Эконометрика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации 

Департамент образования, научно-технологической политики  

и рыбохозяйственного комплекса 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«Волгоградский государственный аграрный университет» 

 

Эколого-мелиоративный факультет 

 

Кафедра «Информационные системы и технологии» 

 
 
 

О. А. Заяц 

 
 
 

ЭКОНОМЕТРИКА 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Волгоград 

Волгоградский ГАУ 

2021 

УДК 330.43 
ББК 65в631 
З-40 

 
 
 

Рецензенты: 

доктор экономических наук, профессор кафедры «Бухгалтерский учет 
и аудит» ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ Н. Н. Балашова; доктор 
экономических наук, профессор кафедры «Информационные системы 
в экономике» ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический 
университет» Н. Н. Скитер. 
 
 
 

Заяц, Ольга Александровна 

З-40   Эконометрика: учебное пособие / О. А. Заяц. – Волгоград: 
ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 2021. – 140 с. 

 
 
 
 

Пособие содержит теоретический материал, примеры решения 

типовых задач, контрольные задания по основным разделам эконометрики: 
парная и множественная регрессия, временные ряды. 

Учебное пособие предназначено для студентов по специальности «
Экономическая безопасность», бакалавров направления «Бизнес-
информатика», а также  студентов и аспирантов других специальностей, 
изучающих вопросы использования современных методов эконометрики 
в различных областях деятельности. 

 
 
 

УДК 330.43 
ББК 65в631 

 
 
 

 ФГБОУ ВО Волгоградский 
ГАУ, 2021 
 Заяц О. А., 2021 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-
кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста 
применения современных методов работы, знания достижений 
мировой экономической мысли, понимания научного языка, умения 
применять количественные методы анализа и прогнозирования развития 
событий. Большинство новых методов исследования экономики 
основано на эконометрических методах, концепциях, приемах. 

Существуют различные варианты определения эконометрики. 

На наш взгляд, наиболее точно объяснил сущность эконометрики 
один из основателей этой науки Р. Фриш: «Эконометрика – это не то 
же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, 
что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть 
этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является 
синонимом приложений математики к экономике. Как показывает 
опыт, каждая из трех отправных точек – статистика, экономическая 
теория и математика – необходимое, но не достаточное условие для 
понимания количественных соотношений в современной экономической 
жизни. Это единство всех трех составляющих. И это единство 
образует эконометрику». 

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение 
взаимосвязей экономических явлений и процессов на базе экономической 

теории, 
экономической 
статистики, 
математико-

статистического инструментария. 

Центральной проблемой эконометрики являются построение 

эконометрической модели и определение возможностей ее использования 
для описания, анализа и прогнозирования экономических процессов. 
Можно выделить несколько этапов эконометрического моделирования. 


1. Постановочный – определение конечных целей моделирования, 
набора участвующих в модели факторных и результативных экономических 
переменных.  

2. Априорный – теоретический анализ экономической сущности 

изучаемого процесса, формирование и формализация априорной информации. 


3. Параметризация – выбор общего вида модели и выявление 

состава и формы входящих в нее связей. 

4. Информационный – сбор необходимой статистической информации, 
т.е. эмпирических (наблюдаемых) значений экономических 
переменных, анализ качества собранной информации. 

5. Идентификация модели – статистический анализ модели и 

оценка ее параметров. 

6. Верификация модели – сопоставление реальных и модельных 

данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных 
данных. 

7. Интерпретация эконометрического моделирования. 
Учебный материал в пособии условно разбит на три части. В 

первой части рассмотрены модели парной регрессии (линейная и нелинейные 
модели). Во второй части достаточно подробно разбирается 
модель множественной линейной регрессии. В третьей части рассматриваются 
модели одномерных временных рядов. Приложение содержит 
математико-статистические таблицы распределений Фишера, 
Стьюдента и Дарбина-Уотсона, исходные данные для практического 
материала и контрольных заданий. 
 
 

1 ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ 

 

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение 
регрессии, различают парную и множественную регрессию. 

Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя 

переменными – y  и x , т. е. модель вида: 

 

         , 

 

где y  – зависимая переменная (объясняемая переменная, результативный признак); 
x  – независимая переменная (объясняющая переменная, факторный признак). 
 


Знак «^» означает, что между переменными x  и y  нет строгой 

функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном 
случае величина y  складывается из двух слагаемых: 

 

      , 

 

где y  – фактическое значение результативного признака; ˆy  – теоретическое 
значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;   
– случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного 
признака от теоретического: 
 

      .                                           (1.1) 

 

Случайная величина   включает влияние не учтенных в модели 

факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие 
в модели обусловлено тремя источниками: спецификацией модели, 
выборочным характером исходных данных, особенностями измерения 
переменных. 

К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той 

или иной математической функции для ˆy  и недоучет в уравнении 
регрессии какого-либо существенного фактора. 

В парной регрессии выбор вида математической функции 
 
ˆy
f x

 может быть осуществлен тремя методами: графическим; 

аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи; экспериментальным. 


Графический метод подбора вида уравнения регрессии основан 

на поле корреляции. Поле корреляции – это поле точек, на котором 
каждая точка соответствует единице совокупности; ее координаты определяются 
значениями признаков x и y. По характеру расположения 
точек на поле корреляции делают вывод о наличии или отсутствии 
связи, о характере связи. 

Основные типы кривых, используемые при количественной 

оценке связей, представлены на рисунке 1.1: 

 

 

 

Линейная              Парабола второй степени 

0
1
y
b
b x





 
      
2

0
1
2
y
b
b x
b
x







 

 

Равносторонняя гипербола 
  Полином третьей степени 

1

0

b
y
b
x




  
              
2
3

0
1
2
3
y
b
b x
b
x
b
x









 

 

Степенная  
 
 
Показательная 

1

0

b
y
b
x




 
 
 
 
       
0
1

x
y
b b




 

 

Рисунок 1.1 – Основные типы кривых, используемых  

при количественной оценке связей между двумя переменными 

Если линия регрессии 
 
ˆy
f x

 проходит через все точки кор-

реляционного поля, что возможно только при функциональной связи, 

то y
y

. В практических исследованиях, как правило, имеет место 

некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Иными 
словами, имеют место отклонения фактических значений результа-
тивного признака от теоретических. Величина этих отклонений лежит 
в основе расчета остаточной дисперсии: 

 

2

2
1

ˆ
(
)

n

i
i

i

ост

y
y

n





 

.                                (1.2) 

 

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше урав-

нение регрессии подходит к исходным данным. 

Считается, что число наблюдений должно в 7-8 раз превышать 

число рассчитываемых параметров при переменной x , т.е. если вид 
функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений. 

Линейная регрессия находит широкое применение в экономет-

рике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. 

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида: 
 

0
1
y
b
b x



.                                       (1.3) 

 

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее парамет-

ров – 
0b  и 
1b .  

Классический подход к оцениванию параметров линейной рег-

рессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позво-
ляет получить такие оценки параметров 
0b  и 
1b , при которых сумма 

квадратов отклонений фактических значений результативного при-
знака y  от теоретических ˆy  минимальна: 

 




2
2

1
1

min

n
n

i
i
i

i
i

y
y










.                   (1.4) 

 

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике вы-

бирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между 
точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2). 

В выражение (1.4) подставим вместо y  правую часть уравнения 

(1.3) и обозначим: 



2

0
1

1

n

i
i

i

S
y
b
b x








.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Рисунок 1.2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков 

 
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти 

минимум функции (1.4), надо вычислить частные производные по ка-
ждому из параметров (
0b  и 
1b ) и приравнять их к нулю:  

 

0
1

1
1
0

2

0
1

1
1
1
1

2
2
2
0;

2
2
2
0.

n
n

i
i

i
i

n
n
n

i
i
i
i

i
i
i

S
y
b n
b
x
b

S
y x
b
x
b
x
b










 




 

 













 

 
После преобразований, получим следующую систему линейных 

уравнений для оценки параметров 
0b  и 
1b : 

0
1

1
1

2

0
1

1
1
1

    
 
;

.

n
n

i
i

i
i

n
n
n

i
i
i
i

i
i
i

b
n
b
x
y

b
x
b
x
y x




























                    (1.5) 

εi
ˆiy

0

y

x
xi

yi

Решая систему уравнений (1.5), найдем искомые оценки параметров 

0b  и 
1b . Можно воспользоваться следующими формулами, которые 
следуют непосредственно из решения системы (1.5): 

 

1
2
x

yx
x y
b




,                                      (1.6) 

 

0
1
b
y
b x



,                                        (1.7) 

 

где 

2
2
2
( )
x
x
x
 

 – дисперсия признака x ;                                         (1.8) 

 

1

n

i

i

x

x
n


 

,  

1

n

i

i

y

y
n


 

,  

1

(
)

n

i
i

i

y x

yx
n


 

,  

2

____

2
1

n

i

i

x

x
n


 

. 

 
Параметр 
1b  называется коэффициентом регрессии. Его величина 
показывает среднее изменение результата с изменением фактора на 
одну единицу. Знак при коэффициенте регрессии показывает направление 
связи: при b1 > 0, связь прямая, а при b1 < 0 – связь обратная. 
Формально параметр b0 – это значение y  при 
0
x 
. Если признак-

фактор x  не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трак-
товка свободного члена b0 не имеет смысла, т.е. параметр b0 может не 
иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпре-
тировать параметр b0 могут привести к абсурду, особенно при b0 < 0.  

Для оценки тесноты линейной связи между двумя признаками 

рассчитывают линейный коэффициент парной корреляции 
yx
r : 

 

1

x

yx

y
x
y

yx
x y
r
b 












,                              (1.9) 

где 

2

x
x



 – среднее квадратическое отклонение признака х;  

2
2
2
( )
y
y
y
 

 – дисперсия признака y;                                 (1.10) 

      

2

y
y



-– среднее квадратическое отклонение признака y. 

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в 

среднем величина изучаемого признака у отдельных единиц совокуп-
ности отличается от среднего значения признака в совокупности. 

Линейный коэффициент парной корреляции находится в преде-

лах: 1
1
yx
r
 
 . Чем ближе абсолютное значение 
yx
r  к единице, тем 

сильнее линейная связь между признаками, чем ближе значение 
yx
r  к 

нулю, тем слабее связь. При 
1
xy
r    имеем строгую функциональную 

зависимость. Если 
0,33
yx
r

, линейная связь между y и x слабая; если 

0,33
0,66
yx
r


, линейная связь между y и x средняя; если 0,66
yx
r

, 

линейная связь между y и x тесная. 

Близость абсолютной величины линейного коэффициента кор-

реляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. 
При другой (нелинейной) спецификации модели связь между призна-
ками может оказаться достаточно тесной. 

Для оценки качества подбора функции рассчитывается коэффи-

циент детерминации, характеризующий долю дисперсии результатив-
ного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии ре-
зультативного признака: 

 

2

2

2
1
ост

y

R


 
.                                    (1.11) 

 

Величина 
2
1
R

 характеризует долю дисперсии y , вызванную 

влиянием остальных не учтенных в модели факторов. 

Линейный коэффициент детерминации может быть рассчитан 

как квадрат линейного коэффициента корреляции: 

2
2

yx
yx
R
r

. 

Чтобы иметь общее суждение о точности модели из относи-

тельных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю 
ошибку аппроксимации: 

 

1
, %

n

i

i

A

A
n


 

.                                     (1.12) 

где 
ˆ
100, %
i
i

i

i

y
y
A
y



 – индивидуальная ошибка аппроксимации.