Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математика в коммерческих расчетах. Ч. II

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 788093.01.99
Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров направления «Экономика» по дисциплине «Финансовая экономика». Содержит теоретический материал по основным понятиям, определениям и положениям финансовых рент. Рассмотрено большое количество прикладных задач.
Кочнева, Л. Ф. Математика в коммерческих расчетах. Ч. II : учебное пособие / Л. Ф. Кочнева. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 29 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896899 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

 

 

 КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

 
 

 

Л.Ф. Кочнева 

 
 

Математика в коммерческих расчетах  

Часть II  

 

Учебное пособие 

 

 
 
 
 
 
 
 

 

Москва – 2018 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

 

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 
 
 
 
 

Л.Ф. Кочнева 

 
 
 

Математика в коммерческих расчетах  

Часть II 

 

Учебное пособие 

 для студентов-бакалавров направления «Экономика» 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 

УДК – 336 
К 75 

 
Кочнева Л.Ф.  Математика в коммерческих расчетах. 

Ч.П: Учебное пособие.  – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 29 с. 

 

 
Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров 
направления «Экономика»  по дисциплине «Финансовая экономика». 
Содержит теоретический материал по основным 
понятиям, определениям и положениям финансовых рент. 
Рассмотрено большое количество прикладных задач. 
 
 
 

Рецензенты:  
 
О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и 
вычислительная математика» РУТ (МИИТ). 
Л.Б. Безруков, д.ф.-м.н., зав. лабораторией НИИ РАН. 

 
 
 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

Оглавление 

§1.  Финансовые ренты ................................................ 4 

Поток денежных платежей ...................................... 4 

§2.  Финансовые ренты. Функция Sn,i ....................... 5 
§3.  Вычисление платежей финансовой ренты .......... 7 
§4.  Виды финансовых рент......................................... 8 
§5. 
Погашение 
долгосрочной 
задолженности 

единовременным платежом .............................................. 24 

§6.  Инвестиции в предприятия, использующие 

невосполняемые ресурсы ................................................. 25 

Упражнения к разделу ............................................... 27 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§1.  Финансовые ренты 
 

 Поток денежных платежей 

 
В финансовой деятельности нередко делается несколь-

ко следующих друг за другом платежей — поток денеж-

ных платежей. Таковы, например, ежегодные выплаты 

процентов по облигациям, периодические вклады в банк 

для образования страхового фонда, ежемесячные выплаты 

долга по потребительскому кредиту, получение ежемесяч-

ной стипендии от благотворительного фонда и тому по-

добные платежи. При всех таких платежах происходит 

начисление процентов на находящиеся в обороте деньги. 

При изучении потока платежей могут возникнуть две ос-

новные задачи: найти наращенную сумму потока платежей 

или, напротив, по наращенной сумме определить величину 

отдельного платежа. Для частного вида потока платежей 

— финансовых рент — разработаны математические мето-

ды решения подобных задач. Эти методы рассмотрены 

ниже. 

 

 
 

§2.  Финансовые ренты. Функция Sn,i 
 
Финансовой рентой называется последовательность 

равных платежей, производящихся через равные проме-
жутки 
времени.  

Рассмотрим общий случай: делается n платежей (напри 
мер, вкладов в банк), каждый из которых равен Rруб.;  
промежутки времени между платежами одинаковы, и в 
конце каждого из них на все сделанные до этого момента 
платежи 
начисляются 
сложные 
проценты 
по 
став-

ке i. Изобразим эту ренту на оси времени: 

 
 

 

 
 

Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n 
сумму S этой 
ренты. 

Платёж, сделанный в момент n, входит в наращенную 
сумму без изменения, т. е. в размере R; сумма, наращенная 
к моменту п на платёж, сделанный в момент п — 1, рав-
на R(l + i); сумма, наращенная к моменту п на платёж, сде-
ланный в момент n—2, равна R(1+i)2 и т.д.; сумма, нара-
щенная к моменту n на платёж, сделанный в момент 2, 
равна R(1 + i)n-2; сумма, наращенная к моменту n на пла-
тёж, сделанный в момент 1, равная R(1+i)n-1 Наращенная 
сумма S всей ренты в момент п равна 

 

S= R + R( 1+i) +R( 1+i)2 + ….+R(1+ i)n-2 + R( 1+i) n-1 

 

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической 
прогрессии, первый член которой b1 = R, знаменатель q=1 
+i и число членов равно n. Находим эту сумму по формуле 
суммы первых п членов геометрической прогрессии.  

 

S= (b1( q n -1))/( q-1) = R×(((1+i ) n -1) /(1+i -1) )= 

R× (((1+i) n -1)/i) 

  
 

Sn;i=((1+i) n -1)\ i
(1.1)

 
Для разных значений п и i. Наращенная сумма финан-

совой ренты, рассмотренной выше, выражается формулой 

 

S=Rsn;i
(1.2)

 
 
Пример 1.   Господин Иванов вкладывает 1000 руб. 

в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты 
по ставке j12 = 9%- Какую сумму он накопит за 2 года? 

Решение. Вклады в банк, которые делает господин 

Иванов, образуют финансовую ренту (далее — просто 
«ренту»), в которой R= 1000, п = 24 (2 года по 12 месяцев), 
r = 0.09/12 = 0.0075. Находим наращенную сумму этой 
ренты по формуле (5.2): 

S=1000*((1+0.00750)24 -1)/ 0.0075=1000s24; 0.75% 

 

По таблице 2 находим s24;o.75% = 26.18847059, следо-

вательно, 

 

S=1000*26.18847059=26188.47 руб. 

 
 
 

§3.  Вычисление платежей финансовой 

ренты 

Иногда приходится искать величину платежа R по 

наращенной сумме S.   Выразим значение R через S из 
формулы (1.2): 

 

R=S/sn;i
(1.3)

 
 

Рассмотрим пример применения последней формулы. 

 
 
Пример 2. Господин Петров желает накопить за 8 

лет 5000 руб., делая ежегодные равные вклады в банк, ко-
торый выплачивает проценты по годовой ставке    
i= 5%(сложных). Сколько он должен вкладывать каждый 
раз? 

Решение. По условию задачи S= 5000, n = 8, i = 0.05. 

находим a8:5%=9.549108876. Следовательно, пo формуле 
(1.3): 

R=5000/9.549108876= 523.61 руб. 

Итак, господин Петров должен вкладывать в конце 

каждого года 523.61 руб. 
 

 

§4.  Виды финансовых рент 

Рассмотрим виды финансовых рент, которые встреча-

ются на практике финансовых расчётов. 

 

А. Ренты с начислением процентов в конце года. Годо-
вая рента - аннуитет. 

Так 
называется 
рента, 
в 
которой 
сум-

ма R выплачивается в конце каждого года, и в конце каж-
дого года на накопленную сумму начисляются сложные 
проценты по ставке i. Наращенная за n лет сумма S и вели-
чина платежа R. Теоретически именно такая рента называ-
ется аннуитетом. 

 

А2. р-срочная рента 

Так называется рента, в которой ежегодно выплачива-

ется член ренты R, но платежи производятся p раз в году 
через равные промежутки времени, причём каждый платёж 
имеет Величину R/p, и на него начисляются сложные про-
центы по годовой ставке i. Изобразим эту ренту на оси 
времени: 

 

 

 

Всего за п лет сделано пр платежей. Выведем формулу, 

выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты. 
Последний платёж входит в наращенную сумму без изме-
нения, то есть в размере R/p. Ha предпоследний платёж по 
годовой ставке i начисляются сложные проценты за пери-
од, равный 1/р части года, следовательно, в момент п 
наращенная на этот платёж сумма будет равна (R/р)(1 
+i)1/р. Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца 
платёж, будет равна (R/р)(1 + i)2/p.   Сумма, наращенная к 
моменту n на первый платёж, будет равна (R/p)(1 + i) (np-

1)/p, так как на него начисляются сложные проценты пр — 1 
раз по годовой ставке i каждый раз за период, равный 1/р 
части года.   (Можно рассуждать и иначе: так как (np-1)/p = 
(n -1)/p, то на сделанный в момент 1 платёж к моменту n 
начисляются сложные проценты по годовой ставке i за пе-
риод, равный (п — 1)/p годам.) Наращенная за п лет сумма 
всей ренты равна: 

 

S= R/p + (R/p)×(1+i)1/p+(R/p)×(1+i)2/p+ ….. +(R/p)×(1+i)(np-1)/p 

 

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической 
прогрессии с первым членом b1 = R/p и знаменате-
лем q = (1 + i)1/p; число членов этой прогрессии равно 
k= пр. По формуле суммы первых k членов геометриче-
ской прогрессии находим S: 

 

S=(b1×(qk-1))/(q-1)=(R/p)×((((1+i)1/p)np-1)/((1+i)1/p-

1)=R×(((1+i)n-1)/(p×((1+i)1/p-1))) 

 

Введём обозначение: 

sn;i(p)=((1+i)n-1)/(p×((1+i)1/p-1)) (1.4)

  
тогда наращенная сумма р -срочной ренты равна: 
 

S = Rsn;i(p)
(1.5)

 

                                             
Коэффициент sn;i(p) можно представить в виде произведе-
ния : 

sn;i(p) =sn;i×Kp;i
(1.6)

                          

  где Kp;i=i/(p×(1+i)1/p-1)                           
 

 

AЗ. Рента с периодом больше года 

 

Так называется рента, в которой член, равный Rr, выпла-
чивается через каждые n лет (n > 1). Сложные проценты по 
годовой ставке i начисляются ежегодно. Изобразим эту 
ренту на оси времени: