Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц
Доступ онлайн
790 ₽
В корзину
В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика» были положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные сотрудниками кафедры, отражающие новые научные результаты. Второй том учебника охватывает широкий круг специальных вопросов, имеющих важное прикладное значение: устойчивость движения, нелинейные колебания, динамика и статика платформы Стюарта, механика при действии случайных сил, элементы теории управления, связь неголономной механики с теорией управления, колебания и балансировка роторных систем, физическая теория удара, статика и динамика тонкого стержня, динамика полета, обобщенный маятник Капицы. Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов и специалистов по аналитической механике.
Теоретическая и прикладная механика : учебник : в 2 томах. Том 2. Динамика. Некоторые прикладные вопросы теоретической механики / Н. Н. Поляхов, П. Е. Товстик, С. А. Зегжда [и др.] ; под ред. П. Е. Товстика. - 4-е изд., перераб. и расшир. - Санкт-Петербург : СПбГУ, 2021. - 548 с. - ISBN 978-5-288-06242-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1907094 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебник

4-е издание,  
переработанное и расширенное

Н. Н. Поляхов, П. Е. Товстик,  
С. А. Зегжда, М. П. Юшков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  
И ПРИКЛАДНАЯ  
МЕХАНИКА

Том II 
Динамика. Некоторые прикладные вопросы 
теоретической механики

Под редакцией проф. П. Е. Товстика

УДК 531
ББК 22.21
П347

Р е ц е н з е н т ы: д-р
физ.-мат.
наук,
проф.
В. В. Александров
(Моск.
гос.
ун-т);
член-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф. А. М. Кривцов (С.-Петерб.
гос. политехн. ун-т)

А в т о р ы:
Н. Н. Поляхов,
С. А. Зегжда,
П. Е. Товстик,
М.П. Юшков,
А. К. Беляев,
В. Г. Быков, В. В. Додонов, А. С. Ковачев, Н. Ф. Морозов, Н. В. Наумова,
В. И. Петрова, Ш. Х. Солтаханов, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик

Рекомендовано к публикации
УМК по УГСН 01.00.00 математика и механика
Санкт-Петербургского государственного университета

П347
Поляхов Н. Н., Товстик П. Е., Зегжда С. А., Юшков М. П.
Теоретическая и прикладная механика. Том II. Динамика. Некоторые 
прикладные вопросы теоретической механики: учебник / под
ред. П. Е. Товстика. 4-е изд., перераб. и расшир. — СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2022. — 548 с.
ISBN 978-5-288-06242-1 (Т. 2)
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)

В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика» были 
положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на математи-
ко-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные сотрудниками 
кафедры, отражающие новые научные результаты. Второй том учебника
охватывает широкий круг специальных вопросов, имеющих важное прикладное
значение: устойчивость движения, нелинейные колебания, динамика и статика
платформы Стюарта, механика при действии случайных сил, элементы теории
управления, связь неголономной механики с теорией управления, колебания и балансировка 
роторных систем, физическая теория удара, статика и динамика тонкого 
стержня, динамика полета, обобщенный маятник Капицы.
Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «
математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов 
и специалистов по аналитической механике.

УДК 531
ББК 22.21

ISBN 978-5-288-06242-1 (Т. 2)
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)

©
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2021

©
Н. Н. Поляхов,
П. Е. Товстик,
С. А. Зегжда,
М. П. Юшков, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ко второму тому (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава I. Устойчивость движения (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . .
14

§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения . . . . . . . . . . . . .
14

§ 2. Прямой метод Ляпунова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 3. Устойчивость равновесия и стационарных движений консервативных
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

§ 4. Теоремы Томсона и Тета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

§ 5. Исследование устойчивости по линейному приближению . . . . . . . . . . . . .
30

§ 6. Устойчивость периодических решений по линейному приближению . .
37

§ 7. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса. Уравнение
Матье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Глава II. Нелинейные колебания (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . .
43

§ 1. Основные свойства нелинейных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

§ 2. Частные случаи нелинейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

§ 3. Использование принципа Гаусса при отыскании приближенных
решений уравнений нелинейных колебаний. Метод
Бубнова — Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

§ 4. Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

§ 5. Метод Крылова — Боголюбова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

§ 6. Метод прямого разделения движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 7. Метод двухмасштабных разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

§ 8. Уравнение Дюффинга и странный аттрактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Оглавление

Глава III. Динамика и статика Платформы Стюарта (С. А. Зегжда,
П. Е. Товстик, М. П. Юшков, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . .
113

I. Применение классических методов

теоретической механики для исследования
динамики нагруженной платформы Стюарта

§ 1. Постановка задачи и кинематика платформы Стюарта . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 2. Дифференциальные уравнения движения нагруженной платформы
Стюарта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116

§ 3. Влияние инерции и веса пневмоцилиндров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

§ 4. Построение обратной связи. Стабилизация движений платформы
Стюарта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

§ 5. Линеаризация уравнений движения платформы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

§ 6. Области достижимости положений платформы Стюарта в
шестимерном пространстве обобщенных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129

II. Применение специальной формы

уравнений движения для исследования

движения нагруженной платформы Стюарта

§ 7. Постановка задачи и системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

§ 8. Формулы перехода между системами координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

§ 9. Решение прямой задачи динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146

§ 10. Решение обратной задачи динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

§ 11. Вертикальные колебания платформы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

§ 12. О неустойчивости решения обратной задачи динамики для
платформы Стюарта. Введение обратных связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

III. Применение уравнений Лагранжа второго рода

для стабилизации положения равновесия

трехстержневой платформы Стюарта

§ 13. Кинематика трехстержневой платформы Стюарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157

§ 14. Уравнения динамики платформы с тремя стержнями . . . . . . . . . . . . . . . .
159

§ 15. Стабилизация равновесия горизонтального положения платформы . .
162

§ 16. Числовой пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

Глава IV. Колебания и автобалансировка роторных систем
(В. Г. Быков, А. С. Ков´ачев, П. Е. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

§ 1. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания ротора
с изотропным вязко-упругим валом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

§ 2. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания ротора
с ортотропным вязко-упругим валом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189

§ 3. Автоматическая балансировка статически неуравновешенного ротора
206

§ 4. Автоматическая балансировка ротора Джеффкотта с ортотропно
упругим валом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225

§ 5. Влияние неидеальности конструкции автобалансировочных
устройств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Глава V. Элементы теории управления (П. Е. Товстик, Н. В. Наумова) . . .
257

§ 1. Постановки задач оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257

§ 2. Решение задачи оптимального управления методами классического
вариационного исчисления. Принцип максимума Понтрягина. . . . . . . .
259

Оглавление
5

§ 3. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

§ 4. Решение задачи на быстродействие с помощью принципа максимума
Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262

§ 5. Управление горизонтальным движением тележки с маятниками на
основе применения принципа максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . .
263

§ 6. Линейные задачи теории управления. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . .
270

§ 7. Стабилизируемость и наблюдаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

Глава VI. Обобщенная задача Чебышёва. Неголономная механика
и теория управления (В. В. Додонов, С. А. Зегжда, Ш. Х. Солтаханов,
П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

I. Постановка обобщенной задачи Чебышёва.
Две теории движения неголономных систем

с линейными связями высокого порядка

§ 1. Постановка обобщенной задачи Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279

§ 2. Первая теория движения неголономных систем со связями высокого
порядка. Построение совместной системы дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283

§ 3. Движение искусственного спутника Земли с постоянным по модулю
ускорением. Размерные дифференциальные уравнения движения . . .
289

§ 4. Движение искусственного спутника Земли с постоянным по модулю
ускорением. Безразмерные дифференциальные уравнения движения
296

§ 5. Вторая теория движения неголономных систем со связями высокого
порядка. Обобщенный принцип Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301

§ 6. Исследование движений спутников с постоянными ускорениями на
основе второй теории движения неголономных систем со связями
высокого порядка. Размерные дифференциальные уравнения. . . . . . . .
305

§ 7. Исследование движений спутников с постоянными ускорениями на
основе второй теории движения неголономных систем со связями
высокого порядка. Безразмерные дифференциальные уравнения . . . .
309

II. Неголономная механика и теория управления

§ 8. Постановка одной из важнейших задач теории управления . . . . . . . . . . .
312

§ 9. Связь решения, полученного с помощью принципа максимума
Понтрягина, с неголономной задачей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314

§ 10. Решение задачи с использованием обобщенного принципа Гаусса . . . .
317

§ 11. Расширенная (обобщенная) краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325

§ 12. Особые точки решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329

§ 13. Построение аналитического решения задачи, не содержащего особых
точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

§ 14. Другой подход к задаче о гашении колебаний тележки с двумя
маятниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332

§ 15. Гашение горизонтальных колебаний трехмассовой системы
с пружинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337

§ 16. Гашение колебаний консоли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345

Оглавление

Глава VII. Механика со случайными силами (П. Е. Товстик,
Т. М. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

§ 1. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

§ 2. Многомерные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358

§ 3. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
360

§ 4. Операции математического анализа над случайными величинами
и случайными процессами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361

§ 5. Механическая система с одной степенью свободы под действием
случайной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364

§ 6. Корреляционный анализ линейной механической системы
с несколькими степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366

§ 7. Стационарные случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

§ 8. Спектральная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370

§ 9. Спектральное разложение стационарного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373

§ 10. Колебания механической системы с одной степенью свободы при
стационарном случайном возмущении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375

§ 11. Колебания механической системы с несколькими степенями свободы
при стационарном случайном возмущении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377

§ 12. Нелинейные и статистически нелинейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379

§ 13. Марковские процессы. Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова
(ФПК). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383

Глава VIII. Физическая теория удара (С. А. Зегжда). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386

§ 1. Центральный удар двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386

§ 2. Применение общих теорем динамики к исследованию соударения
твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401

§ 3. Теория удара механических систем с идеальными связями . . . . . . . . . . .
415

Глава IX. Статика и динамика тонкого стержня (А. К. Беляев,
Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

§ 2. Продольные колебания стержня. Линейное приближение. . . . . . . . . . . . .
450

§ 3. Изгиб и поперечные колебания стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452

§ 4. Классические решения Эйлера и Лаврентьева — Ишлинского . . . . . . . . .
453

§ 5. Продольно-поперечные колебания. Линейное приближение . . . . . . . . . . .
454

§ 6. Параметрические резонансы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456

§ 7. Потеря устойчивости при нагрузке, меньшей Эйлеровой. . . . . . . . . . . . . .
458

§ 8. Квазилинейное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
459

§ 9. Асимптотическое интегрирование квазилинейных уравнений
движения стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460

§ 10. Закритические деформации стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464

§ 11. Продольный удар телом по стержню. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

Глава X. Динамика полета (Н. Н. П´оляхов, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473

§ 1. Основные координатные системы, используемые в динамике полета.
Кинематические уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473

§ 2. Уравнения движения летательного аппарата (ЛА) в связанной
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
478

§ 3. Силы, действующие на ЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483

§ 4. Движение систем переменной массы. Сила тяги реактивного
двигателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488

Оглавление
7

§ 5. Движение летательного аппарата в начальной стартовой системе
координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500

§ 6. Применение методов неголономной механики для наведения
летательного аппарата на цель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504

Глава XI. Обобщение задачи о маятнике Капицы (А. К. Беляев,
Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик, В. В. Додонов)
508

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508

I. Классическая модель маятника Капицы

§ 2. Устойчивость маятника Капицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
510

§ 3. Область притяжения решения маятника Капицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512

§ 4. Области притяжения решения задачи маятника Капицы со
случайным возбуждением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514

§ 5. Маятник Капицы на гибкой опоре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
518

II. Обобщенный маятник Капицы. Гибкий стержень

§ 6. Интегрирование уравнений движения гибкого растяжимого
маятника под действием вибраций основания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522

§ 7. Условия устойчивости верхнего вертикального положения гибкого
маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
525

§ 8. Формы равновесия стержня, изогнутого под действием собственного
веса, в геометрически нелинейной постановке задачи. . . . . . . . . . . . . . . . .
528

§ 9. Применение уравнений Лагранжа второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
530

§ 10. Области притяжения для нерастяжимого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533

§ 11. Влияние продольных волн на устойчивость вертикального
положения и на области притяжения растяжимого стержня . . . . . . . . .
534

§ 12. Обсуждение результатов и выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
536

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540

ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ

Как указывалось во Введении к первому тому учебника, материал общего
курса «Теоретическая механика» и ряда специальных курсов, читавших-
ся авторами на протяжении многих лет на математико-механическом фа-
культете Ленинградского — Санкт-Петербургского государственного уни-
верситета, разбит на три раздела.
В первый том вошли разделы «Кинематика» и «Динамика. Общие во-
просы теоретической механики. Основы аналитической механики». В них
излагались главы, посвященные кинематике точки, кинематике твердого
тела, сложному движению, динамике точки, динамике системы, движению
при наличии связей, малым колебаниям системы, динамике твердого тела,
вариационным принципам механики, статике, интегрированию уравнений
механики, элементам специальной теории относительности.
Предлагаемый читателю второй том учебника содержит третий раз-
дел «Динамика. Некоторые прикладные вопросы теоретической механи-
ки». Материал глав этого раздела отражает основное содержание ряда
специальных курсов, читаемых на кафедре теоретической и прикладной
механики Санкт-Петербургского университета. Основная литература во
втором томе указывается в ссылках в каждой главе.

В главе I «Устойчивость движения» дается определение устойчи-
вости возмущенного движения по Ляпунову и приводятся теоремы Ляпу-
нова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Приводятся теоремы Лагранжа, Ляпунова и Четаева об устойчивости по-
ложений равновесия и стационарных движений консервативных систем.
Обсуждается влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчи-
вость положения равновесия консервативной системы (теоремы Томсона
и Тета). Исследуется устойчивость положения равновесия по линейному
приближению. Приводятся критерии Рауса — Гурвица и Михайлова об от-
рицательности вещественных частей корней полинома. По линейному при-
ближению исследуется устойчивость периодических движений неавтоном-
ных систем. Рассматривается устойчивость нулевого решения уравнения
Матье, к которому приводятся, например, колебания маятника с вибриру-
ющей точкой подвеса.

Введение ко второму тому
9

В главе II «Нелинейные колебания» особое внимание обращено на
изложение приближенных способов решения нелинейных уравнений (ме-
тод малого параметра, асимптотические методы). Установлена связь мето-
да Бубнова — Галеркина с принципом Гаусса. Подробно излагается пред-
ложенный академиком П. Л. Капицей метод прямого разделения движе-
ний, недостаточно освещенный в настоящее время в учебной литературе.
Теоретические результаты поясняются решением ряда новых примеров.
Последние параграфы посвящены обсуждению странных аттракторов и
методу двухмасштабных разложений.
В главе III «Динамика и статика платформы Стюарта» иссле-
дование динамики нагруженной платформы стенда ведется двумя различ-
ными методами — применением классических теорем теоретической механики 
и с помощью использования специальной формы уравнений движения, 
введенной в главе VIII первого тома учебника. Рассматриваются кинематика 
стенда, дифференциальные уравнения движения нагруженной
платформы, решения прямой и обратной задач динамики, стандартные
движения платформы, введение обратной связи, обеспечивающей устойчивые 
колебания нагруженной платформы Стюарта, области достижимости
положений платформы в шестимерном пространстве обобщенных координат. 
Для стабилизации положения равновесия платформы стенда используется 
третий возможный метод — уравнения Лагранжа второго рода.
В главе IV «Колебания и автобалансировка роторных систем»
рассматриваются простейшие модели роторных систем с конечным числом 
степеней свободы. Изучаются различные типы колебаний роторов,
обусловленные их неуравновешенностью, неравножесткостью упругих характеристик 
вала или опор, а также влиянием сил внутреннего трения
и конструкционного демпфирования. Исследуются вопросы балансировки 
роторов, оснащенных пассивными шаровыми автобалансировочными
устройствами. Заканчивается глава исследованием влияния неидеально-
сти конструкции автобалансировочных устройств.
Глава V «Элементы теории управления» посвящена постановке
задач теории управления и краткому обзору некоторых методов их реше-
ния. Задачи теории управления можно разделить на два больших класса.
Первый из них связан с выбором в том или ином смысле оптимально-
го управления, а второй — с задачей удержания движения на выбранной
траектории или вблизи нее. Излагается принцип максимума Понтрягина.
Приводится решение некоторых задач теории управления. Вводятся поня-
тия управляемости, стабилизируемости и наблюдаемости.
Глава VI «Обобщенная задача Чебышёва. Неголономная ме-
ханика и теория управления» разбита на две части. В первой части

Введение ко второму тому

формулируется обобщенная задача Чебышёва и приводятся две теории для
ее решения. Для создания этих теорий развивается аппарат неголономной
механики при наличии связей высокого порядка. Связи рассматриваются
как программные. В первой теории строится совместная система диффе-
ренциальных уравнений для определения неизвестных обобщенных коор-
динат и множителей Лагранжа. Вторая теория базируется на использо-
вании обобщенного принципа Гаусса. Применение теорий иллюстрируется
решением задачи о движении искусственного спутника с постоянным по
величине ускорением.
Во второй части главы для решения одной из важнейших задач тео-
рии управления — о выборе оптимальной управляющей силы, переводящей
механическую систему за заданное время из одного фазового состояния в
другое — предлагается применять вторую теорию движения неголоном-
ных систем со связями высокого порядка. Показывается, что при решении
поставленной задачи с помощью принципа максимума Понтрягина при ми-
нимизации функционала от квадрата управляющей силы непрерывно вы-
полняется связь высокого порядка. Поэтому для решения той же задачи
удобно применить обобщенный принцип Гаусса, свойственный теории дви-
жения неголономных систем со связями высокого порядка. Это позволяет
сформулировать обобщенную задачу Чебышёва и на основе ее решения
построить управляющую силу в виде полинома от времени. Применение
предлагаемой теории демонстрируется на решении модельной задачи о га-
шении колебаний тележки с маятниками. Ставится и решается расширен-
ная краевая задача, в которой задаются значения и ускорения в начале и
в конце движения системы. Благодаря этому удается находить управляю-
щую силу без скачков, свойственных решению, полученному с использо-
ванием принципа максимума Понтрягина. В конце главы для демонстра-
ции возможности использования предложенной теории для исследования
управления механическими системами с распределенными параметрами
рассматривается задача о гашении колебаний гибкой «руки» манипулятора.
В главе VII «Механика со случайными силами» в краткой фор-
ме излагаются методы определения вероятностных характеристик движе-
ния механических систем, находящихся под действием случайных сил. Во
вводных параграфах приводятся основные сведения о случайных величи-
нах и случайных процессах, необходимые для дальнейшего. При определе-
нии вероятностных характеристик изложение ограничено в основном кор-
реляционным уровнем, при котором определяются математические ожи-
дания и корреляционные функции решений при условии, что эти же харак-
теристики заданы для внешних сил. Для стационарных процессов исполь-
зуется преобразование Фурье и определяются спектральные плотности.

Введение ко второму тому
11

Для статистически линейных систем удается найти точное решение. Для
анализа нелинейных систем можно использовать лишь приближенные ме-
тоды. Это методы статистической линеаризации и методы статистическо-
го моделирования. Упомянутый в конце главы метод решения уравнения
Фоккера — Планка — Колмогорова приводит к точному решению, однако
область его практической применимости очень узкая.
Глава VIII «Физическая теория удара» посвящена классической
теории удара, хотя начинается она с изложения теории Герца соударе-
ния упругих шаров. Подробно обсуждается понятие коэффициента вос-
становления, введенное Ньютоном. Дается новый вывод алгебраической
системы уравнений Лагранжа первого и второго рода, соответствующих
классической теории удара механических систем с идеальными связями.
Эта система уравнений в ряде задач приобретает особо простую форму
при использовании квазискоростей. В качестве примера рассматривается
удар по прямолинейной цепочке стержней и по цепочке, расположенной на
дуге окружности. В этих задачах уравнения Лагранжа, записанные в ква-
зискоростях, по форме совпадают с уравнениями в конечных разностях.
Это позволило построить аналитическое решение двух данных задач. Рассматриваются 
и другие важные примеры применения изложенных методов
классической теории удара.
В главе IX «Статика и динамика тонкого стержня» излагаются
классические результаты Эйлера о нелинейном статическом деформировании 
продольно сжатого стержня, результаты работы М. А. Лаврентьева и
А. Ю. Ишлинского о потере устойчивости при динамическом продольном
сжатии и современные результаты, связанные в основном с исследованием 
взаимодействия продольных и поперечных колебаний. Глава знакомит
читателей с основными методами исследования — с методами Даламбера
и Фурье, с методами исследования параметрических резонансов, с асимптотическим 
методом двухмасштабных разложений.
В главе X «Динамика полета» вводятся основные координатные
системы, используемые в динамике полета, исследуются уравнения движения 
летательного аппарата (ЛА) в связанной системе координат, обсуж-
даются силы, действующие на ЛА, рассматриваются вопросы, связанные
с движением систем переменной массы, в том числе, приводится форму-
ла подсчета силы тяги реактивного двигателя, изучается движение лета-
тельного аппарата в начальной стартовой системе координат, применяют-
ся методы неголономной механики для наведения ЛА на цель. Отмечается,
что динамика полета занимается изучением движения самолетов и ракет
в атмосфере Земли, ее методы могут быть применены и к исследованию
движения подводных лодок и надводных кораблей.

Введение ко второму тому

В главе XI «Обобщение задачи о маятнике Капицы» исследует-
ся устойчивость вертикального положения перевернутого обобщенного ма-
ятника Капицы при различных вертикальных вибрациях опоры. Рассмат-
ривается вертикальный деформируемый стержень со свободным верхним
концом и зажатым или шарнирно опертым нижним концом при гармо-
нических или стационарных случайных колебаниях опоры. Гибкий стер-
жень моделируется системой с несколькими степенями свободы. Найдены
условия устойчивости верхнего вертикального положения маятника. Учи-
тываются как изгибные, так и продольные колебания стержня. Найдены
области притяжения в устойчивом вертикальном положении.

Как и в томе I, при изложении материала в каждой главе ведется
своя двойная нумерация формул, при этом первая цифра указывает номер
параграфа. При необходимости сослаться на формулу из другой главы
дается словесное указание о номере главы и тома, в которых находится эта
формула. Для рисунков, таблиц и примеров используется самостоятельная
нумерация в каждой главе.
Содержание тома II переведено на английский язык А. Р. Алимовым
(главы I, II, III, V, VI, X), А. К. Беляевым (глава IX), А. С. Ковачевым
(глава IV), Д. А. Лисаченко (глава VIII), В. А. Шелковиной (глава VII).
Общее редактирование перевода (за исключением главы IX) осуществили
А. Р. Алимов, Е. Л. Белькинд и Г. А. Синильщикова. Глава XI в английском
переводе отсутствует.

Хотя учебник издается в двух томах, но по характеру изложения каж-
дый из них имеет самостоятельное значение. Поэтому эти тома можно рас-
сматривать как две отдельные книги, в каждой из которых ведется своя
нумерация глав.

Авторы будут весьма признательны всем, кто пришлет свои замечания
по данному учебнику.

П. Е. Товстик

М. П. Юшков
yushkovmp@mail.ru

ДИНАМИКА
Некоторые прикладные вопросы
теоретической механики

Во втором томе учебника рассматриваются некоторые разделы высшей ма-
тематики, имеющие непосредственное отношение к теоретической механи-
ке (главы «Устойчивость движения», «Нелинейные колебания», «Элемен-
ты теории управления», «Механика со случайными силами»). Материал
этих глав и первого тома помогают по-новому изложить ряд дополнитель-
ных глав аналитической механики, имеющих важное практическое зна-
чение (главы «Динамика и статика платформы Стюарта», «Колебания и
автобалансировка роторных систем», «Физическая теория удара», «Дина-
мика полета»). В свою очередь, это позволяет как углублять и расширять
решение некоторых важнейших задач механики (глава «Статика и дина-
мика тонкого стержня», «Обобщение задачи о маятнике Капицы»), так и
предлагать новые методы расчета практически важных задач (например,
главы «Динамика и статика платформы Стюарта», «Обобщенная задача
Чебышёва. Неголономная механика и теория управления»).
Материал глав данного тома учебника может быть использован для
создания специальных курсов.

Глава I
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Авторы: П. Е. Товстик, М. П. Юшков

В главе дается определение устойчивости возмущенного движения по Ляпунову и при-
водятся теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустой-
чивости. Приводятся теоремы Лагранжа, Ляпунова и Четаева об устойчивости поло-
жений равновесия и стационарных движений консервативных систем. Обсуждается
влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положения равнове-
сия консервативной системы (теоремы Томсона и Тета). Исследуется устойчивость
положения равновесия по линейному приближению. Приводятся критерии Рауса —
Гурвица и Михайлова об отрицательности вещественных частей корней полинома. По
линейному приближению исследуется устойчивость периодических движений неавто-
номных систем. Рассматривается устойчивость нулевого решения уравнения Матье, к
которому приводятся колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса.

§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения

Будем считать, что система уравнений Лагранжа второго рода после вве-
дения обозначений yσ = qσ, ys+σ = ˙qσ, σ = 1, s, n = 2s, может быть
представлена в виде

dyk
dt = Yk(y1, y2, . . . , yn, t) ,
k = 1, n .
(1.1)

Напомним, что процедура перехода от уравнений Лагранжа второго рода
к системе (1.1) при n = 3 была изложена в § 6 главы IV первого тома
учебника.
При движении под действием сил, имеющих потенциал, уравнения
движения сводятся к системе канонических уравнений (6.10) из упомянутого 
выше параграфа первого тома, которые посредством использования
новых обозначений также могут быть приведены к уравнениям вида (1.1).
Будем рассматривать фазовые координаты y1, y2, . . . , yn как изображающую 
точку M n-мерного евклидова пространства1. Тогда систему
уравнений (1.1) можно переписать в виде

dy
dt = Y (y, t) ,
y = (y1, y2, . . . , yn)T ,
Y = (Y1, Y2, . . . , Yn)T .
(1.2)

1Не путать с изображающей точкой по Герцу, введенной в главе V первого тома
учебника.

Глава I. Устойчивость движения
15

Система дифференциальных уравнений (1.2) решается при начальных
условиях
y(0) = y0 .
(1.3)

Решение y(t), соответствующее этим начальным условиям, называется
невозмущенным движением. Всякое движение, соответствующее другим
решениям уравнения (1.2), назовем возмущенным движением. Обозначим
возмущенное движение через y(t). Оно также является решением уравнения (
1.2), но удовлетворяющим начальным условиям y(0) = y0, отличным
от начальных условий (1.3).
При исследовании уравнения (1.2) всегда можно положить

y(t) = y(t) + x(t) ,
y(0) = y0 + x0 ,

где x(t) называется возмущением, а x0 — начальным возмущением, причем

dx
dt = X(x, t) ,
x(0) = x0 ,

X(x, t) ≡ Y (y(t) + x(t), t) − Y (y(t), t) .
(1.4)

Ясно, что X(0, t) ≡ 0, поэтому уравнение (1.4) имеет решение, тождественно 
равное нулю: x(t) ≡ 0. Тем самым исследование свойств невозмущенного 
решения уравнения (1.2) сводится к исследованию нулевого решения
уравнения (1.4). Движение x(t) ≡ 0 можно трактовать как состояние покоя 
для системы (1.4).
Если вектор-функция X явно не зависит от времени t, то уравнение
(1.4) называют автономным.

Определение 1. Если для любого сколь угодно малого положительного
числа ε можно подобрать такое положительное число δ, что при выполнении 
условия ||x0|| < δ для всех значений времени t выполняется неравенство ||
x(t)|| < ε, то невозмущенное движение называется устойчивым
в смысле Ляпунова. В противном случае оно называется неустойчивым в
смысле Ляпунова.
Определение 2. Устойчивое движение называется асимптотически ус-
тойчивым, если найдется такое число γ > 0, что из неравенства ||x0|| < γ
будет следовать x(t) → 0 при t → ∞.

В связи с этими определениями сделаем ряд замечаний.
Фазовые координаты xk, k = 1, n, целесообразно считать безразмер-
ными, ибо в противном случае придется складывать величины разных раз-
мерностей.

Доступ онлайн
790 ₽
В корзину