Численные методы решения задач теплообмена
Покупка
Тематика:
Математика
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Автор:
Левицкий Игорь Анисимович
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 90
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
Практикум содержит восемь практических занятий, посвященных решению (путем написания программ на алгоритмическом языке) задач теплообмена. Первое занятие знакомит с подходом к решению нелинейных задач, второе, третье и четвертое - с внешними задачами теплообмена, пятое, шестое и седьмое - с внутренними задачами, а на восьмом занятии рассматриваются подходы к решению сопряженных задач теплообмена. Описание алгоритмов дано без привязки к конкретному языку программирования, однако практикум содержит рекомендации для программной реализации этих алгоритмов в среде VBA MS Office. Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 22.03.02 «Металлургия» (профиль «Технологии материалов»).
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Москва 2021 МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСИС» ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА Кафедра энергоэффективных и ресурсосберегающих промышленных технологий И.А. Левицкий ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА Практикум Рекомендовано редакционно-издательским советом университета № 4413
УДК 669.04:001.573 Л37 Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, профессор кафедры ОМД НИТУ «МИСиС» А.Г. Радюк Левицкий, Игорь Анисимович. Л37 Численные методы решения задач теплообмена : практикум / И.А. Левицкий. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 90 с. Практикум содержит восемь практических занятий, посвященных решению (путем написания программ на алгоритмическом языке) задач теплообмена. Первое занятие знакомит с подходом к решению нелинейных задач, второе, третье и четвертое – с внешними задачами теплообмена, пятое, шестое и седьмое – с внутренними задачами, а на восьмом занятии рассматриваются подходы к решению сопряженных задач теплообмена. Описание алгоритмов дано без привязки к конкретному языку программирования, однако практикум содержит рекомендации для программной реализации этих алгоритмов в среде VBA MS Office. Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 22.03.02 «Металлургия» (профиль «Технологии материалов»). УДК 669.04:001.573 Левицкий И.А., 2021 НИТУ «МИСиС», 2021
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие .................................................................. 4 Практическое занятие 1 Применение методов последовательных приближений для решения простейших задач радиационного теплообмена ..................................... 6 Практическое занятие 2 Расчет сложного теплообмена в системе «газ – кладка – металл» классическим зональным методом ....................................................... 22 Практическое занятие 3 Расчет разрешающих обобщенных угловых коэффициентов излучения в системе «газ – кладка – металл» ................................................. 36 Практическое занятие 4 Расчет сложного теплообмена в системе «газ – кладка – металл» резольвентным зональным методом ....................................................... 41 Практическое занятие 5 Решение тестовой задачи теплопроводности ......................................................... 46 Практическое занятие 6 Решение линейной задачи теплопроводности методом конечных разностей (явная разностная схема) ......................................................... 54 Практическое занятие 7 Решение линейной задачи теплопроводности методом конечных разностей (неявные разностные схемы) ........................................................ 61 Практическое занятие 8 Решение сопряженной задачи теплообмена для нагрева термически тонкого металла в топливной печи .......................................................... 67 Библиографический список ............................................ 76 Приложение I Создание расчетной программы на VBA в Microsoft Excel 2003 .................................................... 77 Приложение II Создание расчетной программы на VBA в Microsoft Excel 2007–2019 ........................................... 82 Приложение III Пример оформления листа Excel и программ на VBA для занятия 1 ................................... 87
ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие составлено в соответствии с программой курса «Численные методы решения задач теплообмена» для бакалав- ров профиля «Технологии материалов», обучающихся по направ- лению 22.03.02 «Металлургия». Целью практических занятий является освоение методов численного решения внешних и вну- тренних задач теплообмена в промышленных печах и приобре- тение навыков разработки соответствующих компьютерных про- грамм. Пособие предусматривает проведение восьми двухчасо- вых практических занятий в течение одного семестра. Прак- тическое занятие 1 посвящено освоению приемов решения нелинейных уравнений (на примере простейших задач ради- ационного и сложного теплообмена), занятия 2–4 – различ- ным модификациям зонального метода для расчета сложного (радиационно-конвективного) теплообмена в рабочем про- странстве промышленных печей, занятия 5–7 – методам ана- литического и численного решения задач теплопроводности, а занятие 8 – методам решения простейшей задачи сопряжен- ного теплообмена. Поскольку физическое содержание моделируемых про- цессов и основные приемы их математического описания изуча- ются в курсе «Тепломассообмен», главное внимание при прове- дении практических занятий уделяется построению алгоритмов численного решения задач, их реализации в виде компьютер- ных программ и проведению вычислительных экспериментов. Все практические занятия проводятся в компьютерном классе каждым студентом индивидуально в соответствии с ва- риантом, указанным преподавателем. В процессе подготовки к занятию студент прорабатывает теоретический материал, содержащийся в описании работы и литературе [1 – 3], состав- ляет конспект с изложением постановки задачи и структуры применяемых для ее решения вычислительных алгоритмов, а также подготавливает текст компьютерной программы. После ввода и отладки программы проводится вычислительный экс- перимент в соответствии с индивидуальным заданием, сформу- лированным преподавателем, и результаты его заносятся в от-
чет. По окончании вычислений отчет дополняется объяснением полученных результатов, необходимыми выводами и ответа- ми на контрольные вопросы. Наличие конспекта и полностью оформленного отчета является необходимым условием для за- щиты практического задания по каждой изучаемой теме заня- тия. Создание расчетных программ возможно на любом алго- ритмическом языке по согласованию с преподавателем; однако в качестве базового языка в данном курсе предлагается Visual Basic (VBA), встроенный в Microsoft Excel. Поэтому в приложе- ниях к данному пособию представлены рекомендации по созда- нию программ в среде VBA и примеры таких программ. Встре- чающиеся в описаниях практических занятий рекомендации по программированию, помеченные значком :, также ориен- тированы на этот базовый вариант. Перед началом работы над практикумом рекомендуется повторить темы по основам языка Basic, в особенности такие как: типы переменных; организация циклов (for – next и do – loop while); подпрограммы (процедуры и функции); массивы статические и динамические; глобальные и локальные переменные. Также следует изучить особенности ввода-вывода ин- формации в среде VBA.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Применение методов последовательных приближений для решения простейших задач радиационного теплообмена 1.1 Постановка задачи Пусть требуется рассчитать температуру нагревателя Tн электрической печи сопротивления. Будем считать заданными: температуру поверхности нагреваемого металла Tм = 1000 К; степень ее черноты eм = 0,5; полезную удельную мощность нагревателя pн = 50 кВт/м2; зависимость степени черноты нагревателя от темпе- ратуры (в интервале 1000 – 2000 К) в виде eн(Tн) = k⋅Tн, где k = 0,15⋅10–3 К–1. Для решения этой задачи запишем уравнение теплового баланса для нагревателя: р н н, p q = - (1.1) где qр н – плотность потока результирующего излучения на его поверхности, Вт/м2. Используем известное решение задачи радиационного теплообмена (РТО) для системы из двух тел (в данном случае – поверхности металла и нагревателя): ( ) р 4 4 н пр o м н , q T T = e s - (1.2) где eпр – приведенная степень черноты рассматри- ваемой системы; sо – постоянная Стефана – Больцмана, sо = 5,67⋅10–8 Вт/(м2⋅К4). Подставив выражение (1.2) в уравнение теплового ба- ланса (1.1), получим соотношение
( ) ( ) 4 4 н пр н o н м . p T T T = e s - (1.3) Если бы величина eпр была константой, то решение по- ставленной задачи было бы очень простым: следовало бы не- известную величину T4 н перенести в левую часть выражения (1.3), а затем извлечь корень четвертой степени из выражения в правой части. Но величина eпр зависит от геометрии системы и значений eм и eн, а eн = eн(Tн), поэтому и eпр оказывается за- висящей от неизвестной температуры Tн, т.е. тоже является неизвестной величиной. В общем случае приведенная степень черноты для систе- мы из двух тел (1 и 2) описывается выражением [1]: 12 пр 12 21 1 2 , 1 1 1 1 1 j e = + - j + - j e e (1.4) где e1, e2 – степени черноты поверхностей тел системы; j12, j21 – геометрические угловые коэффициенты излучения между этими телами. Поскольку в условии задачи отсутствуют данные о гео- метрии системы, будем рассматривать поверхности нагревате- ля и металла как бесконечные параллельные плоскости, тогда j12 = 1, j21 = 1 и выражение для приведенной степени черноты такой системы может быть записано в виде ( ) пр м н н 1 , 1 1 1 T e = + - e e (1.5) что позволяет переписать уравнение (1.3) в форме ( ) ( ) 4 4 o н н м м н н . 1 1 1 p T T T s = - + - e e (1.6)
Полученное выражение представляет собой нелинейное уравнение относительно искомой температуры Tн. Для его ре- шения могут быть применены различные численные методы, наиболее распространенные из которых рассмотрены в после- дующих подразделах (для сокращения записи неизвестная температура обозначена буквой x: x ≡ Tн). 1.2 Метод простой итерации Для применения метода простой итерации уравнение (1.6) необходимо преобразовать к такому виду, при котором левая часть содержит только искомую переменную в первой степени: ( ). x f x = (1.7) Это преобразование можно выполнить различными пу- тями. Первый путь предполагает те же действия, которые пред- принимались бы для постоянного значения eпр: соотношение (1.6) делится на первый множитель правой части, величина T4 м переносится в левую часть и из полученного выражения извле- кается корень четвертой степени, в результате чего получается равенство 4 н 4 м о м 1 1 1 , p x T k x = + - + s e ⋅ (1.8) сравнивая которое с уравнением (1.7), видим, что для этого ва- рианта ( ) 4 н 4 м o м 1 1 1 . p f x T k x ≡ + - + s e ⋅ (1.9) Второй путь состоит в том, что в левую часть уравне- ния выносится искомая температура, входящая в выражение для степени черноты нагревателя. В этом случае итоговое вы- ражение будет иметь вид
( ) 4 4 o м н м 1 , 1 1 x k x T p = s ⋅ - - + e (1.10) т.е. для этого варианта ( ) ( ) 4 4 o м н м 1 . 1 1 f x k x T p ≡ s ⋅ - - + e (1.11) Используя в правой части уравнения вместо выражений (1.9) или (1.11) их линейную комбинацию, можно получить бесчисленное множество вариантов представления исходного уравнения (1.6) в форме (1.7). Решение уравнения (1.7) методом простой итерации начинается с задания исходного приближения x(0), выбираемого достаточно произвольно, но, конечно, не противоречащего физическому смыслу величины x. При решении уравнения (1.7) в качестве исходного приближения можно выбрать минимально возможное значение температуры нагревателя, равное температуре металла x(0) = xmin = Tм (или несколько большее значение, скажем, на 100 К). Суть метода простой итерации заключается в том, что в качестве уточненного значения x(1) рассматривается результат подстановки начального приближения x(0) в правую часть уравнения (1.6): ( ) ( ) ( ) 1 0 . x f x = (1.12) Операция (1.12) называется первой итерацией. На второй, третьей и дальнейших итерациях производится последовательное уточнение искомого значения x; при этом на каждом шаге расчета в правую часть уравнения (1.7) подставляется результат, полученный на предыдущей итерации. Так, на итерации с номером n справедливо соотношение ( ) ( ) ( ) –1 . n n x f x = (1.13)
Всю совокупность соотношений (1.13) при n = 1, 2, … можно заменить одной итерационной формулой ( ) * , x f x = (1.14) в которой через x* и x обозначены соответственно предыдущее и последующее приближения искомой величины, а переход к очередной итерации начинается с присваивания переменной x* того значения, которое на прошлой итерации получает переменная x. Следует отметить, что часто итерационной формулой называют исходное соотношение (1.7); при этом, конечно, в правой части этого соотношения производится мысленная замена x на x*. Если итерации сходятся к ~x – решению уравнения (1.7), описанная процедура продолжается до тех пор, пока модуль смещения Dx = x – x* (разности между последующим и предыдущим приближением искомой величины) не станет меньше некоторой заранее заданной допустимой погрешности расчета. На рисунках 1.1 и 1.2 дана графическая интерпретация искомого решения: ему соответствует абсцисса точки пересечения графиков функций y = x и y = f(x), являющихся левой и правой частями уравнения (1.7), а стрелками указаны переходы от предыдущего к последующему приближению. Как видно на рисунках, в зависимости от вида функции f(x) знак смещения Dx может быть одним и тем же (монотонная итерационная последовательность (рисунки 1.1, а, 1.2, а)), а может менять- ся (немонотонная итерационная последовательность (рисун- ки 1.1, б, 1.2, б)). На рисунке 1.1 видно, что итерации сходятся, если за- висимость функции f(x) от искомой величины x выражена до- статочно слабо (|f′(x)| < 1 во всей области изменения x). При достаточно сильной зависимости f(x) (если |f′(x)| > 1 в области из- менения x) итерационная процедура расходится (рисунок 1.2). Так, для рассмотренного выше примера первый путь, по- зволяющий получить функцию f(x) в виде (1.9), обеспечивает при x(0) = xmin = 1000 К значение f′(x) = –0,32 с последующим убыванием |f′(x)| при возрастании x. Поэтому при решении уравнения (1.7) итерации сходятся: при исходном приближе-
нии x = 1000 К итерационная последовательность имеет сле- дующий вид: 1000,0; 1669,1; 1524,7; 1547,7; 1543,8; 1544,5; 1544,3… Выполняя вычисления с точностью до 0,5 К, оконча- тельно получим x = 1544,3 К. а б Рисунок 1.1 – Графическая иллюстрация монотонной (а) и немонотонной (б) сходящихся итерационных последовательностей а б Рисунок 1.2 – Графическая иллюстрация монотонной (а) и немонотонной (б) расходящихся итерационных последовательностей
Доступ онлайн
В корзину