Теоретическая механика. Контрольные задания

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Контрольные задания

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

Г93

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. Э. Н. Островская
канд. техн. наук, доц. С. Г. Кондрашева

Г93

Гумерова Х. С.
Теоретическая механика. Контрольные задания : учебно-методическое 
пособие / Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2020. – 96 с.

ISBN 978-5-7882-2881-5

Представлены материалы для подготовки к контрольным работам по 

теоретической механике. 

Предназначено для студентов механических и технологических специальностей 
всех форм обучения.

Подготовлено на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов.


ISBN 978-5-7882-2881-5
© Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2020
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

В в е д е н и е

Теоретическая механика – одна из важнейших физико-математи-

ческих дисциплин, предусмотренных учебными планами инженеров 
различных специальностей. На основных законах и принципах теоре-
тической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, 
такие как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, де-
тали машин и др.

Особое место в предложенном курсе отводится упражнениям 

и контролю усвоения практических навыков. Поскольку решение при-
меров и задач – один из наиболее эффективных способов оценки уровня 
знаний, поэтому данное пособие рекомендуется для проверки текущей 
успеваемости студентов. 

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для 

аудиторных контрольных работ, предлагаемых студентам технологиче-
ских и механических специальностей при изучении дисциплины «Тео-
ретическая механика» (разделы «Статика» и «Кинематика»).

В данном пособии приведены основные понятия, законы, уравне-

ния и принципы механики, а также задачи, основанные на предлагае-
мом теоретическом материале. Решение задач, включенных в методи-
ческое пособие, не требует особых искусственных приемов или слож-
ных математических преобразований.

1 .  С Т А Т И К А

1 . 1 . О с н о в н ы е  п о н я т и я  и  о п р е д е л е н и я

Основными задачами статики являются: 1) приведение данной 

системы сил к простейшему виду; 2) определение условий равновесия 
систем сил, действующих на твердое тело. 

В зависимости от постановки задачи тело рассматривается с уче-

том или без учета его размеров. В последнем случае тело представляют 
в виде материальной точки, которая обладает массой и способностью 
взаимодействовать с другими телами. Тело, которому из данного поло-
жения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называ-
ется свободным. В противном случае тело является несвободным. Абсо-
лютно твердое тело – это материальное тело, в котором расстояние 
между двумя любыми точками остается неизменным. В природе, без-
условно, таких тел нет, поскольку при действии сил тела изменяют 
свою форму. Однако, например, при определении реакций связей дан-
ная гипотеза не вносит существенной погрешности.

Сила является основной мерой механического взаимодействия 

материальных тел. Сила – величина векторная и определяется число-
вым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Усло-
вимся в дальнейшем векторы обозначать черточкой сверху или жир-

ным шрифтом. 

За единицу силы в системе СИ прини-

мается Ньютон (Н). Сила, величиной 1 Н, 
приложенная к покоящемуся телу массой 
1 кг, вызывает движение тела с ускорением 
1 м/с2. Линия, по которой направлена сила, 
называется линией действия силы (рис. 1.1). 

Совокупность нескольких сил, дей-

ствующих на данное тело или систему тел, 
называется системой сил. Если линии дей-

ствия всех сил лежат в одной плоскости, то такая система сил называ-
ется плоской, а если линии действия сил не лежат в одной плоскости, –
пространственной. Силы, линии действия которых пересекаются 

линия действия 

силы

Рис. 1.1

в данной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия ко-
торых параллельны друг другу, – параллельными.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или некото-

рого движения. Каждое из этих состояний условимся называть кинема-
тическим состоянием тела. Если две системы сил (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1

и (
)
m
P
P
P
,
...
,
,
2
1
вызывают у одного и того же тела одинаковое кинема-

тическое состояние, то такие две системы сил являются эквивалент-
ными: (
)
n
F
,
...
,
F
,
F
2
1
(
)
m
P
P
P
,
...
,
,
2
1
. Если система сил (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1
 R

, то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Си-
стему сил называют уравновешенной, если она, будучи приложенной к 
покоящемуся телу, не изменяет его состояние покоя. Уравновешенная 
система сил эквивалентна нулю: (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1
 0.   

Сила, действующая на тело по малой площадке, называется со-

средоточенной (условно считают – приложена в точке).

Силы, действующие на части объема, поверхности или линии, 

называются распределенными. Распределенные силы характеризуются 
интенсивностью q , т. е. значением силы, приходящейся на единицу 
объема (в случае объемных сил), на единицу площади (в случае поверх-
ностных сил), на единицу длины (в случае действия сил по линии).

Пример. На брус длиной =
l
10 м действует равномерно распре-

деленная сила интенсивности 
=
q
0,2 кН/м (рис. 1.2), т. е. на каждый 

метр длины бруса действует сила 0,2 кН. Определим равнодействую-
щую равномерно распределенной силы, которая приложена посредине 
бруса:

=
= ql
Q
0,2 кН/м · 10 м = 2 кН.

q

l/2
l/2

Рис. 1.2

1 . 2 .  А к с и о м ы  с т а т и к и

Первая аксиома. Система двух равных по величине, но противо-

положно направленных сил, приложенных к одному телу, и действую-
щих по одной прямой, эквивалентна нулю. Это утверждение можно за-
писать следующим образом: 
2
1
F
F =
, 
2
1
F
F
−
=
,  
)
,
(
2
1 F
F
 0.  Тело нахо-

дится в равновесии (рис. 1.3). 

Вторая аксиома. Механическое состояние тела не изменится, 

если к системе сил добавить или изъять из нее систему сил, эквива-
лентную нулю. Суть аксиомы в том что, если к телу приложена система 
сил 
)
,...,
,
(
2
1
n
F
F
F
и 
имеется 
уравновешенная 
система 
сил 

)
,...,
,
(
2
1
m
P
P
P
0 , то  
)
,...,
,
(
2
1
n
F
F
F

)
,...,
,
,
,...,
,
(
2
1
2
1
m
n
P
P
P
F
F
F
.

Следствие аксиом 1 и 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого 

тела, точку приложения силы можно переносить по ее линии действия.

Доказательство. Пусть сила F приложена в точке А твердого тела 

(рис. 1.4). Приложим уравновешенную систему сил (
1F и 
2
F ) в точке В, 

лежащей на линии действия силы F , причем 
2
1
F
F
F
−
=
=
. Очевидно, 

что силы F и 
2
F составляют уравновешенную систему сил и ее можно 

изъять. Тогда F 
)
,
,
(
2
1 F
F
F

1F . Таким образом, силу можно переме-

щать по линии ее действия, т. е. она есть вектор скользящий.

Третья аксиома. Всякое действие вызывает равное и прямо про-

тивоположное противодействие. Эту аксиому в динамике называют 
третьим законом Ньютона о равенстве действия и противодействия. 

А
В

Рис. 1.3

А

В

А

В

А

Рис. 1.4

B

Рис. 1.5

Допустим, тело S (рис. 1.5) оказывает давление в точке А на тело 

Q силой P . В свою очередь, тело Q действует на тело S в точке А силой 
N . В соответствие с аксиомой силы равны по модулю 
N
P =
, но про-

тивоположны по направлению: 
P
N
−
=
. В данном случае силы прило-

жены к разным телам, поэтому здесь нельзя применять первую аксиому 
статики.

Силы взаимодействия двух тел направлены по одной линии дей-

ствия и могут зависеть от расстояния между ними. Так, например, лю-
бая пара молекулы неона находится в постоянном взаимодействии. 
Если расстояние между ними 2,5 Å (1 Å=10–10 м), то возникают силы 
отталкивания. На расстоянии 3,5 Å действуют уже силы притяжения, 
а на расстоянии 5 Å силы взаимодействия практически равны нулю.

Четвертая аксиома. Система двух 

сил 
)
,
(
2
1 F
F
, приложенных в одной точке 

твердого тела, всегда имеет равнодействующую 
силу R (рис. 1.6). Эта равнодействующая – 
равна векторной сумме 
1F и 
2
F :    

2
1
F
F
R
+
=
. Все три силы находятся в одной 

плоскости. Величину равнодействующей 
можно вычислить по теореме косинусов или найти как модуль диагонали 
параллелограмма:


+
+
=

−
+
=
cos
2
cos
2
2
1

2
2

2
1
2
1

2
2

2
1
F
F
F
F
F
F
F
F
R
.

Данная аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно 

разложить бесчисленным множеством способов на две силы.

Чаще всего силу F раскладывают на две взаимно перпендикулярные 
составляющие (рис. 1.7): горизонтальную 
x
F и вертикальную 

Рис. 1.6

y
F . Диагональ АС прямоугольника АВСD является равнодействующей 

F , а стороны АВ и АD – искомыми составляющими: 
y
x
F
F
F
+
=
. 

Их модули 

=
cos
F
Fx
,  

=
sin
F
Fy
.

1 . 3 .  П р о е к ц и я  с и л ы  н а  о с ь

С понятием «составляющие силы» тесно соприкасается понятие 

«проекция силы на ось». Проекция силы на ось равна произведению модуля 
силы на косинус угла между положительным направлением оси и 
направлением проектируемой силы: 

)
,
cos(



=
F
x
F
Fx
,        
)
,
cos(



=
F
y
F
Fy
.

Проекция силы на ось является алгебраической величиной. Если 

угол между положительным направлением оси и вектором силы заклю-
чен в пределах от 0° до 90°, либо от 270° до 360°, то проекция силы на 
ось положительна. Если он лежит в пределах от 90° до 270°, то проек-
ция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна оси, то ее 
проекция на эту ось равна нулю.

Например, для сил, изображенных на рис. 1.8, проекциями сил на 

оси х, у будут:


=

=
sin
cos
1
1
1
F
F
F x
,            

=

=
cos
sin
1
1
1
F
F
F y
,


−
=

=
cos
cos
2
2
2
F
F
F x
,       

=

=
sin
sin
2
2
2
F
F
F y
,

А
В

С
D
y

O
x

Рис. 1.7


−
=

=
cos
cos
3
3
3
F
F
F x
,       

−
=

=
sin
sin
3
3
3
F
F
F y
,

0
4 =
x
F
,                                       
4
4
F
F y
−
=
.

1 . 4 .  С л о ж е н и е  с х о д я щ и х с я  с и л .  Р а в н о в е с и е  

с х о д я щ и х с я  с и л

Изложим на примере четырех сходящихся сил, приложенных в 

точке O (рис. 1.9), два способа сложения сил – векторный и аналити-
ческий. 
При 
векторном 
способе 
сложения 
сходящихся 
сил

(его называют также геометрическим способом) равнодействующая R
системы сил приложена в той же точке О и является замыкающей 

у

х
О

А

β
α

у
у
у

О
О
О
х
х
х

β
α

α

β

В

С

D

а
г
в
б

Рис. 1.8

О

Рис. 1.9

О

A

B

D

C

a
c
d
b
o

Рис. 1.10

стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах 

(рис. 1.10): 
CD
BC
AB
OA
OD
+
+
+
=
или 
4
3
2
1
F
F
F
F
R
+
+
+
=
.

При построении силового многоугольника надо к концу первого 

слагаемого вектора 
1F присоединить параллельно перенесенный век-

тор 
2
F , затем присоединить к концу вектора 
2
F параллельно перене-

сенный вектор 
3
F и т. д. Векторный способ сложения сходящихся век-

торов является простым и наглядным. Однако точность определения 
равнодействующей силы R зависит от точности построения силового 
многоугольника.

На практике чаще применяют аналитический способ сложения 

сходящихся сил, который называют способом проекций. Спроектируем 
силы 
4
3
2
1
,
,
,
F
F
F
F
на горизонтальную ось и алгебраически сложим их 

проекции:

cd
bc
ab
oa
od
+
−
+
=
.

Проекцией равнодействующей R сходящихся сил 
4
3
2
1
,
,
,
F
F
F
F

на горизонтальную ось будет отрезок od. 

Обобщая эти способы сложения сходящихся сил для плоской си-

стемы n сил, и обозначив проекции равнодействующей на оси коорди-
нат через 
,
,
y
x R
R
можно написать равенства в векторном виде и в про-

екциях на оси координат:



=

=

n

k

kF
R

1

,               


=

=

n

k

kx
x
F
R

1

,     


=

=

n

k

ky
y
F
R

1

.         (1.1)

Модуль равнодействующей определим через ее проекции на ко-

ординатные оси:  
2
2

y
x
R
R
R
+
=
. Направление равнодействующей 

определяется через ее направляющие косинусы:

R
R
R
x
x /
)
,
cos(
=



,     
R
R
R
y
y /
)
,
cos(
=



.

В случае равновесия системы сходящихся сил равнодействую-

щая 
0
=
R
. Ее модуль 
0
2
2
=
+
=
y
x
R
R
R
, следовательно:

0
=
x
R
,      
0
=
y
R
.              
(1.2)

Учитывая равенства (1.1) и (1.2), получим уравнения равновесия 

плоской системы сходящихся сил: