Моделирование экономики

МОДЕЛИРОВАНИЕ 

ЭКОНОМИКИ

А.В. СИГАЛ

 

 

 Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика» 

(квалификация (степень) «магистр») (протокол № 12 от 14.12.2020)

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [330.4+519.86](075.8)
ББК 65.050я73
 
С34

Сигал А.В.

C34  
Моделирование экономики : учебное пособие / А.В. Сигал. — 

Москва : ИНФРА-М, 2023. — 283 с. — (Высшее образование: Магистратура). — 
DOI 10.12737/1096081.

ISBN 978-5-16-016314-7 (print)
ISBN 978-5-16-108612-4 (online)
В учебном пособии изложены основные разделы дисциплины «Моделирование 
экономики», читаемой обучающимся в магистратуре по направлению 
подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика». Изложение теоретических 
сведений иллюстрируется подробным разбором конкретных 
числовых примеров. Учебное пособие содержит задания комплексного 
проверочного теста по дисциплине «Моделирование экономики».

Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся в магистратуре 
по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика».

УДК [330.4+519.86](075.8)

ББК 65.050я73

Р е ц е н з е н т ы:

Лавровский Б.Л., доктор экономических наук, профессор;
Смирнов Н.В., доктор физико-математических наук, доцент

ISBN 978-5-16-016314-7 (print)
ISBN 978-5-16-108612-4 (online)
© Сигал А.В., 2021

Основные сокращения и обозначения

ВП
— валовой продукт

ВПС
— валовая прибавочная стоимость

ДСВ
— дискретная случайная величина

КП
— конечный продукт

МОБ
— межотраслевой баланс

МП
— Марковский процесс

НСВ
— непрерывная случайная величина

ОВЗ
— область возможных значений

СВ
— случайная величина

СВДТ
— случайный вектор дискретного типа

СВНТ
— случайный вектор непрерывного типа

СКО
— среднеквадратичное отклонение

СЛАУ
— система линейных алгебраических уравнений

СМО
— система массового обслуживания

СФ
— случайная функция

ТПФП
— техпромфинплан

УДЕ
— условная денежная единица

ФНП
— функция нескольких переменных

ЦМ
— цепь Маркова

∀
— квантор всеобщности «для любого», «для всех»

{
}
1
2
;
; ...;
n
a a
a
— множество, которому принадлежат перечисленные 
элементы

=
!
n
P
n
— число перестановок

(
)

=
=
−

!

!

k
k

n

n
A
n
n
k

— число размещений

=
!

k
r
r

k
k

— биномиальные коэффициенты

= k
n

n
C
k

— число сочетаний

( )
{
}
x P x
— множество всех x, удовлетворяющих заданному 
условию ( )
P x

m
x , 
m
x
— число x в убывающей, возрастающей фактори-
альной степени

x
— пол (целая часть или антье) действительного 
числа x

x
— потолок действительного числа x

x
— ближайшее целое число к действительному числу x

{ } =
− x
x
x
— дробная часть действительного числа x

=
−
x
x
x
— расстояние действительного числа x до ближай-
шего целого числа

( )
x
Spec
— спектр действительного числа x

=
−
⋅mod
x
x
y
x
y
y

— бинарная операция mod

N
— множество всех натуральных чисел

0
Z
— множество всех целых неотрицательных чисел

Z
— множество всех целых чисел

(
)
= −∞ + ∞
;
R
— множество всех действительных чисел

( )
P x
— нотация Айверсона, которая равняется 1, если 
заданное условие ( )
P x  истинно, и равняется 0, если 

заданное условие ( )
P x  ложно

(
)
X
As
— коэффициент асимметрии СВ X

(
)
X
Ek
— коэффициент эксцесса СВ X

(
)
(
)
= σ2
X
X
D
— дисперсия (вариация) СВ X

(
)
=
m
X
M
— математическое ожидание СВ X

(
)
X
Me
— медиана СВ X

(
)
X
Mo
— мода СВ X

( )
P A
— вероятность события А

(
)
(
)
σ
=
X
X
D
— СКО СВ X

∅
— невозможное событие (или пустое множество)

Ω
— достоверное событие (или пространство элемен-
тарных событий)

Предисловие

Учебное пособие предназначено прежде всего для обучающихся 

в магистратуре по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-ин-
форматика», а также для студентов других направлений подго-
товки, изучающих дисциплину «Моделирование экономики».

Одним из первых научных трудов, в значительной мере опи-

равшимся на математическое моделирование экономики, явилась 
работа «Экономическая таблица», написанная и изданная в 1758 г. 
французским экономистом, лейб-медиком короля Франции Людо-
вика XV, основоположником школы физиократов Франсуа Кенэ 
(1694–1774). Экономическая таблица, составленная Ф. Кенэ, пред-
ставляла собой количественную модель национальной экономики 
и основывалась на установлении балансовых пропорций между 
натуральными, т.е. вещественными, и стоимостными, т.е. денеж-
ными, элементами производства. Фактически, сгруппировав всех 
хозяйствующих экономических субъектов Франции XVIII в. на три 
класса, а именно земледельцев (фермеров и сельских наемных рабочих), 
собственников (землевладельцев и короля) и «бесплодный 
класс» (промышленников, купцов, ремесленников и наемных рабочих 
в промышленности), Кенэ составил первый вариант схемы-
таблицы межотраслевого баланса «затрат — выпуска», являющейся 
прототипом для последующих моделей экономического баланса: 
модели французского экономиста, лидера лозаннской школы маржинализма, 
основателя теории общего конкурентного равновесия 
Мари Эспри Леона Вальраса (1834–1910) и модели американского 
экономиста российского происхождения, создателя теории межотраслевого 
анализа, лауреата премии по экономике памяти Альфреда 
Нобеля за 1973 г. Василия Васильевича Леонтьева (1905–1999).

Вальрас в своей книге «Элементы чистой политической экономии», 
изданной в 1874 г., отмечал: «Чистая теория экономики 
есть наука, напоминающая во всем физико-математические науки». 
Интересно отметить, что представители лозаннской школы считали 
математические методы обязательным элементом экономической 
науки.

Дисциплина «Моделирование экономики», изучаемая студен-

тами, обучающимися в магистратуре по направлению подготовки 
38.04.05 «Бизнес-информатика», состоит из следующих частей:

1) концептуальные основы экономико-математического моде-

лирования;

2) матричные модели и различные виды балансов;
3) динамические модели.
При моделировании экономики необходимо учитывать наи-

более характерные особенности экономики, прежде всего то, что 
экономика представляет собой динамическую, слабо структуриро-
ванную сложную систему, которая состоит из многих элементов, 
в том числе из большого количества хозяйствующих единиц, ко-
торые находятся в довольно тесном, непрерывном взаимодействии.

В разделе «Матричные модели и различные виды балансов» рас-

сматриваются различные экономико-математические балансовые 
модели, характеризующие межотраслевые производственные взаи-
мосвязи в экономике страны. Межотраслевым балансом называют 
каркасную модель (таблицу), в которой показываются многооб-
разные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве 
страны. Еще в 1898 г. российский экономист-математик и стати-
стик, представитель математической школы в политической эко-
номии Владимир Карпович Дмитриев (1868–1913) в работе «Эко-
номические очерки» впервые разработал систему линейных урав-
нений, которые связывали между собой цены товаров и издержки 
их производства. Доказывая разрешимость этой системы урав-
нений, он ввел технические коэффициенты, которые показывают 
долю затрат одного товара в производстве другого. К 1920-м гг., 
когда потребности централизованного планирования экономики 
СССР привели к активизации балансовых исследований, метод 
Дмитриева оставался незамеченным.

Первым в истории межотраслевым балансом был отчетный ба-

ланс народного хозяйства СССР, построенный в виде шахматной 
таблицы межотраслевых связей и рассчитанный за 1923–1924 
хозяйственный год. В 1924 г. Центральное статистическое управ-
ление (ЦСУ) при Совете народных комиссаров СССР по пору-
чению Совета труда и обороны СССР и по методологии, разрабо-
танной российским и советским статистиком и экономистом Львом 
Николаевичем Литошенко (1886–1943) и советским государ-
ственным деятелем Павлом Ильичем Поповым (1872–1950), был 
рассчитан отчетный баланс народного хозяйства за 1923–1924 гг. 
и прогнозный баланс на 1924–1925 гг. В.В. Леонтьев, который 
в тот период изучал экономические науки в Берлинском универ-
ситете, подготовил отзыв на работу ЦСУ, посвященный теорети-
ческим основам межотраслевого баланса. Сокращенный перевод 
его оригинальной статьи под названием «Баланс народного хо-
зяйства СССР» опубликовал журнал «Плановое хозяйство» в № 12 
за 1925 г. К сожалению, ни вычислительные возможности, ни со-

стояние математической науки не позволили тогда развить метод 
межотраслевого баланса настолько, чтобы можно было полноценно 
включить его в практику народнохозяйственного планирования 
и прогнозирования.

Раздел «Динамические модели» посвящен моделированию эко-

номической динамики, основам теории случайных процессов и ве-
роятностным моделям систем массового обслуживания. Теория 
случайных процессов — математическая наука, изучающая законо-
мерности случайных явлений в динамике их развития. Именно слу-
чайные процессы, представляющие собой функции неслучайного 
аргумента (например, времени) вероятностного описания величины, 
имеющей случайный характер и изменяющейся в процессе наблю-
дения, позволяют исследовать развивающиеся (динамические) 
случайные явления. Основу общей теории случайных процессов 
составляет теория марковских случайных процессов, выросшая 
из теории цепей Маркова. Цепь Маркова, т.е. последовательность 
случайных событий с конечным или счетным числом исходов, ха-
рактеризующаяся свойством, что при фиксированном настоящем 
будущее не зависит от прошлого, названа в честь русского матема-
тика Андрея Андреевича Маркова-старшего (1856–1922), который 
в своих работах 1906–1907 гг. исследовал последовательности за-
висимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин.

Теория массового обслуживания — математическая наука, изу -

чающая рациональный выбор структуры системы обслуживания 
и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований 
на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из нее, 
длительности ожидания и длины очереди. В основу теории мас-
сового обслуживания легла теория потока однородных событий, 
разработанная советским математиком Александром Яковле-
вичем Хинчиным (1894–1959). Первые задачи теории массового 
обслуживания были рассмотрены сотрудником Копенгагенской 
телефонной компании, датским математиком, статистиком и инженером 
Агнером Крарупом Эрлангом (1878–1929) в период между 
1908 и 1922 гг. Системы массового обслуживания представляют 
собой эффективный математический инструмент для исследования 
широкого круга реальных социально-экономических и демографических 
процессов.

Структурно учебное пособие состоит из четырех крупных 

частей: «Раздел I. Сведения из конкретной математики и теории 
вероятностей», «Раздел II. Концептуальные основы экономико-
математического моделирования», «Раздел III. Матричные модели 
и различные виды балансов», «Раздел IV. Динамические модели».

Для удобства читателей в разделе I учебного пособия приведены 

необходимые сведения из таких тем конкретной математики, как 
«Целочисленные функции», «Элементы комбинаторики», «Биномиальные 
коэффициенты», а также важнейших тем теории вероятностей: «
Основные понятия теории вероятностей», «Основные 
теоремы теории вероятностей», «Последовательности независимых 
испытаний Бернулли», «Одномерные случайные величины», «Многомерные 
случайные величины».

Следует отметить, что столь важная (для полноценного, корректного, 
адекватного и эффективного моделирования экономики) 
наука, как теория экономического риска, в значительной мере базируется 
на теории вероятностей и математической статистике 
(особенно такая ее часть, как система количественных показателей 
оценки уровня экономического риска) и на теории игр и статистических 
решений (особенно управление экономическим риском 
и риск-менеджмент).

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности 
случайных явлений и массовых однородных случайных 
событий. Математическая статистика — математическая 
наука, изучающая приближенные методы поиска законов и оценок 
числовых характеристик случайных величин по результатам экспериментов 
или наблюдений.

Теория вероятностей как самостоятельная наука зародилась 

в 1654 г. в переписке известных французских ученых Блеза Паскаля (
1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по поводу решения 
двух знаменитых задач: задачи шевалье де Мере о подбрасывании 
игральных костей и задачи Луки Пачоли о разделе ставки. Итальянский 
математик, один из основателей современных принципов 
бухгалтерии монах-францисканец Лука Бартоломео де Пачоли 
(1445–1517) еще в 1494 г. опубликовал работу «Сумма [знаний] 
арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональ-
ности». В этой книге, среди прочего, приведено несколько задач 
о справедливом разделе ставки при незавершенной игре двух лиц, 
подбрасывающих монету. Поиск правильного решения этих задач 
о справедливом разделе ставки занял более чем полтора столетия, 
хотя им занимались ведущие математики XVI и XVII вв.

Паскаль и Ферма, решив задачу Луки Пачоли, заложили основы 

теории вероятностей, что впоследствии позволило использовать ве-
роятностные меры риска. Задача Луки Пачоли сыграла в истории 
науки особую роль. Многие исследователи считают 1494 г., год из-
дания книги Луки Пачоли, содержащей задачи о разделе ставки, 
датой зарождения сразу трех наук: теории вероятностей, теории 
экономического риска и теории игр.

Начавшись с вычисления количества различных комбинаций 

при игре в кости и в другие азартные игры, теория вероятностей 
практически сразу же развилась в фундаментальную математи-
ческую науку, предоставившую человечеству мощный инстру-
ментарий для решения самых разных задач из самых разных сфер 
деятельности. В частности, методы и модели теории вероятностей 
и математической статистики широко применяются в теории 
и практике экономики, техники, физики.

Конкретная математика как самостоятельная наука зарожда-

лась в последние десятилетия ХХ в. В это время в США Джон 
Хаммерсли написал статью «О снижении уровня математической 
подготовки в школах и университетах благодаря “современной 
математике” и подобной ей жидкой интеллектуальной похлебке» 
в связи с тем, что так называемая абстрактная математика как вы-
холощенная интеллектуальная дисциплина «страшно далека от на-
рода».

Американский математик и специалист в области компьютерных 

наук Дональд Эрвин Кнут (род. в 1938 г.), приступив к написанию 
своей фундаментальной многотомной монографии «Искусство 
программирования для ЭВМ», также столкнулся с проблемой от-
сутствия в его арсенале важных математических инструментов, по-
зволяющих решать конкретные задачи, а также досконально и обо-
снованно интерпретировать компьютерные программы.

Название «конкретная математика» «отцы-основатели» этой 

дисциплины Р.Л. Грэхем, Д.Э. Кнут и О. Паташник объясняют 
следующим образом: «КОНКРЕТНАЯ математика — это матема-
тические основы информатики, позволяющие применять технику 
работы с КОНтинуальными (непрерывными) объектами для ра-
боты с дисКРЕТНЫМИ объектами». Например, суммирование 
может выполняться по формулам, аналогичным вычислению 
определенных интегралов. Использование методов конкретной 
математики позволяет выполнять анализ и оптимизацию алго-
ритмов, быстрее получать результаты и значительно уменьшать 
общий объем вычислений. Приемы конкретной математики играют 
важную роль при вычислении вероятностей различных событий, 
числовых характеристик случайных величин и значений их стати-
стических оценок.

Для удобства читателей в приложении к учебному пособию 

кратко изложены элементы теории матриц.

В результате изучения дисциплины «Моделирование эконо-

мики» обучающиеся должны приобрести знания, умения, навыки 
и компетенции, необходимые в будущей профессиональной дея-

тельности для самостоятельного системного применения эконо-
мико-математических методов и моделей, как в процессе анализа 
экономических ситуаций, коллизий и функционирования соци-
ально-экономических систем, так и в процессе принятия управ-
ленческих решений в экономике. Для успешного освоения мате-
риала, изложенного в учебном пособии, читатели должны владеть 
основными разделами курса «Высшая математика», прежде всего 
линейной алгеброй, включая матрицы, определители, системы ли-
нейных алгебраических уравнений, введением в математический 
анализ, дифференциальным исчислением, основными разделами 
курса «Теория вероятностей и математическая статистика», основ-
ными разделами курса «Математическое программирование», 
прежде всего линейным программированием, включая двойствен-
ность в линейном программировании, а также основными разде-
лами курса «Эконометрика».

Учебное пособие подготовлено согласно требованиям образо-

вательного стандарта, учебного плана и учебной программы дис-
циплины «Моделирование экономики», утвержденным Ученым 
советом ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени 
В.И. Вернадского».

В результате изучения дисциплины «Моделирование эконо-

мики» у студентов должны быть сформированы необходимые компетенции. 
В частности, магистры должны:

знать

 
•  основные методы моделирования экономики, особенности применения 
соответствующих методов и моделей для проведения 
научно-исследовательских работ;
уметь

 
•  организовывать исследовательскую работу на основе методов 

системного анализа и математического моделирования для анализа 
экономических ситуаций, оценки эффективности, прогнозирования 
и принятия управленческих решений;
владеть

 
•  приемами применения методов моделирования экономики для 

проведения научно-исследовательских работ, анализа экономических 
ситуаций, оценки эффективности, прогнозирования 
и принятия управленческих решений.
Автор выражает искреннюю благодарность профессорам Наталье 
Владимировне Апатовой, Борису Леонидовичу Лавровскому 
и Николаю Васильевичу Смирнову за внимание к учебному пособию, 
ценные советы, замечания и рекомендации.