Теоретическая механика в вопросах и ответах


В. Д. Бертяев, Л. М. Нечаев, В. Д. Кухарь











ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ











Допущено НМС по теоретической механике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки в области «Инженерное дело, технологии и технические науки»














Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 531.1/.2/.3
ББК 22.21
     Б52


Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ) Г. М. Розенблат; доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей механики Липецкого государственного технического университета (ЛГТУ) В. Б. Пеньков


     Бертяев, В. Д.
Б52 Теоретическая механика в вопросах и ответах : учебное пособие / В. Д. Бертяев, Л. М. Нечаев, В. Д. Кухарь. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2022. - 240 с. : ил., табл.
           ISBN 978-5-9729-0931-5

      Излагаются основные понятия и определения теоретической механики. Изложение теоретического материала осуществлено с упором на геометрическую наглядность и не требует специальных знаний высшей математики, кроме необходимых. Приводятся основные теоремы, необходимые для дальнейшего понимания механических явлений.
      Для студентов вузов всех форм обучения по курсу «Теоретическая механика».

                                                        УДК 531.1/.2/.3
                                                        ББК 22.21











ISBN978-5-9729-0931-5

     © Бертяев В. Д., Нечаев Л. М., Кухарь В. Д., 2022
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.....................................................6
1.КИНЕМАТИКА.................................................8
ВВЕДЕНИЕ.....................................................8
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ........................................8
  1.1.1. Способы задания движения точки......................8
  1.1.2. Скорость точки.....................................11
  1.1.3. Ускорение точки....................................13
  1.1.4. Кинематика точки в частных случаях ортогональных криволинейных координат.................................................16
  Вопросы и ответы..........................................21
1.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА...............................27
  1.2.1. Поступательное движение твердого тела..............28
  1.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси......29
  Вопросы и ответы..........................................31
  1.2.3. Плоскопараллельное движение твердого тела..........35
  Вопросы и ответы..........................................44
  1.2.4. Сферическое движение твердого тела.................48
  Вопросы и ответы..........................................55
  1.2.5. Свободное твердое тело.............................58
  Вопросы и ответы..........................................63
1.3. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.....................64
  1.3.1. Относительное движение точки.......................64
  Вопросы и ответы..........................................68
  1.3.2. Сложение движений твердого тела....................70
  Вопросы и ответы..........................................75
2. СТАТИКА..................................................77
ВВЕДЕНИЕ....................................................77
2.1. АКСИОМЫ СТАТИКИ........................................78
  2.1.1. Аксиома о равновесии твердого тела под действием системы двух сил78
  2.1.2. Аксиома параллелограмма сил........................79
  2.1.3. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил эквивалентной нулю   79
  2.1.4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия.80
  2.1.5. Аксиома отвердевания...............................80
  2.1.6. Аксиома освобождаемости от связей..................81
2.2. МОМЕНТ СИЛЫ............................................82
  2.2.1. Момент силы относительно точки на плоскости........82

з

  2.2.2. Векторное представление момента силы.......................82
  2.2.3. Момент силы относительно оси...............................83
  Вопросы и ответы..................................................85
2.3. ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ СИЛ.........................................88
  2.3.1. Системасходящихся сил......................................88
  2.3.2. Системы двух параллельных сил..............................89
  2.3.3. Система параллельных сил. Центр параллельных сил...........93
  2.3.4. Распределенные силы........................................94
  2.3.5. Центр тяжести..............................................96
  2.3.6. Методы определения центра тяжести..........................97
  Вопросы и ответы..................................................98
2.4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ..................102
  2.4.1. Основная теорема статики..................................102
  2.4.2. Инварианты системы сил....................................104
  2.4.3. Условия равновесия произвольной системы сил...............106
  Вопросы и ответы.................................................110
2.5. СИЛЫ ТРЕНИЯ...................................................116
  2.5.1. Трение скольжения.........................................116
  2.5.2. Угол и конус трения.......................................118
  2.5.3. Трение качения............................................118
  Вопросы и ответы.................................................120
3.ДИНАМИКА.........................................................122
3.1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ...................................122
  3.1.1. Динамика свободной материальной точки.....................122
  3.1.2. Динамика несвободной материальной точки...................126
  3.1.3. Динамика относительного движения точки....................130
  Вопросы и ответы.................................................134
3.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ................................................139
  3.2.1. Связи и их классификация..................................139
  3.2.2. Возможные (виртуальные) перемещения.......................140
  3.2.3. Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы.....140
  3.2.4. Основные динамические величины механической системы.......141
  Вопросы и ответы.................................................152
3.3. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ......................166
  3.3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы.166
  3.3.2. Общие теоремы и принципы динамики.........................166
  3.3.3. Закон сохранения механической энергии для точки и системы.168

4

  Вопросы и ответы.......................................171
3.4. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА..............................182
  3.4.1. Поступательное движение твердого тела...........182
  3.4.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси...182
  3.4.3. Плоское движение твердого тела..................184
  3.4.4. Сферическое движение твердого тела..............185
  3.4.5. Общий случай движения твердого тела.............187
  Вопросы и ответы.......................................189
3.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ.......................194
  3.5.1. Основные понятия и определения..................194
  3.5.2. Уравнение Лагранжа II рода для механической системы...197
  3.5.3. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы 198
  3.5.4. Затухающие колебания системы с одной степенью свободы.199
  3.5.5. Вынужденные колебания с одной степенью свободы..201
  Вопросы и ответы.......................................213
ПРИЛОЖЕНИЕ...............................................218
П. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ.............218
П. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА........................231
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................238

5

ВВЕДЕНИЕ

     Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений (зданий, мостов, и т.п.), с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин, механизмов, двигателей и т.п. Несмотря на разнообразие всех этих проблем, решение их в определенной части основывается на некоторых общих принципах и имеет общую научную базу. Все это объясняется тем, что в указанных задачах значительное место занимают вопросы, требующие изучения законов движения или равновесия тех или иных материальных объектов.
     Наука о законах движения и равновесия материальных тел, и о происходящих при этом взаимодействиях между ними, называется общей механикой (от греческого jjr/%aviK (mechanike) - искусство построения машин).
     Теоретической механикой называют такой раздел общей механики, в котором исследуются механические движения материальных тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. При этом движения рассматриваются без учета специальных физических свойств материальных объектов (электропроводность, теплопроводность, деформируемость и т.п.).
     Механическим движением или механической формой движения называется процесс непрерывного изменения положения материальных тел (или частей тела) в пространстве относительно друг друга.
     Из определения механического движения следует, что говорить об изменении положения тела можно лишь по отношению к какому- либо другому телу. Положение искомого тела по отношению к другому телу определяется с помощью некоторой системы координат, неизменно связанной с твердым телом. Такую систему координат называют системой отсчета, а твердое тело - телом отсчета. Система отсчета называется основной или «абсолютной», если в рассматриваемой задаче можно не учитывать движение этой системы.
     Движение материальных тел совершается в пространстве и времени. В механике моделью реального пространства считается евклидово трехмерное пространство. Геометрические свойства этого пространства одинаковы во всех направлениях, т. е. это пространство однородно и изотропно.
     Отражением реального времени считается абсолютное время, т. е. время, протекающее одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда, приближенно определяемая как 1/24 • 60 • 60 часть средних солнечных суток.
     В классической механике метрические свойства пространства и времени считаются независимыми от движущейся материи, поэтому трехмерное евклидово пространство и абсолютное время лишь приближенно отражают реальные свойства пространства и времени. Однако это приближение дает достаточную для практики точность при изучении движений, рассматриваемых в механике Ньютона, т. е. движений со скоростями намного меньшими скорости распространения света.

6

     На основе теоретической механики изучается механика деформируемых тел: сопротивление материалов, теория машин и механизмов, теория упругости, пластичности, механика жидкости и газа, аэродинамика и многие специальные дисциплины.
     Математический аппарат механики широко применяется в различных областях науки. Многие разделы математики возникли и развивались под влиянием и в связи с соответствующими потребностями механики, поэтому при изучении механики можно получить наглядное, яркое и убедительное представление об этих разделах математики, так как при этом за формулами видны глубокие, содержательные связи, а математические величины наделяются ясным механическим смыслом.

7

1. КИНЕМАТИКА


ВВЕДЕНИЕ

     Кинематика (от греческого KtVElV (kinematos) - движение) - раздел теоретической механики, в котором определяются геометрические параметры механического движения материальных объектов.
     В основании кинематики лежат аксиомы геометрии Евклида. Для обоснования кинематики не нужны какие-либо новые аксиомы, т. к. кинематика отличается от геометрии лишь тем, что движение в ней изучается во времени.
     В кинематике не рассматривают физические причины возникновения движения. Поэтому для нахождения параметров движения объекта, нужно задать это движение. Кинематически задать движения объекта означает, что необходимо определить функции, позволяющие найти положение любой его точки в произвольный момент времени в выбранной системе отсчета.
     Основными объектами механики являются материальная точка и абсолютно твердое тело (твердое тело), которые являются приближенными отображениями реальных материальных тел.
     Частица вещества, заключенная внутри столь малой сферы, что положение этой сферы вполне определяется положением ее центра, называется материальной точкой. В ряде задач механики понятие материальной точки обобщается. Если условия задачи таковы, что можно пренебречь размерами тела, то это тело можно рассматривать как материальную точку. В кинематике понятие материальной точки тождественно понятию геометрической точки не обладающей массой.

1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
                ..... .
1.1.1. Способы задания движения точки

     Существуют несколько способов задания движения точки: векторный, координатный и естественный. Эти способы взаимосвязаны, т. е. возможен переход от одного способа к другому.

     1) Векторный способ
     Положение точки определяется радиус - вектором Г (рис. 1.1), проведенным в данную точку из неподвижного начала отсчета.
Г = Г (t) = OM (t).
     С течением времени радиус-вектор будет изменяться по величине и направлению, поэтому он является некоторой заданной векторной функцией времени, которая должна быть непрерывной, однозначной и, по крайней мере,

8

дважды дифференцируемой. Радиус-вектор представляет собой векторную функцию времени и является уравнением движения точки в векторной форме.
     Непрерывная кривая, с точками которой в каждый момент времени совпадает движущаяся точка, называется траекторией. Траектория понятие относительное, т. к. по отношению к различным системам отсчета точка будет описывать разные кривые.
     Геометрическое место концов переменного вектора называется годографом.
     Таким образом, траектория точки есть годограф радиус-вектора этой точки.


     2)  Координатный способ
     Радиус-вектор r = Г (t) может быть представлен его проекциями на оси выбранной координатной системы (рис. 1.1). Наиболее часто используются де-картовая прямоугольная система и системы ортогональных криволинейных координат (полярные, цилиндрические и сферические). В этом случае положение движущейся точки относительно выбранной системы отсчета определится в каждый момент времени ее декартовыми координатами (рис. 1.1,а):
x = x (t), y = y (t), z = z (t), или криволинейными координатами (рис. 1.1 ,б)
41 = q> (t), q ₂=q 2 (t), q ₃=q ₃ (t) •
     Функции x (t), y₂ (t), z (t) или q₁ (t), q₂ (t), q₃ (t) должны быть однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми.
     В декартовых координатах радиус-вектор точки будет иметь вид
Г = Г(x, y, z) = xi + yj + zk,            (1.1)
где i, j, k - единичные орты, задающие ориентацию осей декартовой системы координат.


Рис. 1.1. Движение материальной точки:
а) в декартовых координатах, б) в криволинейных координатах

     Соотношение (1.1) задает связь между векторным и координатным способом задания движения точки.


9

     В ортогональных криволинейных координатах радиус-вектор Г = Г(qр q₂, q₃) = r₁ e + r₂e, + r₃e. = ryi, i = 1,3,

(1-2)

где r = r (q₁, q₂, q₃), i = 1,3 - компоненты вектора в криволинейных ортого-„            __-1 dr_
нальных координатах, eₜ =------единичный ортогональный криволинейный
                        hi дqi

базис, а hᵢ - коэффициенты Ламе, определяемые выражениями

h =

дr д q

i = 1,3.

(1-3)

     Уравнения движения точки в координатной форме можно рассматривать и как уравнения траектории в параметрическом виде. Если исключить из этих уравнений параметр t, например, найти функцию t = ф( x), то получим уравне

ние траектории, как пересечение двух цилиндрических поверхностей
п₁ (x, у) = 0, п₂ (x, z) = 0.               (1.4)
      Число независимых координат, определяющих положение точки в пространстве в любой момент времени, называется числом степеней свободы. Так, точка, произвольно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы.
      Если движение точки происходит по поверхности п(x, у, z) = 0, то на ее

координаты накладывается одно дополнительное ограничение, задаваемое уравнением этой поверхности, которое называется геометрической связью (уравнением геометрической связи). Число степеней свободы в этом случае становится равным двум, так как третью координату можно найти из уравнения связи.
     При движении точки по заданной кривой, определяемой, например, уравнениями (1.4), число степеней свободы становится равной единице, так как остальные координаты можно найти из уравнений связи.


     3)  Естественный способ
     Если известна траектория точки, заданы уравнения (1.4), то ее движение удобно задать естественным способом (рис. 1.2). Для этого на траектории назначают начало отсчета (точка O), направление отсчета и записывают зависимость дуговой координаты s от времени t
OM = s (t).
     Функция s = s (t) по самой природе механического движения должна быть непрерывной, однозначной и дважды диференцируемой.

10

Рис. 1.2. Естественный координатный базис

      С траекторией точки можно связать естественный координатный базис:
..   _ dr ..                    _ 1 dT     „
единичные векторы касательной - T = —, главной нормали - n =-----------и би-
ds                         р ds

нормали b = T х n к траектории. Здесь р - радиус кривизны траектории.
      Эти три вектора образуют естественный репер, вдоль них идут естественные оси. Координатные плоскости образуют сопровождающий трехгранник и носят названия: плоскость (T, n) — соприкасающаяся, плоскость(n, b ) - нормальная, плоскость (b, т) - спрямляющая.
      Связь между естественным и координатным способом задания движения точки задается дифференциалом дуги, квадрат которой определяется выражениями
     ds¹ ² = dr ■ dr = dx² + dy² + dz² - в декартовых координатах,


или

      ds² = dr ■ dr = —ydq,² + —ydq₂² + —ydq₃² - в ортогональных криволиней-K                   h/       h < -
ных координатах.


1.1.2. Скорость точки


      Скорость в механике одна из основных кинематических характеристик движения материальной точки. Скорость - это векторная величина, отражающая быстроту изменения положения точки в пространстве. Рассмотрим определение скорости точки при различных способах задания движения.

     1) Скорость точки при векторном способе задании движения.
     Пусть в момент времени t точка занимала положение M и ее радиус-вектор есть r. В момент времени t₁ = t + At точка займет новое положение M₁, определяемое радиус вектором Т[. Изменение радиус-вектора за промежуток времени At равно Ar = r - r (рис. 1.3).

     Изменение радиус-вектора за единицу времени равно так называемой средней скорости v = Ar/&t. Для характеристики быстроты движения в дан-

11

ный момент времени введем понятие мгновенной скорости как предел, к которому стремится средняя скорость при At ^ О

_   _  „Аr    dr
v = lim v;ᵢ = lim— = — = r -At^ cp аt^ at dt

(1-5)

      Таким образом, при векторном задании движения скорость определяется как производная от радиус - вектора Г (t) по времени-

Рис. 1.3. Скорость точки

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному

направлению вектора Аг при At ^ О, т-е- по касательной к траектории-


      2) Скорость точки при координатном способе задании движения.
      Координаты точки M одновременно являются и координатами ее радиус-вектора- Поэтому координатный способ задания движения точки эквивалентен заданию ее движения векторным способом- Радиус-вектор точки можно представить векторной функцией его координат, декартовых или криволинейных
7 = г [ х (t), y (t), z (t) ] = г [qi (t), q ₂ (t), q ₃ (t) ] -
      Согласно определению (1-5), вектор скорости равен производной по времени от радиус-вектора точки Г (t) -
      Тогда в декартовой системе координат
V = vₓi + vyj + vzk = Г = X i + yj' + Z k -     (1-6)
      Сравнивая эти формулы друг с другом, убеждаемся, что в декартовых координатах проекция скорости на какую-либо ось равна производной от соответствующей координаты по времени
vₓ = X, vᵥ = y, vz = Z-x      y      z
      В силу ортогональности составляющих вектора скорости, легко определить ее модуль и направляющие косинусы

, cos(v,i) = —, cos

v,              v
—, cos (v, k ) = — -vv

     В ортогональных криволинейных координатах вектор скорости точки

12

_ d dr . dr . dr . dr .              —
v = r = —<h ⁺—'3’2 ⁺ -J—<h = -J-Чi, i = !>³-
dq₁ dq ₂ dq ₃ dqi
     Учитывая (1.2), последнее соотношение запишется в виде
v = Г = h₁ q₁ el + h₂ q₂ H, + h₃ q₃ H, = vy., i = 1,3. (1.7)
где vₜ = hiqi, i = 1,3 - составляющие вектора скорости на оси криволинейной системе координат (по i не суммировать).
     Модуль скорости в криволинейных ортогональных координатах
v = 7v1² + v 2² + v,² = д/( h1</1 / +(h2 <?2 )² +(h Зз )² •
     Таким образом, в отличие от декартовых координатных систем, в криволинейных системах составляющие вектора скорости на оси координат не равны производной от соответствующей координаты по времени.


     3)  Скорость точки при естественном способе задании движения.
     При использовании естественного способа задания движения точки ее положениехарактеризуется дуговой координатой s = s (t) (рис. 1.4). Положение точки в этом случае представляется радиус вектором Г = Г [s (t)].

Рис. 1.4. Скорость точки в естественном координатном базисе

     Тогда скорость точки можно определить следующим образом:

_ dr dr ds ds _        _
v = — =------= —t = vT,
dt ds dt     dt

(1.8)

__ d ds _                 __ _ _         _     _       ..          __
где v = v - T =--проекция вектора скорости на единичный вектор касатель-
     T      dt
ной к траектории |vT| = v = ’х² + у² + Z² .
     Вектор скорости направлен по касательной к траектории.


1.1.3. Ускорение точки

     При изучении движения необходимо знать, как быстро меняется скорость по величине и направлению. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости с течением времени, называется ускорением.


13