Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретическая и прикладная механика. Том 1. Общие вопросы теоретической механики

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 794349.01.99
Доступ онлайн
790 ₽
В корзину
В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика» были положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные сотрудниками кафедры, отражающие новые научные результаты. Первый том содержит основной расширенный курс теоретической механики. В разделе «Kинематика» подробно рассмотрены элементы теории криволинейных координат, которые активно используются в разделе «Динамика», в частности, в теории несвободного движения и вариационных принципах в механике. Для описания движения системы точек применяется понятие изображающей точки Герца, а понятие касательного пространства применяется для исследования движения произвольной механической системы. В заключительных главах теория Гамильтона—Якоби применяется для интегрирования уравнений движения, представлены элементы специальной теории относительности. Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов и специалистов по аналитической механике.
Теоретическая и прикладная механика : учебник : в 2 томах. Том 1. Общие вопросы теоретической механики / Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков [и др.] ; под ред. П. Е. Товстика. - 4-е изд., перераб. и расшир. - Санкт-Петербург : СПбГУ, 2021. - 560 с. - ISBN 978-5-288-06214-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1907092 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебник

4-е издание,  
переработанное и расширенное

Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда,  
М. П. Юшков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  
И ПРИКЛАДНАЯ  
МЕХАНИКА

Том I 
Общие вопросы теоретической механики

Под редакцией проф. П. Е. Товстика

УДК 531
ББК 22.21
П347

Р е ц е н з е н т ы: д-р
физ.-мат.
наук,
проф.
В. В. Александров
(Моск.
гос.
ун-т);
член-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф. А. М. Кривцов (С.-Петерб.
гос. политехн. ун-т)

А в т о р ы: Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков, П. Е. Товстик, Ш. Х. Солтаханов,
С. Б. Филиппов, В. И. Петрова

Рекомендовано к публикации
УМК по УГСН 01.00.00 математика и механика
Санкт-Петербургского государственного университета

П347
Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П.
Теоретическая и прикладная механика. В 2 т. Том I: Общие вопросы 
теоретической механики: учебник / Н. Н. Поляхов, С. А. Зег-
жда, М. П. Юшков, П. Е. Товстик, Ш. Х. Солтаханов, С. Б. Филиппов,
В. И. Петрова; под ред. П. Е. Товстика. 4-е изд., перераб. и расшир. —
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2022. — 560 с.
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)
ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том)

В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика»
были положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на мате-
матико-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные
сотрудниками кафедры, отражающие новые научные результаты. Первый том
содержит основной расширенный курс теоретической механики. В разделе «Kи-
нематика» подробно рассмотрены элементы теории криволинейных координат,
которые активно используются в разделе «Динамика», в частности, в теории
несвободного движения и вариационных принципах в механике. Для описания
движения системы точек применяется понятие изображающей точки Герца, а понятие 
касательного пространства применяется для исследования движения произвольной 
механической системы. В заключительных главах теория Гамильто-
на — Якоби применяется для интегрирования уравнений движения, представлены
элементы специальной теории относительности.
Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «
математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов 
и специалистов по аналитической механике.

УДК 531
ББК 22.21

ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)
ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том)

©
Санкт-Петербургский
государственный университет, 2021

©
Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда,
М. П. Юшков, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие (академик РАН Н. Ф. Морозов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Введение (С. А. Зегжда, М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. КИНЕМАТИКА

Глава I. Кинематика точки (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . . . .
17

§ 1. Скорость и ускорение точки в декартовой системе координат . . . . . . . .
17

§ 2. Разложение скорости и ускорения точки по осям натурального
трехгранника Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

§ 3. Скорость точки в цилиндрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25

§ 4. Скорость точки в сферических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

§ 5. Произвольные криволинейные координаты точки. Основной базис . . .
30

§ 6. Элементарная работа. Взаимный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

§ 7. Ко- и контравариантные компоненты вектора скорости. Правило
поднимания и опускания индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

§ 8. Ко- и контравариантные компоненты вектора ускорения. Оператор
Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

Глава II. Кинематика твердого тела (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда,
М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 1. Координаты твердого тела. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 2. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его
движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

§ 3. Простейшие виды движения твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

§ 4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

§ 5. Плоское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Оглавление

Глава III. Сложное движение (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) .
66

§ 1. Сложное движение точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

§ 2. Скорость точки при нескольких переносных движениях . . . . . . . . . . . . . .
70

§ 3. Сложение движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

§ 4. Кинематический винт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ДИНАМИКА

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.

ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Глава IV. Динамика точки (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . . . .
90

§ 1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в
разных системах координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

§ 2. Общие теоремы динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

§ 3. Потенциальное силовое поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

§ 4. Вывод уравнений Лагранжа второго рода при нестационарном базисе
110

§ 5. Получение интеграла энергии и интеграла Якоби из уравнений
Лагранжа второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 6. Канонические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

§ 7. Колебательное движение материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

§ 8. Динамика относительного движения материальной точки . . . . . . . . . . . .
129

§ 9. Движение точки под действием центральных сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Глава V. Динамика системы (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . .
166

§ 1. Изображающая точка. Уравнения ее движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

§ 2. Теорема импульсов и теорема о движении центра масс системы . . . . . .
173

§ 3. Теорема моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

§ 4. Теорема об изменении кинетической энергии системы . . . . . . . . . . . . . . . .
181

§ 5. Условия равновесия точки и системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188

Глава VI. Движение при наличии связей (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда,
Ш. Х. Солтаханов, М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

I. Несвободное движение

системы материальных точек

§ 1. Несвободное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

§ 2. Движение материальной точки по поверхности и линии . . . . . . . . . . . . . .
197

§ 3. Несвободное движение системы материальных точек. Несвободное
движение изображающей точки. Уравнения Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . .
215

§ 4. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода. . . . . . . . . . . . .
230

§ 5. Уравнения движения неголономной системы материальных точек в
обобщенных координатах. Уравнения М´аджи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245

§ 6. Уравнения Апп´еля для системы материальных точек. . . . . . . . . . . . . . . . .
258

II. Несвободное движение

механических систем общего вида

§ 7. Использование касательного пространства при исследовании
несвободного движения механических систем общего вида . . . . . . . . . . .
264

§ 8. Реакция идеальных связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270

§ 9. Уравнения несвободного движения механических систем общего вида
273

Оглавление
5

§ 10. Вывод наиболее употребительных форм записи уравнений движения
неголономных систем из уравнений Маджи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291

§ 11. Управление движением с помощью связей, зависящих от параметров
306

Глава VII. Малые колебания системы (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . .
318

§ 1. Дифференциальные уравнения малых движений и их
интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318

§ 2. Исследование характера малых колебаний системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325

§ 3. Малые колебания системы при отсутствии сил сопротивления . . . . . . .
328

§ 4. Главные координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334

§ 5. Минимально-максимальные свойства собственных частот . . . . . . . . . . . .
338

§ 6. Малые колебания при наличии сил сопротивления и
гироскопических сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

§ 7. Вынужденные колебания механической системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349

Глава VIII. Динамика твердого тела (М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354

§ 1. Динамические характеристики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354

§ 2. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. .
367

§ 3. Преобразование силовых систем, приложенных к абсолютно
твердому телу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

§ 4. Уравнения статики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374

§ 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376

§ 6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380

§ 7. Уравнения движения системы твердых тел в избыточных
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402

Глава IX. Вариационные принципы механики (Н. Н. П´оляхов,
С. А. Зегжда, Ш. Х. Солтаханов М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

I. Дифференциальные вариационные

принципы механики

§ 1. Классификация принципов механики. Возможные перемещения
механических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

§ 2. Принцип Даламбера — Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422

§ 3. Принцип Суслова — Журдена. Связи типа Четаева. Обобщенный
принцип Даламбера — Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428

§ 4. Принцип Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435

§ 5. Единая векторная форма записи и геометрическая интерпретация
вариационных дифференциальных принципов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438

II. Интегральные вариационные

принципы механики

§ 6. Принцип Гамильтона — Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
446

§ 7. Принцип Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452

§ 8. Различные формы выражения принципа Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454

§ 9. О вариационных принципах механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456

§ 10. Уравнение Гамильтона — Якоби для функции S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461

Глава X. Статика (С. Б. Филиппов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

§ 1. Эквивалентные системы сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

§ 2. Системы параллельных сил. Центр масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470

§ 3. Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475

Оглавление

§ 4. Составление и решение уравнений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
481

§ 5. Равновесие ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
489

§ 6. Равновесие систем с трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
492

§ 7. Равновесие нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495

Глава XI. Интегрирование уравнений механики (Н. Н. П´оляхов) . . . . . . . . .
500

§ 1. Теорема Гамильтона — Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500

§ 2. Интегральные инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508

§ 3. Канонические преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
516

§ 4. Оптико-механическая аналогия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526

Глава XII. Элементы специальной теории относительности
(Н. Н. П´оляхов). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534

§ 1. Кинематические соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534

§ 2. Уравнения динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549

ПРЕДИСЛОВИЕ

Написание учебника «Теоретическая механика» для студентов классиче-
ских университетов, четвертое, уже двухтомное издание которого пред-
лагается читателю, было инициировано известным ученым-механиком за-
служенным деятелем науки РСФСР, доктором технических наук, профес-
сором Николаем Николаевичем П´оляховым (1906–1987).
После окончания Московского университета в 1929 г. Н. Н. П´оляхов ра-
ботал в Центральном аэродинамическом институте им. Н. Е. Жуковского
(ЦАГИ) под руководством С. А. Чаплыгина, по заданию которого он сов-
местно с В. П. Ветчинкиным разработал математическую теорию винта,
в 1940 г. опубликованную ими в монографии «Теория и расчет воздуш-
ного гребного винта». Книга эта не потеряла актуальности до настоящего
времени.
В 1933 г. Н. Н. Поляхов переехал в Ленинград и стал преподавать на
кафедре гидроаэродинамики Ленинградского политехнического институ-
та. В 1953 г. по предложению академика В. И. Смирнова Николай Нико-
лаевич стал заведовать кафедрой аналитической механики (позже теоре-
тической и прикладной механики) математико-механического факультета
Ленинградского университета. В связи с этим ему пришлось читать но-
вый для него весьма обширный курс «Теоретическая механика». В тече-
ние длительного времени он создавал и непрерывно совершенствовал свой
курс этой дисциплины, не только улучшая методически, но и постоянно
наполняя его новыми научными результатами, что естественно для фунда-
ментальных университетских курсов. Здесь специально хочется выделить
циклы работ Николая Николаевича по уравнениям неголономной механи-
ки и вариационным принципам механики. В частности, в них он впервые
ввел в научный оборот обобщенный оператор Гамильтона (его справед-
ливо можно было бы назвать оператором Поляхова), который позволяет
описать геометрически реакцию идеальных неголономных связей.
В 1975 г. (то есть через 22 года после начала работы над курсом!)
Н. Н. Поляхов пригласил своих учеников С. А. Зегжду и М. П. Юшкова,
читавших общие курсы того же названия на других отделениях факуль-
тета, написать вместе с ним университетский учебник по теоретической
механике. После десяти лет работы этот учебник был выпущен в свет Из-

Предисловие

дательством Ленинградского университета и в 1987 г. был удостоен Первой
премии Университета. В дальнейшем учебник выдержал второе и третье
издания (2000, 2012 гг.).
После кончины Николая Николаевича С. А. Зегжда и М. П. Юшков со
своими учениками продолжали работу в области аналитической механики. 
Эти результаты были отражены в трех монографиях (в соавторстве с
Ш. Х. Солтахановым), причем книга «Уравнения движения неголономных
систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления» 
была переведена на китайский язык, а монография «Неголоном-
ная механика. Теория и приложения» была опубликована издательством
Springer на английском языке. Этот цикл работ по неголономной механике 
в 2011 г. получил премию Санкт-Петербургского университета «За
научные труды».
Следуя примеру Николая Николаевича, С. А. Зегжда и М. П. Юшков
приступили к написанию более полного по содержанию учебника, отражающего 
новые научные результаты, опубликованные в упомянутых выше
монографиях. Очень важно, что к работе над новой редакцией учебника
были привлечены и другие сотрудники кафедры, написавшие главы, отра-
жающие их научные интересы и созданные ими специальные курсы. Эти
главы составили второй том учебника, в то время как первый том содержит 
основной расширенный курс теоретической механики для студентов
математико-механических факультетов университетов. В связи с этим авторами 
решено было дать учебнику новое название — «Теоретическая и
прикладная механика», которое совпадает с названием их кафедры.
Хочется подчеркнуть особую роль в работе над книгой П. Е. Товстика,
возглавившего кафедру в 1977 г. после перехода Николая Николаевича на
заведование кафедрой гидромеханики. Петр Евгеньевич не только ответственный 
редактор трех изданий учебника, но и автор большого количества 
глав.
Нет сомнения, что учебник Н. Н. П´оляхова, П. Е. Товстика, С. А. Зег-
жды, М. П. Юшкова и соавторов «Теоретическая и прикладная механика»
будет не только необходим студентам и аспирантам классических университетов, 
но и полезен специалистам в области теоретической, аналитической 
и прикладной механики.

Заведующий отделением механики
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета
академик РАН Н. Ф. Морозов

Санкт-Петербург, 4 сентября 2019 г.

ВВЕДЕНИЕ

Данный двухтомный курс теоретической механики1 является четвертым
значительно переработанным и расширенным изданием книги «Теоретическая 
механика», выпущенной впервые издательством Ленинградского университета 
в 1985 г. В основу этого курса были положены лекции, длительное 
время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете
Санкт-Петербургского государственного университета. Учебник предназначен 
для классических университетов, чем и объясняется широкий круг
рассматриваемых в нем вопросов. Измененное название книги соответствует 
названию кафедры, на которой работают авторы, и по их мнению оно
больше соответствует излагаемому содержанию.

Материал учебника разбит на три раздела. Первый раздел посвящен
кинематике, второй — общим вопросам теоретической механики. Эти два
раздела составляют содержание первого тома. Во второй том включен третий 
раздел курса, отражающий некоторые специальные вопросы теоретической 
механики, имеющие прикладное значение.

Первый раздел «КИНЕМАТИКА» состоит из трех глав. В гла-
ве I «Кинематика точки» большое внимание уделяется ко- и контрава-
риантным составляющим векторов скоростей и ускорений, что в дальней-
шем оказывается необходимым при изучении ряда вопросов динамики.
Последовательное применение криволинейных координат делает ме-
тодически единым подход к курсу. Однако авторы стремились к простоте
изложения и вводили соответствующий математический аппарат лишь по
мере необходимости.
В главе II «Кинематика твердого тела» при выводе выражения
для вектора мгновенной угловой скорости используется правило диффе-

1В учебнике Болотин С. В., Карапетян А. В., Кугушев Е. И., Трещев Д. В. Теорети-
ческая механика. М.: Издательский центр «Академия», 2010 г. на с. 3 справедливо от-
мечено, что «Термин “теоретическая механика” является стандартным, но чрезвычайно
неудачным. Он создает впечатление, что остальная механика — “практическая”, тогда
как на самом деле другими ее разделами являются механика сплошной среды, стати-
стическая, квантовая и релятивистская. Несколько лучше отражает суть дела термин
“классическая механика”, но и он не вполне удовлетворителен, так как его противопо-
ложностью, как правило, считается “квантовая механика”».

Введение

ренцирования сложной функции для случая нескольких переменных. При
изучении проекций угловой скорости на неподвижные оси координат пока-
зывается, что они являются квазискоростями, так как их нельзя рассмат-
ривать как производные от некоторых новых координат, определяющих
ориентацию твердого тела в пространстве. Вводится понятие тензора по-
ворота.
В главе III «Сложное движение» первоначально излагается слож-
ное движение точки, а затем — теория сложения движений твердого тела.

Второй раздел «ДИНАМИКА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕО-
РЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ» содержит девять глав. В главе IV «Динамика точки»
рассматриваются общие теоремы, подробно изучаются колебание точки,
относительное движение и движение точки в центральном силовом поле.
Уравнения Лагранжа второго рода выводятся на основе результатов, по-
лученных при изучении кинематики точки в криволинейных координатах.
Эти уравнения, а также полученные в этой же главе канонические урав-
нения в дальнейшем естественным образом обобщаются на случай меха-
нических систем общего вида.
Глава V «Динамика системы» знакомит с понятием изображаю-
щей точки по Герцу и уравнениями ее движения как в декартовых, так и в
криволинейных координатах в форме уравнений Лагранжа второго рода.
Введение изображающей точки делает методически единым построение
динамики точки и системы точек.
Глава VI «Движение при наличии связей» является в книге цен-
тральной и содержит ряд новых результатов. Несвободное движение ма-
териальной точки и точки, изображающей движение системы точек, рас-
сматривается в ней на основе понятия идеальных связей, то есть связей,
имеющих минимальную по величине реакцию. Для одной материальной
точки, находящейся на поверхности, минимальной по величине является
реакция, направленная по нормали к данной поверхности. В общем же
случае идеальность связей означает, что обобщенные реакции, соответ-
ствующие свободным координатам, равны нулю. Показывается, что урав-
нения Лагранжа второго рода и формулы для обобщенных реакций пред-
ставляют собой результат линейного преобразования уравнений Лагранжа
первого рода.
Таким образом, теория несвободного движения построена без привлечения 
принципа Даламбера — Лагранжа, который подробно излагается в
главе IX, посвященной вариационным принципам механики.

Введение
11

Несвободное движение при наличии как линейных, так и нелинейных
неголономных связей исследуется путем введения преобразования в пространстве 
скоростей и последующего применения той же логической схемы, 
которая была использована в случае голономных систем.
Уравнения Аппеля получены скалярным умножением основного векторного 
уравнения Ньютона на координатные векторы, выраженные через
производные от вектора ускорения. При этом как следствие установлено,
что уравнения движения являются необходимым условием минимальности
принуждения по Гауссу.
При переходе от движения механических систем, состоящих из конечного 
числа точек, к механическим системам общего вида уравнения
Лагранжа второго рода записываются в виде одного векторного равенства
в касательном пространстве. Это равенство имеет форму второго закона 
Ньютона и позволяет исследовать несвободное движение механических
систем общего вида при наличии как голономных, так и неголономных
связей теми же методами, что и несвободное движение одной точки в про-
извольных криволинейных координатах.
Используемый общий подход к несвободному движению дает возмож-
ность рассматривать уравнения связей как уравнения некоторой програм-
мы движения, а реакции связей — как управляющие силы.
В предпоследнем параграфе этой главы показывается, что основные
виды уравнений движения неголономных систем (уравнения Чаплыгина,
Воронца — Гамеля, Гамеля — Новосёлова, Пуанкаре — Четаева, Удвадиа —
Калабы) могут быть получены из уравнений Маджи, которые справедли-
вы для неголономных связей любого вида, в том числе и нелинейных.
В последнем параграфе рассматривается управление движением с по-
мощью связей, зависящих от параметров.
Глава VI содержит решение ряда задач, которые иллюстрируют удоб-
ство использования уравнений Лагранжа второго рода для голономных
систем и уравнений Маджи — для неголономных.
В главе VII уравнения малых колебаний получены сначала пу-
тем линеаризации контравариантной формы уравнений движения в кри-
волинейных координатах, что методически связывает эту главу с преды-
дущими. После изучения малых колебаний при отсутствии сил сопро-
тивления вводятся главные (нормальные) координаты системы. Излага-
ются малые колебания при наличии сил сопротивления и гироскопиче-
ских сил и вынужденные колебания механических систем. Обсуждаются
минимально-максимальные свойства собственных частот.
В главе VIII «Динамика твердого тела» используются различ-
ные подходы к изучению свойств тензора инерции, позволяющие более

Введение

подробно раскрыть его физическое содержание. При кратком изложении
уравнения статики выводятся на основе анализа уравнений динамики, бо-
лее подробно этот раздел теоретической механики рассматривается в гла-
ве X. Исследование вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и
около неподвижной точки ведется классическими методами. В конце гла-
вы приводится новая специальная форма уравнений движения твердого
тела, которая оказывается удобной при изучении динамики системы твер-
дых тел. Эти дифференциальные уравнения используются во втором томе
в главе, посвященной динамике нагруженной платформы Стюарта.
В главе IX дифференциальные вариационные принципы Далам-
бера — Лагранжа, Суслова — Журдена и Гаусса получаются из соответ-
ствующих скалярных уравнений движения, записанных для касательно-
го пространства. Обсуждаются связи типа Четаева и связь обобщенно-
го принципа Даламбера — Лагранжа с принципом Суслова — Журдена. Из
полученных дифференциальных вариационных принципов выводятся ос-
новные формы уравнений движения несвободных механических систем.
Дифференциальные вариационные принципы традиционно применяются
при выводе уравнений движения неголономных систем. Этот подход ил-
люстрируется на примере исследования движения регулятора Новосёлова.
Интегральные вариационные принципы Гамильтона — Остроградского
и Лагранжа, отражающие экстремальные свойства кривых, по которым
происходит движение под действием сил, имеющих потенциал, выводятся
из принципа переменного действия Гамильтона. Показано, что из этого же
принципа вытекает и уравнение Гамильтона — Якоби.
При сравнении дифференциальных и интегральных принципов под-
черкивается, что в них по существу вводятся различные определения ва-
риации.
Краткое изложение статики твердого тела и системы твердых тел
содержится в главе X. Приводятся два определения эквивалентности си-
стем сил и доказывается их равносильность. Приведены примеры состав-
ления уравнений равновесия механических систем различными методами.
Кратко излагаются основы аналитической статики. Рассмотрены задачи
об определении положения центров масс твердых тел, о равновесии фер-
мы и гибкой нерастяжимой нити. Описаны свойства сил трения, приведено
решение задачи Эйлера о равновесии нити, намотанной на цилиндр.
В главе XI при исследовании общих вопросов теории интегрирова-
ния уравнений механики используется тесная связь свойств функции
действия по Гамильтону с принципом переменного действия. При уста-
новлении оптико-механической аналогии принцип Мопертюи — Лагранжа,
характеризующий движение точки, и принцип Ферма, описывающий рас-

Введение
13

пространение света, записываются в безразмерных переменных. Оптико-
механическую аналогию удается связать с уравнением Шредингера, для
которого в случае гармонического осциллятора собственными функциями
являются полиномы Эрмита.
В главе XII излагаются элементы специальной теории относи-
тельности. В кинематических соотношениях рассматривается четырех-
мерная квадратичная форма Пуанкаре и обсуждается сложное движение
точки. При выводе уравнений динамики используется обобщенный закон
Ньютона, доказывается теорема об изменении кинетической энергии, при-
водятся уравнения Лагранжа второго рода.

Третий раздел курса «ДИНАМИКА. НЕКОТОРЫЕ ПРИ-
КЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ», по-
священный специальным аспектам теоретической механики, имеющим
практическое значение, выделен во второй том. Здесь излагаются гла-
вы, описывающие вопросы устойчивости движения, нелинейных колеба-
ний, динамики и статики платформы Стюарта, движения механических
систем при действии случайных сил, элементов теории управления, связи
неголономной механики с теорией управления, колебаний и балансировки
роторных систем, физической теории удара, статики и динамики тонкого
стержня, динамики полета и т. п. Материал этих глав отражает основное
содержание ряда специальных курсов, читаемых на кафедре теоретиче-
ской и прикладной механики Санкт-Петербургского университета.

При изложении материала в каждой главе ведется своя двойная нумерация 
формул, при этом первая цифра указывает номер параграфа. Для
рисунков и примеров используется самостоятельная нумерация в каждой
главе. В учебнике приводятся решения большого количества примеров2,
при выборе преимущество отдавалось задачам, требующим аналитического 
исследования.

Параллельно с подготовкой текста учебника на русском языке осуществлялся 
перевод его на английский язык. Для первого тома материал
первого раздела «Кинематика» перевела О. С. Букашкина, перевод второго 
раздела «Динамика. Общие вопросы теоретической механики. Основы
аналитической механики» осуществили Г. А. Синильщикова (главы IV, V,

2Условия многих примеров заимствованы из широко известного задачника И. В. Мещерского, 
выдержавшего большое количество переизданий (см., например, Мещерский 
И. В. Сборник задач по теоретической механике (36-издание). М.: Наука, 1986.
447 с. или Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике (49-е издание). СПб.:
Изд-во «Лань», 2008. 448 с.).

Введение

VII, VIII, XI) и А. Р. Алимов (главы VI, IX, X, XII). Часть английского текста 
взята из статей и монографий авторов, изданных на английском языке. 
Общее редактирование перевода осуществили А. Р. Алимов, Е. Л. Бель-
кинд и Г. А. Синильщикова. Саму идею перевода учебника на английский
язык предложил еще в 1987 г. профессор Дж. Папаставридис (США).

Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность 
нашим коллегам О. С. Букашкиной, Л. А. Венатовской, Д. Н. Иванову, 
Г. А. Кутеевой, Н. В. Наумовой, В. И. Сергеевой, Г. А. Синильщико-
вой, А. Л. Смирнову, Ф. Ф. Родюкову, К. К. Твереву и студентам и аспирантам 
нашей кафедры С. О. Бондаренко, С. Н. Бурьяну, А. П. Дериглазо-
ву, А. В. Зелинской, Д. Д. Кварацхелии, А. С. Козловой, В. Э. Кондрёнки-
ной, Д. Г. Корытникову, Е. А. Косякову, И. А. Кулаковскому, Д. Б. Кулиж-
никову, А. С. Максимову, Г. А. Нестерчуку, Д. Ю. Никитину, А. А. Пашкиной, 
В. И. Петровой, О. И. Ритенман, Л. А. Соболеву, П. П. Степановой, 
К. М. Фазлыевой, Е. А. Шатрову, В. А. Шелковиной, Т. С. Шугайло за
большую помощь при подготовке книги к печати. Отметим, что исключительно 
большую работу при окончательном редактировании двухтомного
учебника и при обработке корректур оказал В. В. Додонов.
Особую благодарность приносим заведующему кафедрой теоретиче-
ской и прикладной механики Петербургского университета, лауреату Государственной 
премии РФ, заслуженному деятелю науки РФ, доктору
физ.-мат. наук, профессор у П. Е. Товстику за непрерывное внимание к
созданию учебника. Его постоянные научные консультации неизменно способствовали 
улучшению книги, к тому же, в первом томе имеется большое
количество очень важных дополнений, написанных Петром Евгеньевичем,
а во втором томе он является одним из авторов. Петр Евгеньевич взял на
себя труд ответственного редактора трех изданий учебника.

Авторы будут весьма признательны всем, кто пришлет свои замечания
по данному учебнику.

С. А. Зегжда ,

М. П. Юшков
yushkovmp@mail.ru

Доступ онлайн
790 ₽
В корзину