Математическое моделирование тепловых процессов непрерывной разливки металлов


Иванова А. А., Бирюков А. Б.














            МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ НЕПРЕРЫВНОЙ РАЗЛИВКИ МЕТАЛЛОВ


Монография
















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 51-74:621.746
ББК 34.327
      И21

          Рекомендовано ученым советом ГОУВПО «Донецкий национальный технический университет» в качестве научного издания (протокол № 3 от 23.04.2021 г.)




Рецензенты: доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой металлургии стали и сплавов ДонНТУ А. А. Троянский;
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры компьютерных технологий ДонНУ В. К. Толстых


    Иванова, А.А.
И21     Математическое моделирование тепловых процессов непрерывной раз-
     ливки металлов : монография / А. А. Иванова, А. Б. Бирюков. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 284 с. : ил., табл.
         ISBN 978-5-9729-0898-1

     Представлены методы математического и компьютерного моделирования для изучения тепловых процессов, происходящих в непрерывном слитке во время его движения в области кристаллизатора и в зоне вторичного охлаждения (ЗВО), а также тепловых процессов в рабочей стенке кристаллизатора. Изложены новые научно обоснованные технические решения по исследованию и совершенствованию организации теплотехнической части процесса разливки металлов в машинах непрерывного литья заготовок и способов повышения качества металлургической продукции.
     Для инженерно-технических работников научно-исследовательских и проектных институтов, металлургических и машиностроительных предприятий, а также преподавателей и студентов технических вузов.

                                                      УДК 51-74:621.746
                                                      ББК 34.327








ISBN 978-5-9729-0898-1

     © Иванова А. А., Бирюков А. Б., 2022
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

        СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ............................................................7

ГЛАВА 1. Обзор методов математического моделирования тепловых процессов в непрерывном слитке и кристаллизаторе..................10
1.1. Краткая историческая справка о развитии технологии непрерывной разливки..........................................................10
1.2. Математическое моделирование поля температур непрерывного слитка и стенок кристаллизатора МНЛЗ..............................12
  1.2.1. Математическая модель тепломассопереноса в непрерывном слитке с классическим условием Стефана..........................14
  1.2.2. Математическая модель квазиравновесной зоны..............15
  1.2.3. Методы учета диффузионных процессов при затвердевании металлов и сплавов..............................................18
  1.2.4. Моделирование влияния гидродинамических процессов
  в расплавленной части на поле температур непрерывного слитка......19
  1.2.5. Модель с определением положения двухфазной зоны методом задания функции состава гетерогенной смеси......................23
  1.2.6. Требования к прогнозным моделям..........................24
1.3. Анализ методов наблюдения тепловых процессов в кристаллизаторе МНЛЗ..............................................................26
  1.3.1. Метод измерения перепада температур......................27
  1.3.2. Метод калориметрирования.................................28
  1.3.3. Система «Кристаллизатор».................................29
  1.3.4. Измерения температуры при помощи волоконных световодов.....30
  1.3.5. Контроль эффективной толщины зазора между поверхностью слитка и стенкой кристаллизатора................................32
  1.3.6. Методики моделирования температурного поля кристаллизатора.34
1.4. Методики наблюдения глубины и формы жидкой лунки непрерывного слитка............................................................36
1.5. Математическое моделирование при проектировании форсуночного охлаждения МНЛЗ...................................................40
  1.5.1. Методы идентификации коэффициента теплоотдачи под форсунками..................................................41
  1.5.2. Моделирование температурного поля непрерывного слитка для различных параметров форсуночного охлаждения................44
  1.5.3. Критерий оптимальности размещения форсунок...............45
1.6. Современные подходы к эффективному управлению теплотехническими процессами в зоне вторичного охлаждения МНЛЗ......49
  1.6.1. Определение рациональных теплофизических параметров работы ЗВО......................................................49
  1.6.2. Критерии качества непрерывного слитка....................53
  1.6.3. Управление расходами охлаждающей воды в ЗВО..............54

3

1.7. Методы изучения закономерностей образования макроструктуры непрерывного слитка...............................................58
1.8. Постановка задач.............................................62

ГЛАВА 2. Системный анализ математических моделей температурного поля и границы фазового перехода в непрерывном слитке.............65
2.1. Формализация моделируемого процесса теплопереноса внутри непрерывного слитка...............................................65
2.2. Уравнения теплопроводности, граничные и начальные условия для поля температур непрерывного слитка............................68
2.3. Конечно-разностные аналоги уравнений теплопроводности и граничных условий................................................71
2.4. Методы задания положения границы фазового перехода
в кристаллизующемся непрерывном слитке............................73
  2.4.1. Задача Стефана...........................................74
  2.4.2. Численное решение задачи с условием Стефана..............75
  2.4.3. Определение положения двухфазной зоны методом задания эффективной теплоемкости........................................79
  2.4.4. Моделирование температурного поля непрерывного слитка с определением положения границы фазового перехода методом
  задания функции состава гетерогенной смеси......................80
  2.4.5. Определение положения двухфазной зоны методом задания
  условий Стефана для границ однофазной и двухфазной областей......87
2.5. Сравнительный анализ методов моделирования положения границы фазового перехода.................................................89
2.6. Выводы.......................................................91

ГЛАВА 3. Математическое моделирование и система диагностики теплотехнических параметров кристаллизатора.......................92
3.1. Характеристика тепловых процессов в кристаллизаторе..........92
3.2. Математическая модель температурного поля кристаллизатора....95
3.3. Результаты моделирования температурного поля стенок кристаллизатора и слитка внутри кристаллизатора...................99
3.4. Процессы усадки непрерывнолитой заготовки в кристаллизаторе...102
  3.4.1. Расчет естественной усадки непрерывнолитой заготовки в кристаллизаторе...............................................102
  3.4.2. Определение интенсивности силового взаимодействия в угловых элементах кристаллизатора......................................107
  3.4.3. Выбор оптимальной скорости разливки сортовых заготовок через многоконусные кристаллизаторы............................109
  3.4.4. Определение оптимального уровня металла в кристаллизаторе.113
  3.4.5. Разработка методики для проектирования конусности кристаллизаторов...............................................117

4

3.5. Неравномерность затвердевания непрерывнолитых заготовок в радиальных кристаллизаторах, вызванная воздействием падающей струи металла....................................................120
3.6. Влияние неравномерного охлаждения в кристаллизаторе на температурное поле заготовки..................................132
3.7. Оперативная диагностика теплотехнических процессов в кристаллизаторе...............................................138
3.8. Выводы ....................................................145

ГЛАВА 4. Изменения формы жидкой лунки при варьировании параметров процесса непрерывной разливки ..................................146
4.1. Процессы, определяющие положение двухфазной зоны и глубину жидкой лунки в непрерывнолитой заготовке.........................146
4.2. Моделирование температурного поля непрерывнолитого сляба и формы жидкой лунки.............................................148
4.3. Исследование функций чувствительности и влияния различных параметров процесса разливки на форму и глубину жидкой лунки слябовой заготовки...............................................150
  4.3.1. Функции чувствительности................................150
  4.3.2. Реакция формы и глубины жидкой лунки на варьирование скорости вытягивания слитка....................................150
  4.3.3. Реакция формы и глубины жидкой лунки на изменения параметров вторичного охлаждения слитка........................151
  4.3.4. Исследование влияния геометрических и теплофизических параметров на глубину и форму жидкой лунки....................153
4.4. Исследование реакции формы и глубины жидкой лунки на изменения параметров разливки для сортовой заготовки......................155
4.5. Экспериментальное подтверждение результатов моделирования для сортовой заготовки..........................................158
4.6. Выводы.....................................................159

ГЛАВА 5. Методика расчета оптимальных параметров форсуночного охлаждения......................................................161
5.1. Экспериментальное определение коэффициента теплоотдачи под форсунками..................................................161
5.2. Идентификация коэффициента теплоотдачи.....................170
5.3. Моделирование температурного поля непрерывного слитка для различных параметров форсуночного охлаждения................174
5.4. Расчет оптимальных параметров форсуночного охлаждения одного уровня для непрерывнолитого сляба...............................178
5.5. Неравномерность распределения температуры поверхности по длине заготовки в зоне вторичного охлаждения..........................186
5.6. Рациональное распределение интенсивности охлаждения поверхности круглой непрерывнолитой заготовки в зоне вторичного охлаждения..192
5.7. Выводы.....................................................200

5

ГЛАВА 6. Определение рациональных режимов расхода охлаждающей воды в ЗВО......................................................201
6.1. Критерии качества температурного поля непрерывного слитка.....201
6.2. Прогнозное управление тепловым состоянием непрерывного слитка.213
6.3. Определение рациональных параметров тепловой работы ЗВО слябовых МНЛЗ...................................................221
6.4. Выводы.....................................................229

ГЛАВА 7. Исследование влияния тепловых процессов на формирование макроструктуры непрерывного слитка..............................230
7.1. Структурные зоны массивного стального слитка...............230
7.2. Моделирование поля температур большого стального слитка....234
7.3. Прогнозное моделирование структуры для непрерывного слитка.236
7.4. Сравнительный анализ особенностей формирования структуры стального и латунного слитков......................................239
7.5. Математический прогноз формирования структурных зон в массивном латунном слитке....................................................245
7.6. Влияние структурного критерия Пекле на процесс формирования столбчатых кристаллов...........................................248
7.7. Влияние термального критерия Пекле на процесс формирования столбчатых кристаллов в непрерывном латунном слитке.............253
7.8. Выводы.....................................................257

ЛИТЕРАТУРА......................................................258

6

        ВВЕДЕНИЕ


    Технология непрерывной разливки стали в промышленном масштабе была впервые опробована более шести десятилетий назад и в течение небольшого промежутка времени зарекомендовала себя как один из самых прогрессивных способов производства заготовок из металлов и сплавов.
    Переход на непрерывную разливку стали позволил сократить цикл металлургического производства за счет исключения слиткового передела, включающего в себя нагревательные колодцы, а также прокатные станы блюминга. Это позволило повысить выход годного в технологической цепочке: выплавка - прокатная продукция, более, чем на 30 % по сравнению с технологией, предполагающей разливку стали в изложницы.
    В производственной цепочке машина непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) находится между сталеплавильным агрегатом и прокатным станом, поэтому от эффективности её работы зависит производительность всей технологической линии, а также качество и себестоимость конечной продукции.
    Соблюдение правильных параметров теплового процесса в МНЛЗ необходимо для получения качественной заготовки и для безаварийной работы производственного оборудования, что в свою очередь влияет на ресурсосбережение и безопасность.
     Изучением тепловых процессов, происходящих при непрерывной разливке, в Советском Союзе, а позднее в постсоветских странах, занимались такие известные учёные как Г. П. Иванцов, А. И. Вейник, В. С. Рутес, М. Я. Бровман, В. Ю. Авдонин, Б. Т. Борисов, В. А. Ефимов, В. А. Емельянов, Ю. А. Самойлович, Д. П. Евтеев, Е. М. Китаев, Р. Т. Сладкоштеев, В. М. Нисковских, Л. С. Рудой, В. И. Дождиков, А. И. Цаплин, В. И. Тимошпольский, А. Н. Шичков, Н. В. Телин, Д. А. Дюдкин, А. Н. Смирнов, В. М. Паршин, Б. Я. Любов, Н. И. Шестаков, Ю. А. Калягин, А. Д. Акименко, М. С. Бойченко, А. В. Третьяков, Б. И. Краснов, В. А. Карлик, А. А. Целиков, З. К. Кабаков, А. И. Манохин, Л. Н. Сорокин, В. И. Лебедев, А. Л. Кузьминов и др. Среди зарубежных учёных, изучающих теплофизику непрерывной разливки наиболее известными, являются З. Юнханс, М. Флеминге, Б. Дж. Томас - директор консорциума непрерывной разливки, Дж. Сенгупта, Дж. Бентсман, М. Рауденски, К. Бернхард, Ю. Баст, Б. Сарлер, М. Беллет, М. Раппаз, И. В. Самарасекера, Д. М. Стефанеску, В. Вол-чинский и другие. Математическое моделирование процесса затвердевания на различных масштабных уровнях представлено в работах Е. А. Бренера, П. Н. Ва-бищевича, Ф. В. Недопекина, В. В. Белоусова, В. П. Скрипова, Д. Е. Темкина, А. Р. Уманцева, К. Беккермана, Р. Кобаяши, Д. С. Лангера, Г. Б. Макфадена, Р. Ф. Секерки, Р. Триверди, А. А. Веллера и др. Исследованиям динамики кристаллизационных процессов с плоским фронтом и двухфазной зоной на различных этапах затвердевания посвящены работы В. А. Журавлева, Д. В. Александрова, В. Курца, В. В. Мансурова и других. Практическое применение и развитие технологии непрерывной разливки изучается в работах Емельянова, В. Г. Лиси-енко, Л. В. Буланова, С. В. Лукина, А. В. Куклева, Ю. А. Калягина и др.

7

    Начало научно-технического развития непрерывной разливки было положено в 1856 году английским инженером-изобретателем Генри Бессемером, который запатентовал схему разливки металла между двумя вращающимися валками. До настоящего времени было проведено множество исследований, предложены различные решения в конструкции машин непрерывного литья и способах разливки, тем не менее, всё ещё остаются актуальными достаточно большое количество задач, а вместе с развитием технологии непрерывной разливки возникают новые. Среди них задачи определения тепловых взаимосвязей между оборудованием машины и непрерывным слитком в кристаллизаторе и зоне вторичного охлаждения (ЗВО), методы рационального охлаждения слитка в МНЛЗ при динамических режимах разливки, когда изменяются скорость разливки и параметры жидкого металла, поступающего из промковша в кристаллизатор.
    Одной из наиболее сложных и важных задач получения качественной непрерывнолитой заготовки является повышение её структурной однородности. Получение однородного слитка затруднено вследствие различных условий кристаллизации в разных зонах, усадки, ликвации примесей, формы сечения и размеров слитка и других факторов, среди которых одним из важнейших выступает неравномерность распределения температурных полей. В целях ресурсосбережения в настоящее время проводятся работы по совмещению процессов разливки и горячей прокатки. Одна из возникающих при этом проблем связана с невозможностью инспекции поверхности заготовок и зачистки трещин, как это имеет место в разомкнутом технологическом цикле, что предъявляет достаточно жёсткие требования к соблюдению температурно-скоростных режимов разливки [114].
    Метод натурных экспериментов в решении задач изучения тепловых процессов при непрерывной разливке требует больших ресурсов, к тому же он недостаточен для наблюдения за реальным производственным процессом. При этом современный уровень развития численных методов и ЭВМ делает численный подход в решении тепловых задач для непрерывной разливки наиболее привлекательным. Он не имеет ограничений, связанных с нелинейностью [6, 43, 115, 141, 171], которые возникают при аналитическом решении. С каждым годом стоимость численных исследований снижается, а возможности неуклонно растут. Компьютерное моделирование может во многих случаях заменять собой дорогостоящие натурные эксперименты, проводимые при разработке и проектировании новых МНЛЗ, а также во время пуско-наладочных работ.
    Поскольку измерение температурного поля в высокотемпературных режимах зачастую практически невозможно, в качестве информации для систем автоматического управления наиболее рационально использовать данные компьютерного моделирования. Таким образом, можно организовать прогнозное управление - делая прогноз на будущее развитие теплового процесса, подбирать наиболее рациональные в текущий момент времени управляющие параметры. При таком подходе требуется, чтобы компьютерное моделирование выполнялось, по крайней мере, в несколько раз быстрее режима реального времени, а, следовательно, сложность расчёта по модели должна учитывать вычислительную мощность компьютерной техники.

8

     В книге изложены результаты теоретических, натурных и лабораторных исследований, приведены методы математического и компьютерного моделирования для изучения тепловых процессов, происходящих в непрерывном слитке, во время его движения в области кристаллизатора и в зоне вторичного охлаждения (ЗВО), а также тепловых процессов в рабочей стенке кристаллизатора. Экспериментальные данные были получены на действующих промышленных МНЛЗ и использованы для настройки разработанных компьютерных моделей в соответствие с условиями реального производства, а также для проверки разработанных теории и методов определения рациональных параметров работы металлургического оборудования. В лабораторных условиях исследовались характеристики форсунок ЗВО для выработки методов их рационального размещения и соответствующего функционирования в динамике процесса непрерывной разливки. Соответствие результатов прогнозного моделирования и получаемых в реальных условиях структур слитков проверялось в лабораторных условиях.
     Выражаем особую благодарность нашему коллеге Виктору Анатольевичу Капитанову за внимание и ценные замечания, позволившие улучшить текст данной книги при подготовке её к публикации.

9

ГЛАВА 1


ОБЗОР МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕПРЕРЫВНОМ СЛИТКЕ
И КРИСТАЛЛИЗАТОРЕ

   Глава посвящена аналитическому обзору методов математического моделирования и способов наблюдения тепловых процессов, происходящих в непрерывном слитке и стенках кристаллизатора машины непрерывного литья заготовок (МНЛЗ). В первом параграфе настоящей главы приводится краткая историческая справка о развитии технологии непрерывной разливки. Во втором параграфе рассматриваются и анализируются основные приёмы и методы математического моделирования тепловых процессов в непрерывнолитой заготовке. Третий параграф посвящён обзору и анализу методов наблюдения тепловых процессов, происходящих в кристаллизаторе МНЛЗ. В четвёртом параграфе даётся обзор методик наблюдения глубины и формы жидкой лунки непрерывного слитка в динамических (переходных) процессах. В пятом параграфе излагаются математические приёмы и подходы при проектировании зоны форсуночного охлаждения МНЛЗ. Шестой параграф содержит обзор и анализ современных подходов к эффективному управлению теплотехническими процессами в зоне вторичного охлаждения МНЛЗ. В седьмом параграфе представлены математические методы изучения влияния протекания тепловых процессов в непрерывном слитке на формирование его макроструктуры. Восьмой параграф содержит постановку задач и проблем, рассматриваемых в данной книге.

1.1. Краткая историческая справка о развитии технологии непрерывной разливки

   Идея разливки металла в непрерывном режиме принадлежит английскому инженеру-изобретателю Генри Бессемеру. В 1856 году им была запатентована схема разливки металла между двумя вращающимися валками (рис. 1.1). До промышленного освоения технологии непрерывной разливки оставалось почти сто лет. За это время было выдвинуто множество идей и разработаны концепции, в том числе вертикальной сортовой МНЛЗ с затравкой (1886 г.), МНЛЗ с порезкой (1889 г.), загиб-разгиб сортовой заготовки (1915 г.), погружной стакан (1933 г.), подогрев промковша, отсечка шлака, вторичное охлаждение (1938 г.) и многое другое [174].


10

Рисунок 1.1. Схема непрерывной разливки Генри Бессемера

    Первые полупромышленные (пилотные) установки появились сразу после окончания второй мировой войны в нескольких ведущих индустриальных странах. В СССР первая опытная установка непрерывной разливки вертикального типа ПН-1-2 ЦНИИЧерМет была сооружена в 1945 г. и предназначалась для отливки заготовок круглого и квадратного сечения. Затем опытная машина вертикального типа была сооружена в 1946 г. на заводе в городе Лоу Мур (Великобритания), в 1948 г. - на фирме «Бабкок и Уилкокс» (Бивер Фоле, США), в 1950 г. -на фирме Mannesmann AG (Дуйсбург, Германия). В 1951 г. на заводе «Красный Октябрь» была пущена опытно-промышленная установка полунепрерывной разливки стали.
    Промышленное освоение МНЛЗ началось практически одновременно в 1955 г. в Японии и СССР. Тогда на заводе «Красное Сормово» заработала первая МНЛЗ, созданная под руководством академика И. П. Бардина.
    30 июня 1960 года на Донецком металлургическом заводе была пущена крупнейшая в мире на то время УНРС (установка непрерывной разливки стали) вертикального типа [175].
    Сегодня МНЛЗ успешно работают более чем в 90 странах мира, и их общее количество превышает 2100 единиц. Прогресс в применении технологии непрерывной разливки стали является наиболее ярким явлением в системе технологий черной металлургии в мире (рис. 1.2). Так, еще в 1970 г. только 4,5 % стали разливалось на МНЛЗ, а в 1987 г. этот показатель превысил 50 %. В настоящее время доля стали, разливаемой на МНЛЗ, превышает 95-97 % по мировым показателям [22, 174]. В США в течение последних лет выпуск стали составлял порядка 85 млн тонн в год, из них приблизительно 98 % составила доля непрерывной разливки. В Китае в 2013 году из 779 т. всей произведенной стали непрерывным способом было отлито 767 т., что также составляет около 98 %. В России на непрерывную разливку стали приходится лишь 80 % [168]. Процент производимых непрерывным способом заготовок цветных металлов оценивать затруднительно,


11

однако стоит отметить сохраняющуюся тенденцию увеличения дефицита латунных, бронзовых, медных, алюминиевых и прочих полуфабрикатов цветных металлов и сплавов в общемировом масштабе (по данным сайта metaltorg.ru [308]).


Рисунок 1.2. Мировые объёмы стали, разлитой на МНЛЗ, по сравнению с общим производством стали в период с 1970 по 2010 годы (по данным сайта www.uas.su)


        1.2.  Математическое моделирование поля температур непрерывного слитка и стенок кристаллизатора МНЛЗ

    Существует большое число различных инженерных экспериментальных методов исследования температурного поля непрерывнолитой заготовки. Все они весьма дорогостоящи, тем не менее, их результаты имеют огромную практическую ценность, в том числе и при разработке математических моделей, позволяющих заменить натурные эксперименты имитационным моделированием. Наблюдать за тепловыми процессами непрерывной разливки, в частности за процессами, происходящими внутри слитка и в стенках кристаллизатора, с помощью какого-либо измерительного оборудования крайне затруднительно не только из-за высоких температур, но также и потому, что это оборудование может вносить существенные искажения в температурное поле той области, куда оно помещается. Таким образом, незаменимым инструментом исследования становится аппарат математического и компьютерного моделирования.
    Для технологических процессов непрерывной разливки разрабатываются различные по полноте и сложности описания математические модели. Основным фактором, который определяет полноту и точность математической модели, является цель моделирования. Таковыми целями могут быть:
    1) исследование свойств и закономерностей процесса;
    2) разработка конструкции МНЛЗ и/или системы её управления с использованием математической модели и моделирования;

12

    3) непосредственное использование модели в системе управления.
    Существуют два основных метода построения математических моделей:
    1) разработка модели на базе физических законов протекания процесса, (например, законов гидродинамики или законов тепломассопереноса);
    2) экспериментально-статистические методы построения модели.
    На сегодняшний момент разработано большое количество различных по уровню сложности моделей для изучения различных явлений, происходящих во время непрерывной разливки [2, 38, 41, 51, 69, 74, 78, 92, 142, 154, 165, 189, 219, 235, 264, 314, 323, 326, 334, 343, 347].
    Одной из важнейших задач - определению положения границы фазового перехода между жидким и твёрдым металлом - уделяется особое внимание в многочисленных исследованиях, предлагающих обширный диапазон подходов от достаточно простых инженерных формул до сложнейших алгоритмов расчётов по математическим моделям с системами нелинейных уравнений в частных производных.
    В частности, для решения задачи нахождения толщины твёрдой корочки слитка Лисиенко В. Г. и Самойлович Ю. А. [117] использовали метод Лейбен-зона - Вейника. Определение закона затвердевания f = f (Е, С, z, т) и поля температур Т = Т(х, у, z, т) взаимосвязано: скорость перемещения границы раздела фаз зависит от градиентов температуры по обе стороны границы, а поле температур, т. е. и поле градиентов температуры - от толщины затвердевшего слоя расплава. Однако исследователи подметили [201], что в определенных условиях поле температур в твердой оболочке слитка стабилизируется, причем закон распределения температуры по сечению твердой корки не зависит (или пренебрежимо мало зависит) от условий на межфазной границе. В наиболее полном виде это обстоятельство было учтено А. И. Вейником, которому удалось получить сравнительно несложные расчётные соотношения. Вейник разделил процесс затвердевания отливки на ряд этапов. В частности, период непосредственного затвердевания (перехода из жидкой фазы в твёрдую) начинается лишь после снятия перегрева расплава, что позволяет упростить расчетные формулы.
    Допуская отсутствие перегрева жидкой фазы, А. И. Вейник аппроксимирует стабилизированное поле температур следующим соотношением:

Т = Тк-(Тк- Тр)(1 -|)П при 0 < х < f,

                     Т = Тк = const при f < х < S₀, где координата х отсчитывается от охлаждаемой поверхности слитка, f = f (т) -толщина твёрдой корочки, 2S₀ - полная толщина плоского слитка при его двухстороннем симметричном охлаждении, Тк - температура кристаллизации металла, Т - среднемассовая температура затвердевшей корочки слитка.
    Пример одной из самых простых моделей с применением дифференциальных уравнений представлен в [223]. Здесь используется одномерное уравнение

13

теплопроводности без учёта массопереноса, граничные условия учитывают только конвективную теплоотдачу, положение границы раздела фаз не определяется явно, а доли твёрдой и жидкой фаз определяются с помощью так называемого метода «размазывания» [186].
    В [2] выполнена постановка нескольких различных по уровню сложности одномерных задач нахождения температурного поля и границы раздела фаз. Сначала формулируется квазистационарная задача о кристаллизации слитка в классической постановке. Далее производится ряд упрощений. Нелинейные условия линеаризуются. После введения средней по сечению температуры слитка задача сводится к одномерной. Делается допущение о том, что теплофизические параметры являются константами. Приводятся варианты решения квазистационар-ной задачи посредством введения специальной функции источника для бесконечного пространства, нестационарной задачи с помощью преобразования Лапласа - Карсона и задачи Стефана в классической постановке методом конечных разностей с использованием неявной схемы.
    В [118] рассматривается двумерная модель теплопередачи в поперечном сечении непрерывного слитка. Наличие фазового перехода учитывается посредством введения в основное уравнение теплопроводности слагаемого, соответствующего внутреннему источнику тепла. Процесс считается установившимся во времени. Теплофизические характеристики принимаются постоянными внутри каждой фазы и приближаются линейными функциями внутри двухфазной зоны. Граничные условия третьего рода сформулированы с учетом специфики теплоотдачи в различных зонах МНЛЗ.


    1.2.1. Математическая модель тепломассопереноса в непрерывном слитке с классическим условием Стефана

    Уравнение теплопроводности для непрерывного слитка в общем виде записывается следующим образом:

               с(Т')р(Т') (^ + V ■ grad?) = div(AgradT) + и,     (1-¹)

где Т = Т(т, х, у, z) - температура, т - время, с(Т) - удельная теплоёмкость, р(Т') - плотность, Л = Л(Т) - теплопроводность, V - вектор скорости сплошной среды (металла), и = и(т, х, у, z) - источник тепла.
    Формулировка задачи нахождения поля температуры с наличием фазового перехода, включающая условия Стефана, основана на предположении о существовании чёткой границы между двумя фазами одного вещества, которая проходит по изотерме затвердевания (плавления) этого вещества [51]. При этом на фронте нулевой толщины выполняются условия равенства температуры вещества температуре фазового перехода, а также условие Стефана - разность тепловых потоков по обеим сторонам на границе раздела фаз прямо пропорциональна

14