Справочник по теоретической механике


В. Д. Кухарь, Л. М. Нечаев, А. Е. Лазаренко






                СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ




3-е издание, исправленное и дополненное







Рекомендовано НМС по теоретической механике в качестве учебного пособия, для студентов всех форм обучения высших учебных заведений










Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 531
ББК 22.21
    К88



Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики ЛГТУ (г. Липецк) В. Б. Пеньков;
кандидат технических наук, профессор кафедры теоретической механики МАДИ (г. Москва) Б. М. Додонов


     Кухарь, В. Д.
К88 Справочник по теоретической механике : учебное пособие / В. Д. Кухарь, Л. М. Нечаев, А. Е. Лазаренко. - 3-е изд., испр. и доп. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. -156 с. : ил., табл.
          ISBN978-5-9729-1011-3

     Излагаются основные понятия, определения, теоремы и законы теоретической механики. Изложение теоретического материала ведется с упором на геометрическую наглядность и не требует специальных знаний по высшей математике.
     Для студентов технических вузов, изучающих теоретическую механику.

                                                           УДК531
ББК 22.21













ISBN 978-5-9729-1011-3

     © Кухарь В. Д., Нечаев Л. М., Лазаренко А. Е., 2022
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ


ПРЕДИСЛОВИЕ....................................................7

РАЗДЕЛ 1. СТАТИКА..............................................8

   1.1. Основные понятия и определения.........................8
   1.2. Сходящаяся система сил................................13
   1.3. Момент силы относительно точки и оси..................13
   1.4. Сложение параллельных сил.............................15
   1.5. Пара сил и ее свойства................................16
   1.6. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей..........18
   1.7. Теорема о параллельном переносе силы (Метод Пуансо)...18
   1.8. Основная теорема статики (Теорема Пуансо).............19
   1.9. Условия равновесия произвольной системы сил...........22
   1.10. Произвольная плоская система сил.....................22
   1.11. Распределенные нагрузки..............................23
   1.12. Плоские составные конструкции........................25
   1.13. Равновесие системы параллельных сил..................27
   1.14. Трение...............................................28
   1.15. Плоские фермы........................................30
   1.16. Центр тяжести........................................34

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА..........................................39

   2.1. Кинематика точки......................................39
   2.1.1. Способы задания движения точки......................39
   2.1.2. Скорость точки......................................40
   2.1.3. Ускорение точки.....................................42
   2.1.4. Частные случаи движения точки.......................44
   2.2. Кинематика твердого тела..............................44
   2.2.1. Поступательное движение твердого тела...............45
   2.2.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси .... 45

3

   2.2.3. Плоскопараллельное движение твердого тела.............51
   2.2.4. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.......64
   2.2.5. Движение свободного твердого тела.....................66
   2.3. Составное (сложное) движение точки.........................67
   2.4. Сложное (составное) движение твердого тела..............71
   2.4.1. Сложение поступательных движений.........................72
   2.4.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей..........72
   2.4.3. Сложение поступательного и вращательного движений.....73
   2.4.4. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.75
   2.4.5. Метод остановки (Метод Виллиса).......................78
РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА..............................................80
   3.1. Динамика материальной точки.............................80
   3.1.1. Законы динамики Галилея - Ньютона.....................80
   3.1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки...81
   3.1.3. Динамика несвободной материальной точки...............82
   3.1.4. Динамика относительного движения материальной точки...83
   3.2. Прямолинейные колебания материальной точки..............84
   3.2.1. Свободные гармонические колебания.....................85
   3.2.2. Затухающие колебания материальной точки...............86
   3.2.3.    Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления среды.............................................88
   3.2.4.    Вынужденные колебания материальной точки с учетом сопротивления среды.............................................89
   3.3. Введение в динамику механической системы................90
   3.3.1. Классификация сил.....................................91
   3.3.2. Дифференциальные уравнения движения механической системы ... 91
   3.3.3. Геометрия масс. Центр масс механической системы.......92
   3.3.4. Моменты инерции твердого тела.........................92
   3.3.5. Осевые моменты инерции некоторых однородных тел.......94

4

   3.3.6. Теорема Штейнера - Гюйгенса...........................97
   3.3.7. Центробежные моменты инерции..........................97
   3.4.    Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы.........................................................98
   3.4.1. Меры движения точки и системы.........................98
   3.4.2. Теорема о движении центра масс системы................99
   3.4.3. Теорема об изменении количества движения точки и системы.99
   3.4.4.    Теорема об изменении кинетического момента для материальной точки и механической системы..................101
3.4.5.   Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы.........................................103
   3.4.5.I. Элементарная и полная работа сил...................103
   3.4.5.2. Примеры вычисления работ сил.......................104
   3.4.5.3.   Кинетическая энергия материальной точки и механической системы    104
   3.4.5.4. Теорема о кинетической энергии точки и системы.....105
   3.4.6. Потенциальное силовое поле...........................107
   3.4.6.1.   Закон сохранения полной механической энергии материальной точки и механической системы......................108
   3.5. Принцип Даламбера......................................109
   3.6. Динамика твердого тела.................................111
   3.6.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела........111
   3.6.2. Физический маятник...................................111
   3.6.3.    Определение динамических реакций в точках закрепления оси вращающегося твердого тела.................................113
   3.6.4. Динамика сферического движения твердого тела.........114
   3.6.5. Приближенная теория гироскопа........................115
   3.7. Введение в аналитическую динамику......................117
   3.7.1. Классификация связей.................................117
   3.7.2. Возможные (виртуальные) перемещения..................117

5

   3.7.3. Возможная работа сил..........................118
   3.7.4. Идеальные связи...............................118
   3.7.5. Принцип возможных перемещений (Принцип Лагранжа)........118
   3.7.6. Обобщенные координаты и обобщенные силы.......118
   3.7.7.  Принцип возможных перемещений (Принцип Лагранжа) в обобщенных координатах................................119
   3.7.8. Общее уравнение динамики (Принцип Даламбера - Лагранжа).119
   3.7.9. Уравнения Лагранжа второго рода...............120
   3.7.10. УравненияАппеля..............................120
   3.8. Малые колебания механических систем.............121
   3.8.1. Свободные колебания с одной степенью свободы..122
   3.8.2.  Затухающие колебания механической системы с одной степенью свободы 122
   3.8.3.  Вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы 123
   3.9. Теорияудара.....................................124
   3.9.1. Действие ударной силы на материальную точку...124
   3.9.2. Теорема Карно.................................126
   3.9.3. Удар по неподвижному телу.....................126
   3.9.4. Удар по вращающемуся телу.....................126
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ........................129
ПРИЛОЖЕНИЕ 1............................................130
ПРИЛОЖЕНИЕ 2............................................131
ИСТОРИЯ МЕХАНИКИ В ЛИЦАХ................................143

6

                          «Мы должны стремиться не к тому, чтобы нас понимал всякий, а к тому, чтобы нас нельзя было не понять...» Вергилий


ПРЕДИСЛОВИЕ

    К настоящему времени известен целый ряд классических, фундаментальных учебников по теоретической механике, в которых во всей полноте и подробностях изложены основы и приложения классической механики. Эти учебники с успехом используются в учебном процессе, давая студентам возможность в полной мере познать основные законы и выводы механики Ньютона. Но, к сожалению, для достаточно большого числа студентов, имеющих слабую школьную механико-математическую подготовку, изучение таких учебников вызывает непреодолимую трудность. Если весь объем знаний по теоретической механике представить в виде пирамиды, то достаточно большое количество студентов не дотягивают до центра тяжести этой пирамиды. Исповедуя один из основных дидактических принципов российского образования «от простого к сложному», возникла идея: компактно, ясно и очевидно изложить основы теоретической механики в виде справочника, который позволит студентам, изучив его, приступить к пользованию многими известными учебниками по теоретической механике. Данный справочник будет полезен студентам при подготовке к сдаче заданий по самостоятельной работе, а также при подготовке к сдаче зачетов и экзаменов по теоретической механике.
    Теоретическая механика изучает общие законы механического движения и равновесия материальных тел. Теоретическая механика делится на статику, кинематику и динамику.


7

РАЗДЕЛ 1


СТАТИКА


    В статике изучаются законы равновесия материальных тел, а также способы преобразования различных систем сил к более простому виду.


1.1. Основные понятия и определения


    В статике все тела считаются абсолютно твердыми, т. е. такими у которых

расстояния между точками не меняются.
     Одним из основных понятий в механике являются понятия силы. Сила -есть мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого тела либо сообщают друг другу ускорения, либо деформируются. Сила -векторная физическая величина, которая характеризуется численным значением, точкой приложения и направлением (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Основные характеристики силы

     Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на тело (FJ,F,,..,Fₙ). Две системы сил называются эквивалентными, если они оказывают одинаковое механическое действие на одно и то же твердое тело.
^*  ^* ^*      ^* ^* ^*
( f  F F ) =1P    P P    )
’ 1,J 2,..,J n> \J1,J2,..,J n .

     Система сил, под действием которой твердое тело может находиться в равновесии, называется уравновешенной системой сил или эквивалентной нулю
^* ^*  ^*
(Д, F,,.., Fn) = 0.

     Равнодействующей силой данной системы сил, называют силу эквивалентную этой системе сил ^» ^»                                   ^»   ^*
(F,F,,..,Fn) = R.


8

Аксиомы статики

    Аксиома 1. Для равновесия двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Первая аксиома статики

^* ^*                  ^*    ^*
(Fi,F,) ^ 0; Fi = F2; F =-F₂.

    Аксиома 2. Механическое состояние тела не изменится, если к системе сил, приложенной к телу, добавить или отнять уравновешенную систему сил (рис. 1.3).

     Следствие: Состояние тела не изменится, если силу перенести вдоль линии ее действия. Сила F - вектор скользящий.

Рис. 1.3. Вторая аксиома статики

    Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и определяется по правилу параллелограмма сил (рис. 1.4).

9

^*  ^*  ^*
R = F + f₂,

R = Ff+ + F₂² + 2F F₂ cos a .



Рис. 1.4. Третья аксиома статики

    Аксиома 4. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
    Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится при его отвердевании.
    Аксиома 6 (Принцип освобождаемости от связей). Всякое несвободное тело можно освободить от связей, заменив их реакциями связей, и рассматривать его как свободное тело, находящееся под действием активных сил и реакций связей.
Основные типы связей
    1. Абсолютно гладкая поверхность (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Абсолютно гладкая поверхность: N - нормальная реакция

    2. Гибкая нить (рис. 1.6).

10

Рис. 1.6. Гибкая нить:

                           ^*
T - сила натяжения нити



     3. Жесткий стержень (рис. 1.7).


Рис. 1.7. Жесткийстержень: Rₐ , RB -реакциистержней

     4. Неподвижная цилиндрическая опора (рис. 1.8).



Рис. 1.8. Неподвижная цилиндрическая опора:

Ra = № + Yₐ - реакция опоры


11

     5. Подвижная цилиндрическая опора (рис. 1.9).


Рис. 1.9. Подвижная цилиндрическая опора: RB - реакция опоры

     6. Сферический (пространственный) шарнир (рис. 1.10).


Рис. 1.10. Сферический (пространственный) шарнир:

RA = ^ХА + YA + Z\ - реакция опоры



    7.  Жесткая заделка (рис. 1.11).


Рис. 1.11. Жесткая заделка:

RA = ^х+ + YA -,Ma - момент жесткой заделки


12

1.2. Сходящаяся система сил


     Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящейся.
     Систему сходящихся сил в общем случае можно заменить одной силой R -равнодействующей, равной геометрической сумме всех сил системы
^*   ^*
R = Z Fk .


Рис. 1.12. Система сходящихся сил

    Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенство нулю равнодействующей этой системы R = 0, или в проекциях на координатные оси:
хXk = 0; XYk = 0; ZZk = 0.                (1.1)
    Теорема в трех силах: Три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, уравновешиваются, если линии их действия пересекаются в одной точке.

1.3. Момент силы относительно точки и оси


    Момент силы относительно точки (оси) является характеристикой вращательного эффекта силы относительно точки (оси).
    Алгебраическим моментом силы относительно данной точки (рис. 1.13) называется произведение величины силы на плечо, взятое со знаком «+»,

13

если сила вращается вокруг точки против часовой стрелки и со знаком «-», если по часовой стрелке:

M ₀ (F ) = - F h; M ₀ (P ) = + PH.


Рис. 1.13. Алгебраический момент силы относительно точки


    Момент силы относительно точки не зависит от перемещения силы вдоль линии ее действия и равняется нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.
    Моментом силы относительно оси (рис. 1.14) называется алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси и плоскости.
MZ (F ) = M ₀ (F )=+ F[ h


Рис. 1.14. Момент силы относительно оси

    Момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря с положительного направления оси Z, поворот, совершаемый силой Д, наблюдается против часовой стрелки.


14