Расчет ферм с шарнирными узлами

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

_________________________________________________ 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 

С.Б. КОСИЦЫН, М.М. БЕГИЧЕВ 

 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ ФЕРМ С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА – 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

_________________________________________________ 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 

С.Б. КОСИЦЫН, М.М. БЕГИЧЕВ 

 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ ФЕРМ С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие для студентов 

строительных специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА – 2018 

УДК 624.071.3 
К - 71 
 
Косицын С.Б., Бегичев М.М. Расчет ферм с шарнирными 

узлами: Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 
2018. – 84 с. 

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 
строительных специальностей, выполняющих домашнее 
задание «Определение реакций опор и сил в стержнях плоской 
фермы» в курсе «Теоретическая механика». В учебном пособии 
подробно описан алгоритм расчета ферм с шарнирными узлами 
методом конечных элементов при помощи современного программного 
комплекса Femap. Приведен пример расчета плоской 
фермы. Подробно рассмотрены традиционные способы расчета 
плоских ферм с шарнирными узлами. 

 
Рецензент: доцент кафедры «Строительная механика» РУТ 

(МИИТ), кандидат технических наук, доцент Г.А. Мануйлов 

 
 
 
 
 
 

 
 РУТ (МИИТ), 2018 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено 

для студентов, изучающих курс «Теоретическая механика», а 
частности тему «Расчет ферм с шарнирными узлами». 

Структура учебно-методического пособия построена таким 

образом, чтобы читатель мог приобрести и расширить свои знания 
и степень владения аналитическими методами расчета плоских 
ферм (способ вырезания узлов, способ сквозных сечений), а 
также получить навыки расчета таких конструкций при помощи 
метода конечных элементов (МКЭ). 

Расчет при помощи метода конечнх элементов ориентирован 
на читателей, начинающих осваивать МКЭ и представляет 
из себя пошаговое руководство по составлению модели фермы, 
задания материала и граничных условий, проведения расчета и 
анализу результатов. 

Изучение основ МКЭ ведется при использовании программного 
комплекса Femap, получившему широкое распространение 
в строительных и машиностроительных расчетах, 
благодаря своей простоте и удобству использования. 

 
 
 

1. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ С ШАРНИРНЫМИ 

УЗЛАМИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ 

 
1.1. Постановка задачи. 
 
Рассмотрим ферму, нагруженную тремя сосредоточенными 

силами в узлах: F1=50 Кн, F2=20 Кн, F3=10 Кн (рис. 1.1). Для 
расчета приняты следующие исходные данные: размеры d=3 м, 
h=4 м. Определить реакции внешних связей и усилия, возникающие 
в стержнях: 3-4, 3-5, 4-5, 4-6, 5-6, 5-7, 9-10, 9-11, 10-11, 
10-12, 11-12, 11-13, 13-14. 

 

 

Рис. 1.1. Рассчитываемая ферма. 

 
1.2. Проверка геометрической неизменяемости и статической 
определимости фермы. 

 
Чтобы задача имела решение в рамках допущений, принятых 
в теоретической механике, ферма должна быть геометрически 
неизменяемой и статически определимой: то есть не быть 

механизмом, а число условий равновесия должно равняться 
количеству неизвестных усилий. 

Для ферм, образованных из шарнирных треугольников, вы-

полнение условий геометрической неизменяемости и статиче-
ской определимости проверяют по формуле: 

k = 2n – 3, 

где k – число неизвестных усилий, а n – число узлов фермы. 

В нашем примере k = 25, n = 14, то есть. 

k = 25 = 2∙14 – 3 = 25 = 2n – 3, 

следовательно, задача – статически определена, а ферма – 

статически определима. 

 
1.3. Определение реакций внешних связей. 
 
Рассматривая ферму как абсолютно твердое тело, отбросим 

внешние связи, приложенные в точках 1 и 9 ( в точке 1 – стер-
жень с шарнирами по концам, в точке 9 – шарнирно неподвиж-
ная опора), и заменим связи их реакциями: R1, X9, Y9. Таким 
образом, активные F1, F2, F3 и реактивные R1, X9, Y9 силы обра-
зуют произвольную плоскую систему сил, для которой можно 
составить три условия равновесия, то есть количество уравне-
ний совпадает с количеством неизвестных реакций внешних 
связей. Уравнения равновесия выбираем так, чтобы в каждое 
входило по одному неизвестному: 

∑М1 = 0,  F2∙h – F1∙2d + Y9∙4d – F3∙6d = 0; 
∑М9 = 0,  F2∙h – R1∙4d + F1∙2d – F3∙2d = 0; 

∑Fkx = 0,  X9 – F2 = 0. 

Получили вторую (дополнительную) форму условий равно-

весия. Проверим достаточное условие равновесия: ось X (рис. 
1.1), на которую проектировались силы, не должна быть пер-
пендикулярна прямой, проходящей через моментные точки, то 

есть прямой АВ. Условие выполнено. Из составленных уравне-
ний находим реакции связей: 

Y9 = (F1∙2d – F2∙h + F3∙6d)/4d, 

Y9 = (50∙6 – 20∙4 + 10∙18)/12 = 33,3 кН; 

R1 = (F2∙h + F1∙2d – F3∙2d)/4d, 

R1 = (20∙4 + 50∙6 – 10∙6)/12 = 26,7 кН; 

X9 = F2, 

X9 = 20 кН. 

Для проверки полученных результатов составим такое 

уравнение равновесия, в которое войдут все три найденные ре-
акции: 

∑М6 = 0,  X9∙h – R1∙2d + Y9∙2d – F3∙4d = 0, 

20∙4 – 26,7∙6 + 33,3∙6 – 10∙12 = 279,8 – 280,2 ≠ 0. 

Относительная погрешность равна 
 = ((279,8 – 280,2) / ((279,8+280,2) / 2))∙100% = – 0,143%. 
Она по абсолютной величине оказалась меньше 3% и соот-

ветствует инженерной точности. 

 
1.4. Определение тригонометрических функций углов 

наклона стержней фермы. 

 
Найдем значения тригонометрических функций углов α и γ, 

необходимых для дальнейшего расчета: 

sinα = 
2
2
h
d

h



,  sinα = 

2
2
4
3

4



 = 0,8; 

cosα = 
2
2
h
d

d



,  cosα = 

2
2
4
3

3



 = 0,6; 

sinγ = 
2
2
h
)
d
4
(

h



,  sinγ = 

2
2
4
12

4



 = 0,316; 

cosγ = 
2
2
h
)
d
4
(

d
4



,  cosγ = 

2
2
4
12

12



 = 0,949. 

Для расчета ферм на постоянную нагрузку чаще всего ис-

пользуют способ вырезания узлов и способ сквозных сечений. 

 
1.5. Способ вырезания узлов для определения усилий в 

стержнях фермы. 

 
Способ вырезания узлов состоит в том, что из фермы выре-

зают узел, в котором сходится не более двух стержней, усилия в 
которых неизвестны. Для полученной плоской системы сходя-
щихся сил записывают два условия равновесия: 

∑Fkx = 0;  
∑Fky = 0. 

Полученные уравнения дают возможность найти два неиз-

вестных усилия. После этого вырезают следующий узел фермы, 
причем усилия, найденные из равновесия предыдущего узла, 
считаются известными. 

Иногда вырезают узел, содержащий три неизвестных уси-

лия, при условии, что линии действия двух из них направлены 
вдоль одной прямой (узел 3 на рис. 1.1). При этом определить 
можно только одно усилие, направленное под углом к прямой 
линии, о которой было сказано выше. 

Вырежем узел 3 (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.2. Вырезанный узел 3. 

Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 3 (рис.1.2): 

∑Fkx = 0,  N3-5 – N3-1 = 0; 

∑Fky = 0,  N3-4 = 0. 

Из второго уравнения находим усилие в стержне 3-4: 

N3-4 = 0. 

Первое уравнение найти величину какого-нибудь усилия не 

позволяет, однако с его помощью можно записать условие, связывающее 
между собой усилия в стержнях 3-1 и 3-5: 

N3-1 = N3-5. 

Вырежем узел 9 (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.3. Вырезанный узел 9. 

 
Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 9 (рис.1.3): 

∑Fkx = 0,  N9-11 + X9 – N9-7 = 0; 

∑Fky = 0,  N9-10 + Y9 = 0. 

Из полученных уравнений находим усилие в стержне 9-10: 

N9-10 = – Y9,  N9-10 = – 33,3 кН 

и условие, связывающее усилия в стержнях 9-7 и 9-11: 

N9-7 = X9 + N9-11. 

Вырежем узел 12 (рис. 1.1). 
 

Рис. 1.4. Вырезанный узел 12. 

 
Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 12 (рис.3.4): 

∑Fkx = 0,  N12-14 ∙cos γ – N12-10∙cos γ = 0; 

∑Fkv = 0,  N12-11∙cos γ = 0. 

Следует обратить внимание на то, что ось v направлена 

перпендикулярно прямой, с которой совпадают линии действия 
усилий в стержнях 12-10 и 12-14 (рис. 3.4). 

Из записанных уравнений находим усилие в стержне 12-11: 

N12-11 = 0 

и условие, связывающее усилия в стержнях 12-10 и 12-14: 

N12-14 = N12-10. 

Вырежем узел 13 (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.5. Вырезанный узел 13. 

 
Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 13 (рис.1.5): 

∑Fkx = 0,  – N 13-11 = 0;