Аналитические функции комплексного переменного

Москва

Горячая линия – Телеком

2020

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим
объединением в системе высшего образования по укрупненной
группе специальностей и направлений подготовки 10.00.00 –
«
»
Информационная безопасность
в качестве учебного пособия
для студентов образовательных организаций высшего
образования, обучающихся по направлениям подготовки и
специальностям УГСНП 10.00.00 –
«Информационная безопасность»

УДК 517.53/.55 (075.8) 
ББК 22.161.5 я73 
 Т41 

Р е ц е н з е н т ы : ведущий научный сотрудник лаборатории математического 
анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 
канд. физ.-мат. наук, с.н.с. В. А. Носов; профессор кафедры дифференциальных 
уравнений МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физ.-мат. наук 
И. В. Асташова. 

Тимашев А. Н. 

Т41    Аналитические функции комплексного переменного. Учебное 
пособие для вузов. −  М.:  Горячая линия – Телеком, 2020. – 
172 с.: ил.  

ISBN 978-5-9912-0685-3. 

Кратко изложен курс теории аналитических функций комплексного 
переменного, предназначенный для изучения на механико-
математических и физико-математических факультетах университетов 
и других вузов с повышенной математической подготовкой. В основу 
пособия положены материалы лекционного курса, который автор 
многие годы читал на факультете прикладной математики Института 
криптографии, связи и информатики. 
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучающихся 
по техническим специальностям.  

   ББК 22.161.5 я73 

Учебное издание 
Тимашев Александр Николаевич 
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ  
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО  
Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2018 г.    

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме 
и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
© А. Н. Тимашев

Предисловие

Придайте глубины печать
Тому, что трудно Вам понять.
Красивые обозначенья
Вас выведут из затрудненья.
И.В. Гёте

Книга представляет собой обработанные и несколько расширенные 
записи лекций по курсу теории функций комплексного переменного, 
которые автор в течение многих лет читал на факультете
прикладной математики Института криптографии, связи и информатики.

Как и в изданной ранее книге автора «Математический
анализ», по форме изложения — это нечто среднее между учебником
и конспектом лекций. Хотелось «. . . соединить доступность изложения, 
свойственную учебнику, с краткостью конспекта» [2]. В какой
мере это удалось — судить читателю.
Объем материала примерно соответствует программе курса теории 
функций комплексного переменного, обычно читаемого в пятом 
или шестом семестрах на механико-математических и физико-
математических факультетах университетов и других вузов с повышенной 
математической подготовкой (с некоторыми дополнениями),
за исключением следующих разделов: дробно-линейные функции,
конформные отображения, римановы поверхности (эти темы достаточно 
полно представлены в изданиях, перечисленных в списке литературы, 
например, [8, 17, 19, 20, 22, 30, 39]).
По различным разделам комплексного анализа в настоящее время 
имеется большое количество учебников, курсов лекций и учебных
пособий, как отечественных, так и переводных. Тем не менее, при
изложении материала автор не стремился кому-либо подражать. Однако 
при написании книги были использованы идеи, заимствованные
из [16, 22, 24] и, особенно, [17] — эти издания являлись вдохнов-
ляющими примерами. В процессе изложения вопросов, связанных
с топологией комплексной плоскости и понятием гомотопии, был
задействован подход, основанный на «. . . применении элементарных
версий методов современной утонченной математики» [29].
Материал книги разбит на главы. Нумерация осуществляется
по следующему принципу: разделы нумеруются в пределах каж-
дой главы, причем номеру раздела предшествует номер главы. Для
утверждений используется тройная нумерация: номер главы, номер
раздела, номер утверждения. Утверждения нумеруются подряд в
пределах данного раздела независимо от их типа. Равенство, спра-
ведливое по определению, обозначается символом ≡.

Предисловие

В заключение хочется помянуть добрым словом своих учителей:
П.С. Александрова, И.А. Вайнштейна, А.И. Узкова, И.Я. Верченко,
И.Ф. Лохина (в частности, его замечательные лекции по курсу тео-
рии функций комплексного переменного), Г.П. Толстова и других.
Выражаю благодарность товарищам по кафедре за многочислен-
ные полезные замечания, содержательную критику и, самое главное,
многолетние деловые беседы и обсуждения.
Ноябрь 2017 г.

Глава I
Голоморфные и аналитические
функции

1.1. Голоморфные функции. Условия
Коши–Римана

Поле
комплексных чисел обычно определяется в курсе мате-
матического анализа (включая свойства арифметических операций
и операции сопряжения, понятие модуля и его свойства, алгебраи-
ческую и тригонометрическую формы записи комплексного числа, а
также теорию пределов комплексных последовательностей и функ-
ций). Напомним в этой связи, что поле
не является упорядочен-
ным, и поэтому неравенства в этом поле не могут быть определе-
ны разумным образом. Кроме того, можно считать, что поле ве-
щественных чисел
является подполем поля
(с точностью до
изоморфизма).
Множество всех элементов из
2 (т. е. всех ком-
плексных чисел) будем называть комплексной плоскостью.
Если
z1, z2 ∈
, то можно положить ρ(z1, z2) ≡ |z1 − z2|, и тогда функ-
ция ρ: (×
) →
удовлетворяет аксиомам метрики (рефлексив-
ность, симметричность, неравенство треугольника). Такая метрика
называется евклидовой и превращает комплексную плоскость в дву-
мерное евклидово пространство над полем
.
На этой плоскости
можно определить понятие окрестности Ur(z0) точки z0 ∈
, пола-
гая при r > 0

Ur(z0) ≡ {z ∈
| |z − z0| < r}.

Геометрически Ur(z0) — открытый круг радиуса r > 0 с центром
в точке z0. Можно рассматривать соответствующий замкнутый круг

U∗
r(z0) ≡ {z ∈
| |z − z0| ⩽ r}.

Используя понятие окрестности, стандартным образом опреде-
ляются открытые и замкнутые множества точек из
, а также ком-
пактные множества, или компакты. В пространстве
2 с евклидо-
вой метрикой непустое множество точек компактно тогда и только

Г л а в а I

тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Аналогично случаю ве-
щественной прямой
на комплексной плоскости определяются по-
нятия внутренней, внешней, граничной, предельной, изолированной
точек заданного множества, а также внутренности и границы. Как
и в одномерном случае, можно определить понятие связности. Как
известно, на вещественной прямой
связными являются все про-
межутки и только они. Столь же простой характеристики связных
множеств в
2 не существует. С этим обстоятельством связаны труд-
ности топологического характера, которые приходится преодолевать
при построении теории аналитических функций комплексного пере-
менного.
1.1.1. Определение. Пусть G открыто в
; f: G →
, и пусть
z0 ∈ G.
Функция f называется голоморфной (или моногенной) в
точке z0, если существует конечный предел

f ′(z0) ≡
lim
h→0;h∈;
z0+h∈G

f(z0 + h) − f(z0)

h
.

В этом случае значение f ′(z0) ∈
называется производной функции
f в точке z0 (по комплексному переменному). Функция f называется
голоморфной (моногенной, регулярной) на множестве G, если она
голоморфна в каждой точке G.

Условия Коши-Римана

1.1.2.
Утверждение.
Пусть G открыто в
и f: G →
.
Функция f является голоморфной в точке z0 = x0 + iy0 ∈ G тог-
да и только тогда, когда f дифференцируема в точке (x0, y0) ∈
2

(как вектор-функция двух вещественных переменных) и справедли-
во равенство
∂f
∂x(x0, y0) + i∂f

∂y (x0, y0) = 0.
(∗)

Д о к a з a т е л ь c т в о. Если функция f голоморфна в точке z0,
то при h → 0; h ∈
f(z0 + h) − f(z0) = f ′(z0)h + o(|h|).
Пусть
z0 = x0 + iy0 и z0 + h = x + iy (x, y ∈ R), тогда h = x − x0 + i(y − y0),
и поэтому при x → x0 и y → y0 f(z0 + h) − f(z0) = f ′(z0)((x − x0) +
+ i(y − y0)) + o(
(x − x0)2 + (y − y0)2). Из курса математическо-
го анализа известно, что при таких условиях f дифференцируема
в точке (x0, y0) (как функция двух вещественных переменных) и,
кроме того,
∂f
∂x(x0, y0) = f ′(z0);

∂f
∂y (x0, y0) = if ′(z0).

Голоморфные и аналитические функции
7

Значит, справедливо равенство (∗). Обратно, пусть выполнены
два последних условия, тогда при x → x0 и y → y0

f(x, y) − f(x0, y0) = a(x − x0) + b(y − y0) + o(
(x − x0)2 + (y − y0)2),

где

a = ∂f

∂x(x0; y0);
b = ∂f

∂y (x0; y0)

(мы отождествляем точки z0 ∈
и (x0, y0) ∈
2 и аналогично z0 +
+ h ∈
и (x, y) ∈
2).
Из условия (*) следует, что a + ib = 0.
Так как в наших обозначениях h = (x − x0) + i(y − y0) → 0 при
x → x0 и y → y0, то в силу равенства a + ib = 0 f(z0 + h) − f(z0) =
= a(x − x0) + b(y − y0) + o(|h|) = a((x − x0) + i(y − y0)) + o(|h|),
так что ∃
lim
h→0;h∈;
z0+h∈G

f(z0+h)−f(z0)

h
= a ≡ f ′(z0) ∈
, т. е. функция f

голоморфна в точке z0.
1.1.3.
Замечание.
Пусть P = Re f и Q = Im f, так что
f = P + iQ. Тогда при условиях утверждения 1.1.2 равенство (*)
равносильно совокупности двух равенств:
∂P
∂x (x0, y0) = ∂Q

∂y (x0, y0);

∂P
∂y (x0, y0) = −∂Q

∂x (x0, y0).

Эти равенства, как и равенство (*), называются условиями Коши–
Римана (или Д’Аламбера–Эйлера).
Действительно, имеем
∂f
∂x(x0, y0) = ∂P

∂x (x0, y0) + i∂Q

∂x (x0, y0);

∂f
∂y (x0, y0) = ∂P

∂y (x0, y0) + i∂Q

∂y (x0, y0).

1.1.4. Следствие. При условиях замечания 1.1.3 функция f
голоморфна в точке z0 = x0 + iy0 тогда и только тогда, когда функции 
P и Q дифференцируемы в точке (x0, y0) (как функции двух
вещественных переменных) и выполнены условия Коши-Римана.
1.1.5. Следствие. Если при условиях следствия 1.1.4 функции
P и Q имеют частные производные ∂P

∂x , ∂P

∂y , ∂Q

∂x , ∂Q

∂y , непрерывные и
удовлетворяющие условиям Коши –Римана в точке (x0, y0), то функция 
f = P + iQ голоморфна в точке z0 = x0 + iy0.
Действительно, при таких условиях функция f дифференцируема 
в точке (x0, y0) (это утверждение известно из курса математического 
анализа). Остается воспользоваться следствием 1.1.4.

Г л а в а I

1.1.6. Следствие. Если функция F голоморфна в точке z =
= x + iy (x, y ∈
), то

dF ≡ ∂F

∂x (x, y)dx + ∂F

∂y (x, y)dy = F ′(z)dz,

где dz ≡ dx + idy.
Утверждение следствия вытекает из равенств
∂F
∂x (x, y) = F ′(z);
∂F
∂y (x, y) = iF ′(z).

Заметим также, что функция f, голоморфная в точке z0, непрерывна 
в этой точке.

Теорема о голоморфности сложной функции
Пусть функция f определена в некоторой окрестности U(z0)
точки z0 и голоморфна в этой точке, и пусть f(U(z0)) ⊂ E ⊂
;
g: E →
и функция g голоморфна в точке f(z0). Тогда сложная
функция g(f) голоморфна в точке z0, причем

(g(f))′(z0) = g′(f(z0))f ′(z0).

Свойства голоморфных функций, связанные
с арифметическими действиями
Пусть функции f и g голоморфны в точке z0. Тогда функции
f + g; fg; cf (c = const ∈
) голоморфны в точке z0 и справедливы
равенства:

(f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0);
(fg)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f(z0)g′(z0);
(cf)′(z0) = cf ′(z0).

Если, кроме того, g(z0) ̸= 0, то функция f/g голоморфна в точке
z0, причем
f

g

′
(z0) = f ′(z0)g(z0) − f(z0)g′(z0)

(g(z0))2
.

Сформулированные утверждения доказываются так же, как и
соответствующие свойства дифференцируемых функций веществен-
ного переменного (следует лишь заменить вещественное переменное
x на комплексное переменное z).
1.1.7. Пример. Пусть ∀z ∈
f(z) = ¯z ≡ x − iy, где z = x + iy
(x, y ∈
). Тогда ∀(x, y) ∈
2
∂f
∂x(x, y) = 1;
∂f
∂y (x, y) = −i, так что
при замене x0 на x и y0 на y равенство (*) не может выполняться,
поскольку
∂f
∂x(x, y) + i ∂f

∂y (x, y) = 2 ̸= 0.
Это означает, что функ-
ция f, будучи дифференцируемой всюду на
2 (как функция двух
вещественных переменных), нигде не голоморфна.

Голоморфные и аналитические функции
9

1.2. Локально-постоянные функции.
Непрерывные ветви логарифма
1.2.1. Определение. Пусть G открыто в
и f: G →
. Функ-
ция f называется локально-постоянной на G, если она постоянна в
некоторой окрестности каждой точки G.
1.2.2.
Пример.
Пусть G ≡ {z ∈
| Im z ̸= 0}, тогда G
открыто в
. Положим

f(z) ≡
1,
если Im z > 0;
0,
если Im z < 0.

Тогда функция f локально-постоянна и не равна константе на G.
1.2.3. Определение. Непустое открытое связное множество
точек комплексной плоскости называется областью.
В предыдущем примере

G = G1 ∪ G2;
G1 ∩ G2 = H;
G1 = {z ∈
| Im z > 0};
G2 = {z ∈
| Im z < 0},

и каждое из множеств G1 и G2 открыто в
, причем G1 ̸= H и G2 ̸=
̸= H. Таким образом, открытое множество G не является связным,
так что G — не область.
1.2.4. Утверждение. Пусть D — область в
и функция f
локально-постоянна в D. Тогда f = const всюду в D.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть z0 ∈ D и E ≡ {z ∈ D | f(z) =
= f(z0)}, тогда E ̸= H, поскольку z0 ∈ E.
Кроме того E ⊂ D.
Если z1 ∈ E, то z1 ∈ D и f(z1) = f(z0). Отсюда следует, что z1 —
внутренняя точка E. Действительно, так как функция f локально-
постоянна в D, то существует окрестность U(z1) ⊂ D такая, что
∀z ∈ U(z1)f(z) = f(z1) = f(z0). Поэтому z ∈ E. Это означает, что
U(z1) ⊂ E. Таким образом, множество E открыто в
.
Достаточно проверить, что E = D. Если E ̸= D, то из вклю-
чения E ⊂ D следует, что D \ E ̸= H. Пусть z2 ∈ (D \ E), тогда
f(z2) ̸= f(z0). Кроме того, существует окрестность U(z2) ⊂ D, та-
кая, что ∀z ∈ U(z2) f(z) = f(z2) ̸= f(z0), и поэтому z /∈ E, т. е.
z ∈ (D \E). Это означает, что U(z2) ⊂ (D \E). Значит, D \E открыто 
в
. Так как E ̸= H; D\E ̸= H; E∩(D\E) = H и D = E∪(D\E),
то множество D не является связным, и мы пришли к противоречию.
Итак, D \ E = H, т. е. E = D и f = const всюду в D.
1.2.5.
Утверждение.
Пусть функции f и g голоморфны в
области D и ∀z ∈ D f ′(z) = g′(z). Тогда всюду в D f = g + c, где
c = const ∈
.
Д о к a з a т е л ь c т в о.
Пусть h = f − g, тогда функция h голоморфна 
в области D и ∀z ∈ D h′(z) = f ′(z) − g′(z) = 0. Та-

Г л а в а I

ким образом, достаточно доказать, что h = c = const всюду в D.
Пусть z = x + iy (x, y ∈
), тогда согласно условиям Коши–Римана
∂h
∂x(z) = ∂h

∂y (z) = 0, если z ∈ D. Покажем, что функция h локально-
постоянна в D. Согласно утверждению 1.2.4 из этого будет следовать, 
что h = const всюду в D.
Пусть z0 ∈ D, тогда существует окрестность U(z0) ⊂ D. Пусть
z1, z2 ∈ U(z0), причем z1 ̸= z2. Достаточно показать, что h(z1) =
= h(z2). Пусть точки z3, z4 ∈
выбраны так, чтобы Re z3 = Re z1;
Im z3 = Im z2; Re z4 = Re z2; Im z4 = Im z1. Тогда выполняется хотя
бы одно из условий z3 ∈ U(z0) или z4 ∈ U(z0). Пусть, для определенности, 
z3 ∈ U(z0). Функция h постоянна на отрезках с концами
в точках z1, z3 и z3, z2 (при этом все точки этих отрезков принадлежат 
открытому кругу U(z0), поскольку этот круг является выпуклым 
множеством).
Значит, h(z1) = h(z3) = h(z2), т. е. h = const
всюду в U(z0). Это означает, что функция h локально-постоянна в
области D.
1.2.6. Утверждение. Пусть функция f локально-постоянна
на открытом множестве G ⊂
. Тогда f голоморфна на G и ∀z ∈ G
f ′(z) = 0.
Действительно, если z0 ∈ G и окрестность U(z0) ⊂ G выбрана
так, чтобы f = const всюду в U(z0), то

f ′(z0) =
lim
h→0; h∈;
(z0+h)∈U(z0)

f(z0 + h) − f(z0)

h
= 0.

1.2.7.
Пример.
В условиях примера 1.2.2 функция f голоморфна 
на открытом множестве G и ∀z ∈ G f ′(z) = 0, однако функция 
f не является константой всюду на G.
1.2.8. Утверждение. Пусть функция f голоморфна в области
D и Re f = const всюду в D. Тогда f = const всюду в D (аналогичное
утверждение справедливо и в случае, когда Im f = const всюду в D).
Д о к a з a т е л ь c т в о.
Пусть P = Re f = const всюду в D, и
пусть Q = Im f. Достаточно проверить, что Q = const всюду в D.
Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что функция Q
локально-постоянна в области D. Согласно условиям Коши–Римана
имеем ∂P

∂x = ∂Q

∂y и ∂P

∂y = − ∂Q

∂x всюду в D. Поскольку P = const в D, то

∂P
∂y = ∂P

∂y = 0 в D. Значит, ∂Q

∂x = ∂Q

∂y = 0 всюду в D. Согласно доказанному 
выше отсюда следует, что функция Q локально-постоянна
в области D.
1.2.9. Утверждение. Пусть функция f голоморфна в области
D и |f| = const всюду в D. Тогда f = const всюду в D.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Достаточно заметить, что если P = Re f,
Q = Im f, то P 2+Q2 = const в D, так что всюду в D P ∂P

∂x +Q ∂Q

∂x = 0;