыми свойствами.
Задача .. Докажите, что диффеоморфизм F : M → N порождает
по формуле f → fF изоморфизм F∗: (N) → (M) между алгебра-
ми гладких функций на N и M.
Замечание .. Гомеоморфные гладкие многообразия не обя-
зательно диффеоморфны, но примеры таких многообразий доста-
точно сложны и появляются начиная с размерности 4 (см., напри-
мер, []).

.. Задание многообразий уравнениями

В приложениях гладкие многообразия часто возникают как мно-
жества уровня {x ∈ U ⊂ n | f (x) = c} гладких функций f : U → .
Сферу Sn из примера . можно рассматривать, например, как мно-
жество уровня f (x) = 1 для функции f (x) = (x1)2 + … + (xn+1)2.
Однако не все множества уровня являются гладкими многообра-
зиями.
Пример .. Множество уровня

{(x1, x2) ∈ 2 | ( f (x1, x2) = c}

функции f (x1, x2) = x2
1 − x2
2 является многообразием при c ̸= 0, но
не является многообразием при c = 0. В последнем случае множе-
ство уровня является объединением пересекающихся в нуле прямых
x1 + x2 = 0, x1 − x2 = 0 и поэтому не имеет карты, содержащей 0.
Достаточное условие того, что множество уровня является глад-
ким многообразием, следует из теоремы о неявной функции. Она
утверждает, что если задана функция f (x), где x = (x1,…, xn), и
в некоторой точке x0 = (x1
0,…, xn
0) выполнено условие

∂ f
∂xi (x1
0,…, xn
0) ̸= 0,

.. Задание многообразий уравнениями


то в малой окрестности U точки x0 множество уровня {x ∈ U | f (x) =
= f (x0)} совпадает с графиком некоторой гладкой функции h =
= h(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) на V ⊂ {(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)} = n−1,
т. е.

{x ∈ U | f (x) = f (x0)} = {x ∈ n | (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) ⊂ V;

xi = h(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)}.

Пример .. Рассмотрим функцию f (x, y) = y − x2 в окрестно-

сти точки (0,0). Поскольку f (0,0) = 0 и ∂ f

∂y (x, y) = 1 ̸= 0, примени-

ма теорема о неявной функции. Гарантированную ей функцию h(x)
можно задать формулой h(x) = x2. Для нее

{(x, y) ∈ 2 | f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ 2 | x ∈ ; y = h(x)}.

Теорема .. Рассмотрим гладкую функцию f : n → . Предпо-
ложим, что множество уровня Mc = {x ∈ n | f (x) = c}, где c ∈ ,
непусто. Предположим также, что градиент функции

grad f =
∂ f

∂x1 ,…, ∂ f

∂xn
не обращается в 0 на Mc. Тогда Mc является гладким многообразием
размерности n − 1.
Доказательство. Пусть x0 = (x1
0,…, xn
0) ∈ Mc. Так как в точке x0

градиент f не обращается в 0, ∂ f

∂xi (x0) ̸= 0 для некоторого i. Тогда
согласно теореме о неявной функции существуют такие
• окрестность Ui ⊂ n точки x0,
• окрестность Vi ⊂ n−1 точки (x1
0,…, xi−1
0
, xi+1
0
,…, xn
0),
• гладкая функция hi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) на Vi,
что

Ui = Mc ∩ Ui = {(x1,…, xn) ∈ n |(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) ∈ Vi;

xi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)}.

Положим теперь ˜ϕi(x1,…, xn)=(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) и ϕi= ˜ϕi|Ui.
Тогда пара (Ui,ϕi) будет картой в окрестности точки x0. Отображе-
ние перехода ϕjϕ−1
i
имеет вид

(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) → (˜x1,…, ˜x j−1, ˜x j+1,…, ˜xn),

где ˜xk = xk при k ̸= i и ˜xi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn), и, следователь-
но, оно гладкое.


§ . Категория гладких многообразий

В качестве примера используем эту теорему, чтобы определить
структуру гладкого многообразия на специальной линейной группе
SL(n,) — группе всех квадратных матриц порядка n с определите-
лем 1. Группа SL(n,) вложена в множество Mn()={A={aij}|aij∈}
всех квадратных матриц A = {aij} порядка n. Множество Mn()

можно рассматривать как векторное пространство n2 с коорди-
натами {aij}. Тогда группа SL(n,) является множеством уровня
{A ∈ SL(n,) | f (A) = 1} функции f (A) = det A. Таким образом, мы
определим на SL(n,) структуру гладкого многообразия, если дока-
жем, что градиент grad f не обращается в 0 на SL(n,).
Докажем сначала, что grad f не обращается в  на единичной
матрице E. Разложив определитель по строке, получим

f (A) = det A = a11 det A11 − a12 det A12 + … + (−1)n+1a1n det A1n,

следовательно,
∂ f
∂a11 (A) = det A11. В частности,
∂ f
∂a11 (E) = 1.

Рассмотрим теперь произвольную точку A0 ∈ SL(n,). Введем
на множестве Mn() новые координаты, сопоставив матрице A ∈
∈ SL(n,) набор чисел {bij}, представляющий собой матричные
элементы матрицы B = A−1
0 A. Тогда набору чисел {bij} отвечает
матрица A({bij}) = A0B.
С другой стороны,

f (A({bij})) = det(A0B) = det(A0)det(B) = det(B) = f (B).

Следовательно,

∂ f
∂b11 (B) = ∂ f

∂b11 (A({bij})) =
i,j

∂ f
∂aij (A)
∂aij
∂b11

и, в частности,
∂ f
∂b11 (E) =
i,j

∂ f
∂aij (A0)
∂aij
∂b11 .

Левая часть последнего равенства, как уже доказано, не равна 0.
Следовательно, не равен 0 и градиент grad f в точке A0.

Теорема . обобщается на случай гладких отображений f =
= ( f 1,…, f m): n → m. Роль градиента играет в этом случае мат-
рица Якоби

df =








∂ f 1

∂x1
…
∂ f 1

∂xn
........ ........
∂ f m

∂x1
…
∂ f m

∂xn






 .