Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

____________________________________________ 
 
Кафедра “Математика” 
 
 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
 
 
Конспект лекций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 
 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

____________________________________________ 
 
Кафедра “Математика” 
 
 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
 
 
Конспект лекций 
 
Для студентов  
направления «Экономика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 
 

УДК-512.64 (075) 
М-60 
Милевский А.С. Линейная алгебра. Конспект лекций. 
– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 89 c. 
 
Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих 
курс линейной алгебры. Включает материал по 
матричной алгебре, системам линейных уравнений, 
линейным пространствам, евклидовым пространствам, 
комплексным числам, векторной алгебре, аналитической 
геометрии. 
 
Рецензенты: 

Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук,  
доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела 
«Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ 
(Дубна). 

Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой  
“Математический анализ” РУТ (МИИТ). 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2018

1. Матрицы 

1.1. n
1.1. n--мерные
мерные векторы
векторы

a = (a1;a2)

a

a1

a2
Пример
Пример.. Двумерный вектор

Пример
Пример.. Трёхмерный вектор
a = (a1;a2;a3)

Пример
Пример.. n-мерный вектор

a = (a1;a2;…;an)

Координаты
вектора

Замечание
Замечание.. Нередко n-мерный вектор
записывается в столбик. Вот так:



















=

n
a

a

a

a
...

2

1

 

1.2. 
1.2. Линейные
Линейные операции
операции над
над векторами
векторами

11.2.1 
.2.1 Умножение
Умножение вектора
вектора на
на число
число

Пример
Пример
Если a = (–1;4;0;2), то
(–3)·a = (3; –12;0; –6)

Замечание
Замечание.. Аналогично
определяется
вычитание векторов

11.2.2 
.2.2 Сложение
Сложение векторов
векторов одинаковой
одинаковой размерности
размерности

Пример
Пример
Если a = (–1;4;0;1;2), b = (2;1;3;1;1), то
a+b = (1;5;3;2;3)

 

1.
1.33. . Матрицы
Матрицы

Матрица- это прямоугольная
таблица из чисел

Пример
Пример. . Матрица
размера 4×2 (4 строки, 2 
столбца):



















−

−
=

π
2
2
0
1
4

4
1

A

Если число строк равно числу
столбцов, то матрица называется
квадратной

Обозначение. aij – это число, 
стоящее в i-й строке и j-м
столбце



















mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

...
...
...
...
...
...

...

2
1

2
22
21

1
12
11

 



















=

nn
a

a

a

A

...
0
0
...
...
...
...
0
...
0

0
...
0

22

11

•
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим
числом. 
•
Матрица, все элементы которой равны нулю, называются
нулевой матрицей и обозначается через 0. 

•
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют
элементами главной диагонали. 
•
Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы
главной диагонали, называются диагональными матрицами и
записываются так:

 

Если все элементы aii диагональной
матрицы равны 1 , то она называется
единичной и обозначается E

Примеры
Примеры единичных
единичных матриц
матриц различного
различного размера
размера::

( )



















=















=








=
=

1
0
0
0

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

1
0
0
0
1
0

0
0
1

,
1
0
0
1
,
1
E
E
E
E

 

1.4. 
1.4. Линейные
Линейные операции
операции над
над матрицами
матрицами

11..44.1 
.1 Умножение
Умножение матрицы
матрицы на
на число
число

Пример
Пример

11..44.2 
.2 Сложение
Сложение матриц
матриц одинакового
одинакового размера
размера

Пример
Пример









−
−
=
⋅
⇒








−
−
=
5
25
15

10
20
5
5
1
5
3

2
4
1
A
A









−
=








−
+








−
−
1
11
4
3
7
3
2
6
1
1
3
2
1
5
3
2
4
1

Задача
Задача.. Решить
Решить

матричное
матричное
уравнение
уравнение








=








−
+
1
2
23
9
2
2
3
1
4X

 

1.
1.55. . Транспонирование
Транспонирование матрицы
матрицы

Пример
Пример..

Свойство
Свойство::

















−

−

=
⇒








−
−
=
1
2
5
4

3
1

1
5
3

2
4
1
T
A
A

(
)
A
A
T
T
=

3×2

2×3

 

1.6. 
1.6. Умножение
Умножение матриц
матриц

Пример
Пример..
Если
Если
(
)















=
=
1
6
1
2

3
1

,
2
4
1
B
A

Произведение A·B 
матриц A и B 
определено, только
если количество
столбцов в матрице A
равно количеству
строк в матрице В

то
то можно
можно умножить
умножить A (3 
A (3 столбца
столбца)) на
на BB (3 
(3 строки
строки),),

ии нельзя
нельзя умножить
умножить B 
B на
на AA
 

Пример
Пример.. Если
Если матрица A состоит из одной
строки (размер 1×n), а матрица B – из одного
столбца (размер n×1), то A·B – размера 1×1, т,е. 
число:

(
)
(
)
(
)
42
7
5
4
2
1
)
3
(
2
1

7
4
1

2

5
2
3
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=



















⋅
−

A

B
A·B

 

 

Итак
Итак,,
(
)
(
)
9
21
1
6
1
2
3
1
2
4
1
=















⋅

Задача
Задача..
?
?
.
5
2
4
1
3
0
,
4
1
1
0
2
1
=
⋅
=
⋅















=








−
=
A
B
B
A
B
A

Ответ
Ответ

















−

−
−
=








−
⋅
























=















⋅







−

20
9
3

16
6
3
12
3
3

4
1
1
0
2
1

5
2

4
1
3
0

,
21
9
11
2

5
2

4
1
3
0

4
1
1
0
2
1

 

 

1.
1.77. . Свойства
Свойства умножения
умножения матриц
матриц

1. A·E=E·A=A
2. (αA)·B= α(A·B), α–любое число
3. (A·B)·C=A·(B·C)
4. (A+B)·C =A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. (A·B)T=BT ·AT

Замечание
Замечание.. Из первого свойства видно, что единичные
матрицы при умножении ведут себя как число “1”.

1
1