Вычислительная математика для IT-специальностей


A. В.Зенков











ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ IT-СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Учебное пособие

















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 512:517.5
ББК 22.19
     3-56


Рецензенты:
доктор педагогических наук, профессор кафедры информационных технологий и статистики Уральского государственного экономического университета Плещёв Владимир Васильевич;
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры шахматного искусства и компьютерной математики Уральского государственного экономического университета Мельников Юрий Борисович

     Зенков, А. В.
3-56      Вычислительная математика для IT-специальностей : учебное посо-
      бие / А. В. Зенков. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 128 с. : ил., табл.
          ISBN 978-5-9729-0883-7

      Учебное пособие соответствует 1-семестровому лекционному курсу, читаемому автором для студентов IT-специальностей. Рассмотрены основные источники погрешностей, действия с приближенными числами, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение уравнений, систем уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены индивидуальные задания для практических занятий и лабораторных работ, которые предполагаются к выполнению в пакете численных и символьных расчетов Mathcad.
      Для студентов прикладного бакалавриата по направлениям «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Информатика и вычислительная техника», «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и «Бизнес-информатика».

                                                               УДК 512:517.5
                                                               ББК 22.19

   На обложке приведён фрагмент статьи Э. Варинга 1779 г., в которой впервые была опубликована формула интерполяционного полинома Лагранжа. Этот полином играет важную роль в нашей книге.
   Статья находится в открытом доступе по адресу https://www.jstor.org/stable/106408



ISBN 978-5-9729-0883-7

    © Зенков А. В., 2022
    © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

Предисловие


    Учебное пособие соответствует 1-семестровому (15 недель) лекционному курсу Вычислительной математики, читаемому автором для студентов прикладного бакалавриата по направлениям «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Информатика и вычислительная техника», «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и «Бизнес-информатика» Уральского федерального университета и содержит материал, который реально освоить за 2 часа лекций и 2 часа лабораторных работ в неделю, отводимые учебным планом на данный предмет.
    Каждая глава заканчивается индивидуальными заданиями для практических занятий (после I главы) и лабораторных работ, которые предполагаются к выполнению в пакете численных и символьных расчетов Mathcad. Предварительное знание его не предполагается; памятка по Mathcad (Приложение I) и образец выполнения в Mathcad лабораторной работы по интерполированию функций (Приложение II) позволят быстро овладеть базовыми навыками расчетов в этом интуитивно понятном пакете.
    Компетенции, которыми овладевают студенты при изучении данного курса: Знать
    •      Сравнительные преимущества и недостатки аналитических и численных методов решения математических задач.
    •      Основные ситуации, в которых требуется использование приближенных методов решения типовых математических задач.
    Уметь
    •     Оценить точность результата, полученного численным методом.
    •      Выбрать подходящий метод приближенных вычислений (с учетом объема вычислений, необходимых для достижения требуемой точности результата).
    •      Использовать математический аппарат приближенных вычислений в самостоятельных исследованиях.
    Владеть
    •     Методами численного решения типовых математических задач.
    •     Базовыми навыками реализации численных методов в пакете Mathcad.

    Учебная литература по вычислительной математике необозримо обширна. В конце книги приведены источники, повлиявшие на её содержание.
    Автор просит присылать сообщения о найденных недостатках по адресу zenkow@mail.ru

з

Введение


    Вычислительная математика (численные методы, вычислительные методы, методы вычислений) - раздел математики, изучающий приближенные, численные способы решения математических задач, которые либо не решаются, либо трудно решаются точными, аналитическими методами (вычислительная математика в узком смысле). Примерами таких задач являются численное решение уравнений, численные дифференцирование и интегрирование и др. Кроме перечисленного, к вычислительной математике (в широком смысле) относят вопросы, связанные с программированием и реализацией вычислительных алгоритмов на ЭВМ.
    Из определения следует, что есть две группы математических методов: аналитические (доставляющие точный результат) и численные (результат -приближённый). Деление методов вычислений на аналитические и численные несколько условно и нуждается в уточнении.
    Пример 1. При аналитическом решении квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по известной формуле¹ x₁₂ = (-b ± bb² - 4ac j/(2a) в ответ входит корень ТД. Если он не извлекается точно, то для получения численного значения корней потребуется численная процедура приближенного вычисления корня. Итак, результатом аналитического расчёта окажутся приближённые числа.
    Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными

dу

cos x


x

     Оно легко «решается» аналитически:

x

у (x ) = C exp ■ j dt


но интеграл - «неберущийся», и вычислять его придется численно.
    Итак, даже в тех случаях, когда можно далеко продвинуться в аналитическом решении задачи, не исключено применение на каком-либо этапе численных методов для получения ответа в практически удобном виде.


¹ Заметим, что это точная формула - в том смысле, что при ее выводе не делались какие-либо упрощения и огрубления. Вычисления по точным формулам - это аналитические вычисления. Ниже нам встретятся формулы численных расчетов, которые принципиально являются приближенными (при этом их погрешность можно оценить).

4

     Часто аналитические методы называют «точными», а численные - «приближенными». Приведенные примеры показывают, что и аналитические методы могут приводить к приближенному результату.
     Кроме того, аналитические методы могут быть приближенными по существу, оставаясь аналитическими - например, когда функция заменяется первыми слагаемыми ее ряда Тейлора.
     При прочих равных условиях аналитическое решение задачи на ЭВМ выполняется гораздо медленнее, чем численное. Примерами математических пакетов, предназначенных как для аналитических (символьных), так и для численных расчётов, являются Maple, Mathematica, MATLAB, Mathcad.
     Резюмируем сравнительные характеристики аналитических и численных

методов:                                                                        
         Аналитические методы                      Численные методы            
                           I. Точность результатов                              
Получаемые результаты обычно точны -   Результаты заведомо являются прибли-    
с оговорками, сделанными выше          жёнными                                 
                             II. Универсальность                                
Далеко не любая математическая задача  Численно решается практически любая     
может быть решена аналитически         задача                                  
                         III. Информативность решения                           
Сравнительно велика; например, решение Сравнительно невелика; например, реше-  
может выглядеть как функция, заданная  ние может выглядеть как функция, задан- 
аналитически (т.е. формулой), и с ней  ная таблично, и такой способ представле-
удобно производить дальнейшие матема-  ния функции затрудняет работу с ней     
тические преобразования                (позволяет лишь построить график по     
                                       точкам)                                 
IV. Скорость выполнения на ЭВМ (при прочих равных условиях)                     
Сравнительно невелика                  Сравнительно велика                     

     Итак, аналитические и численные методы вычислений являются, скорее, взаимодополняющими, чем конкурирующими.

Контрольные вопросы
     1)     Что является предметом вычислительной математики (в узком и широком смысле)?
     2)     Каковы сравнительные преимущества и недостатки аналитических и численных методов решения математических задач?


5

ГЛАВА 1. ПОГРЕШНОСТИ


1. Источники погрешностей

    Поскольку вычислительная математика отыскивает приближенное решение задач, не решаемых точно, такому решению всегда свойственна погрешность. Рассмотрим её источники.
    1)      Погрешность модели. Природа слишком сложна и многообразна, чтобы пытаться изучать ее во всей полноте присущих ей в том числе и малозначимых взаимосвязей. Любая (естественная) наука изучает не природу непосредственно, а те модели, которые создаются самой этой наукой для описания природных явлений. Модель - это идеализированное описание явления, в котором выявлены основные и игнорируются второстепенные свойства явления. Хорошая модель - это верный шарж, меткая карикатура на изучаемое явление. Естественно, что моделирование, сопровождаемое огрублением и упрощением, вносит погрешность в результат описания явления. Математическая модель создается на языке математики, но оценка погрешности математической модели есть прерогатива не математики, а той науки, в рамках которой изучается явление.
    Заметим, что моделирование свойственно не только науке, оно пронизывает любой вид творчества. Писатель, создавая жизнеописание вымышленных героев (подчас очень объемное - см., например, «Войну и мир» Л. Толстого или «Жан-Кристоф» Р. Роллана), тоже занимается моделированием (но средствами искусства, а не науки).
    2)     Погрешность исходных данных. Как правило, математическая модель содержит некоторые параметры, зависящие от исходных данных. Поскольку последние определяются обычно из экспериментов, неизбежно сопровождаемых ошибками измерений, возникает погрешность исходных данных.
    Возникает вопрос: не может ли погрешность исходных данных (пусть даже малая) непоправимо исказить результат? Иногда это, действительно, возможно -такие задачи называются некорректными (и это как раз многие задачи, представляющие практический интерес). Современная вычислительная математика выработала способы их регуляризации, т. е. замены некорректной задачи близкой к ней в некотором смысле корректной задачей, в которой малое изменение исходных данных приводит к малому изменению результата. Мы не можем подробно на этом останавливаться.
    Погрешности в решении, обусловленные моделированием и исходными данными, называются неустранимыми. Они не зависят от математики и присутствуют, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно.


6

    Теперь рассмотрим устранимые погрешности. Полностью избавиться от них невозможно, но уменьшить их влияние в рамках математики вполне реально.
    3)      Погрешность метода. После того, как математическая модель создана, вычисления в рамках модели обычно можно выполнять по-разному. Сложная математическая задача заменяется более простой. Например, вычисление определенного интеграла заменяется вычислением интегральной суммы. При этом неизбежно возникает погрешность метода вычислений, которой в дальнейшем мы будем уделять большое внимание при рассмотрении конкретных численных методов.
    4)      Погрешность округления. Любые расчеты, выполняемые как вручную, так и с помощью вычислительной техники, производятся с конечным числом цифр, поэтому приходится прибегать к округлению промежуточных и окончательного ответа. Так возникает погрешность округления, которая может накапливаться в ходе вычислений (опасный процесс, способный обесценить результат вычислений!). Даже те результаты, которые получены точными, аналитическими методами, испытывают влияние погрешности округлений и в действительности могут оказаться приближенными.
    Полная погрешность является результатом взаимодействия разных видов погрешностей и не может быть меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей.

2. Абсолютная и относительная погрешности

    Для оценки погрешности вводятся понятия абсолютной и относительной погрешностей.
    Пусть х - точное значение некоторой величины (нам оно неизвестно и никогда не будет известно², поскольку определяется оно с помощью измерений, страдающих неточностями); а - приближенное значение той же величины (а ~ х). Абсолютная погрешность приближенного числа а определяется как Да = |x - а\. Но, поскольку значение х неизвестно, то и абсолютную погрешность узнать невозможно! Чтобы разрешить парадокс, вводят предельную абсолютную погрешность Да - такое значение, которого абсолютная погрешность заведомо не превзойдет при данном способе измерений:
|х - а\ <Д"а.                        (1)
    Из (1) следует, что а - Да < x < а + Да, поэтому желательно возможно меньшее значение Д*а: это уменьшит длину интервала, содержащего искомое

² В философии есть знаменитое понятие «вещи в себе», введенное Иммануилом Кантом.

7

значение х и, следовательно, понизит неопределенность в наших знаниях об этой величине.
    В технике формулу (1) часто записывают в виде x = а ±Д.,, причем Д.а называется допусками. Никакое изделие не может быть изготовлено с абсолютно точным соблюдением номинальных размеров; допуски показывают возможные (допустимые) отклонения от номинала.
    Итак, абсолютная погрешность оценивает точность измерений, но эта оценка неполна, поскольку не учитывает характерный размер изучаемого явления (объекта). Так, например, абсолютная погрешность в 1 см при измерении

длины комнаты - вероятно, вполне приемлемая точность, но при измерении роста человека эта же погрешность будет сочтена непозволительно грубой.
     Исчерпывающим показателем качества измерений является относительная погрешность За (соответственно, предельная относительная погрешность 3.)

приближенного числа а как отношение абсолютной погрешности (предельной абсолютной погрешности) к модулю числа а:

З = —
³ а ’

                             З =Да
                             ³ а •

    Относительная погрешность является величиной безразмерной, т. е. не зависит от выбора системы единиц измерения, что позволяет сравнивать качество измерений разнородных величин (бессмысленным является вопрос о том, что больше: 1 кг или 1 м, но сравнение качества измерений массы и длины в терминах относительной погрешности вполне допустимо). Измеряется За (з“) в

долях единицы или в процентах.
    Пример. Согласно ныне действующим (с 2019 г.) определениям международного Комитета по константам для науки и технологии (CODATA) входящая в закон всемирного тяготения гравитационная постоянная
у = (6,67430±0,00015) -10⁻¹¹ м³- кг⁻¹- с⁻²,

а масса электрона
те =(9,1093837015 ± 0,0000000028)-10“³¹ кг.
Сравнить точность определения этих фундаментальных физических констант.
    Решение. Для гравитационной постоянной предельная относительная по

грешность

_. 0,00015        5
³ = 667430 = ²,² ¹⁰ ,

а для массы электрона

3 т

e

                         0,0000000028   . ₁П_ю
=—=—=—=-----= 3,0 -10
                         9,1093837015

8

    В последнем случае относительная погрешность оказывается на пять порядков меньшей, т. е. масса электрона определена гораздо точнее, чем гравитационная постоянная.
    С понятиями абсолютной и относительной погрешности связаны понятия верных и значащих цифр.
    Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего (самого правого) разряда его десятичной записи, то цифры числа называют верными (или точными).
    По умолчанию десятичная запись приближенного числа должна содержать только верные цифры, и тогда по записи числа сразу можно определить предельную абсолютную погрешность, с которой оно известно.
    Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.
    Пример. Даны приближенные числа а = 9,7, b = 9,70, c = 5600, d = 5,6-10³. Указать предельную абсолютную погрешность для каждого числа.
    Решение. Для числа а погрешность Д* < 0,1, для числа b: Д* < 0,01, для числа с: Дс < 1, для числа d: Д^ < 0,1 • 10³ = 100.
    Итак, числа а и b, с и d, равные с точки зрения «обычной» математики, существенно различны в вычислительной математике: из абсолютной погрешности мы заключаем, что число b известно точнее, чем число а, а число с - точнее, чем d. Кроме того, нуль, стоящий справа в дробной части десятичного числа, важен, и им нельзя пренебрегать, если мы хотим составить верное суждение о точности числа.
    Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его десятичной записи, кроме нулей, находящихся левее первой отличной от нуля цифры.
    Пример. Числа 0,004205 и 3,0200 имеют соответственно четыре и пять значащих цифр. Итак, нули, находящиеся слева, значащими не являются, а нуль, записанный в конце десятичной дроби, всегда является значащей цифрой.

3. Действия с приближенными числами

    Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической³ суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
    В частности, для двух чисел а и b любого знака получаем Дₐ± b < Дₐ + Дb.
    Из этой теоремы следует, что абсолютная погрешность алгебраической суммы не меньше абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых,

³ Под алгебраической суммой понимается как сумма, так и разность.

9

т. е. увеличение точности за счет других слагаемых невозможно. Поэтому бессмысленно сохранять излишние десятичные знаки в более точных слагаемых (не говоря уже о том, что с многоразрядными числами труднее работать). Отсюда вытекает следующее
Правило сложения и вычитания приближенных чисел
    1)     Выделить наименее точное число (или числа), т. е. такое, в десятичной записи которого наименьшее число верных десятичных знаков;
    2)     округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало на один (запасной) знак больше, чем выделенное число;
    3)     выполнить сложение и вычитание с учетом сохраненных знаков;
    4)     полученный результат округлить до предпоследнего знака.
    Напомним правила округления числа, т. е. его замены числом с меньшим количеством значащих цифр:
    А.     если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые десятичные знаки оставляют без изменения;
    Б. если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
    В.     если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих за ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
    Г. если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все последующие - нули (или последующих нет), то последний из сохраняемых десятичных знаков увеличивают на 1, когда он нечетен, и сохраняют неизменным, когда он четен (правило четной цифры).
    Пример. Округляя число 43,471 до одного знака после запятой, получим 43,5 (правило Б), а при округлении до двух знаков после запятой получим 43,47 (правило А). Округляя число 1,825001 до двух знаков после запятой, получим 1,83 (правило В). Округляя число 7,465 до сотых долей, получим 7,46; сохраняемая цифра не увеличивается на единицу, поскольку она четна. При округлении числа 7,47500 до сотых долей получим 7,48 - нечетная цифра увеличилась на единицу (правило Г).
    Смысл правила Г-в том, что в алгебраической сумме большого числа слагаемых округление по избытку будет встречаться примерно с той же частотой, что и округление по недостатку, и произойдет (частичная) взаимная компенсация погрешностей округления; правило Г предотвращает лавинообразный рост погрешности округления.
    Теперь проиллюстрируем правило сложения и вычитания приближенных чисел.

10