Математика

МАТЕМАТИКА

В.П. ОМЕЛЬЧЕНКО
Н.В. КАРАСЕНКО

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНИК

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим 
советом профессионального образования 
в качестве учебника для учебных заведений, 
реализующих основную программу 
среднего профессионального образования 
(протокол № 5 от 11.05.2022)

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
 
О57

Р е ц е н з е н т ы:
A.А. Лаврентьев, доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой электротехники и электроники Донского государственного 
технического университета;
В.А. Стукопин, доктор физико-математических наук, и.о. заведующего 
кафедрой математики Донского государственного технического 
университета

ISBN 978-5-16-017462-4 (print)
ISBN 978-5-16-109995-7 (online)
© Омельченко В.П., Карасенко Н.В., 
2022

Омельченко В.П.
О57  
Математика : учебник / В.П. Омельченко, Н.В. Карасенко. — 
Москва : ИНФРА-М, 2022. — 349 с. — (Среднее профессио нальное образование). — 
DOI 10.12737/1855784.
ISBN 978-5-16-017462-4 (print)
ISBN 978-5-16-109995-7 (online)
В учебнике подробно рассмотрены основы дискретной математики, математический 
анализ, основные численные методы, элемен ты линейной 
алгебры, теория вероятностей и математическая статистика. Изложение 
теоретического материала сопровождается большим количеством примеров 
и задач. Приводятся задания для самостоятельной работы.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов среднего профессио нального образования последнего 
поколения.
Для учащихся всех специальностей средних профессиональных учебных 
заведений.

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723

Светлой памяти 
Курбатовой Элеоноры 
Владимировны посвящается

Предисловие

Учебник написан в соответствии с требованиями Федерального 
государственного стандарта для средних профессио нальных образовательных 
учреждений. Содержание учебника реализует требования 
к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников 
по техническим специальностям среднего профессио нального образования. 
Состоит из пяти глав.
В первой главе рассматриваются основы дискретной математики. 
Даются определения множества, способы задания множеств, операции 
над множествами, типы отношений, рассмотрены операции 
с комплексными числами, а также основные понятия теории графов.
Вторая глава посвящена математическому анализу. Подробно 
рассматриваются основы дифференциального и интегрального 
исчисления. Приводится много примеров решения задач на вычисление 
пределов функций, вычисления производных и интегралов, 
нахождения частных производных. В этой же главе рассматривается 
решение обыкновенных дифференциальных уравнений 
и дифференциальных уравнений в частных производных. В конце 
главы приведены основы числовых и функцио нальных рядов.
В третьей главе рассмотрены методы численного интегрирования 
и дифференцирования, а также численное решение обыкновенных 
дифференциальных уравнений.
Вопросам линейной алгебры посвящена четвертая глава. Описаны 
действия с матрицами, вычисление определителей 1-го, 2-го 
и 3-го порядков. Рассмотрены основные понятия и решение систем 
линейных уравнений с тремя переменными.
Пятая глава посвящена теории вероятностей и математической 
статистики. Даны понятия случайного события и его вероятности, 
рассмотрены законы описания случайных величин и их характеристики, 
приведены формулы определения математического 
ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной 
случайной величины.
Большое количество решенных примеров, а также задач для самостоятельного 
решения позволяют использовать данный учебник 

не только для изучения теоретических основ дисциплины, но и как 
задачник по общему курсу математики для средних специальных 
учебных заведений.
По итогам изучения дисциплины студент будет:
знать
 
• основные положения теории множеств и теории графов;
 
• основы теории комплексных чисел;
 
• основные понятия и методы дифференциального и интегрального 
исчисления;
 
• основы теории рядов;
 
• основные численные методы решения прикладных задач;
 
• основы линейной алгебры;
 
• основные понятия и методы теории вероятностей и математической 
статистики;
уметь
 
• выполнять операции над множествами;
 
• вычислять предел функции;
 
• решать прикладные задачи с использованием элемен тов дифференциального 
и интегрального исчисления;
 
• решать обыкновенные дифференциальные уравнения и простейшие 
уравнения в частных производных;
 
• находить значения функций с помощью ряда Маклорена;
 
• использовать метод Эйлера для численного решения дифференциальных 
уравнений;
 
• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных 
уравнений;
 
• решать простейшие задачи, используя элемен ты теории вероятностей, 
и выполнять статистическую обработку данных;
владеть навыками
 
• построения графов для решения практических задач;
 
• дифференциального и интегрального исчисления;
 
• вычисления площадей криволинейных фигур;
 
• определения точек экстремума, исследования функции и построения 
графиков;
 
• использования численных методов в приближенных вычислениях;
 
• статистического анализа.
Авторы выражают благодарность преподавателям кафедры 
медицинской и биологической физики Ростовского государственного 
медицинского университета за обсуждение статистических 
задач и ценные замечания. Особая признательность доценту 
Э.В. Курбатовой за подготовку материалов к главе 2. Благодарим 
ассистента той же кафедры И.О. Михальчич за существенную техническую 
помощь при создании рукописи.

Глава 1. 
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

В этом разделе математики используются следующие обозначения 
и символы теории множеств:
 
• a ∈ М — элемент а принадлежит множеству М;
 
• а ∉ М — элемент а не принадлежит множеству М;
 
• ∅ — пустое множество;
 
• U — универсальное множество;
 
•
A  — дополнение множества А до универсального множества;
 
• {a, b, k} — множество элемен тов a, b, k;
 
• {х|Р(х)} — элемен ты множества х, имеют свойства Р(х);
 
• А ∪ В — объединение множеств А и В;
 
• А ∩ В — пересечение множеств А и В;
 
• В ⊂ А — множество В является подмножеством А;
 
• А \ В — разность множеств А и В.
Любая наука строится на определении базовых понятий, построения 
символики, создания договоренностей, определений, 
аксиом, теорем, законов и т.п. Базовый этап — создание определений, 
т.е. строгое четкое описание объекта или явления, с указанием 
его отличительных и характерных черт, которое в дальнейшем 
позволит отличать его от других предметов и явлений. 
В математике определения увеличивают возможность использования 
объекта.
Для описания емких объектов, которым трудно дать однозначное 
определение, используют понятия: совокупность свойств 
и определений, интуитивные представления человека, примеры 
и т.п. Введем понятие множества.
Множество — это набор объектов, имеющих некий общий признак 
или свойство. Объекты, из которых состоит множество, называют 
элементами множества. Например, множество чисел, множество 
вариантов решения задачи, множество учебных заведений 
и т.д.
Традиционно в математической литературе для обозначения 
множеств используют заглавные буквы латинского алфавита, а для 
обозначения элемен тов множества — строчные буквы того же алфавита.

Принадлежность элемента а к множеству А обозначается: a ∈ А, 
читается: «а принадлежит множеству А». Если объект b не содержится 
в множестве А, то этот факт обозначается как b ∉ А и читается «
элемент b не принадлежит множеству А».
Задать множество — означает указать, из каких элемен тов оно 
состоит, т.е. установить правило, по которому определяется принадлежность 
любого рассматриваемого объекта к заданному множеству.

В современной математике используют различные способы задания 
множеств. Рассмотрим два наиболее распространенных.
► 1. Перечислением всех элемен тов, составляющих данное множество. 
Такой способ задания применим только для множеств с конечным 
числом элемен тов. Например, множество натуральных делителей 
числа 8 конечно и может быть задано перечислением:

 
N = {1, 2, 4, 8}.

Обозначается списком элемен тов в фигурных скобках. Читается: «
N — множество, состоящее из элемен тов 1, 2, 4, 8». Порядок 
следования элемен тов значения не имеет. Множество N может быть 
записано иначе:

 
N = {8, 1, 4, 2}.

Каждый элемент множества указывается строго один раз. Задание 
множества N = {8, 8, 1, 4, 2} не является корректным, поскольку 
элемент 8 указан дважды.
2. Описанием характеристического свойства элемен тов, т.е. 
свойства, которым обладают все элемен ты данного множества. 
Такой способ задания позволяет определить большие множества, 
в том числе и бесконечные.
Обозначается: N = {х|P(x)}. P(x) — характеристическое свойство 
элемен тов. Тогда множество N = {1, 2, 4, 8} можно задать описанием: 
N = {х|х натуральный делитель числа 8}.
Например, множество всех выпускников колледжа N конечно, 
но велико, его удобнее задать описанием характеристического 
свойства:

 
N = {х| х выпускник колледжа N}.

Пример 1.1
Задайте множество N чисел геометрической прогрессии 2, 4, 8, 16, 
32, 64, …

Решение
Множество N имеет бесконечное число элемен тов, потому не может 
быть задано перечислением.
Зададим множество описанием характеристического свойства его 
элемен тов: N = {х, х — члены геометрической прогрессии, где первый 
член и знаменатель геометрической прогрессии равны 2}.
Множество А называют подмножеством множества В, если каждый 
элемент множества А является элементом множества В. Обозначается 
А ⊂ В.
Например: В = {0, 1, 2, Δ, *, 5}; А1 = {0}; А2 = {Δ, 2, 5}; А3 = {*, 5}; А1 ⊂ В; 
А2 ⊂ В; А3 ⊂ В.
А1, А2, А3 являются подмножествами множества В.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называ-
ется пустым. Пустое множество обозначается символом ∅ и явля-
ется подмножеством любого множества.
Множества А и В называются равными (А = В), если А ⊂ В, а В ⊂ А. 
Действительно, если множество А является подмножеством мно-
жества В и наоборот, то это означает, что все элемен ты множества 
А такие же, как элемен ты множества В.
Множество называется универсальным, если оно содержит 
элемен ты, однородные по некоторому признаку. Универсальное 
множество — понятие относительное, определяется признаком, 
по которому отбираются его элемен ты, и обозначается U. На-
пример, если рассматривают ряд натуральных чисел, то универ-
сальное множество содержит все возможные натуральные числа; 
если множество всех людей, то элементами универсального мно-
жества являются все жители планеты.

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Для наглядного представления операций над множествами при-
меняют диаграммы Эйлера — Венна. Универсальное множество U 
изображается большим прямоугольником, внутри которого рассма-
триваемое подмножество в виде кругов Эйлера или других замк-
нутых фигур Венна.
На рис. 1.1 графически представлено универсальное U, пустое 
и произвольное множество А.
Интересующее нас множество будем отмечать штрихованием.
Объединением, или суммой, множеств А1 и А2 называют мно-
жество В, которое содержит все элемен ты множеств А1 и А2.
На рис. 1.2 множество В представлено заштрихованной об-
ластью.

U
U

а
б
в

U

A

Рис. 1.1. Графическое представление множеств:
а — универсальное; б — пустое; в — произвольное

Обозначение: В = А1 ∪ А2. Множество В можно задать описанием

 
{
}
1
2
|
или
B
x x
A
x
A
=
∈
∈
. 

U

А2
А1

Рис. 1.2. В = А1 ∪ А2

Пусть А1 = {Δ, *, #}, А2 = {#, 0}. Тогда объединение этих множеств 
В = А1 ∪ А2 = {Δ, *, #, 0}.
Пересечением множеств А1 и А2 называют множество В, которое 
содержит только общие элемен ты множеств А1 и А2 (рис. 1.3):

 
=
∩
1
2
B
A
A ; 

 
{
}
=
∈
∈
1
2
|
и
B
x x
A
x
A
. 

Для рассматриваемых множеств А1 и А2: В = А1 ∩ А2 = {#}.
Разностью множеств А1 и А2 называют множество В, в ко-
торое входят элемен ты множества А1, не входящие в множество А2 
(рис. 1.4).
Обозначение: В = А1 \ А2.
Описание: 
{
}
=
∈
∉
1
2
|
и
B
x x
A
x
A
.

U

А2
А1
В

Рис. 1.3. В = А1 ∩ А2

U

А1
А2

В

Рис. 1.4. В = А1 \ А2

Операция разности множеств не является симметричной, по-
скольку в общем случае 
1
2
2
1
\
\
A
A
A
A
≠
.
Действительно, на примере множеств А1 = {Δ, *, #}, А2 = {#, 0}

 
{
}
=
= Δ
1
2
\
,*
B
A
A
; 

 
=
=
1
2
1
\
{0}
B
A
A
. 

Очевидно, что полученные разности определили разные мно-
жества.
Дополнением множества А до универсального множества U назы-
вают множество A, в которое входят все элемен ты множества U, 
не входящие в множество А (рис. 1.5)

 
=
\
A
U
A. 

Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5},
А = {1, 2, 3};

 
=
=
\
{4, 5}
A
U
A
. 

А

⎯А

U

Рис. 1.5. Дополнение A

Пример 1.2
Пусть множество D — дети. Множество P — все жители планеты. 
Определите множества D ∪ Р; D ∩ Р; Р \ D.
Решение
D ∪ Р — множество всех жителей планеты, D ∩ Р — это дети планеты, 
Р \ D — взрослое население планеты.

Пример 1.3
Даны множества А = {а, b}, В = {d, x, z}, U = {а, b, d, x, z}.
Выполните операции над множествами: а) объединения; б) пересечения; 
в) разности; г) дополнения.
Решение:
а) Согласно определению операции объединения, составляем множество, 
которое содержит все элемен ты множеств А и В. Для этого записываем 
все элемен ты множества А и дописываем к ним все элемен ты 
множества В. Помним, что не следует указывать один и тот же элемент 
несколько раз:

 
{ , , , , }
A
B
a b d x z
∪
=
. 

Аналогично проводим операцию объединения с множеством U:

 
{ , , , , }
A
U
a b d x z
∪
=
; 

 
{ , , , , }
B
U
a b d x z
∪
=
. 

б) По определению операции пересечения составляем множество, которое 
содержит только элемен ты, принадлежащие обоим множествам. 
Последовательно перебираем элемен ты первого множества и проверяем 
их наличие во втором множестве:

 
· { }
A
B
∩
= ∅ ; 

 
{ , }
A
U
a b
∩
=
;