Индивидуальные задания по математике

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 
 
 
 
 
 
 
Г. Н. Романова 
 
 
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 
ПО МАТЕМАТИКЕ  
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 517(075)
ББК 22.11я7

Р69

 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. Е. К. Вачагина 
канд. физ.-мат. наук, доц. О. Н. Тюленева 
 
 
 
 
 

Р69

Романова Г. Н. 
Индивидуальные задания по математике : учебно-методическое пособие / 
Г. Н. Романова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. тех-
нол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 116 с.

ISBN 978-5-7882-2643-9
 
Содержит индивидуальные задания для бакалавров заочной формы 
обучения с различными сроками освоения профессиональных образовательных 
программ, сопровождаемые теоретическим материалом, примерами и 
заданиями по разделам высшей математики: «Линейная алгебра, векторная 
алгебра», «Аналитическая геометрия», «Дифференциальное исчисление 
функции одной переменной», «Исследование функций», «Комплексные числа», «
Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Кратные и 
криволинейные интегралы», «Числовые и степенные ряды. Гармонический 
анализ». 
Подготовлено на кафедре высшей математики. 
 

 
 
 
 

ISBN 978-5-7882-2643-9
© Романова Г. Н., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 517(075)
ББК 22.11я7

Индивидуальные задания 1 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 
 
Целевая установка: научиться самостоятельно применять знания теоретического 
и практического материала по темам «Линейная алгебра», 
«Векторная алгебра». 
Значения параметров: 
n – номер группы; 
N  – номер студента по списку в журнале: 
1,2,...,15.
N 
 
 
Задача 1 
 
Вычислить определитель четвертого порядка 

 

1
2
3
4
1
7
4
2
3
8
1
5
2

a
b
c



 




 

 

2,
6,
4.
a
N
b
n
c
N






 
 
Решение типового примера 
 
Запишем определитель, подставляя значения параметров 

 

1
0
1
6
0
1
2
3
2
5
1
0
6
0
25
1




  



 

Найдем значение Δ двумя способами: 
1) Разложим определитель по элементам первой строки 

1 1
1 2
1
2
3
0
2
3
1 ( 1)
5
1
0
0 ( 1)
2
1
0
0
25
1
6
25
1





   
  







 

1 3
1 4
0
1
3
0
1
2
( 1) ( 1)
2
5
0
( 6) ( 1)
2
5
1
6
0
1
6
0
25




 
 

 
 




 

 
Найдем значения определителей третьего порядка по правилу треугольника: 

( 
1 375 10)
( 90
2)
6(6
60
50)
386
92
96
198.
   

 




 


 
 
 
2) Преобразуем определитель Δ к ступенчатому виду, используя свойства 
определителя 
 

1
0
1
6
1
0
1
6
1
0
1
6
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
2
5
1
0
0
5
1
12
0
0
9
27
6
0
25
1
0
0
19
35
0
0
19
35

9
27
9 35
( 19)( 27)
315
513
198.
19
35










 
















 



 


 

 
Задача 2 
 
Выполнить действие 
2
AB
C

 с матрицами: 
 

4
3
5
4
2
2
10
2
0 ,
1
3 ,
1
1
1
1
2
1
2
10

n
N
A
N
B
C
N
N
N
n
















 
























. 

 
Решение типового примера 
 
Запишем матрицы, подставляя значения параметров: 
 

1
6
3
4
5
4
5
4
10
2 ,
1
0
,
4
4
.
1
6
3
5
1
4
10
A
B
C


















 
 






















 

Найдем  произведение
,
AB  используя правило умножения матриц: 
 

1
6
3
4
5
5
2
4
10
2
1
0
4
18 .
1
6
3
5
1
25
8
AB




































 

 
Найдем
2 ,
AB
C

 используя правило умножения матрицы на число и 
правило сложения матриц: 

5
2
8
10
3
12
2
4
18
8
8
4
10 .
25
8
8
20
33
12
AB
C




















 
 






















 

 
Задача 3 
 
Решить систему линейных уравнений 
 

2
3
2

2
3

2
3
4
2

x
y
z
N
n

x
y
z
N
n

x
y
z
N
n







  











 

тремя методами:  
I) методом Крамера; 
II) матричным методом; 
III) методом Гаусса. 
 
Решение типового примера 
 

2
5

3
1

2
3
9

x
y
z

x
z

x
y
z










 




 

I) Метод Крамера 
 
1) Составим и вычислим определители: 

1
1
2
3
0
1
0 1 12
0
2
9
2
1
2
3
D



 







, 

5
1
2
1
0
1
0
9
4
0 10
3
2
9
2
3

x
D












, 

1
5
2

3
1
1
3
5
54
2
9
45
4

1
9
3

y
D




  


 





, 

1
1
5
3
0
1
0 1 30
0
2
27
4
1
2
9

z
D




 



 


. 

2) Исследуем систему. Так как 
0
D 
, то система имеет единственное 
решение. 
 
3) Найдем решение системы: 

2
1
2

x
D
x
D


 , 
4
2
2

y
D
y
D



, 
4
2
2

z
D
z
D



  . 

 
II) Матричный метод 
 
1) Составим матрицы: 

1
1
2

3
0
1

1
2
3

A






 








, 

x
X
y
z

 
 
  
 
 

, 

5
1
9
H





 






. 

 
2) Найдем определитель матрицы A и исследуем систему. 

1
1
2

3
0
1
2
0

1
2
3

A










.  

Значит, система имеет единственное решение.  

3) Найдем обратную матрицу 
1
A : 
 
а) алгебраические дополнения: 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

2,
( 8)
8,
6,

( 1)
1,
1,
1,

1
,
( 5)
5,
3;

A
A
A

A
A
A

A
A
A

 
  



  

 
 

 
  



 

 
б) матрица из алгебраических дополнений: 

2
8
6

1
1
1

1
5
3

A

















; 

в) транспонированная матрица: 

2
1
1

8
1
5

6
1
3

T
A

















; 

г) обратная матрица: 

1
2
1
1
1
1
8
1
5
2
6
1
3

T
A
A
A



















. 

4) Найдем столбец решений X: 

1
2
1
1
5
1
1
8
1
5
1
2
2
6
1
3
9
2
X
A H





 




 









 




 






 




. 

 
Таким образом 
1
x  , 
2
y 
, 
2
z   . 
 
III) Метод Гаусса 
 
1) Запишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду 
с помощью элементарных преобразований строк: 
 

1
1
2
5
1
1
2
5
3
0
1
1
0
3
5
16
1
2
3
9
0
1
1
4
~
~
A






























 

 

1
1
2
5
1
1
2
5
0
1
1
4
0
1
1
4
0
3
5
16
0
0
2
4
~
~
B






























. 

 
2) Исследуем систему. Из рассмотрения матрицы B  видно, что 

3
B
Ar
r

 . Следовательно, система имеет единственное решение. 
 
2) Составим систему с расширенной матрицей B  и решим ее: 

2
5,
1,
4,
2,
2
4,
2.

x
y
z
x
y
z
y
z
z



 















 



 

 
Ответ: система имеет единственное решение 
1
x  , 
2
y 
, 
2
z   . 
 
Задача 4 
 
Даны три точки: 
 

(1,
5,
20),
(
, , 3),
(1, 4
, ).
A
n
N
B N n
C
N n



 
Требуется:  
1) Составить векторы 
,
;
AB
AC  

2) Найти 
,
;
AB
AC  

3) Найти 2
3
;
AB
AC

 
4) Найти направляющие косинусы вектора 
.
AB  
 
Решение типового примера 
 
Найдем координаты точек: 

(1,6, 15),
(5,3,3),
(1,0,6).
A
B
C

 

1) Составим векторы AB и 
:
AC  

(4, 3,18),
(0, 6,21);
AB
AC




 
 
2)  Найдем модули векторов: 

2
2
2
4
( 3)
18
16
9
324
349;
AB 
 





 

2
2
2
0
( 6)
21
36
441
477;
AC 
 




 
 
3)  Используя линейные операции над векторами, найдем 
2
3
(8, 6,36)
(0, 18,63)
(8,12, 27);
AB
AC







 
 
4)  Найдем направляющие косинусы вектора 
:
AB  

4
3
18
cos
, cos
, cos
.
349
349
349

 
 
 
 

 
Задача 5 
 
Даны векторы
( ,
5,
20),
(
,1,0).
a
n n
N
b
N




 
Требуется найти: 
1) Скалярное произведение ab  и векторное произведение 
;
a
b

 
2) cos( ,^ );
a
b
 

3) Площадь S  треугольника, построенного на векторах a  и .
b  
 
Решение типового примера 
 
Найдем координаты векторов: 

(3,6, 15),
(5,1,0).
a
b



 
 
1) Найдем скалярное произведение векторов: 

3 5
6 1
( 15) 0
21,
ab 


  


 
 
и векторное произведение векторов: 

6
15
3
15
3
6
,
,
(15, 75, 27);
1
0
5
0
5
1
a b














 

2) Найдем модули векторов: 

9
36
225
270
3 30,

25 1
0
26,

a

b








 


 

и косинус угла между векторами a  и b : 
 

21
7
cos( ,^ )
;
3 30 26
2
195

ab
a
b
a
b






 

3) Найдем площадь треугольника, построенного на векторах a  и b , 
по формуле 

 
1
.
2
S
a b


 

Получим 

2
2
2
1
1
15
( 75)
( 27)
225
5625
729
2
2
1
6579
40,6(кв.ед.).
2

S 
 
 








 

Задача 6 
 
Даны четыре точки 

(1, ,
),
( , 1,0),
(
20,
,0),
(
,0,2
).
A
n N
B n
C N
n
D
n
N




 
Требуется: 
1) Определить, будут ли векторы 
,
,
AB
AC
AD  компланарны; 
2) Определить, лежат ли точки 
, , ,
A B C D  в одной плоскости; 
3) Найти объем пирамиды
,
ABCD  если точки 
, , ,
A B C D  не лежат в 
одной плоскости. 
 
Решение типового примера 
 
Найдем координаты точек 

(1,6,5),
(3, 1,0),
( 15, 6,0),
( 3,0,10)
A
B
C
D




 
и координаты векторов 

(2, 7, 5),
( 16, 12, 5),
( 4, 6,5).
AB
AC
AD



 


 
