Практикум по основам финансовой математики

Г.Н. Чусавитина 

Т.Н. Варфоломеева 

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ 

ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Сборник задач

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2022

УДК 330.4
ББК 65.26в631

Ч-94

Р е ц е нз е н ты :

руководитель аналитических работ в ИТ-проектах, «КОНСОМ Групп»

В.А. Ошурков;

кандидат технических наук,

начальник отдела разработки и сопровождения web-ресурсов УИТиАСУ,

ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова»

К.А. Рубан

Чусавитина Г.Н.

Ч-94   Практикум по основам финансовой математики: сборник задач / 

Г.Н. Чусавитина, Т.Н. Варфоломеева. –– Москва : ФЛИНТА, 2022. — 218 с.
— ISBN 978-5-9765-5157-2. — Текст : электронный.

В практикуме подробно разбираются различные задания требующие знания 

классических финансовых методов оценки инвестиционных проектов, тщательно 
подобраны упражнения для отработки навыков их решения. Практикум содержит 
контрольные вопросы, задания повышенной сложности и тесты по основным 
разделам программы курсов «Основы финансовой математики», «Финансовая 
математика», «Математическая экономика». 

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и 

заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся 
в области управления финансами.

Практикум 
по 
дисциплинам 
«Оценка 
эффективности 
IT-проектов», 

«Финансовая математика», «Математическая экономика»,
для направлений 

подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика»; 38.03.05 «Бизнес-информатика»; 
44.03.05 «Педагогическое образование (информатика и экономика)».

УДК 330.4
ББК 65.26в631

ISBN 978-5-9765-5157-2
© Чусавитина Г.Н., Варфоломеева Т.Н., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

Содержание

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................. 6

Глава 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ.......................................................................................................... 8

1.1
Определение ставок и вычисление процентов ...................................................................... 8

Задачи и способы их решения......................................................................................................... 8

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 10

1.2
Простая процентная ставка................................................................................................ 13

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 13

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 19

1.3
Простая учетная ставка...................................................................................................... 24

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 24

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 27

1.4
Инфляция................................................................................................................................. 31

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 31

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 34

1.5
Замена и консолидация платежей ....................................................................................... 37

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 37

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 40

Задачи повышенной сложности...................................................................................................... 44

Тест по теме «Простые проценты».............................................................................................. 45

Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ...................................................................................................... 48

2.1 Сложная процентная ставка .................................................................................................... 48

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 48

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 52

2.2 Сложная учетная ставка........................................................................................................... 55

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 55

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 58

2.3 Непрерывная ставка................................................................................................................... 61

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 61

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 63

2.4 Эквивалентность ставок........................................................................................................... 66

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 66

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 69

2.5 Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов ................................................ 71

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 71

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 74

2.6 Замена платежей и сроков их выплат...................................................................................... 77

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 77

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 79

Задачи повышенной сложности...................................................................................................... 83

Тест по теме «Сложные проценты» ............................................................................................. 85

Глава 3. АННУИТЕТЫ......................................................................................................................... 87

3.1
Постоянные аннуитеты....................................................................................................... 87

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 87

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 91

3.2
Непрерывные и переменные аннуитеты ............................................................................. 94

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 94

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 98

3.3
Оценка аннуитета с периодом больше года..................................................................... 101

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 101

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 103

Задачи повышенной сложности.................................................................................................... 106

Тест по теме «Аннуитеты».......................................................................................................... 107

Глава 4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ. ФИНАНСОВЫЕ МЕТОДЫ 
ОЦЕНКИ.............................................................................................................................................. 109

4.1.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - чистая приведённая 

стоимость ....................................................................................................................................... 112

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 117

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 120

Использование финансовых функций в MS Excel для расчета чистой приведённой 
стоимости ................................................................................................................................... 126

Тест по теме «Чистая приведённая стоимость» ...................................................................... 131

4.2.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - индекс рентабельности 

инвестиций....................................................................................................................................... 133

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 135

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 140

Тест по теме «Индекс рентабельности инвестиций» ............................................................... 144

4.3.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - внутренняя норма 

доходности ...................................................................................................................................... 145

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 160

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 162

Тест по теме «Внутренняя норма доходности»......................................................................... 166

4.4. Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - срок окупаемости и 
дисконтированный срок окупаемости инвестиций..................................................................... 167

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 169

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 174

Тест по теме «Срок окупаемости и дисконтированный срок окупаемости инвестиций».... 178

4.5. Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - коэффициент эффективности 
инвестиций....................................................................................................................................... 180

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 181

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 182

Тест по теме «Коэффициент эффективности инвестиций»................................................... 185

Глоссарий ......................................................................................................................................... 187

Список используемых источников................................................................................................. 196

Приложение А. Ответы на тестовые задания........................................................................... 199

Приложение Б. Кейсы..................................................................................................................... 200

Приложение В. Сводка основных формул .................................................................................... 203

Приложение Г. Порядковые номера дней в високосном и не високосном году......................... 214

ВВЕДЕНИЕ

Математическая экономика — наука, которая использует математический 

аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Объектом изучения математической экономики является экономика — как 

части широкой области человеческой жизнедеятельности.

Методологическая особенность математической экономики, заключается в 

том, что она изучает математические модели экономических объектов, явлений и 
процессов, целью которой является, получение объективной экономической 
информации
и выработка практических
рекомендаций, имеющих важное 

значение. Формально математическую экономику можно отнести как к 
экономической науке, в этом случае ее следует понимать как раздел экономики, 
который изучает
её
количественные и качественные категории, а также 

поведенческие аспекты экономических субъектов. Однако по своей природе 
экономика — самая близкая к математике социально-общественная наука, где 
рассматриваются математические понятия и терминология.

Действительно, экономика — это общественная наука об применении 

ограниченных 
ресурсов 
с 
целью 
наибольшего
удовлетворения 
полных

материальных потребностей человека. К основным задачам экономической науки, 
относят рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ресурсов, 
изучение механизмов управления, разработка методов экономических расчетов и 
т.д. Количественные и качественные методы и способы в математике являются 
оптимальным вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные 
вопросы экономики:

• что необходимо производить, т.е. какие товары и услуги и в каком 

количестве надо производить;

• как производить товары, т.е. кем, с помощью каких ресурсов и какой 

технологии;

• для кого предназначены эти товары, т.е. кем и как будут потребляться эти 

товары.

Перечислим задачи, математической экономикой:
• разработка математических моделей экономических объектов, систем и 

явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, 
предпосылках и на различных уровнях);

• изучение поведения участников экономики (условий существования 

оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях 
потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

• изучение описательных моделей экономики (модели планирования, 

«затраты – выпуск», расширяющейся экономики, экономики благосостояния и 
роста и др.);

• анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, 

средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и 

прогнозирование экономических факторов и показателей).

В пособии представлены примеры решения типовых задач, приведены 

вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут 
быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Основы финансовой 
математики», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый 
менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и 

заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся 
в области управления финансами.

Глава 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1
Определение ставок и вычисление процентов

Основные понятия

• Процентная 
ставка 
−
отношение 
процентных 
денег, 
уплаченных 

(полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного 
капитала.

• Учетная ставка − отношение процентных денег, уплаченных (полученных) 

за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) 
сумме денежных средств.

• Индекс роста − сумма за некоторый период времени, показывающий, во 

сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в 
конце предыдущего периода.

• Процессом наращения в финансовых операциях, называют такой процесс, в

котором заданы исходная сумма и ставка. Искомую
величину
называют

наращенной суммой, а ставку − ставкой наращения.

• Процессом дисконтирования в финансовых операциях, называют такой 

процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) 
сумма и ставка. Искомую величину называют приведенной суммой, а ставку −
ставкой дисконтирования.

• В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как 

процентная, так и учетная ставка.

Задачи и способы их решения

Пример 1.1.1. Организации выдали займ в размере 50 тыс. руб. с условием 

возврата 60 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-
фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы займа?

Решение. Полагая в формуле (1) (см. приложение В) t = 1,5 года, PV =50 тыс. 

руб., FV = 60 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:

𝑟1,5 =

60−50

50
= 0,2 или, что равносильно, r1,5 = 20%.

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим со-

ответственно по формулам (2), (4):

𝑑1,5 = 60 − 50

60
= 0,17 или 𝑑1,5 = 17%

𝑣1,5 = 50

60 = 0,83 или 𝑣1,5 = 83%

Заметим, что величины dl,5, v1,5 можно было найти, используя и другие 

соотношения. Например,

𝑑1,5 =
𝑟1,5

1 + 𝑟1,5

=
0,2

1 + 0,2 = 0,17

𝑣1,5 = 1 − 𝑑1,5 = 1 − 0,17 = 0,83

Индекс роста В1,5 суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая 

сумма больше выданной:

𝐵1,5 = 60

50 = 1,2

Ответ: r1,5 = 20%, d1,5=17%, v1,5=83%, B1,5=1,2
Пример 1.1.2. Вклад Петрова О.Н. вырос за первый год в 1,5 раза, а за второй 

год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Определите индекс роста вклада и 
процентную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капитал за все 
время?

Решение. Индекс роста капитала В1,5 за два года находим перемножением 

индексов роста за каждый год:
B2=1,5  1,3=1,95.

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, на сколько 

процентов увеличится капитал, составит:
r2 = B2 - 1= 1,95 - 1=0,95.

Ответ: таким образом, капитал за два года увеличится на 95%.
Пример 1.1.3. Банк предлагает два варианта вложения денежных средств на 3 

года. Согласно первому варианту, исходный вклад за первый год увеличится на 
17%, за второй год вся сумма увеличится на 36%, а за третий год еще на 14%. Для 
второго варианта рост вклада составит каждый год 22% от суммы предыдущего 
года. Какой вариант лучше?

Решение. Поскольку для первого варианта индексы роста вклада за каждый 

год равны 1,17; 1,36 и 1,14, то индекс роста за 3 года составит:

1,17 1,36  1,14 =1,81396 1,814

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго 

варианта:
1,22 * 1,22 * 1,22 =1,816

Ответ: согласно первому варианту, капитал увеличится за три года на 81,4%, 

а согласно второму варианту - на 81,6%, то второй вариант вложения капитала 
лучше.

Пример 1.1.4.
Рассчитайте доходность в виде процентной ставки за 

предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 40% 
стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть 
стоимости покупок и 15% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение. Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость 

покупок. Поскольку 40 % стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год 
кредит предоставляется в размере PV = 0,6P. Величина дохода за предоставленный 
кредит составит FV-PV = 0,2P. Поэтому

𝑟 = 0,2𝑃

0,6𝑃 = 0,3(3) = 33,33%

Ответ: r=33,33%

Пример 1.1.5. Найдите с 80 тыс. руб.: а) 25% "со 100"; б) 25% "на 100"; в)

25% "во 100".

Решение. Выражая 25% в десятичных дробях (т.е. получая 0,25), пользуемся 

последовательно формулами (6), (7), (8) при r=0,25 u Q=S=K=80 тыс. руб.:

а) 𝑄′ = 80 ∙ 0,25 = 20 тыс. руб. ;

б) 𝑆′ = 80 ∙ 0,25

1 + 0,25 = 16 тыс. руб. ;

в) 𝐾′ = 80 ∙ 0,25

1 − 0,25 = 26,67 тыс. руб. ;

Ответ: Q’=20 т.р., S ‘= 16 т.р., K’=26,67 т.р.
Пример 1.1.6. Предприятие продало товара на 110 тыс. руб., получив при 

этом 35% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 110 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости 

товара и процентов "со 100" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли 
определяется по формуле (7) вычисления процентов "на 100". Полагая S=110 тыс. 
руб., r = 0,35, находим:

𝑆′ = 110 ∙ 0.35

1 + 0.35 = 28,52 тыс. руб.

Значит, себестоимость товара составляет 110 – 28,519 = 81,48 тыс. руб.
Ответ: прибыль составляет 28,52 тыс. руб., себестоимость товара 81,48 тыс.

руб.

Пример 1.1.7. Предприниматель реализовал партию товара за 74 тыс. руб., 

получив при этом 3% убытка. Определите величину убытка и себестоимость 
товара.

Решение. Поскольку 74 тыс. руб. представляют собой разность себестоимости 

товара и процентов "со 100" этой себестоимости (убытка), то величина убытка 
определяется по формуле (8) вычисления процентов "во 100" при К = 74 тыс. руб. 
и r = 0,03:

𝐾′ = 74 ∙ 0,03

1 − 0,03 = 2,29 тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 74 + 2,289 = 76,29 тыс. руб.
Ответ: убыток составляет 2,29 тыс. руб., себестоимость товара 76,29 тыс.

руб.

Задачи для самостоятельного решения

1.1.1. Некий господин взял кредит в размере А тыс. руб. с условием возврата 

В тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за 
С лет. Чему равен индекс роста суммы кредит?

1.1.2. Цена акций выросла за первый год в К1 раза, а за второй год 

увеличилась в К2 раза, за третий в К3 раза. Определите индекс роста цены акций 

и процентную ставку за весь период. На сколько процентов увеличился капитал за 
все время?

1.1.3. Заемщик предлагает два варианта займа денежных средств на 3 года. 

Согласно первому варианту, долг за первый год увеличится на Р1%, за второй год 
вся сумма увеличится на Р2%, а за третий год еще на Р3%. Для второго варианта 
долг будет расти каждый год на Р4% от суммы предыдущего года. Какой вариант 
лучше?

1.1.4. Рассчитайте доходность в виде процентной ставки за предоставление 

автомобильного кредита на следующих условиях: Т1% стоимости покупок 
оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 
Т2% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

1.1.5. Найдите с L тыс. руб.: а) P1% "со 100"; б) P2% "на 100"; в) P3% "во 

100".

1.1.6. Фермер продал товара на X тыс. руб., получив при этом Z% прибыли. 

Определите величину прибыли и себестоимость товара.

1.1.7. Бизнесмен реализовал партию мандарин за Y тыс. руб., получив при 

этом P% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.