Математический анализ. Часть 2

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра математической физики 

 

 

 

 

 

 

 

 
О.Н. Галажинская, Е.В. Пикущак, Н.А. Перкова 

 
Математический анализ 

 
Часть 2 
 
Учебное пособие 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

Томск 
Издательство Томского государственного университета 
2022 
 

УДК 519.22 
ББК 22.172 
         Г15 
 
 
Галажинская О.Н., Пикущак Е.В., Перкова Н.А. 
Г15 Математический анализ. Ч. 2 : учеб. пособие. – Томск : 
Издательство  Томского государственного университета, 2022. –  
172 с. 

ISBN 978-5-907572-13-3 
 
Пособие предназначено для оказания помощи студентам 1 курса физико-
технического 
факультета 
при 
выполнении 
практических 
заданий 
в 
курсе 
«Математический анализ».  
Предложены в большом количестве разнообразные примеры с подробными 
решениями. 
 
 
УДК 519.22 
ББК 22.172 
 
 
Рецензенты: 
Э.Р. Шрагер, доктор физико-математических наук, профессор 
А.В. Галажинский, доктор физико-математических наук, профессор РАН 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

© Галажинская О.Н., Пикущак Е.В., Перкова Н.А., 2022 
ISBN 978-5-907572-13-3           © Томский государственный университет, 2022 

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

ТЕМА 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА И ОСНОВНЫЕ ЕГО СВОЙСТВА 

 
Пусть функция 
 
f
x  определена и непрерывна на промежутке 

,a b  и 
 
F x  - ее 

первообразная, т.е. 
 
 

'
F
x
f x

. 

Определение 1: Множество всех первообразных функции 
( )
F x
c

, где c
const

,  для  
( )
f x  

называется неопределенным интегралом и обозначается:  
( )
f x dx

. 

Таким образом, по определению: 
( )
( )
f x dx
F x
c



 

Здесь  

 
( )
f x   подынтегральная функция,  

( )
f x dx   подынтегральное выражение, 

x   переменная интегрирования,  

 


 знак неопределенного интеграла. 

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой 

функции. 

Другими словами, интегрирование  это восстановление функции 
 
F x  по известной ее 

производной 
 
f
x .  
 

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство « параллельных 

кривых» 
( )
y
F x
c


. 

Каждому значению c  соответствует определенная кривая семейства. 

 

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

 

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному 

выражению: 
(
( )
)
( )
d
f x dx
f x dx


, а производная неопределенного интеграла равна 

подынтегральной функции (
( )
)'
( )
f x dx
f x


. 

Доказательство:  

1. (
( )
)
( ( )
)
'( )
( )
d
f x dx
d F x
c
F x dx
f x dx





 

2.(
( )
)' ( ( )
)'
'( )
0
( )
f x dx
F x
c
F x
f x






 

Благодаря этому свойству, правильность интегрирования проверяется дифференцированием. 

Например: 
2
3
(3
4)
4
x
dx x
x c





, проверяем 
3
2
(
4
)'
3
4
x
x
c
x




 

Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме 

этой функции и некоторой произвольной постоянной:  

( )
( )
dF x
F x
c



 
Доказательство:  

( )
'( )
( )
( )

def диф ла
dF x
F x dx
f x dx
F x
c










 

Свойство 
3. 
Постоянный 
множитель 
можно 
выносить 
за 
знак 
интеграла: 

( )
( )
f x dx
f x dx
 
 


 

Доказательство:  

1
1
( )
'( )
(
( ))'
(
( ))
( )
(
( )
)
c
f x dx
F x dx
F x
dx
d
F x
F x
c
F x

 




 

 






 

Обозначим 
1c
c 

, тогда  
1
( )
(
( )
(
( )
)
( )
)
c
f x dx
F x
F x
c
f x dx

 

 

 




 

Свойство 4. Неопределенный интеграл от  суммы (разности) конечного числа непрерывных 

функций 
равен 
 
сумме 
(разности) 
интегралов 
от 
слагаемых 
функций: 



( )
( )
( )
( )
f x
g x
dx
f x dx
g x dx






 

Доказательство:  Пусть 
'( )
( )
F
x
f x

 и 
'( )
( )
G x
g x

, тогда  




1
1

1
2

( )
( )
(
'( )
'( ))
( ( )
( ))'

( ( )
( ))
( )
( )
(
( )
)
( ( )
)

( )
( )
,
 

f x
g x
dx
F x
G x dx
F x
G x
dx

d F x
G x
F x
G x
c
F x
c
G x
c

f x dx
g x dx
c
где
c
c





























 

 
Замечание 1: Данное свойство можно распространить на любое конечное число слагаемых, 

при условии, что каждая из функций, входящих в сумму является непрерывной. 

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ 

1

2
2
2

2
2
2

2
2

1.
(
1)
8. sin
cos
1

2.
ln
(
0)
9. cos
sin

1

3.
10.
1
sin

1
4.
ln
11.
2
cos

arcsin
5.
arc

n
n
x
x dx
c
n
x dx
x
c
n
dx
x
c
x
x dx
x
c
x
x
arctg
c
dx
dx
a
a
ctg x
c
x
a
x
x
arcctg
c
a
a
dx
a
x
dx
c
tg x
c
a
x
a
a
x
x

x
c
dx
a
a
x




 
 













 



 





























2
2

2
2

2

2

12.
cos

6.
ln
13.

7.
;
14.
ln

8.
15.

x
x

x
x

shx dx
chx
c
x
c
a
dx
x
x
a
c
chx dx
sh x
c
x
a
a
dx
a
dx
c
cth x
c
a
sh x
dx
e dx
e
c
th x
c
ch x




















 


















 

Замечание 2:  Если в приведенной таблице взять производные от правых частей равенств, то 

получаются подынтегральные функции.  

Замечание 3:  В формуле 2: 

при 
0
x 
, то 
x
x
1
)
(ln


 и 


c
x
x
dx
ln
; 

при 
0
x 
, 
x
x
x
x
x
1
1
))
(ln(
);
ln(
ln








, откуда



c
x
x
dx
)
ln(
.  

Оба эти ответа объединены в один интеграл, поэтому в таблице записано:   

)
0
(
ln




x
c
x
x
dx
. 

Всегда при интегрировании основной задачей является: 

 

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 

ТЕМА 2. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 

 

Этот метод заключается в том, что исходный интеграл путем тождественных преобразований 

подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к 

одному или нескольким табличным интегралам. 

 

Примеры по теме «Метод непосредственного интегрирования»: 

 
 Пример 1.  Найти интеграл:  
2
3
(5
)
x
dx


. 

 Решение:  Такого интеграла в таблице нет, но используя формулу: 



3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b





 

можем изменить  вид  подынтегральной функции: 

2
3
3
2
2
2
2
2
3

2
4
6

(5
)
(5
3 5
3 5 (
)
(
) )

(125
75
15
)

x
dx
x
x
x
dx

x
x
x dx



 

  














 

Используем два свойства неопределенного интеграла. 

1) 
 
 


1
1

n
n

i
i
i
i
f
x
dx
f
x dx















 

или так в развернутом виде: 

 
 
 


 
 
 
1
2
1
2
....
....
n
n
f
x
f
x
f
x
dx
f
x dx
f
x dx
f
x dx











 

2) 
 
 
A f
x dx
A
f
x dx





 

 
Тогда у нас:






2
4
6
2
4
6
(125
75
15
)
125
75
15
x
x
x
dx
dx
x dx
x dx
x dx
 



 









 

Каждый из полученных интегралов является табличным, поэтому используя формулу

1

1

n
n
x
x dx
c
n






, можем записать окончательный ответ: 

 

 

7
7
2
3
3
5
3
5
75
15
(5
)
125
125
25
3
3
5
7
7
f x
F x

x
x
x
dx
x
x
x
с
x
x
x
С











 



 

 

7
3
5
125
25
3
7
x
F x
C
x
x
x
C






 это семейство первообразных функций для функции 

 

2
3
(5
)
f x
x


. 

Пример 2.  Найти интеграл:  
3
1
x
dx

x


. 

Решение:  

2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
3
1
1
(
)
(
)
x
x
dx
dx
x
x
dx
x dx
x dx
x
x
x
















 

2
1
1
1
5
2
3
3
3
3
3
3
2
1
5
2
1
1
3
3

x
x
c
x
x
С


 









 

Пример 3.  Найти интеграл: 
,
1
2

2
  x

dx
x
  

Решение: Чтобы этот интеграл разбить на два интеграла, 
2x  умножим на (-1), поставив знак 
минус  перед интегралом, а в числителе прибавим и отнимем 1, то есть: 

2
2
2

2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
)
ln
1
1
1
1
1
2
1
x dx
x
x
dx
x
dx
dx
dx
x
С
x
x
x
x
x
x




 
 

 

  












 

Пример 4.   Найти интеграл: 

4

2
1

x dx
x 

 

Решение: 



















2
2
2
2
2
2
2
4

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

3
3

1
2
1
1
1 1

1
1
1
1

1
1
2
1
2
1
1
1
1

2
3
3

x
x
dx
x
dx
x
dx
x dx
x
x
x
x

x
dx
x
dx
dx
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
arctgx
C
x
arctgx
C





 














































 
 

Пример 5.   Найти интеграл: 

2
2

4
1
1

1

x
x
dx
x

 




 

Решение: 

2
2
2
2
2

4
2
2
1
1
1
1
1
(
1
(
1)(
1)

x
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x


 

 








2
2
1
1
x
x
 


2
1
x 


2
1
x 
2

2

2
2

2
2
2

)
1

1
ln
1
ln
1
ln
1
1
1

dx
x

x
x
dx
dx
x
x
x
x
c
c
x
x
x
x


























 

Пример 6.   Найти интеграл 


2
2
3
x
x
dx


 

Решение: Используем формулу 

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




 
 











2
2
2
2
2

2
2

2
3
2
2 2
3
3
2
2
2 3
3

2
2 6
3
4
2 6
9

4
2 6
9
ln 4
ln 6
ln 9

x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x

x
x
x

dx
dx
dx

dx
dx
dx
dx
dx
dx

C






































 

Пример 7.   Найти интеграл 

3
1
1

x

x
e
dx
e



 

Решение: 






















3
3
3
2
2
3
2
3

3
3
2

2
2
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
2
1
2
2

x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x

a
b
a
b
a
ab
b
e
e
e
e
e
dx
dx
dx
e
e
e
e
e
e
e

e
e
e
dx
e dx
e dx
dx
e d
x
e dx
dx
e
x
C




























































 

ТЕМА 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 

Теорема: Если справедливо равенство 
,
( )
( )
f x dx
F x
c c
const




,  то выполняется более 

общее равенство 
( )
( )
,
f u du
F u
c c
const




, где u - произвольная дифференцируемая 

функция. 

Доказательство:  Известно, что  
'
x
du
u dx

. Следовательно, требуется доказать равенство: 

 
'
( )
( ( ))
x
f u u dx
F u x
c




 

Из условия: 
( )
( )
f x dx
F x
c



, поэтому по определению неопределенного интеграла: 

'( )
( )
F x
f x

 и поэтому  
'( )
( )
u
F u
f u

. 

Чтобы доказать равенство: 
'
( )
( ( ))
x
f u u dx
F u x
c



, найдем производную от его правой 

части:  

'
'
'
( ( ( ))
)x
u
x
F u x
c
F
u



, 

 отсюда учитывая, что 
'( )
( )
u
F u
f u

 получаем окончательно:  

'
'
'
'
( ( ( ))
)
( )
x
u
x
x
F u x
c
F
u
f u
u





. 

Итак, производная от правой части  равенства  
  равна подынтегральной функции 
'
( )
x
f u
u
 

интеграла 
'
( )
f u ux
dx

 
, стоящего слева в равенстве  
 . 

Следовательно, равенство 
( )
( )
f u du
F u
c



 действительно справедливо. 

Простыми словами: формула для неопределенного интеграла остается справедливой 

независимо от того является ли переменная интегрирования независимой переменной или 

любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную. 

Итак, пусть дана 
( )
u
u x

 произвольная дифференцируемая функция, тогда таблицу 

простейших интегралов можно переписать  в таком виде: 

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ 

1

2
2
2

2
2
2

2
2

1.
(
1)
10. sin
cos
1

2.
ln
(
0)
11. cos
sin

1

3.
12.
1
sin

1
4.
ln
13.
2
cos

arcsin
5.
arcco

n
n
u
u du
c
n
udu
u
c
n
du
u
c
x
udu
u
c
u
u
arctg
du
du
a
a
c
ctgu
c
u
a
u
u
arcctg
a
a
du
a
u
du
c
tgu
c
a
u
a
a
u
u

u
du
a

a
u




 
 













 































2
2

2
2

2

2

2
2

14.
s

6.
ln
15.

7.
;
16.
ln

8.
17.

1
9.
ln
18.
ln
2
sin
2

u
u

u
u

c
shu du
chu
c
u
a
du
u
u
a
c
chu du
shu
c
u
a
a
du
a du
c
cthu
c
a
sh u
du
e du
e
c
thu
c
ch u
du
u
a
du
u
c
tg
c
u
a
a
u
a
u




















 





























 

Например: 






3
3
2
2
2
cos

sin

sin
sin
sin
sin
sin
3
3

обозначим
xdx

d
x

u
x
x
x d
x
x
u
u du
c
c




















;   







3
4
4
3
3
3
1

ln

ln
ln
ln
ln
ln
ln
4
4
dx
x
d
x

x
u
x
dx
x
x d
x
x
u
u du
c
c
x



































.   

Часто при нахождении неопределенных интегралов используют такую  технику перехода к 

новому аргументу  u  от старого x : 

1. Под знаком дифференциала в исходном интеграле прибавляют или вычитают  любую 
константу: 


u
dx
d x
a







 

 при этом в интеграле ничего не меняется, т.к. 









0

0

d x
a
dx
da
dx

d x
a
dx
da
dx










 
2. Под знаком дифференциала в исходном интеграле умножают старую переменную 

интегрирования на необходимую константу, но при этом обратное число выносят за знак 

дифференциала, (а в конечном итоге за интеграл): 


1

u новая переменная интегрирования

x b
dx
d
d
b x
b
b

















  

 
3. Объединяя оба предыдущих пункта, получим: 
 



1
1

u новая переменная интегрирования

x b
dx
d
d x b
d
x b
a
b
b
b











 











 

 

Примеры по теме «Инвариантность формулы интегрирования»: 

Пример 1.   Найти интеграл: 
2
(
4)
4
7
x
dx
x
x




 

Решение:
 

2
2
2
2
(
4)
(
4
7)
ln
4
7
4
7
4
7
x
d x
x
dx
x
x
С
x
x
x
x













