Математика в контексте философских проблем

Б. Л. Яшин 

МАТЕМАТИКА 

В КОНТЕКСТЕ 

ФИЛОСОФСКИХ 

ПРОБЛЕМ 

Учебное пособие 

Издание второе, стереотипное 

D i r e c t M E D I A 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 510.21(075) 
ББК 22.1в.я73 
Я96 
Рецензенты: 
проф. каф. философ., д-р философ. наук, В. Н. Князев; 
доц. каф. естеств. дисциплин и методики их преподавания 
в начальной школе МП Д У, канд. физ.-мат. наук, В. В. Тимошенко 

Яшин, Б. Л. 

Я96 
Математика в контексте философских проблем : учебное 
пособие / Б. Л. Яшин. Изд. 2-е, стер. — М.-Берлин: Директ-
Медиа, 2019. — 111 с. 

ISBN 978-5-4499-0833-9 

Учебное пособие посвящено проблемам философии и методологии математики. В нем на материале истории математики рассматриваются проблемы становления философии математики, анализируются 
различные подходы к пониманию математики и ее развития, соотношение в математике рационального и иррационального, а также специфика математического познания, связанная с предметом, объектами и 
методами этой науки и пониманием в ней истины. В пособии выделен 
специальный раздел, в котором раскрывается взаимосвязь математики с 
философией, гуманитарной наукой и искусством, значимость для любого вида творчества своеобразной «диффузии» интеллектуального и чувственного, научного (математического) и художественного знания. 
Книга представляет интерес для аспирантов и магистрантов, занимающихся проблемами математики, философии и методологии 
науки, преподавателей и студентов, для всех кого привлекают современные философские проблемы научного познания. 

УДК 510.21(075) 
ББК 22.1в.я73 

ISBN 978-5-4499-0833-9 
© Яшин Б. Л., текст, 2019 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019 

Оглавление 
Введение 
4 
Глава I. Философия математики как отрасль знания 
5 
§1. Философия математики: 
основные подходы и проблемы 
5 
§2. Становление и развитие математической науки: 
фундаменталистский и нефундаменталистский 
подходы 
14 
Глава II. Специфика математического познания 
26 
§1. Предмет и методы математики 
26 
§2. Объекты математики 
и проблема их существования 
38 
§3. Математика и реальность: 
отображает ли математика реальный мир? 
43 
§4. Проблема истины в математике 
49 
Глава III. Проблемы обоснования математики: 
три кризиса в основаниях математической науки 
56 
§1. Проблема несоизмеримых отрезков 
56 
§2. Проблемы бесконечно малых величин 
58 
§3. Проблемы актуальной бесконечности 
в математике XIX-XX вв 
63 

§4. Конечное и бесконечное в математике 
70 
Глава IV. Рациональное и иррациональное 
в математике 
75 
§1. Интуиция и логика в математическом творчестве.... 
75 
§2. Неявное знание в математике 
81 
Глава V. Математика в контексте культуры 
84 
§1. Математика в искусстве, 
литературе и архитектуре 
84 
§2. Математика и философия 
91 
§3. Гуманитарный потенциал математики 
96 
Заключение 
100 
Список литературы 
101 

В в е д е н и е 

В о б щ е й системе наук м а т е м а т и к а стоит н а особом месте. О н а не «вписывается» в д и х о т о м и ю п р и в ы ч н о г о устоявшегося противопоставления естественнонаучного и гуманитарного знания, т а к как ее методы, ее п р и н ц и п ы и 
ее т е о р и и в т о й или и н о й мере используются во всех областях научного поз н а н и я и практической деятельности человека. Ш и р о к о е п р о н и к н о в е н и е мат е м а т и к и в другие науки и в практику во м н о г о м обусловлено необходимостью использования ее методов для описания, объяснения или интерпретации 
результатов познавательной деятельности, а т а к ж е предметов и я в л е н и й действительности, без чего было бы в значительной мере затруднено их глубокое 
п о н и м а н и е и э ф ф е к т и в н о е освоение. Более того, без разработки и использов а н и я математических средств сегодня было бы н е в о з м о ж н о не только развит и е научного знания во всей его совокупности, но и освоение космоса, и созд а н и е электронно-вычислительных м а ш и н и многое другое. 

С другой стороны, с а м а м а т е м а т и к а оказывается под воздействием гум а н и т а р н ы х т е н д е н ц и й в науке и технике, все более рельефно проявляющихся в последнее время. Математики-профессионалы и историки математики, а 
т а к ж е методологи науки все ч а щ е говорят, что п р и изучении математики и 
связанных с ней проблем следует считаться с тем, что она представляет собой 
элемент системы, называемой культурой. Ч т о математика, 
п р е д с т а в л я ю щ а я 
собой м и р в ы с о к и х абстракций, в к о т о р о м царствует рассудочный п р и н ц и п 
ф о р м а л ь н о й непротиворечивости, т е м не менее, глубоко п о г р у ж е н а в общекультурный контекст деятельности человека. 

У ж е только эти д в а ф а к т о р а позволяют говорить о необходимости т щ а тельного философского анализа ф е н о м е н а математики. И развитие математ и к и и ф и л о с о ф и и показывает, что к п р о б л е м а м такого анализа обращались 
м н о г и е в ы д а ю щ и е с я у ч е н ы е и ф и л о с о ф ы с д р е в н е й ш и х времен и до н а ш и х 
дней. 

Глава I . Ф и л о с о ф и я м а т е м а т и к и как отрасль з н а н и я 

§ 1. Ф и л о с о ф и я м а т е м а т и к и : о с н о в н ы е п о д х о д ы и п р о б л е м ы 

Ф и л о с о ф и я математики как отдельная ветвь ф и л о с о ф и и , а точнее - ф и л о с о ф и и науки, зарождается н а р у б е ж е X I X - X X в в . 1 Ее возникновение было 
связано с необходимостью р а з р е ш е н и я разразившегося в этот период в мат е м а т и к е глубочайшего кризиса, обусловленного о б н а р у ж е н и е м в ее основан и я х парадоксов, что ставило п о д угрозу все «здание» математической науки. 
П о п ы т к и р а з р е ш е н и я этого кризиса привели к созданию т а к и х г р а н д и о з н ы х 
ф и л о с о ф с к и х п р о г р а м м к а к логицизм, 
интуиционизм 
и формализм. 
К 1960-м 
гг. оказалось очевидным, что цели, которые ставили разработчики этих программ, не достигнуты, д а и вряд ли в о о б щ е могут быть достигнутыми. И хотя, 
по м н е н и ю многих у ч е н ы х и философов, активность этих ш к о л п р и н е с л а огр о м н о е число в а ж н ы х результатов и открытий, которые углубили н а ш е знание математики и ее о т н о ш е н и я к логике, современное п о н и м а н и е математики не стало ближе к п о л н о м у ее п о н и м а н и ю , ч е м у основателей 
н а з в а н н ы х 
п р о г р а м м 2 . 

В ф и л о с о ф и и математики с м о м е н т а ее р о ж д е н и я и до н а ш и х д н е й обнар у ж и в а ю т с я в е с ь м а различные по своим п о д х о д а м взгляды н а математику и 
соответствующие и м п р о г р а м м ы ее перестройки. Кроме у ж е н а з в а н н ы х в ы ше, здесь м о ж н о выделить логический 
позитивизм, 
модализм, 
платонизм, 
холизм, 
эмпиризм 
и 
квазиэмпирический 
реализм, 
а т а к ж е 
номинализм, 
структурализм, 
натурализм 
и предикативный 
конструктивизм, 
о к о т о р ы х 
говорят в своих работах, н а п р и м е р , X . П а т н э м и Д ж . Кетланд 3. 

Кратко к а ж д о е из н а з в а н н ы х направлений современной ф и л о с о ф и и мат е м а т и к и (подробнее наиболее з н а ч и м ы е из н и х будут р а с с м о т р е н ы 
ниже) 
м о ж н о представить с л е д у ю щ и м образом. 

С т о ч к и зрения л о г и ц и з м а , математика - это ветвь всеобщей логики, это логика в чужом одеянии (Рассел, Уайтхед, Фреге, Пирс, Шредер и другие). 

Формализм представляет т е о р и ю м н о ж е с т в и неконструктивную 
математ и к у как «идеальное» р а с ш и р е н и е «реальной», т о есть конечной и комбинаторной, математики (Гильберт, Бернайс, Аккерман, Генцен и другие). 

Интуиционизм полагает в о з м о ж н ы м п р и н и м а т ь математические утверж д е н и я в качестве значимых, но отказывается от реалистических 
посылок 
относительно истин, например, ее двузначности (Кронекер, Пуанкаре, Брауэр, 
Гейгинг, Вейль и другие). 

В р а м к а х л о г и ч е с к о г о п о з и т и в и з м а считается, что математические ист и н ы я в л я ю т с я т а к о в ы м и благодаря п р а в и л а м я з ы к а (Рассел, р а н н и й 
Витгенштейн и другие). 

М о д а л и з м сводит классическую математику к совокупности утвержден и й о в о з м о ж н о с т и или невозможности каких-либо определенных структур, 
заменяя и м и разговоры о множествах, числах и других математических объектах. 

П л а т о н и з м у т в е р ж д а е т реальное существование математических объектов и способность человеческого ума, о т л и ч а ю щ у ю с я в определенной мере от 

1 См., например: В. А. Светлов. Философия математики. - М., 2006. 

2 См., например: А. Mostowski. Thirty years of foundational studies // Acta Filosophica Fennica, 1963. 

3 См. : В. В. Целищев. Перспективы исследований в философии математики. URL: 
http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/5_99/05_tselichev.htm (дата обращения: 26.02.2012). 

5 

восприятия, которая продуцирует все н а и л у ч ш и е интуиции о поведении этих 
объектов (Гедель, и другие). 
Х о л и з м рассматривает математику не как отдельную 
самостоятельную 
отрасль научного знания, а как часть всей науки и считает необходимость 
к в а н т и ф и к а ц и и над математическими объектами в случае достаточно богатого я з ы к а для эмпирических наук н а и л у ч ш и м свидетельством для постулир о в а н и я м н о ж е с т в (Куайн и другие). 

М а т е м а т и ч е с к и й э м п и р и з м в крайнем его выражении стремился свести все 
теоретические знания к высказываниям о чувственном. Математика для представителей этого направления в философии по сути была такой ж е наукой, как физика, химия, 
астрономия и другие эмпирические науки. Поэтому они и пытались в истории развития математического знания обнаружить основания для подтверждения своей точки 
зрения. Наиболее отчетливо идеи эмпиризма по отношению к математике были выражены в работах Д ж Ст. Милля. 

Представление, о т о м , что математики р а с с у ж д а ю т не о реальных предметах, а о знаках, есть, по м н е н и ю Милля «... иллюзия, п о я в и в ш а я с я вследств и е того, что когда математик пользуется своими знаками, он вправду не дум а е т о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но это происходит потому, 
что и с т и н ы а р и ф м е т и к и справедливы относительно всех в е щ е й и не возбужд а ю т в н а ш е м сознании н и к а к и х и д е й о т е х либо других вещах в частности» 1. 

Т а к о й взгляд н а математику с сегодняшней в ы с о т ы науки, естественно, 
кажется н а и в н ы м и ограниченным. И м е н н о поэтому в ф и л о с о ф и и науки он 
уступил точке зрения, которую н а з ы в а ю т у м е р е н н ы м э м п и р и з м о м , п о д 
в л и я н и е м которого с о в е р ш е н ы многие математические открытия. 

«Умеренный э м п и р и з м , пишет, например, В. А. Б а ж а н о в , подразумевает, 
что опыт, основные составляющие которого предопределяются концептуальн ы м багажом субъекта познания, играет в а ж н е й ш у ю роль в ф о р м и р о в а н и и 
з н а н и я и часто оказывает р е ш а ю щ е е (в т о м числе эвристическое) влияние н а 
развитие теоретических представлений субъекта п о з н а н и я » 2 . 

В подтверждение этих слов В. А. Б а ж а н о в п р и в о д и т следующие 
ф а к т ы 
из 
истории 
математики: 
о т к р ы т и я 
«воображаемой 
геометрии» 
(Н. Лобачевский) и «воображаемой логики» (Н. Васильев). О б а автора 
были 
с т о р о н н и к а м и умеренного э м п и р и з м а и оба в своих работах (первый - по 
геометрии, второй - п о логике), во м н о г о м опирались н а идеи этой ф и л о с о ф ской концепции. 

Н. Лобачевский, например, считал, что п е р в и ч н ы м и д а н н ы м и , н а котор ы е м ы опираемся в науке, я в л я ю т с я д а н н ы е , которые приобретаются с пом о щ ь ю чувственного опыта, а геометрические зависимости н и ч е м не отличаю т с я от зависимостей физических. 

Н. Васильев, который был а в т о р о м одной из п е р в ы х систем многозначн ы х логик и р о д о н а ч а л ь н и к о м идеи п а р а н е п р о т и в о р е ч и в ы х логик, т о ж е был 
сторонником умеренного эмпиризма. В своих работах по логике, например, 
«он п р я м о связывал н о в ы е ф о р м а л ь н ы е системы с у с т р о й с т в о м воображаем ы х миров», в которых ж и в у щ и е т а м существа «обладают и н ы м и , в отличие 
от земных, " о ш у щ а т е л ь н ы м и " способностями, которые, собственно и д и к т у ю т 
необходимость принять н о в у ю логику» 3. 

1 Дж. Ст. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной. - М.,1914. - С. 561. 
2 

В. А. Бажанов. Умеренный априоризм и эмпиризм в эвристическом контексте. Исторический контекст // Математика и опыт. - М., 2003. - С. 95-106. 

3 Там же. 

6 

К в а з и э м п и р и ч е с к и й 
р е а л и з м (или просто квазиэмпиризм) 
полагает, 
что в теоретических построениях «чистой математики» есть нечто аналогичное э м п и р и ч е с к о м у исследованию. В ней не только доказываются теоремы, но и 
высказываются и проверяются гипотезы (X. Патнем), а, значит, можно сказать, что она, 
как и физика, развивается гипотетико-дедуктивным способом 1. 

Н о м и н а л и з м в математике проявляется в попытке исключения из ее теорий 
абстрактных терминов (Генкин, Гудмен, Котарбиньский, Куайн, Лешневский, Тарский, 
Филд и другие). Целью программы номинализма является построение внепарадоксаль-
ной математики на основе формализованных языков, в системе которых и реализуется 
изъятие абстракций. При этом сами эти абстракции заменяются их языковыми моделями, что позволяет выйти в сферу внелогической проблематики, касающейся фундаментальных философских вопросов о механизмах функционирования символов математики в качестве языка и соотношении между языком и объектами мира 2. 

Современный номинализм в математике нередко называют фикционшшзмом, 
по-видимому, в силу того, что его сторонники исходят из следующих базовых утверждений: 

1. 
Все математические предложения и теории говорят об абстрактных математических объектах; 

2. 
Такие объекты не существуют. 
Следовательно, математические теории нельзя считать истинными 3. 
С т р у к т у р а л и з м в математике - это, п р е ж д е всего, взгляд н а эту отрасль 
з н а н и я через п р и з м у структуры, под которой понимается множество элементов, 
определяемых такими отношениями, которые дают возможность вывести все реляционные свойства элементов в случае, если даны операциональные правила, позволяющие преобразовывать доминирующие отношения (Бурбаки, и другие). В этом случае 
внимание акцентируется на том, что объектами математики являются абстрактные 
структуры, и рассматриваются собственно математические проблемы, возникающие 
как следствие принятого теоретико-множественного подхода. Вопросы же философского характера остаются на периферии исследований 4. 

В отличие от группы Н. Бурбаки, сторонники структурализма в математике Шапиро и Резник, например, разрабатывают алгебраический подход. Они убеждены в 
том, что вопреки традиционной точке зрения, согласно которой алгебра - это обобщение всего неалгебраического, на самом деле все наоборот. Иными словами, все, что есть 
в математике можно свести к алгебраическим структурам 5. 

Н а т у р а л и з м п о н и м а е т математику к а к «идеализированную науку о ч е ловеческих операциях», в которой все п р о б л е м ы д о л ж н ы решаться математик а м и к а к математиками, 
и н а ч е 
говоря, 
м а т е м а т и к а 
н и к о и м 
образом не 
д о л ж н а 
быть 
связана с т р а д и ц и о н н ы м и 
ф и л о с о ф с к и м и 
исследованиями. 
И н ы м и словами, натурализм «отрицает значение ф и л о с о ф и и для математики 
и ее оснований, а, стало быть, п о существу значение и само существование 
ф и л о с о ф и и математики (Дж. Бургесс, П. Мэдди, Ф. Китчер). В самой матема-

1 См., например: В. А. Бажанов. Стандартные и нестандартные подходы в философии математики // Философия 
математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. - М., 
Изд. С. А. Савин, 2007. - С. 10. 

2 Новейший философский словарь. Минск. 2003; URL: http://www.gumer.info/bogoslov_Buks
/Philos
/lil_dict/530.php (дата обращения: 

6.02.2012). 

3 В. А. Канке Философия математики, физики, химии, биологии. - М., 2011. - С. 70-74. 

Н. Бурбаки. Архитектура математики // Очерки по истории математики. - М.,1963. 

5 См., например: Shapiro S. Philosophy ofMathematics: Structure and Ontology: Oxford: Oxford University Press, 1997 ; Resnik M 1997. 
Mathematics as a Science ofPatterns. Oxford: Clarendon Press. 1997. 

7 

т и к е есть все средства, к о т о р ы е н е о б х о д и м ы для интерпретации или реконструкции математического з н а н и я » 1 . 
Интенсивно р а з в и в а ю щ и й это направление Ф. Китчер п и ш е т в статье 
«Математический натурализм»: «Я всегда утверждал, что ... п р о б л е м а м о ж е т 
быть разрешена, если м ы будем понимать математику как и д е а л и з и р о в а н н у ю 
науку о человеческих операциях. Предмет математики в к о н е ч н о м итоге -
способ, к о т о р ы м человеческое существо структурирует м и р п у т е м или операц и й грубых, физических, или операций мысленных». И далее он утверждает, 
что «математику следует понять как совокупность отчетов о деятельности 
идеального субъекта, которому м ы п р и п и с ы в а е м особые возможности структурировать о к р у ж а ю щ и й нас м и р » 2 . 

В 
р а м к а х 
п р е д и к а т и в н о г о 
и 
с о ц и а л ь н о г о 
к о н с т р у к т и в и з м а 

(Ч. Ф е ф е р м а н , Т. Т и м о ш к о , Р. Х е р ш , П. Эрнест и другие) м а т е м а т и к а представляется как э м п и р и ч е с к а я наука, как продукт социальной деятельности, 
культуры, «качество» которого определяется у р о в н е м социального конструир о в а н и я и во м н о г о м зависят от характера т р а н с ф о р м а ц и й , п р о и с х о д я щ и х в 
процессе общественного развития. 
Вот, например, основные идеи, н а которые опирается в своей философ и и математики П. Эрнест. 
- Знание - социальный конструкт; 
- Знание - к о м п о н е н т а э м п и р и ч е с к о й организации человеком своего мир а и д о л ж н о соответствовать физической и социальной реальности; 
- 
Соответствие 
т е о р и и 
объективной 
реальности - 
результат 
научной 
практики, в процессе которой создаются образцы, н о р м ы и п р а в и л а примен е н и я языка; 
- Вместе с я з ы к о м как т е о р и я ф о р м и п р а к т и к и возникает м а т е м а т и к а 3 . 
В современной ф и л о с о ф и и и методологии науки математический констр у к т и в и з м иногда р а с с м а т р и в а ю т как одну из п е р в ы х 
конструктивистских 
к о н ц е п ц и й в эпистемологии двадцатого века. Очевидно, что в этом случае м ы 
у ж е в ы х о д и м за р а м к и собственно математического з н а н и я и сталкиваемся 
со м н о ж е с т в о м вопросов, и м е ю щ и х далеко не очевидные ответы. Более того, 
д а ж е , казалось бы, очевидные ответы «тянут» за собой нередко ц е л ы й ш л е й ф 
н о в ы х вопросов. 
Каков механизм 
конструирования 
объектов сознания, и из каких 
базовых элементов (атомов) конструируются с л о ж н ы е объекты? 
Почему идеальные конструкции у м а обладают 
свойством 
соответствовать р е а л ь н ы м ф и з и ч е с к и м объектам? 
Ч т о общего м е ж д у м ы с л е н н ы м к о н с т р у и р о в а н и е м - идеализацией, моделированием, м ы с л е н н ы м экспериментом - как м е т о д о м в математике, ф и з и ке, в науке в ц е л о м и «конструированием» в эпистемологическом конструктивизме? 
Несомненно, что м о ж н о согласиться с тем, что конструирование идеализ и р о в а н н ы х (мысленных) объектов в науке в о з м о ж н о и необходимо. Естественно, что современная математика, например, без этой операции просто невозможна. 
Вместе с тем, возникает и вопрос, о к а к о м конструировании 
идет речь? 
О конструировании идеальных 
(идеализированных) объектов или ж е о конст-

1 В. А Бажанов. Стандартные и нестандартные подходы в философии математики. - С. 10. 

2 Ф. Китчер. Математический натурализм // Методологический анализ оснований математики. - М., 1988, - С. 24. 

3 См. : В. А Канке. Философия математики, физики, химии, биологии. - С. 79. 

8 

руировании объектов физически 
реальных, 
чувственно в о с п р и н и м а е м ы х или, 
по крайней мере, о возможности 
осуществления 
такого р о д а конструирования? 

Что ж е означает для математики принятие п о з и ц и и социального или, т е м 
более, радикального конструктивизма? 

Самое главное, по-видимому, состоит в следующем. Из у т в е р ж д е н и я соц и а л ь н ы х конструктивистов о т о м , что знание (в т о м числе и математическое) 
есть социальный конструкт, вытекает следствие, ч т о «объяснить, п о ч е м у в 
математике п р и н и м а ю т с я и м е н н о такие, а не другие у т в е р ж д е н и я и т е о р и и 
н е в о з м о ж н о н и апелляцией к особой идеальной реальности, н и ссылкой н а 
всеобщие а п р и о р н ы е структуры, п р и с у щ и е трансцендентальному 
субъекту». 
Развитие математики не предопределено н и т е м , н и другим, а зависит от 
культурных и социальных ф а к т о р о в 1 . 

Но следует л и из этого неизбежность признания п р а в о т ы 
социальных 
конструктивистов относительно того, что система математического и научного з н а н и я в ц е л о м является с о ц и а л ь н ы м конструктом? Отнюдь. 

С моей т о ч к и зрения, это достаточно обоснованно в одной из своих работ 
подтверждает 3 . А. Сокулер. Во-первых, она показывает, что «утверждение 
социального конструктивизма не подразумевает, будто знание есть 
произвольный 
(выделено автором - Б. Я.) конструкт». А во-вторых, - что социальн ы й конструктивизм у к а з ы в а е т н а ограниченность аподиктических очевид-
ностей (в частности, т е о р е м ы Пифагора) и а п р и о р н ы х 
предрасположенно-
стей. «Из признания, что человеческий интеллект оснащен д в у м я у к а з а н н ы м и 
Кантом а п р и о р н ы м и ф о р м а м и , - п и ш е т 3 . А. Сокулер, - и из д о п у щ е н и я , ч т о 
д а н н ы е ф о р м ы я в л я ю т с я продуктом эволюции, еще не следует н и того, ч т о 
они достаточны для развития математики, н и того, что они предназначены, 
ч т о б ы у с п е ш н о работать вместе» 2. 

И хотя это действительно так, нельзя не согласиться и с т е м , что социальный конструктивизм, а т е м более такая его ф о р м а к а к радикальный конструктивизм, весьма остро и акцентировано ставит перед 
эпистемологами 
вопросы х о р о ш о известного спора м е ж д у реалистами и антиреалистами. Сегодня у ж е совершенно очевидно, что этот спор имеет непосредственное отн о ш е н и е к ф у н д а м е н т а л ь н ы м основаниям научного знания. «В математике, 
например, от того или иного р е ш е н и я п р о б л е м ы существования ее объектов, -
п и ш е т В. А. Лекторский, - в контексте платоновского реализма, формализма, 
или конструктивизма, зависит не только истолкование, но и принятие т о й 
или иной ее ч а с т и » 3 . 

Поэтому к а ж д ы й ш а г н а пути п о и с к а ответов н а эти вопросы следует 
приветствовать, хотя бы потому, что эти поиски р о ж д а ю т н о в ы е мысли, н о в ы е идеи. 

Е щ е о д н и м достаточно н о в ы м и н е о р д и н а р н ы м п о д х о д о м к математике 
является к о н т е к с т у а л и з м . Представители этого направления полагают, что 
математические реалии следует изучать в самой тесной связи с существующ и м и математическими представлениями. А к р о м е того уделять пристальное 
в н и м а н и е тому, к а к понимается и бытует м а т е м а т и к а в р а з н ы х националь-

1 З. А. Сокулер. Является ли теорема Пифагора социальным конструктом? // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции. 28-30 мая 2009 г. - М., 2009. - С. 49. 

2 Там же. - С. 50-51. 

3 См. : В. А. Лекторский. Реализм, анти-реализм, конструктивизм и юнструктивный реализм в современной эпистемологии и науке . 
Рлектронный ресурс] : Интеллектуальная Россия. URL : http://www.intelr^.r^intelr^l^tin^r^ylin^_09/material_soliy/6141-realizm-anti- 
r^ilizm-konstr^£livizm-i-konstr^£livnyi-r^ilizm-v-sovr^ennoj-yerjistemologii-i-nauke.html (дата обращения: 3. 03. 2012). 

9 

н ы х культурах. И н ы м и словами, речь здесь идет об особого р о д а математике, 
к о т о р у ю н а з ы в а ю т «этноматематикой». О д н и м из л у ч ш и х экспертов в области 
«этноматематики», по праву считается профессор к о л л е д ж а И т а к а (Нью-Йорк) 
М а р с и я А ш е р . В своей книге о н а показывает, что «примитивные» культуры 
я в л я ю т с я иногда носителями существенно более с л о ж н ы х 
математических 
представлений, ч е м д о сих пор было принято считать. С т о р о н н и к и идей «этноматематики» надеются, что исследование истории математики различных 
с а м о б ы т н ы х культур является н е о б х о д и м ы м у с л о в и е м о б н а р у ж е н и я 
иных, 
нежели европейский, ц и в и л и з а ц и о н н ы х путей развития, и осознания, и и н ы х 
степеней вариативности человеческого м ы ш л е н и я 1 . 

К п е р е ч и с л е н н ы м направлениям, с у щ е с т в у ю щ и м в современной филос о ф и и математики, м о ж н о добавить еще концепцию 
«физиологического» 
истолкования 
математики, 
«нейрофизиологический» 
подход 
и 
негёделевскую 
философию 
математики, 
подходы, которые по своему духу близки дискурс-
анализу или основаны н а анализе эстетических особенностей математических 
процедур, п о з в о л я ю щ и х предпочитать одни доказательства д р у г и м в силу их 
большей и з я щ н о с т и 2 . 

К о н ц е п ц и я 
ф и з и о л о г и ч е с к о г о 
и с т о л к о в а н и и 
м а т е м а т и к и 
(Дж. Л а к о ф ф , Р. Нюньез, М. Д ж о н с о н , К. Девлин) представляет математику и 
ее объекты 
к о н с т р у к ц и я м и 
человеческого 
мозга, 
«органичным 
продуктом 
развития средств человеческого познания», который физиологически 
(даже 
н а у р о в н е структур мозга) предопределен и «вытекает из о п ы т а пересчета 
д и с к р е т н ы х объектов» 3. 

Н е й р о ф и з и о л о г и ч е с к и й п о д х о д (например, В. Н. Тростников) «исходит 
из некоторого рода корреляции математических структур и операций с т е м и 
нейрофизиологическими 
особенностями, 
которые 
отличают 
человеческий 
мозг, органы зрения и / или элементы т а к называемого перцептивного пространства» 4. 

Н е г ё д е л е в с к а я ф и л о с о ф и я м а т е м а т и к и , перспектива о ф о р м л е н и я кот о р о й возникает в связи с возникновением паранепротиворечивой 
математ и к и , характеризуется т е м , что в ней «на передний план выходят 
понятия 
тривиализуемости и полноты. П р и н ц и п непротиворечивости здесь уступает 
место п р и н ц и п у н е в ы в о д и м о с т и из посторонних п о с ы л о к » 5 . 

Необходимо сказать и о т а к н а з ы в а е м о й «герменевтической альтернативе» платонизму в математике, согласно которой «математика сама д о л ж н а 
быть п о н я т а как формальная 
герменевтика»6. 

Все 
с у щ е с т в у ю щ и е 
в 
современной 
ф и л о с о ф и и 
математики 
п о д х о д ы 
В. А. Б а ж а н о в считает в о з м о ж н ы м объединить в д в е группы, первая из котор ы х представляет т р а д и ц и о н н ы е , стандартные 
подходы, а вторая - нетрад и ц и о н н ы е , нестандартные 
п о д х о д ы к математике. Последние характеризуются т е м , что «предлагают оригинальные и существенно н о в ы е 
ракурсы 
рассмотрения, к о т о р ы е позволяют высветить ранее н е з а м е ч е н н ы е м е х а н и з м ы 

1 Айме, Марко. Сверимся по кольчатым червям. Марсия Ашер. Эпюматематика - Из-во «Боллати Борингиери», 2007. -235 с. [Элек¬
тронный ресурс] : Русский журнал. URL: http://www.russ.ru/Kniga-nedeli/Sverimsya-po-kol-chatym-chervyam (дата обращения: 
26.02.2012). 

2 В. А. Бажанов. Стандартные и нестандартные подходы в философии математики. - С. 10. 

3 Там же. 

4 Там же. 

5 Там же. 

6 См. об этом: А. Г. Черняков. Математика как формальная онтология // Философия математики: актуальные 
проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. - М., Из-во С. А. Савин, 
2007. - С. 88. 

10 

развития математического знания, математических методов и закономерностей этой н а у к и » 1 . 
В п е р в у ю группу он в к л ю ч а е т платонизм (реализм), интуиционизм, логицизм, ф о р м а л и з м , конструктивизм, ф и н и т и з м и эмпиризм, а во вторую - все 
остальные. 

Сегодня в ф и л о с о ф и и математики говорят и о т а к н а з ы в а е м о й 
гуманистической 
математике. 
Суть этого в е с ь м а радикального подхода выражается в стремлении отделить ф и л о с о ф и ю от математики н а т о м основании, что 
будто б ы все, что есть в математике, - это деятельность р а б о т а ю щ и х математиков, и поиски ф и л о с о ф о в по поводу того, что т а к о е математика, не и м е ю т 
о т н о ш е н и я к деятельности математиков. 

Т а к н а з ы в а е м у ю «гуманистическую математику» необходимо отличать от 
«гуманистического поворота» в ф и л о с о ф и и математики, связанного с общей 
т е н д е н ц и е й в современной ф и л о с о ф и и науки, п р о я в л я ю щ е й с я в обязательном 
учете влияния социальных факторов н а развитие научного знания и н а его 
результаты. 

«Гуманистический поворот» в ф и л о с о ф и и математики к 
практической 
деятельности ученых, по м н е н и ю Р. Х е р ш а , находит свое в ы р а ж е н и е в т о м , 
что (1) - математика, будучи составной частью человеческой культуры, не 
м о ж е т быть л и ш ь о п и с а н и е м фрегевских абстрактных к о н ц е п ц и й и вневрем е н н о й объективной реальности. Что (2) - она не является системой абсолютно истинного, непогрешимого знания: развитие математики, т а к ж е , как и 
л ю б о й другой науки, связано с о ш и б к а м и , заблуждениями и их преодолением. Что (3) - математическое доказательство имеет различные версии, обусловленные временем, м е с т о м и м н о г и м и д р у г и м и обстоятельствами, а компьютерное доказательство представляет одну из т а к и х н е т р а д и ц и о н н ы х версий строгости. Что (4) - гораздо л у ч ш и м способом р е ш е н и я проблем в ы б о р а 
«во что верить в математике?» является не т р а д и ц и о н н а я аристотелевская логика, а эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование или вероятностные доказательства. Ч т о (5) - математические объекты представляют 
собой с п е ц и ф и ч е с к и й в и д социально-культурно-исторических объектов, анал о г и ч н ы х л и т е р а т у р н ы м п е р с о н а ж а м или религиозным к о н ц е п ц и я м 2 . 

Ответом н а критику гуманистической математикой классической филос о ф и и математики является, по м н е н и ю В. В. Целищева, 
эпистемологический 
поворот 
в ф и л о с о ф с к и х исследованиях математики, связанный с п о и с к о м 
ответов н а вопросы математического познания, а н е н а т р а д и ц и о н н ы е воп р о с ы о п р и р о д е математических объектов и математической и с т и н ы 3 . 

Сказанное в ы ш е д а е т основания для выделения в ф и л о с о ф и и математики 
двух основных групп вопросов, которые характеризуют, соответственно, две области 
философии математики. Первая включает вопросы онтологического, 
а вторая - эпи¬
стемологического 
характера. 

Кроме этого в современных исследованиях по философии математики вполне 
возможно выделить два подхода, отличающихся тем, что при первом обращается внимание на изучение сущности математики, ее природы как таковой независимо от того 
конкретного состояния, в котором она наход илась на каком-либо этапе исторического 
развития. Такой подход нередко называют 
фундаменталистским 

1 В. А. Бажанов. Там же. 

2 См.: Hersh R. The fresh wind in the philosophy of mathematics. - P. 590, 591. 

3 В. В. Целищев. Поиски новой философии. 2001. URL: http://liloso£histor'ic.ru/books/item/Ю0/s00/z0000700 / (дата обращения: 
27.02.2012). 

11