Частотные фильтры: пассивные, активные и цифровые

Москва
Горячая линия – Телеком 
2022

Рекомендовано Ученым советом Института информационных 
систем и технологий МАИ в качестве учебно-методического пособия 
для студентов вузов, обучающихся по естественнонаучным 
направлениям подготовки бакалавров и дипломированных 
специалистов, в учебные планы которых включены дисциплины: 
«Электротехника и электроника», «Цифровая обработка сигналов», 
«Основы теории цепей» и другие электротехнические дисциплины

УДК 621.372.54 
 ББК 32.844-04 
 М30 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор техн. наук, профессор  Ю. Ф. Опадчий; канд. техн. 
наук, доцент  Ю. А. Беляева 

Марченко А. Л. 

М30   Частотные фильтры: пассивные, активные и цифровые. Учебно-

методическое пособие. – М.:  Горячая линия – Телеком, 2022. – 
166 с.: ил.  
ISBN 978-5-9912-0622-8. 

Изложены теоретические основы частотного метода анализа ли-
нейных электрических цепей и устройств, даны примеры расчета па-
раметров элементов звеньев фильтров и построения графиков их вре-
менных и частотных (в том числе, логарифмических) функций, при-
ведено описание процессов моделирования фильтров. Представлены 
варианты заданий лабораторно-практических занятий с методически-
ми указаниями, кратким теоретическим материалом и примерами 
расчетов и построений частотных характеристик пассивных, активных 
и цифровых фильтров с использованием авторских программных сред 
LgH, ARCF и DFLD. Книга сопровождается электронным приложени-
ем «Частотные фильтры» доступным для скачивания на сайте изда-
тельства.  
Для студентов вузов, изучающих дисциплины «Электротехника и 
электроника», «Основы теории цепей», «Цифровая обработка сигна-
лов» и другие электротехнические дисциплины, которые включены в 
профессиональный или в вариативный цикл дисциплин естественно-
научных направлений подготовки бакалавров и дипломированных 
специалистов, а также для преподавателей, занимающихся разработ-
кой и использованием средств информационных технологий в образо-
вании. 

 ББК 32.844-04 

Учебное издание 
Марченко Алексей Лукич 
Частотные фильтры: пассивные, активные и цифровые 
Учебно-методическое пособие для вузов

Тиражирование книги начато в 2017 г.      

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и 
какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
 © А. Л. Марченко 

Предисловие

В настоящее время проектирование и исследование электричес-
ких и электронных устройств, в том числе частотных фильтров
(ЧФ), ведут по разработанным методикам с использованием про-
граммных сред: Matlab, Mathcad, LabView, Multisim и др. Учиты-
вая небольшой объем часов, выделяемый в учебных планах на изу-
чение таких дисциплин, как «Электротехника и электроника», «Ос-
новы теории цепей», «Цифровая обработка сигналов» и др., неоправ-
данные стоимостные и временные затраты на приобретение и освое-
ние любой из указанных лицензионных сред, а также необходимость
обеспечения слушателей дистанционной формы обучения инстру-
ментарием по расчету, моделированию на вычислительном устройст-
ве (ВУ) и испытанию пассивных, активных и цифровых фильтров,
нами разработаны соответствующие электронные образовательные
ресурсы — учебно-программные среды LgH, ARCF и DFLD для ис-
пользования как при проведении лабораторно-практических заня-
тий, так и при выполнении студентами расчетно-графических или
курсовых работ, предусмотренных в учебных программах указан-
ных дисциплин.
Две учебно-программные среды LgH [5] и DFLD [6], разрабо-
танные в рамках проектной деятельности студентами МАТИ по ал-
горитмам автора с использованием языков Visual С++ и DHTML,
стали победителями конкурса курсовых и дипломных работ студен-
тов и отмечены дипломами Минобрнауки РФ.
В пособии изложены теоретические основы частотного метода
анализа линейных электрических цепей и устройств, даны примеры
расчета параметров элементов звеньев фильтров и построения гра-
фиков их временных и частотных (в том числе логарифмических)
функций, приведено описание процессов моделирования фильтров в
разработанных программных средах с вводом с клавиатуры ВУ (пер-
сонального компьютера, ноутбука, компьютерного планшета) пара-
метров звеньев фильтров для сравнительного анализа выводимых
на экран дисплея графиков функций с графиками, рассчитанными
и построенными студентами «вручную».
Приложение к книге — учебный образовательный ресурс «Час-
тотные фильтры» (150 Мб) — размещено на сайте www.techbook.ru
издательства для скачивания купившими книгу пользователями.

Предисловие

Учебное пособие предназначено для студентов технических ву-
зов, обучающихся по естественнонаучным направлениям подготов-
ки бакалавров и дипломированных специалистов, в учебные планы
которых включены такие дисциплины, как «Электротехника и элек-
троника», «Основы теории цепей», «Цифровая обработка сигналов»
и другие электротехнические дисциплины, а также для преподава-
телей, занимающихся разработкой и использованием средств инфор-
мационных технологий в образовании.

Введение

В.1. Частотный метод анализа электрических
цепей и устройств

Частотный метод анализа заключается в расчете, построении и
анализе частотных характеристик электрической цепи или устрой-
ства, отражающих его реакцию на гармоническое воздействие. В об-
щем виде частотные свойства устройства определяются его комплек-
сным коэффициентом передачи H(jω), получаемым из выражения
его передаточной функции H(p) после замены в ней оператора Лап-
ласа p = σ+ jω оператором Фурье jω и несложных преобразований,
т. е.
H(jω) = H(p)|p=jω = H(ω)ejΨ(ω),

где H(ω) = |H(jω)| — модуль комплексного коэффициента переда-
чи, а его график — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
устройства; Ψ(ω) = arg H(jω) — аргумент комплексного коэффи-
циента передачи, а его график — фазо-частотная характеристика
(ФЧХ) устройства.
Характеристики H(ω) и Ψ(ω) позволяют определить реакцию
устройства при подаче на его вход гармонического сигнала u1 =
= Um1 sin ωt с постоянной амплитудой Um1 и изменяющейся угло-
вой ω (или циклической f = ω/2π) частотой от 0 до ω → ∞.

В.1.1. Назначение и области применения частотных
фильтров

На практике часто встречаются с необходимостью пропускать в
ограниченном диапазоне частот к приёмнику (нагрузке) напряжения
(токи) одних частот и не пропускать или пропускать, но с большим
затуханием, напряжения (токи) других частот. Эта задача решается
с помощью электрических частотных фильтров.
Частотный (полосно-пропускающий) фильтр (ЧФ) — селектив-
ный четырёхполюсник (рис. В.1,a), пропускающий без заметного
ослабления электрические колебания (напряжения, токи) определён-
ных частот и подавляющий колебания остальных частот.
Полосу
частот с возможно малым затуханием, например, напряжения U2(ω)
называют полосой пропускания Δωп, а полосы частот с большим

Введение

Рис. B.1

ослаблением сигнала — полосами задерживания (задержки) Δωз1 и
Δωз2 (рис. В.1,b). Граничные частоты между полосой пропускания
и полосами задерживания называют частотами среза ωс: нижней ωн
и верхней ωв. Тогда ширина полосы пропускания Δω = ωв − ωн.
Частотные фильтры, собранные из индуктивных катушек и кон-
денсаторов и используемые для частотной избирательности в диапа-
зоне от 100 Гц до 100 МГц, называют пассивными или LC-фильтра-
ми, а фильтры, выполненные на основе активных элементов (тран-
зисторов, операционных усилителей и др.) и RC-звеньев и имеющие
диапазон пропускания сигнала от 0 до 1 МГц, называют активными
или ARC-фильтрами.
Преимущества активных фильтров особен-
но проявляются в области сверхнизких частот, где использование
LC-фильтров принципиально невозможно.
Принцип работы пассивных фильтров основан на явлении резо-
нанса в LC-звеньях и частотных свойствах элементов L и C, а актив-
ных фильтров — на ограничительных (запирающих) свойствах ак-
тивных элементов и частотных свойствах RС-звеньев обратных свя-
зей. На высоких частотах (СВЧ-диапазона) обычные LC-фильтры
заменяют полосковыми линиями, в области микроволн (скажем, вы-
ше 2 ГГц) используют полые резонаторы, но принцип их работы
остаётся таким же, как у обычных LC-фильтров.
Если необходимо иметь фильтр, пропускающий очень узкую по-
лосу частот Δωп без ослабления сигнала и с резкими спадами на-
пряжения на границах среза, то такой полосовой фильтр выполня-
ют, используя пьезоэлектрический (керамический или на кристалле
кварца) или механический резонаторы. В приёмниках сигналов с
высокой избирательностью и для высокочастотной генерации моду-
лированных сигналов широко используют 8- и 16-полосные пьезо-
кристаллические фильтры с центральной частотой ω0 в пределах от

Введение
7

1 МГц до 50 МГц и шириной полосы пропускания Δωп от несколь-
ких сотен до нескольких килогерц.
Процесс преобразования формы поступающего на вход ЧФ сиг-
нала путём исключения из его спектра составляющих отдельных
частот называют фильтрацией сигнала.
Если преобразуемые сиг-
налы непрерывно изменяются во времени, то их, как и соответст-
вующие фильтры, называют аналоговыми. Получение нужной кру-
тизны склонов выходного напряжения U2(ω) с помощью аналоговых
ЧФ приводит, нередко, к значительному усложнению схем или вооб-
ще такие фильтры практически не реализуемы.
Задачи подавления одних и выделения других компонент спек-
тра сигнала могут быть решены с помощью цифровых фильтров
(ЦФ), главным элементов которых является вычислительное устрой-
ство (ВУ). Упрощённая структурная схема ЦФ показана на рис. В.2.
Входной аналоговый сигнал (напряжение u1) подают на вход филь-
тра нижних частот ФНЧ1, а с его выхода напряжение uа(t) по-
дают на один из входов импульсного модулятора M.
На второй
вход модулятора поступает последовательность единичных импуль-
сов δτ(t) = δ(t − kτ), где τ — шаг последовательности единичных
импульсов.
Выходной сигнал модулятора принимает вид

uд = uа(t)δτ(t) = uа(t)

∞
k=0
δ(t − kτ) =

∞
k=0
u(kτ)δ(t − kτ) =

= u(0)δ(t)+ u(τ)δ(t− τ)+ u(2τ)δ(t− 2τ)+ ...+u(kτ)δ(t−kτ)+ ...(В.1)

При этом высота (или площадь) каждого импульса в после-
довательности (В.1) представляет собой соответствующее значение
непрерывной функции uа(t) на выходе ФНЧ1. Дискретный сигнал
uд преобразуется в кодере K в цифровую последовательность еди-
ниц и нулей и подаётся на вычислительное устройство ВУ, которое
исключает из последовательности спектральные компоненты, распо-
ложенные вне заданного частотного диапазона. Формирование за-
данной частотной характеристики фильтра обусловлено цифровой

Рис. B.2

Введение

последовательностью, подаваемой на ВУ от устройства управления
УУ, которая складывается, вычитается и т. д. с входной последова-
тельностью единиц и нулей. Далее, результирующая последователь-
ность поступает на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), фор-
мирующий ступенчатый сигнал из цифрового, и через ФНЧ2 сигнал
u2 подаётся на вход приемного устройства.
Достоинствами ЦФ являются:
• возможность быстрого изменения формы напряжения uа(t) и
его ширины полосы пропускания Δωп;
• высокая стабильность частотных характеристик;
• возможность работы на очень низких частотах (1. . . 100 Гц);
• возможность изготовления на цифровых интегральных схемах,
вследствие чего они могут быть компактными, недорогими и
высоконадёжными устройствами.

В.1.2. Классификация фильтров

Частотные фильтры классифицируют по различным призна-
кам, в частности:
• по виду сигналов: аналоговые и цифровые;
• по схемам звеньев, составляющих фильтр;
• по числу звеньев: однозвенные (двухполосные) и многозвенные;
• по пропускаемому спектру частот и форме амплитудно-частот-
ной характеристики (АЧХ) Hu(ω):
фильтры нижних частот
(ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные
или заграждающие (PФ) (рис. В.3).
Отметим, что АЧХ Hu(ω) четырёхполюсника по напряжению —
это график отношения выходного напряжения U2(ω) к входному на-
пряжению U1(ω), т. е.

Hu(ω) = U2(ω)

U1(ω),

а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) Ψu(ω) — это график
разности начальных фаз сигналов на выходе и входе цепи (см.

Рис. B.3

Введение
9

рис. В.1,b), т. е.

Ψu(ω) = Ψu2(ω) − Ψu1(ω).

Идеальные АЧХ фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ) имеют иде-
альные прямоугольные формы (см. рис. В.3, пунктирные линии 1).
Полоса пропускания Δωп реальных фильтров (АЧХ которых пред-
ставлены на рис. В.3 кривыми 2), как и в колебательных контурах,
определена на уровне 1/
√

2 ≈ 0,707. При этом мощность сигнала в
полосе пропускания Δωп не снижается более, чем в 2 раза, а выход-
ное нормированное напряжение (ток) изменяется от 1 до 0,707.

В.1.3. Параметры фильтров

В теории фильтров за основной параметр принимают ненорми-
рованную, или логарифмическую АЧХ:

Nu(ω) =
Hu(ω)

[Hu(ω)]max
⩽ 1

или α′ = 20 lg Hu(ω), а коэффициент затухания (ослабления) α(ω),
выраженный в логарифмической форме, в децибелах

α(ω) = 20 lg
1

Hu(ω) = 20 lg U1(ω)

U2(ω)
(В.2)

или в неперах

α(ω) = ln
1

Hu(ω) = ln U1(ω)

U2(ω).
(В.3)

В полосе пропускания Δωп идеальных фильтров коэффициент
затухания α(ω) = 0 и U1/U2 = e0 = 1, т. е. затухания нет. В реальных 
фильтрах достичь значения α (ω) = 0 в полосе Δωп невозможно
даже при полном согласовании фильтра с источником сигнала и нагрузкой 
на какой-то частоте, так как входные характеристические
сопротивления фильтров Z1с и Z2с зависят от частоты. Для получения 
значения α(ω) = 0 в полосе Δωп реального фильтра нужно, чтобы 
сопротивление Zи(ω) источника и сопротивление Zн(ω) нагрузки
изменялись по тем же законам, что и соответствующие сопротивления 
Z1с(ω) и Z2с(ω) фильтра, что нереально на практике.
Реальное нагрузочное сопротивление фильтра должно быть активным 
для того, чтобы энергия сигнала передавалась через фильтр
только в одном направлении: от передатчика к приёмнику. Это условие 
может быть выполнено при согласовании фильтра с нагрузкой
на какой-то одной частоте. На других частотах, вследствие рассогласования, 
характеристики фильтров ухудшаются.

Введение

Рис. B.4

В качестве примера на рис. В.4 представлены характеристики
затухания α(ω) идеальных (кривые 1) и реальных (кривые 2) филь-
тров нижних (a) и верхних (b) частот.
Максимальное значение коэффициента αmax реального ЧФ на
границах среза ωс:

αmax = 20 lg U1

U2
= 20 lg
√

2 ≈ 20 · 0,15 = 3 дБ ≈ 0,346 Нп.
(В.4)

Минимальное гарантированное значение коэффициента затуха-
ния αmin на границах полосы задерживания (на частотах ωз,
рис. В.4) обычно принимают равным αmin ⩾ 40 дБ (4,6 Нп), иногда
αmin ⩾ 50 дБ (5,76 Нп).
Между полосой пропускания Δωп и полосой задержки Δωз в ре-
альных фильтрах имеется переходная область (см. рис. В.4). Изби-
рательность ЧФ (степень разграничения полос пропускания и за-
держки) определяется крутизной характеристики затухания α(ω)
в переходной области, характеризующейся коэффициентом Ωз =
= ωз/ωс (для ФНЧ) или Ωз = ωс/ωз (для ФВЧ).

В.1.4. Требования к частотным фильтрам

Исходя из вышеизложенного, сформулируем требования к час-
тотному фильтру.
Фильтр должен иметь:
• малое затухание αmax ⩽ −3 дБ в полосе пропускания и боль-
шой коэффициент затухания, например αmin ⩾ −40 дБ в полосе
задержки;
• достаточную крутизну нарастания (затухания) α(ω) вблизи час-
тоты среза ωс: чем больше крутизна характеристики α(ω), тем
лучше селективность ЧФ.
Так, в последние годы в телевизионных приёмниках и кабель-
ных системах (для ограничения полосы пропускания Δωп) исполь-
зуют фильтры с поверхностными акустическими волнами с плоской