Теоретическая механика. Практикум

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 

ПРАКТИКУМ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

О.В. МКРТЫЧЕВ

 

Рекомендовано федеральным учебно-методическим объединением 

в системе высшего образования по укрупненным группам специальностей 

и направлений подготовки 15.00.00 «Машиностроение» 

в качестве учебного пособия для реализации 

основных профессиональных образовательных программ 

высшего образования по направлению подготовки бакалавров 

15.03.02 «Технологические машины и оборудование»

УДК 531.8(075.8)
ББК 34.41я73
 
М11

Мкртычев О. В.

Теоретическая 
механика. 
Практикум 
: 
учебное 
пособие 
/ 

О. В. Мкртычев. — Москва : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2023. — 
337 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-9558-0547-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012596-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106259-3 (ИНФРА-М, online)

Пособие составлено в форме краткой сводки основных понятий, аксиом 
и теорем теоретической механики, обзора методов решения задач, 
стоящих перед ней. Содержит задачи, предназначенные для самостоятельного 
решения.

Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного 
стандарта высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов высших технических учебных заведений 

всех профилей направлений 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» 
и 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы» 
очной, заочной и дистанционной форм обучения, а также аспирантов 
и преподавателей данной дисциплины.

УДК 531.8(075.8)

ББК 34.41я73

М11

Р е ц е н з е н т ы:

В. А. Туркин, д-р техн. наук, проф., начальник кафедры техносфер-

ной безопасности на транспорте Государственного морского университета 
имени адмирала Ф. Ф. Ушакова (г. Новороссийск);

В. Г. Шеманин, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой общенаучных 
дисциплин Новороссийского политехнического института (филиал) 
Кубанского государственного технологического университета

ISBN 978-5-9558-0547-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012596-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106259-3 (ИНФРА-М, online)

©  Мкртычев О. В., 2018
© Вузовский учебник, 
    2017

Раздел первый 
СТАТИКА

Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного 
расположения приложенных к телу сил, рекомендуется 
проводить в следующем порядке:
1) выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть 
для отыскания неизвестных величин;
2) изобразить активные силы;
3) если твердое тело несвободно, то, применив аксиому освобо-
ждаемости от связей, приложить к нему соответствующие реакции 
связей;
4) рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела 
как тела свободного, находящегося под действием активных сил 
и реакций связей;
5) использовать необходимые и достаточные условия равнове-
сия в соответствии со взаимным расположением сил, приложенных 
к твердому телу, и определить искомые величины.
Обратите внимание на то, что этот порядок является общим при 
решении любых задач на равновесие твердого тела. Методы при-
менения пятого пункта для некоторых определенных систем сил 
и дополнительные рекомендации будут сделаны при рассмотрении 
соответствующих систем.

Глава I
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 1. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

1. Р а в н о в е с и е  т в е р д о г о  т е л а ,  к  к о т о р о м у  п р и -
л о ж е н а  с и с т е м а  с х о д я щ и х с я  с и л. Сходящимися называ-
ются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. 
После переноса всех сил по их линиям действия в эту точку по-
лучается эквивалентная система сил, приложенных в одной точке. 
Равнодействующая R системы сил, приложенных в одной точке, 
приложена в той же точке и изображается замыкающей стороной 
силового многоугольника, построенного на слагаемых силах, т.е. 
равнодействующая R равна векторной сумме слагаемых сил:

 
R
F
F
F
F
n
k

n

k
=
+
+…+
=

=∑
1
2
1
.  
(I.1.1)

При построении суммы векторов (рис. I.1.1, а), если векторы 
изображают силы, то полученный многоугольник OABCD, постро-
енный на рисунке для четырех слагаемых сил, называется силовым, 
а его замыкающая сторона OD является равнодействующей R.

Рис. I.1.1. Силовой многоугольник

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины 
силового многоугольника оказываются лежащими на одной пря-
мой. Равнодействующая R этой системы сил находится на той же 
прямой. На рис. I.1.2, а изображена равнодействующая четырех сил 
F1–4, лежащих на одной прямой.
Для равновесия твердого тела, к которому приложена система 
сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма 
этих сил равнялась нулю R = 0, т.е. чтобы силовой многоугольник 
был замкнут. Это значит, что конец вектора последней слагае-

мой силы должен совместиться с началом вектора первой слагае-
мой силы. На рис. I.1.1, б изображен замкнутый силовой много-
угольник, построенный на пяти слагаемых силах.
В случае равновесия твердого тела, к которому приложены 
силы, лежащие на одной прямой, вершины замкнутого силового 
многоугольника оказываются лежащими на прямой, вдоль которой 
в обоих направлениях отложены слагаемые силы, векторная сумма 
которых равна нулю (рис. I.1.2, б).
При решении задач на равновесие твердого тела, к которому 
приложена плоская система сходящихся сил, надо выполнить че-
тыре первых пункта, указанных выше на стр. 3. Затем:
5) построить замкнутый силовой многоугольник (построение 
начинать с силы, известной как по модулю, так и по направлению);
6) решить силовой многоугольник и определить искомые величины.
Если число активных сил и реакций связей, приложенных 
к твердому телу, находящемуся в равновесии, равно трем, то задача 
сводится к построению и решению силового треугольника.
2. Т е о р е м а  о  т р е х  с и л а х  ( н е п а р а л л е л ь н ы х ): если 
твердое тело находится в равновесии под действием трех непарал-
лельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих 
сил пересекаются в одной точке. Теорема о трех непараллельных 
силах значительно облегчает решение задач на равновесие твердого 
тела в тех случаях, когда направление одной из трех уравновеши-
вающихся сил неизвестно. Действительно, определив точку пере-
сечения линий действия двух сил, направления которых известны, 
можно указать направление линии действия третьей силы, так как 
она должна пройти через точку приложения этой силы и точку пе-
ресечения линий действия первых двух сил.
3. Т е о р е м а  В а р и н ь о н а  д л я  с и с т е м ы  с х о д я щ и х с я 
с и л  (теорема о моменте равнодействующей): момент относи-
тельно точки равнодействующей R системы сходящихся сил F1–n, 
расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме 
моментов слагаемых сил относительно той же точки:

 
m
R
m
F
m
F
m
F
O
O
O
k

n

O
k
( )
(
)
(
)
(
).
=
+
+…=

=∑
1
2
1

 
(I.1.2)

Рис. I.1.2. Силы, лежащие на одной прямой. Для наглядности 
линии действия сил смещены друг относительно друга

Удобство применения теоремы Вариньона заключается в том, 
что, минуя непосредственное определение равнодействующей, 
можно вычислить ее момент относительно точки, зная моменты 
всех слагаемых сил относительно той же точки.

Задачи на равновесие твердого тела, к которому приложена 
система сходящихся сил
I.1.1. Две гири весом 10 и 5 Н, висящие на одной веревке, укре-
плены на ней в разных местах, причем большая гиря висит ниже 
меньшей. Каково натяжение веревки?
I.1.2. Буксир тянет три баржи различных размеров, следующие 
одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный момент равна 
18 кН. Сопротивление воды движению буксира составляет 6 кН; 
сопротивление воды движению первой баржи — 6 кН, второй 
баржи — 4 кН и третьей — 2 кН. Имеющийся в распоряжении ка-
нат выдерживает безопасно растягивающую силу в 2 кН. Сколько 
канатов надо протянуть от буксира к первой барже, от первой 
ко второй и от второй к третьей, если движение прямолинейное 
и равномерное?
I.1.3. На дне шахты находится человек массой 64 кг. Посредством 
каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удержи-
вает груз весом 480 Н. 1) Какое давление оказывает человек на дно 
шахты? 2) Какую наибольшую массу он может удержать с помощью 
каната?
I.1.4. Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути 
с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12 МН. 
Какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению пое-
зда равно 0,005 давления поезда на рельсы?
I.1.5. В центре правильного шестиугольника приложены силы  
1, 3, 5, 7, 9 и 11 Н, направленные к его вершинам. Найти величину 
и направление равнодействующей и уравновешивающей.
I.1.6. Силу в 8 Н разложить на две по 5 Н каждая. Можно ли 
ту же силу разложить на две по 10, 15, 20 Н и т.д.? На две по 100 Н?
I.1.7. (рис. I.1.3) По направлению стропильной ноги, наклонен-
ной к горизонту под углом α = 45°, действует сила Q = 2500 Н. Какое 
усилие S возникает при этом по направ-
лению горизонтальной затяжки и какая 
сила N действует на стену по отвесному 
направлению?
I.1.8. Два трактора, идущих по бере-
гам прямого канала с постоянной ско-
ростью, тянут барку при помощи двух 
Рис. I.1.3. К задаче I.1.7

канатов. Силы натяжения канатов равны 800 и 960 Н; угол 
между ними — 60°. Найти сопротивление воды Р, испытываемое 
баркой при ее движении, и углы α и β, которые должны состав-
лять канаты с берегами канала, если барка движется парал-
лельно берегам.
I.1.9. (рис. I.1.4) Стержни АС и ВС со-
единены между собой и с вертикальной 
стеной посредством шарниров. На шар-
нирный болт С действует вертикальная 
сила Р = 1000 Н. Определить реакции 
этих стержней на шарнирный болт С, 
если углы, составляемые стержнями 
со стеной, равны: α = 30° и β = 60°.
I.1.10. (рис. I.1.5) Уличный фонарь 
весом 300 Н подвешен к вертикальному 
столбу с помощью горизонтальной попе-
речины АС = 1,2 м и подкоса ВС = 1,5 м. 
Найти усилия S1 и S2 в стержнях АС и ВC, 
считая крепления в точках А, В и С шар-
нирными.
I.1.11. (рис. I.1.6) Через два блока А 
и В, находящихся на одной горизонталь-
ной прямой АВ = l, перекинута веревка 
CAEBD. К концам С и D веревки подве-
шены гири весом р каждая, а к точке Е — 
гиря весом Р. Определить, пренебрегая 
трением на блоках и их размерами, рас-
стояние х точки Е от прямой АВ в поло-
жении равновесия. Весом веревки прене-
бречь.
I.1.12. (рис. I.1.7) К веревке АВ, один 
конец которой закреплен в точке А, при-
вязаны в точке В груз p и веревка BCD, пе-
рекинутая через блок; к ее концу D при-
вязана гиря Q весом 10 Н. Определить, 
пренебрегая трением на блоке, натяже-
ние Т веревки АВ и величину груза p, 
если в положении равновесия углы, 
образуемые веревками с вертикалью BE, 
равны: α = 45°, β = 60°.
I.1.13. (рис. I.1.8) На двух взаимно перпендикулярных глад-
ких наклонных плоскостях АВ и ВС лежит однородный шар О ве-

Рис. I.1.4. К задаче I.1.9

Рис. I.1.5. К задаче I.1.10

Рис. I.1.6. К задаче I.1.11

Рис. I.1.7. К задаче I.1.12

сом 60 Н. Определить давление шара 
на каждую плоскость, зная, что плос-
кость ВС составляет с горизонтом угол 
60°.
I.1.14. (рис. I.1.9) Шарик В весом Р 
подвешен к неподвижной точке А по-
средством нити АВ и лежит на поверх-
ности гладкой сферы радиуса r; рас-
стояние точки А от поверхности сферы 
AC = d, длина нити АВ = l, прямая АО 
вертикальна. Определить натяжение Т 
нити и реакцию Q сферы. Радиусом ша-
рика пренебречь.
I.1.15. (рис. I.1.10) Котел с равно-
мерно распределенным по длине ве-
сом Р = 40 кН и радиусом R = 1 м ле-
жит на выступах каменной кладки. 
Расстояние между стенками кладки 
l = 1,6 м. Пренебрегая трением, найти 
давление котла на кладку в точках А и В.
I.1.16. (рис. I.1.11) Вес однородного 
трамбовочного катка равен 20 кН, ра-
диус его 60 см. Определить горизонталь-
ное усилие Р, необходимое для перета-
скивания катка через каменную плиту 
высотой 8 см, в положении, указанном 
на чертеже.
I.1.17. (рис. I.1.12) Верхний конец А 
однородного бруса АВ, длина которого 
2 м, а вес 50 Н, упирается в гладкую вер-
тикальную стену. К нижнему концу В 
привязан трос ВС. Найти, на каком 
расстоянии АС нужно прикрепить трос 
к стене для того, чтобы брус находился 
в равновесии, образуя угол BСD = 45°. 
Найти натяжение Т троса и реакцию R 
стены.
I.1.18. (рис. I.1.13) Оконная рама АВ, 
изображенная на чертеже в разрезе, мо-
жет вращаться вокруг горизонтальной 
оси шарнира А и своим нижним краем В 
свободно опирается на уступ паза. Найти 

Рис. I.1.8. К задаче I.1.13

Рис. I.1.9. К задаче I.1.14

Рис. I.1.10. К задаче I.1.15

Рис. I.1.11. К задаче I.1.16

Рис. I.1.12. К задаче I.1.17

Рис. I.1.13. К задаче I.1.18

реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 890 Н, приложен 
к середине С рамы и AD = BD.
I.1.19. (рис. I.1.14) Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А, 
у конца В она положена на катки. В середине балки под углом 45° 
к ее оси действует сила Р = 20 кН. Определить реакции опор для 
случаев а и б, используя размеры с чертежей и пренебрегая весом 
балки.

Рис. I.1.14. К задаче I.1.19

I.1.20. (рис. I.1.15) На чертежах изображены балки АВ, удержива-
емые в горизонтальном положении вертикальными стержнями CD. 
На концах балок действуют силы F = 30 кН под углом 60° к гори-
зонту. Взяв размеры с чертежей, определить усилия S в стержнях CD 
и давления Q балок на стену, если крепления в А, С и D шарнирные. 
Весом стержней и балок пренебречь.

Рис. I.1.15. К задаче I.1.20

I.1.21. (рис. I.1.16) Дана система, состоящая из четырех арок, 
размеры которых указаны на чертеже. Определить реакции опор А, 
В, С и D, возникающие при действии горизонтальной силы Р.

Рис. I.1.16. К задаче I.1.21

I.1.22. (рис. I.1.17) Кран состоит из неподвижной башни АС и по-
движной фермы ВС (АС = ВС), которая имеет шарнир С и удержи-

вается тросом АВ. Груз Q = 400 кН висит 
на цепи, перекинутой через блок в точке 
В и идущей к вороту по прямой ВС. 
Определить, пренебрегая весом фермы 
и трением на блоке, натяжение Т троса 
АВ и силу Р, сжимающую ферму по пря-
мой ВС, как функции угла АСВ = ϕ.
I.1.23. Точка М притягивается тремя 
неподвижными центрами Мi(хi, yi) силами, пропорциональными 
расстояниям: Fi = kiri, где ri = ММi, а ki — коэффициенты пропор-
циональности (i = 1, 2, 3). Определить координаты x, у точки М 
в положении равновесия.
I.1.24. (рис. I.1.18) Концевая цепь цепного моста заложена в ка-
менное основание, имеющее форму прямоугольного параллелепи-
педа, среднее сечение которого есть ABDC. Стороны АВ = АС = 5 м, 
удельный вес кладки 25 кН / м3; цепь рас-
положена по диагонали ВС. Найти необ-
ходимую длину а третьей стороны парал-
лелепипеда, если натяжение цепи 
Т = 1000 кН и основание должно быть 
рассчитано на опрокидывание вокруг ре-
бра D. При расчете сопротивлением грунта пренебречь.
I.1.25. (рис. I.1.19) Земляная насыпь подпирается вертикальной 
каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, пред-
полагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, 
приложено на 1 / 3 ее высоты и равно 60 кН / м (на метр длины 
стены); удельный вес кладки 20 кН / м3. Стена должна быть рассчи-
тана на опрокидывание вокруг ребра А.
I.1.26. (рис. I.1.20) Водонапорная 
башня состоит из цилиндрического ре-
зервуара высотой 6 м и диаметром 4 м, 
укрепленного на четырех симметрично 
расположенных столбах, наклонных 
к горизонту; дно резервуара находится 
на высоте 17 м над уровнем опор; вес 
башни 80 кН, давление ветра рассчи-
тывается на площадь проекции поверх-
ности резервуара на плоскость, пер-
пендикулярную к направлению ветра, 
причем удельное давление ветра прини-
мается равным 1,25 кН / м2. Определить 
необходимое расстояние АВ между осно-

Рис. I.1.18. К задаче I.1.24

Рис. I.1.19. К задаче I.1.25

Рис. I.1.20. К задаче I.1.26

Рис. I.1.17. К задаче I.1.22