Нерелятивистская квантовая механика

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

А. Н. Кислов

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ 
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Учебник

2-е издание, стереотипное

＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠  ＠ﾫﾻ＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＲ2＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠     ＲＰＲ2

УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73
          К44

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра физики факультета геологии и геофизики 

ФГБОУ ВО «Уральский государственный горный университет» 
(завкафедрой д‑р физ.‑мат. наук, проф. И. Г. Коршунов);

ст. науч. сотр., канд. физ.‑мат. наук Д. Ю. Новоселов 

(Институт физики металлов УрО РАН)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р

доц., д‑р физ.‑мат. наук В. В. Зверев

Кислов А. Н.

К44    Нерелятивистская квантовая механика : учебник / А. Н. Кислов. — 
2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : 
Изд‑во Урал. ун‑та, 2022. — 256 с. — ISBN 
978-5-9765-5062-9 (ФЛИНТА) ; ISBN 978-5-7996-3353-0 
(Изд-во Урал. ун-та). — Текст : электронный.

Данный учебник предназначен для студентов, изучающих дис-

циплину «Квантовая механика». Он состоит из восьми глав и
написан в соответствии с программой преподавания дисциплины. 
Изложение ведется с учетом знаний, полученных студентами на
этапе изучения общей физики и высшей математики. В нем особое 
внимание уделяется базовым понятиям квантовой механики.

УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73

ISBN 978-5-9765-5062-9 (ФЛИНТА)
© Уральский федеральный

университет, 2022

ISBN 978-5-7996-3353-0 (Изд-во Урал. ун-та) © Кислов А. Н., 2022

Оглавление

Предисловие..................................................................................................... 5

Введение ........................................................................................................... 7

1. Математический аппарат квантовой механики .......................................... 13

1.1. Абстрактное гильбертово пространство ............................................ 13
1.2. Линейные однородные операторы ..................................................... 17
1.3. Собственные векторы и собственные значения оператора .............. 21
1.4. Представление векторов и операторов .............................................. 24
1.5. Изменение представления ................................................................. 32
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 34

2. Основные принципы и понятия квантовой механики ................................. 36

2.1. Постулаты квантовой механики ........................................................ 36
2.2. Условия квантования ......................................................................... 44
2.3. Соотношение неопределенностей для физических величин ........... 48
2.4. Координатное представление ............................................................ 52
2.5. Импульсное представление ............................................................... 65
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 71

3. Квантовая динамика ................................................................................... 72

3.1. Изменение квантовых состояний во времени .................................. 73
3.2. Зависимость физических величин от времени ................................. 76
3.3. Уравнение Шредингера в координатном представлении ................ 80
3.4. Стационарные состояния .................................................................. 83
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 88

4. Элементарное применение квантовой механики
(одномерное движение частицы) .................................................................... 90

4.1. Свободное движение частицы ........................................................... 91
4.2. Частица в потенциальном поле прямоугольной формы................... 94
4.3. Гармонический осциллятор ..............................................................101
4.4. Движение частицы в периодическом поле .......................................111
Задачи для самостоятельного решения ...................................................116

5. Механические моменты ............................................................................118

5.1. Общие свойства оператора углового момента .................................118
5.2. Векторное сложение двух моментов. Коэффициенты 
        Клебша — Гордана ............................................................................124
5.3. Орбитальный момент и сферические функции ...............................131

Оглавление

5.4. Собственный момент и матрицы Паули ..........................................139
5.5. Полный угловой момент ...................................................................146
Задачи для самостоятельного решения ...................................................149

6. Движение в центральном потенциальном поле ..........................................151

6.1. Особенности движения частиц в сферически‑симметричном поле ...151
6.2. Свободное вращательное движение частицы ..................................154
6.3. Движение электрона в кулоновском поле притяжения ...................157
6.4. Энергетический спектр и волновые функции стационарных 
        состояний водородоподобного атома ..............................................164
Задачи для самостоятельного решения ...................................................168

7. Приближенные методы решения уравнения Шредингера .........................170

7.1. Стационарная теория возмущений ..................................................170
7.2. Простейшие применения стационарной теории возмущений .......177
7.3. Нестационарная теория возмущений и элементы теории 
        квантовых переходов ........................................................................186
7.4. Вариационный метод ........................................................................193
Задачи для самостоятельного решения ...................................................197

8. Многоэлектронные системы .....................................................................199

8.1. Принцип тождественности частиц: бозоны и фермионы ...............199
8.2. Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов ........204
8.3. Элементарная теория атомов с двумя электронами ........................208
8.4. Методы самосогласованного поля Хартри и Хартри — Фока 
        для атомов со многими электронами ...............................................218
8.5. Двухатомная молекула ......................................................................226
Задачи для самостоятельного решения ...................................................246

Приложение ..................................................................................................248

Библиографический список ...........................................................................250

Алфавитно-предметный указатель ................................................................251

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 

книге сделана попытка систематического изложения в малом 
объеме достаточно большого учебного материала, касающего‑
ся только нерелятивистской квантовой механики. Изложение 
материала ведется с учетом имеющихся у студентов знаний, получен‑
ных на раннем этапе обучения — при изучении курсов общей физи‑
ки и высшей математики1.
Предлагаемое издание ориентировано на студентов, которые изу‑
чают квантовую механику в течение одного семестра. Большое вни‑
мание уделяется тому, чтобы дать обучаемому правильное и полное 
понимание математического аппарата квантовой механики, ее физи‑
ческих основ. В конце каждой главы представлен список задач с от‑
ветами, самостоятельное решение которых в ряде случаев может по‑
мочь глубже понять часть вопросов, затрагиваемых в основном тексте.
Учебник начинается с введения и последующего рассмотрения ма‑
тематического аппарата квантовой механики. При этом дается понятие 
гильбертова пространства, вспоминается алгебра линейных операто‑
ров и кратко затрагиваются элементарные основы теории представле‑
ний. Затем вводятся физические постулаты и принципы, а также рас‑
сматриваются другие базовые положения квантовой механики. Далее 
обсуждаются способы описания эволюции квантовой системы.
После изложения аксиоматики квантовой теории в первых трех 
главах, в четвертой главе в рамках квантово‑механического подхо‑
да решается ряд типичных задач об одномерном движении частицы, 
на примере которых представлена методика и способы решения по‑
добного рода простых задач. Оставшаяся часть книги, включающая 
четыре главы, посвящена обсуждению разнообразных вопросов, ко‑

1 Данный учебник написан на основе курса лекций (в объеме 68 ч) по дисципли‑
не «Квантовая механика», который автор читал в УрФУ имени первого Президента 
России Б. Н. Ельцина студентам физико‑технологического института. 

ПРЕДИСЛОВИЕ

торые относятся к таким важным темам, как момент импульса, дви‑
жение в центральном поле, приближенные методы решения уравне‑
ния Шредингера и многоэлектронные системы.
Учебник представляет собой самодостаточное законченное целое. 
Он позволяет сформировать у студентов современной взгляд на кван‑
товую механику и дает возможность, во‑первых, овладеть системой ее 
понятий, положений и принципов, во‑вторых, получить знания, ко‑
торые необходимо использовать при решении уравнений, записанных 
на основе квантово‑механического подхода для конкретных микроси‑
стем, в‑третьих, научиться на практике применять соответствующий 
математический аппарат при решении задач, в которых рассматрива‑
ются микрообъекты.

ВВЕДЕНИЕ

К

вантовая механика является одним из основных разделов те‑
оретической физики и играет фундаментальную роль в совре‑
менной физике и химии. Ее можно подразделить на нереляти‑
вистскую и релятивистскую механику. Становление первой связано 
с именами таких великих ученых, как Л. де Бройль, Э. Шредингер 
и В. Гейзенберг, второй — В. Гейзенберг, П. Дирак и В. Паули. Кван‑
товая механика включает в себя как предельный случай классическую 
механику и классическую теорию поля.
С помощью квантовой механики удается по‑новому взглянуть 
на многие явления ядерной, атомной и молекулярной физики, а так‑
же оптики и физики твердого тела. Ее применение дает возможность 
понять различные природные процессы, при объяснении которых 
прежние теории (ньютоновская механика и максвелловская электро‑
динамика) приводили к результатам, находящимся в противоречии 
с экспериментом. Особенно это касается процессов, протекающих 
в физических системах атомных и субатомных масштабов (имеют раз‑
меры меньшие 10–9 м), другими словами, в микромире. В связи с этим 
к предмету изучения квантовой механики относится движение микро‑
скопических объектов (микрочастиц), например, элементарных ча‑
стиц, атомов, молекул.
Начнем с перечисления некоторых явлений, обнаруженных в кон‑
це XIX в. и начале XX в., при интерпретации которых исследователи 
столкнулись с непреодолимыми трудностями, что впоследствии при‑
вело к возникновению квантовой механики. Опираясь на принципы 
классической физики, невозможно было объяснить линейчатый ха‑
рактер атомных спектров (спектры одноатомных газов состоят из от‑
дельных спектральных линий), форму спектрального распределения 
интенсивности высокочастотного равновесного теплового излучение 
абсолютно черного тела, закономерности внешнего фотоэффекта 
(процесс испускания электронов веществом под действием света), 

ВВЕДЕНИЕ

эффект Комптона (при рассеянии веществом монохроматического 
пучка рентгеновских лучей с длиной волны λ в спектре рассеянного 
излучения возникает дополнительная спектральная линия на длине 
волны ўl > l). Сюда же можно отнести попытки построения теории 
атома, которые принадлежат к задачам, нерешаемым в рамках клас-
сической физики.
Планетарная модель атома, предложенная Э. Резерфордом в 1911 г., 
была с точки зрения классической электродинамики динамически  
неустойчива. Согласно этой модели, отрицательно заряженный элек-
трон должен совершать движение по замкнутой орбите вокруг неболь-
шого, плотного, положительно заряженного ядра. Однако, поскольку 
движение электрона ускоренное, он излучает электромагнитные вол-
ны, что неизбежно приводит к потере им энергии. Расчеты показы-
вали, что расстояние от электрона до ядра со временем уменьшается 
и, через время порядка 10–10 с, электрон, двигаясь по спиралевидной 
траектории, должен упасть на ядро. Следовательно, эта модель не объ-
ясняет стабильность атома. Кроме того, оказалось, что данная модель 
не способна объяснить и линейчатый характер атомного спектра.
Чтобы добиться согласия теории с экспериментом при описании 
распределения энергии в высокочастотной части спектра теплового 
излучения абсолютно черного тела, в 1900 г. М. Планк выдвинул ги-
потезу, противоречащую классическим волновым представлениям 
об излучении. Он предположил, что электромагнитное излучение с ли-
нейной частотой ν испускается (или поглощается) и распространяет-
ся не непрерывно, а дискретно, в виде отдельных порций с энергией Е 
кратной некоторой величине ∆Е: Е = n · ∆E, где n — целые числа. 
В свою очередь ∆Е пропорциональна частоте ν излучения (поглоще-
ния) D
= n
E
h , где коэффициентом пропорциональности h является 
фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной 
Планка, h = 6,626·10–34 Дж·с (в системе единиц СИ).
В 1905 г. А. Эйнштейн, при объяснении закономерностей внешне-
го фотоэффекта, развил идеи Планка и сделал предположение о том, 
что излучение испускается, распространяется и поглощается только 
порциями (квантами) с энергией 
= D
= n
E
E
h . Эти порции позднее на-
звали фотонами.
Обратимся теперь к эффекту Комптона, который был открыт 
в 1923 г. Попробуем объяснить его, основываясь на классических вол-
новых представлениях об излучении. Согласно этим представлениям, 

Механизм рассеяния

механизм рассеяния состоит в том, что электроны в атомах вещества 
«раскачиваются» под воздействием электромагнитного поля падаю-
щей волны и совершают вынужденные колебания. Двигаясь с уско-
рением, они испускают во все стороны вторичное излучение с длиной 
волны, равной длине падающей волны. Следовательно, длины волн 
рассеянного и падающего излучения должны совпадать. Это проти-
воречит опыту Комптона. Опираясь на корпускулярный (квантовый) 
подход к излучению и поглощению, предложенному А. Эйнштейном, 
ученые смогли понять природу эффекта Комптона.
Итак, наряду с многочисленными опытами по интерференции 
и дифракции света, проводимыми в XVII–XIX вв., которые приводи-
ли к выводу о волновой природе излучения, существовал ряд опытных 
фактов, противоречащих классическим представлениям об его волно-
вой природе и для своего объяснения требующих квантового подхода 
к излучению. Указанные аспекты привели к созданию корпускулярно-
волнового дуализма в учении о природе света, из которого следовало, 
что свет может вести себя и как совокупность волн, т. е. колебаний 
электромагнитного поля, и как поток световых частиц (фотонов). При 
этом выяснилось, что волновой и квантовый подходы к излучению 
не исключают, а взаимно дополняют друг друга и позволяют описать 
подлинные закономерности распространения света и его взаимодей-
ствия с веществом. Соотношения между корпускулярными характе-
ристиками (массой m, полной энергией E и импульсом p) и волновой 
характеристикой (частотой ν или длиной волны 
/
l =
n
c
, с — скорость 
света в вакууме) для фотонов следующие:

 

2
=
= n
E
mc
h  и 
/
= n
p
h
c.

В 1921 г. К. Рамзауэр, исследуя прохождение медленных электронов 
(с энергией 0,75–1,1 эВ) через газ из атомов аргона, обнаружил, что, 
при определенной энергии электронов, их рассеяние на атомах суще-
ственно уменьшается, в результате чего они проходят через газ прак-
тически беспрепятственно. Это явление, когда атомы инертного газа 
становятся «несуществующими» для электронов, обладающих опреде-
ленной скоростью, и электроны пролетают сквозь них без столкнове-
ний (что противоречит классическим представлениям), носит назва-
ние эффекта Рамзауэра.
В 1924 г. Л. де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что корпу-
скулярно-волновой дуализм не является особенностью только фото-

ВВЕДЕНИЕ

нов, а обладает универсальностью и присущ частицам вещества. Им 
можно приписывать наряду с корпускулярными еще и волновые ха-
рактеристики. Причем соотношения между корпускулярными и вол-
новыми характеристиками частиц те же, что и для фотонов.
Согласно де Бройлю, любую частицу вещества массой m, двигаю-
щуюся со скоростью v, т. е. у которой модуль импульса будет p = mv, 
можно сопоставить с волной. В дальнейшем такую волну стали назы-
вать волной де Бройля. Ее длина λ вычисляется по формуле

 
l =
=
h
h
p
mv.

Например, волну де Бройля свободной частицы (на нее не действу-
ют силы), двигающуюся вдоль положительного направления коор-
динатной оси X, рассматривают в виде плоской бегущей гармонической 
волны с круговой частотой ω = 2πν и постоянной амплитудой А. Урав-
нение для нее имеет вид

 
( , )
cos(
)
cos[(
) / ]
Y
=
w -
=
-

x
x t
A
t
kx
A
Et
p x
,

где t — время; k — волновое число, 
2 /
= p l
k
; 
= w

E
; 
= 
xp
k; 
/ 2
=
p

h
, 
а начальная фаза равна нулю.
Отметим, что волна де Бройля не является физической материальной 
волной, ее принято трактовать как «волну вероятности». 
Физический смысл этой волны заключается в том, что квадрат ее 
амплитуды в заданной точке пространства определяет плотность 
вероятности (см. п. 2.1) обнаружения соответствующей частицы 
в этом месте.
Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение 
в 1927 г. в опытах К. Девиссона и Л. Джермера, которые изучали отражение 
электронов от пластинки никеля Ni. Ими обнаружено, что 
отражение происходит не по законам классической физики для частиц. 
Они наблюдали дифракционные и интерференционные явления. 
Позднее была экспериментально исследована дифракция протонов, 
нейтронов и даже молекул.
Кроме того, в 1913 г. Дж. Франком и Г. Герцем были проведены опыты, 
в которых изучалось прохождение через пары ртути пучка электронов, 
ускоренных электрическим полем. Экспериментально было 
установлено, что при столкновении электронов с атомами, кинетиче-
ская энергия электронов изменяется непроизвольным образом, при-

Становление квантовой механики

нимая любые сколь угодно близкие значения, она может изменяться 
только на конкретную величину.
Несколько позднее, в 1922 г., О. Штерн и В. Герлах наблюдали 
за расщеплением узкого пучка нейтральных атомов серебра, прохо‑
дящего через область с неоднородным магнитным полем. Данные экс‑
перимента показали, что проекция магнитного момента атома на на‑
правление внешнего магнитного поля имеет определенные дискретные 
значения.
Таким образом, накопленные в первой четверти XX в. сведения ука‑
зывали на следующие моменты. Во‑первых, высокоэнергетичное из‑
лучение и микрочастицы вещества обладают свойствами волн и ча‑
стиц, поэтому их нельзя рассматривать ни как волны, ни как частицы 
в обычном смысле этих слов. Во‑вторых, некоторые физические ве‑
личины микрообъектов могут принимать лишь дискретные значения. 
Классическая физика не описывала движение микрообъектов и не объ‑
ясняла наблюдаемое квантование величин. Поэтому возникла необ‑
ходимость в создании теории, которая учитывала бы двойственность 
природы этих объектов и позволяла бы понять закономерности дви‑
жения в микромире. Такая физическая теория была построена. Она 
называется квантовой механикой и базируется на представлениях, 
принципиально отличных от представлений классической физики.
Отметим, что историческое становление квантовой механики про‑
ходило по двум независимым направлениям. Так, в середине 1925 г. 
В. Гейзенберг создал матричную механику, получившую дальнейшее 
развитие при участии М. Борна и П. Йордана. При ее создании В. Гей‑
зенберг основывался на том, что у микрочастиц проявляются корпу‑
скулярные свойства. Второе направление связано с именем Э. Шре‑
дингера, который в начале 1926 г. построил волновую механику. Он 
опирался на идею де Бройля о наличии волновых свойств у микроча‑
стиц. В дальнейшем выяснилось, что это две разные формы записи 
квантово‑механического формализма.
Квантовая механика является статистической теорией, в рамках ко‑
торой рассматриваются и отдельная микрочастица, и ансамбль таких ча‑
стиц. В классической физике тоже есть раздел статистической механики, 
которая с помощью методов теории вероятностей изучает движение си‑
стем, состоящих из большого количества макрообъектов. Между ними 
существует принципиальное различие, связанное с описанием состоя‑
ний частиц. Рассмотрим его на примере одной макро‑ и микрочастицы.

ВВЕДЕНИЕ

Обратимся к макрочастице, движение которой подчиняется зако‑
нам классической физики. Длина волны де Бройля такой частицы 
несоизмеримо меньше размеров самой частицы и неоднородностей, 
встречающихся на ее пути. В пределах погрешности измерений мож‑
но точно определить как положение r макрочастицы в пространстве, 
так и ее импульс p (или скорость v) в произвольный момент времени t. 
Возможность одновременного измерения местоположения и импуль‑
са классических частиц является столь характерной особенностью, что 
состояние таких объектов определяется путем задания совокупности 
их координат и импульсов. Знание этих физических величин позво‑
ляет проследить за изменением состояний макрочастиц и однознач‑
но спрогнозировать их движение, которое происходит по вполне кон‑
кретным траекториям, а также находить значения различных физиче‑
ских величин, таких как полная энергия, момент импульса и др.
Волновые свойства микрочастицы, которые могут проявиться 
в экспериментах, не только накладывают существенные ограниче‑
ния на отмеченный выше способ математического описания ее состо‑
яния, они приводят к отказу от его применения. В квантовой механике 
возникает необходимость по‑другому задавать и описывать состояния 
(не через одновременное задание координат и импульсов), поскольку 
в произвольный момент времени можно измерить точно либо коор‑
динаты микрочастицы, либо ее импульс. Связь между координатами 
и компонентами импульса микрочастицы для определенного момен‑
та времени выражается соотношением неопределенности Гейзенбер‑
га, о котором подробно поговорим в п. 3.3.