Математика в коммерческих расчетах. Ч. II
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Финансовая математика
Издательство:
Российский университет транспорта
Автор:
Кочнева Людмила Федоровна
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 29
Дополнительно
Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров направления «Экономика» по дисциплине «Финансовая экономика». Содержит теоретический материал по основным понятиям, определениям и положениям финансовых рент. Рассмотрено большое количество прикладных задач.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Л.Ф. Кочнева Математика в коммерческих расчетах Часть II Учебное пособие Москва – 2018
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Л.Ф. Кочнева Математика в коммерческих расчетах Часть II Учебное пособие для студентов-бакалавров направления «Экономика» Москва – 2018
УДК – 336 К 75 Кочнева Л.Ф. Математика в коммерческих расчетах. Ч.П: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 29 с. Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров направления «Экономика» по дисциплине «Финансовая экономика». Содержит теоретический материал по основным понятиям, определениям и положениям финансовых рент. Рассмотрено большое количество прикладных задач. Рецензенты: О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ (МИИТ). Л.Б. Безруков, д.ф.-м.н., зав. лабораторией НИИ РАН. © РУТ (МИИТ), 2018
Оглавление §1. Финансовые ренты ................................................ 4 Поток денежных платежей ...................................... 4 §2. Финансовые ренты. Функция Sn,i ....................... 5 §3. Вычисление платежей финансовой ренты .......... 7 §4. Виды финансовых рент......................................... 8 §5. Погашение долгосрочной задолженности единовременным платежом .............................................. 24 §6. Инвестиции в предприятия, использующие невосполняемые ресурсы ................................................. 25 Упражнения к разделу ............................................... 27
§1. Финансовые ренты Поток денежных платежей В финансовой деятельности нередко делается несколь- ко следующих друг за другом платежей — поток денеж- ных платежей. Таковы, например, ежегодные выплаты процентов по облигациям, периодические вклады в банк для образования страхового фонда, ежемесячные выплаты долга по потребительскому кредиту, получение ежемесяч- ной стипендии от благотворительного фонда и тому по- добные платежи. При всех таких платежах происходит начисление процентов на находящиеся в обороте деньги. При изучении потока платежей могут возникнуть две ос- новные задачи: найти наращенную сумму потока платежей или, напротив, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для частного вида потока платежей — финансовых рент — разработаны математические мето- ды решения подобных задач. Эти методы рассмотрены ниже.
§2. Финансовые ренты. Функция Sn,i Финансовой рентой называется последовательность равных платежей, производящихся через равные проме- жутки времени. Рассмотрим общий случай: делается n платежей (напри мер, вкладов в банк), каждый из которых равен Rруб.; промежутки времени между платежами одинаковы, и в конце каждого из них на все сделанные до этого момента платежи начисляются сложные проценты по став- ке i. Изобразим эту ренту на оси времени: Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму S этой ренты. Платёж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму без изменения, т. е. в размере R; сумма, наращенная к моменту п на платёж, сделанный в момент п — 1, рав- на R(l + i); сумма, наращенная к моменту п на платёж, сде- ланный в момент n—2, равна R(1+i)2 и т.д.; сумма, нара- щенная к моменту n на платёж, сделанный в момент 2, равна R(1 + i)n-2; сумма, наращенная к моменту n на пла- тёж, сделанный в момент 1, равная R(1+i)n-1 Наращенная сумма S всей ренты в момент п равна
S= R + R( 1+i) +R( 1+i)2 + ….+R(1+ i)n-2 + R( 1+i) n-1 Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b1 = R, знаменатель q=1 +i и число членов равно n. Находим эту сумму по формуле суммы первых п членов геометрической прогрессии. S= (b1( q n -1))/( q-1) = R×(((1+i ) n -1) /(1+i -1) )= R× (((1+i) n -1)/i) Sn;i=((1+i) n -1)\ i (1.1) Для разных значений п и i. Наращенная сумма финан- совой ренты, рассмотренной выше, выражается формулой S=Rsn;i (1.2) Пример 1. Господин Иванов вкладывает 1000 руб. в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке j12 = 9%- Какую сумму он накопит за 2 года? Решение. Вклады в банк, которые делает господин Иванов, образуют финансовую ренту (далее — просто «ренту»), в которой R= 1000, п = 24 (2 года по 12 месяцев), r = 0.09/12 = 0.0075. Находим наращенную сумму этой ренты по формуле (5.2):
S=1000*((1+0.00750)24 -1)/ 0.0075=1000s24; 0.75% По таблице 2 находим s24;o.75% = 26.18847059, следо- вательно, S=1000*26.18847059=26188.47 руб. §3. Вычисление платежей финансовой ренты Иногда приходится искать величину платежа R по наращенной сумме S. Выразим значение R через S из формулы (1.2): R=S/sn;i (1.3) Рассмотрим пример применения последней формулы. Пример 2. Господин Петров желает накопить за 8 лет 5000 руб., делая ежегодные равные вклады в банк, ко- торый выплачивает проценты по годовой ставке i= 5%(сложных). Сколько он должен вкладывать каждый раз? Решение. По условию задачи S= 5000, n = 8, i = 0.05. находим a8:5%=9.549108876. Следовательно, пo формуле (1.3): R=5000/9.549108876= 523.61 руб.
Итак, господин Петров должен вкладывать в конце каждого года 523.61 руб. §4. Виды финансовых рент Рассмотрим виды финансовых рент, которые встреча- ются на практике финансовых расчётов. А. Ренты с начислением процентов в конце года. Годо- вая рента - аннуитет. Так называется рента, в которой сум- ма R выплачивается в конце каждого года, и в конце каж- дого года на накопленную сумму начисляются сложные проценты по ставке i. Наращенная за n лет сумма S и вели- чина платежа R. Теоретически именно такая рента называ- ется аннуитетом. А2. р-срочная рента Так называется рента, в которой ежегодно выплачива- ется член ренты R, но платежи производятся p раз в году через равные промежутки времени, причём каждый платёж имеет Величину R/p, и на него начисляются сложные про- центы по годовой ставке i. Изобразим эту ренту на оси времени:
Всего за п лет сделано пр платежей. Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты. Последний платёж входит в наращенную сумму без изме- нения, то есть в размере R/p. Ha предпоследний платёж по годовой ставке i начисляются сложные проценты за пери- од, равный 1/р части года, следовательно, в момент п наращенная на этот платёж сумма будет равна (R/р)(1 +i)1/р. Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца платёж, будет равна (R/р)(1 + i)2/p. Сумма, наращенная к моменту n на первый платёж, будет равна (R/p)(1 + i) (np- 1)/p, так как на него начисляются сложные проценты пр — 1 раз по годовой ставке i каждый раз за период, равный 1/р части года. (Можно рассуждать и иначе: так как (np-1)/p = (n -1)/p, то на сделанный в момент 1 платёж к моменту n начисляются сложные проценты по годовой ставке i за пе- риод, равный (п — 1)/p годам.) Наращенная за п лет сумма всей ренты равна: S= R/p + (R/p)×(1+i)1/p+(R/p)×(1+i)2/p+ ….. +(R/p)×(1+i)(np-1)/p Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 = R/p и знаменате- лем q = (1 + i)1/p; число членов этой прогрессии равно k= пр. По формуле суммы первых k членов геометриче- ской прогрессии находим S: S=(b1×(qk-1))/(q-1)=(R/p)×((((1+i)1/p)np-1)/((1+i)1/p- 1)=R×(((1+i)n-1)/(p×((1+i)1/p-1))) Введём обозначение:
sn;i(p)=((1+i)n-1)/(p×((1+i)1/p-1)) (1.4) тогда наращенная сумма р -срочной ренты равна: S = Rsn;i(p) (1.5) Коэффициент sn;i(p) можно представить в виде произведе- ния : sn;i(p) =sn;i×Kp;i (1.6) где Kp;i=i/(p×(1+i)1/p-1) AЗ. Рента с периодом больше года Так называется рента, в которой член, равный Rr, выпла- чивается через каждые n лет (n > 1). Сложные проценты по годовой ставке i начисляются ежегодно. Изобразим эту ренту на оси времени: