Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математический анализ процессов горячей деформации и фазовых превращений

Пособие к курсовым работам и практическим занятиям
Покупка
Артикул: 797720.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
Пособие включает описание теории и последовательности при выполнении курсовых работ и практических занятий по восьми темам, по таким учебным дисциплинам, как физика прочности, жаропрочные и радиационно стойкие материалы, термомеханическая обработка металлов и сплавов, теория фазовых и структурных превращений, материалы для сверхсложных условий эксплуатации. По каждой рассматриваемой теме дано краткое теоретическое описание процесса и методики математического анализа. Приведены необходимые справочные данные и иллюстративный материал. Практически для всех работ представлены исходные базы экспериментальных данных. Последовательность выполнения работ иллюстрируется демонстрационными примерами. Цель пособия - привить студентам навыки математической обработки больших массивов экспериментальных данных, дать приемы нахождения математических зависимостей для их описания, показать примеры нахождения стандартных механических характеристик и структурно-фазовых показателей. Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии материалов» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», осваивающих курсы «Физика прочности» и «Высокотемпературная прочность материалов», «Жаропрочные и радиационно стойкие материалы», «Темромеханическая обработка металлов и сплавов», «Теория фазовых и структурных превращений».
Беломытцев, М. Ю. Математический анализ процессов горячей деформации и фазовых превращений : пособие к курсовым работам и практическим занятиям : практикум / М. Ю. Беломытцев. - Москва : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. - 150 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1915591 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Москва  2020

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ 

 

Кафедра металловедения и физики прочности

М.Ю. Беломытцев

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
ПРОЦЕССОВ ГОРЯЧЕЙ ДЕФОРМАЦИИ 
И ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

Пособие к курсовым работам и практическим занятиям

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4093

УДК 669.017:517 
 
Б43

Р е ц е н з е н т 

д-р техн. наук, проф. А.Н. Белов

Беломытцев М.Ю.

Б43  
Математический анализ процессов горячей деформации 
и фазовых превращений : пособие к курсовым работам 
и практическим занятиям : практикум / М.Ю. Беломытцев. – 
М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 150 с.

Пособие включает описание теории и последовательности при выполнении 
курсовых работ и практических занятий по восьми темам, 
по таким учебным дисциплинам, как физика прочности, жаропрочные 
и радиационно стойкие материалы, термомеханическая обработка 
металлов и сплавов, теория фазовых и структурных превращений, 
материалы для сверхсложных условий эксплуатации. По каждой 
рассматриваемой теме дано краткое теоретическое описание процесса 
и методики математического анализа. Приведены необходимые 
справочные данные и иллюстративный материал. Практически для 
всех работ представлены исходные базы экспериментальных данных. 
Последовательность выполнения работ иллюстрируется демонстрационными 
примерами. Цель пособия – привить студентам навыки 
математической обработки больших массивов экспериментальных 
данных, дать приемы нахождения математических зависимостей для 
их описания, показать примеры нахождения стандартных механических 
характеристик и структурно-фазовых показателей.

Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся 
по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии материалов» 
и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 
осваивающих курсы «Физика прочности» и «Высокотемпературная 
прочность материалов», «Жаропрочные и радиационно стойкие материалы», «
Темромеханическая обработка металлов и сплавов», «Теория 
фазовых и структурных превращений».

УДК 669.017:517

© М.Ю. Беломытцев, 2020
© НИТУ «МИСиС», 2020

Содержание

Предисловие ..................................................................... 4
Практическое занятие 1 
НАХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ  
ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ................................ 5
Практическое занятие 2 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
ПРОЦЕССОВ ПОЛЗУЧЕСТИ  
(нахождение обобщенных уравнений ползучести) ................. 23
Практическое занятие 3 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА 
РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ  
(построение обобщенных диаграмм рекристаллизации) ......... 42
Практическое занятие 4 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНТРОЛИРУЕМОЙ 
ПРОКАТКИ МАЛОУГЛЕРОДИСТОЙ СТАЛИ ...................... 65
Практическое занятие 5 
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ДИФФУЗИОННЫХ 
ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ......... 92
Практическое занятие 6 
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ГОМОГЕНИЗИРУЮЩЕГО  
ОТЖИГА ЖАРОПРОЧНЫХ НИКЕЛЕВЫХ СПЛАВОВ ........105
Практическое занятие 7 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОКИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ 
СТАЛИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ .................119
Практическое занятие 8 
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЖАРОПРОЧНЫХ  
НИКЕЛЕВЫХ СПЛАВОВ ................................................139
Библиографический список ..............................................148

ПРЕДИСЛОВИЕ

Практикум «Математический анализ процессов горячей 

деформации и фазовых превращений. Пособие к курсовым ра-
ботам и практическим занятиям» является обобщением методи-
ческих описаний выполнения курсовых работ и практических 
занятий, посвященных обработке экспериментальных данных 
горячих механических испытаний, обработки давлением и ре-
зультатов исследований фазового и структурного состояния ма-
териалов, связанного с воздействием высоких температур. Ха-
рактер и содержание работ соответствуют учебным программам 
по общим и специальным курсам.

Пособие должно дать студентам сведения о последователь-

ности этапов при выполнении курсовых работ и заданий прак-
тических занятий, о методах обработки массивов данных, пред-
ставленных в виде электронных документов. Пособие призвано 
развивать у студентов навыки использования компьютера для 
проведения вычислительных операций с большими массивами 
данных. Особое внимание в работах придается изложению мето-
дик и приемов поиска аналитических зависимостей между экс-
периментальными величинами. Все работы сопровождаются де-
монстрационными примерами, позволяющими контролировать 
правильность расчетов и оценивать адекватность получаемых 
аналитических зависимостей.

Практические занятия и курсовые работы по тематике 

практикума проводятся на кафедре впервые. Автор благодарит 
за помощь при обсуждении работы сотрудников кафедры Мель-
ниченко А.С. и Молярова В.Г. 

Практическое занятие 1 

НАХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ 

ДЕФОРМАЦИИ

1.1 Теоретическое введение

Обработка давлением является главным способом полу-

чения металлопродукции заданного сортамента и типоразмера. 
С точки зрения эффективности производства (баланса затрат 
на оборудование и нагрев заготовок) бесспорным преимуществом 
обладает обработка горячей деформацией. Холодная деформа-
ция применяется для придания высоких механических свойств 
на финишной стадии обработки давлением с помощью механиз-
ма холодного наклепа (лист, проволока, лента, пруток и т.п.).

Возможность управления процессом горячей деформации 

определяется знаниями законов взаимосвязи таких переменных 
факторов, как давление, деформация, скорость деформации и 
температура. Знание этих закономерностей позволяет вводить 
компьютерное регулирование процессов горячей деформации 
(по типу контролируемой прокатки для автолистовой стали) 
с целью регулирования структуры и механических свойств ко-
нечного продукта.

Известны базовые уравнения связи переменных типа Хол-

ломона (Н), экспоненциально-степенного (ES), Людвигсона (L), 
Зенера – Холломона (Z и Z1), Bird – Mukherjee – Dorn (BMD), 
модернизированное уравнение Зенера – Холломона (ZM). Эти 
уравнения математически выглядят так:

 - Холломона (Н): 

S = S0 · ϕn;

 - экспоненциально-степенное (ES): 

σ = A · εn · exp(k · ε);

 - Людвигсона (L): 

S = K0 · ϕn + exp(K1 + K2·ϕ);

- Зенера – Холломона (Z): 

Z = ε exp (Q / RT);

 - Зенера – Холломона (Z1):

ε  = A F (σ) exp (–Q / RT),

где S – истинное напряжение, МПа;
S0, A...A4, k, K0, K1, K2, α, β, n, n1 – константы материала; 

α = β / n;

ϕ – истинная деформация, доли ед.;
σ – напряжение течения, MПa; 
ε – деформация, доли ед.;
Z – параметр Зенера – Холломона;
ε  – скорость деформации, с–1;
Q – энергия активации горячей деформации, кДж/моль;
R – универсальная газовая постоянная, 8,314 J/моль·К; 
Т – абсолютная температура, К; 
F(σ) = A1σn1; ασ < 0,8;
F(σ) = A2exp (A3σ), ασ > 1,2;
F(σ) = A4sinh (ασ) для всех остальных ασ.

Замена гиперболическим законом F(σ) в уравнении (Z1) 

дает улучшенное уравнение Аррениуса (A) в форме гиперболи-
ческого синуса, оно может лучше описывать зависимость напря-
жения от температуры и скорости деформации на стадии устано-
вившегося течения:

(
)
(
)
sin
exp
R

n
Q
p
T
h
A




ε =
ασ
⋅
−








,

где p – константа.

Согласно определению гиперболического закона напряже-

ние течения может быть выражено как функция параметра Зе-
нера – Холломона (Z) в виде:

 - Зенера – Холломона (Z): 

1
1
2
2
1 ln
1
n
n
Z
Z
A
A















σ =
+
+








α















;

- Bird – Mukherjee – Dorn (BMD):

(
) (
)
(
)
(
)
0
exp
1/
Q
d
D EbA
kT
E
b
kT
−
σ
ε =
⋅
⋅
⋅

;

 - модернизированного уравнения Зенера – Холломона 

(ZM): 

(
)
(
)
(
)

1
1
1
2
2
0
2
exp
ln
1
n
Z
Z
A
A

β




β




σ =
⋅ε
⋅
−β ⋅ε ⋅
+
+




α









,

где D0 – параметр диффузии, см2/с;
E – упругий модуль, МПа;
d – размер зерна, нм;
b – кратчайшее межатомное расстояние, нм;
A, β0, β1, β2 – константы.

Описанные выше уравнения не универсальны. Уравнение 

типа Холломона (H) применяют для нахождения параметров 
кривой холодной и теплой деформации, когда до самого момента 
потери устойчивости пластического течения (чаще всего до момента 
образования шейки) на машинной кривой деформации коэффициент 
деформационного упрочнения dσ/δε положителен 
(т.е. кривая все время идет вверх, хотя и с постоянно убывающим 
наклоном). Экспоненциально-степенное уравнение (ES) хорошо 
описывает кривую горячей деформации, на которой присутствует 
стадия с постоянно уменьшающейся (хотя и довольно 
медленно) по мере увеличения деформации нагрузкой, не связанной 
с началом образования шейки (на этой стадии процессы 
контролируются динамической полигонизацией), но плохо – 
со стадией динамической рекристаллизации. Первые два типа 
уравнений не учитывают температуры и скорости деформации. 
Уравнения Зенера – Холломона и его разновидности применяют 
для описания тех кривых горячей деформации, на которых ярко 
выражена стадия с постоянной скоростью деформации (на этой 
стадии кривая идет параллельно оси абсцисс, что связано с ди-
намической рекристаллизацией), и найденные уравнения позво-
ляют прогнозировать связь скорости деформации на этой ста-
ционарной стадии с температурой и напряжением, но без учета 
степени деформации. 

Взаимосвязь всех четырех переменных (σ, ε, ε , Т) может 

быть представлена уравнениями общего вида (OB):

( )
(
)
exp
R

m
n
Q
A
T
σ =
⋅ε ⋅ ε
⋅


или после логарифмирования:

log(σ) = A + B·log(ε) + C · log( ε ) + D / T,

где A, B, C, D, n, m – константы.

Комбинирование уравнений (ES) и (OB) дает

(
) ( )
(
)
exp
exp
R

m
n
Q
A
k
T
σ =
⋅ε ⋅
ε ⋅ ε
⋅


или после логарифмирования:

log(σ) = A + B·log(ε) + C · (ε)+ D · log( ε ) + E / T.

Известно также уравнение общего вида Зерилли – Арм-

стронга: 

( )
12
0
2
3
4
exp
ln
C
C
C
T
C


σ =
+
⋅ε
⋅
−
⋅
+
⋅
ε



 ,

где С0, С2, С3, С4 – константы.

После логарифмирования уравнения общего вида Зерилли – 

Армстронга (полагая на начальном цикле С0 = 0) связь перемен-
ных может быть выражена функциональной зависимостью вида

log(σ) = A + B · log(ε) + C · log( ε )+ D · T.

Все эти уравнения применяют как для описания процес-

сов деформирования, так и для прогноза (расчета) требуемых ин-
женерам или исследователям параметров напряжений, дефор-
маций либо скоростей деформаций.

1.2 Цель занятия

Цель практической работы – описание кривой деформа-

ции вида σ – ε математической зависимостью наилучшего вида 
и нахождение закона связи всех варьируемых параметров в виде 
математической модели (нахождение закона деформации).

1.3 Организация занятия

В качестве экспериментальных данных студентам пред-

лагаются результаты испытания на горячее сжатие образцов 
жаропрочных материалов в виде графиков кривых деформа-
ции в координатах «истинное напряжение – истинная деформа-
ция». Все испытания проводились на цилиндрических образцах 
при разных температурах (от 600 до 1200 °С) и скоростях сжа-
тия (от 0,01 до 10,00 с–1). Общее число графиков, подлежащих 
анализу, – не менее 20 (источники информации – статьи из раз-
личных монографий и научных журналов – приведены в [1–5]). 
Учебная группа студентов делится на пары. Каждой паре вы-
дается несколько графиков с таким расчетом, чтобы вся группа 
в целом проанализировала полный массив данных. На первом 
этапе (парный анализ) работа каждой пары независима от дру-
гих. На втором этапе результаты работы всех пар сводятся в один 
массив экспериментальных данных и вся учебная группа проводит 
один и тот же многомерный анализ. 

1.3.1 АНАЛИЗ КРИВОЙ ДЕФОРМАЦИИ  
(парный анализ)

Цель первого этапа работы – нахождение уравнения, наилучшим 
способом описывающего экспериментальную кривую 
сжатия. Поскольку каждая кривая получена при некоторой постоянной 
температуре и некоторой фиксированной скорости 
деформации, переменными величинами этой части работы являются 
степень деформации ϕ (независимая переменная – х) и 
напряжение S (зависимая переменная – у). И та, и другая переменная 
задаются их истинными значениями. Для описания кривых 
деформации предлагаются две модели: Холломона (1.1) и 
экспоненциально-степенная (1.2). Модель Людвигсона: 

S = K0 · ϕn + exp(K1 + K2 · ϕ),

где K0, K1, K2 – константы.

Она простыми математическими преобразованиями приводится 
к экспоненциально-степенному виду:

 
S = S0 · ϕn;  
(1.1)

S = A · ϕn · exp(k · ϕ). 
(1.2)

На этом этапе цель работы – нахождение коэффициентов 

уравнений (1.1) и (1.2), проверка качества полученных моделей 
и выбор наилучшей из них.

Уравнение (1.1) логарифмированием может быть приведено 
к уравнению двух переменных линейного вида:

log(S) = log(S0) + n · log(ϕ),

где х = log(ϕ), у = log(S), а log(S0) и n – коэффициенты, ко-

торые необходимо найти. Такая задача легко решается в любых 
расчетных программах (например, Excel, Origin, MathCad, Sta-
tistica) с применением стандартных функций.

Уравнение (1.2) логарифмированием может быть приведе-

но к уравнению трех переменных линейного вида:

log(S) = log(А) + n · log(ϕ) + log(e) · k · ϕ

где х = log(ϕ); у = log(е); z = log(S); log(А), n и log(e) · k – ко-

эффициенты, которые необходимо найти; ϕ – истинная деформа-
ция. Такая задача может быть решена в программах MathCad и 
Statistica с применением стандартных операторов. 

Качество найденных моделей проверяется применением 

метода максимального правдоподобия. Этот метод подразумева-
ет вычисление суммы квадратов отклонений расчетных значе-
ний Sрасч от экспериментальных Sэксп. По этой величине может 
быть определено среднее отклонение вычисленных значений 
от экспериментальных в мегапаскалях (МПа), а при нормирова-
нии на Sэксп – качество моделей в процентах от среднего значе-
ния величины S.

Формально лучшей считается та модель, у которой пока-

затели качества выражены меньшим числом. Окончательный 
вывод делается после определения критерия Фишера: если рас-
четный критерий Фишера V2расч превышает табличный V2табл 
(для данных степеней свободы и уровня значимости α; за базо-
вый уровень значимости всегда принимается α = 0,95), то модель 
с меньшим значением среднеквадратичного отклонения значи-
мо лучше, чем другая.

Иллюстрация хода выполнения работы приведена на при-

мере рисунка 1.1.

Рисунок 1.1 – Первичные кривые горячей 

деформации сжатием. Скорость деформации 0,01 с–1. 

Температуры (в кельвинах) указаны на графике 

около кривых

Последовательность выполнения парного анализа по мо-

дели вида (1.1). 1. Оцифровка кривых деформации может про-
водиться прямым измерением расстояний по оси Х и по оси Y 
на графиках. Для этого линию деформации размечают точками 
(не менее 20 точек от начальной до конечной точки) и линей-
кой измеряют пары значений х и у. Оптимальная организация 
работы на этом этапе, когда один студент измеряет и диктует, 
второй – заносит данные в таблицу (лучше сразу в электронном 
виде). Более разумно применение специализированных ком-
пьютерных программ оцифровки графиков и рисунков. Одной 
из таких программ является программа оцифровки изображений 
Grafula. Последовательность операций в случае работы с ней 
следующая: 

 - скопировать изображение кривой деформации и сохранить 
его в формате .bmp;

Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину