Элементы линейной алгебры. Использование инструментария Excel для решения систем линейных алгебраических уравнений

  

Министерство транспорта Российской Федерации  

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

                  «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  

 

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

Г.Н. ЕФИМОВ, Л.Г. ХАЛИЛОВА 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 
ИНСТРУМЕНТАРИЯ EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 

 

 

 

Учебное пособие 

 

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018

Министерство транспорта Российской Федерации  

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

                         «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  

 

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

Г.Н. ЕФИМОВ, Л.Г. ХАЛИЛОВА 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 
ИНСТРУМЕНТАРИЯ EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 

 

Учебное пособие  
для студентов направления 080100.62 «Экономика» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018

 
 

 

УДК 512 
Е 91    
 

        Ефимов Г.Н., Халилова Л.Г. Элементы линейной алгебры. Использование 
инструментария Excel для решения систем линейных алгебраических уравнений: 
Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 191 с. 

 
 
 
 
Учебное пособие предназначено для студентов направления 080100.62 
«Экономика», обучающихся по дисциплине «Линейная алгебра» и соответствует 
Государственному образовательному стандарту.  
  
В учебном пособии рассматриваются основные темы курса линейной алгебры: 
матрицы, определители, методы решения систем линейных алгебраических 
уравнений. Для всех разделов приводятся основные теоретические сведения. 
Изложенный материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач 
разного уровня сложности.  Рассмотрено использование инструментария Excel для 
решения систем линейных алгебраических уравнений. В конце пособия даны 
варианты самостоятельных работ. 

 

 

Рецензенты: 
 к.пед.н., доцент, «Прикладная математика - 1» РУТ (МИИТ) Арутюнян Е.Б. 
 к.ф.-м.н., доцент РТУ МИРЭА  Кесельман В.М. 
 
 
 

 

 

 

© РУТ (МИИТ), 2018

 

СОДЕРЖАНИЕ 

Раздел 1  Матрицы………………………………………………………………
5

1.1
Основные понятия. Виды матриц……………………………………….
5

1.2  
Действия над матрицами…………………………………………………
9

1.2.1
Линейные операции над матрицами………………………………
9

1.2.2  Умножение матриц ………………………………………………
12

1.2.3  Возведение в степень……………………………………………...
16

1.2.4  Транспонирование матрицы……………………………………….
17

Закончить выражения…………………………………………………………....
19

Упражнения для самостоятельного решения………………………………….
20

Раздел 2 Определители………………………………………………………….
21

2.1
Определители квадратных матриц второго и третьего порядков……..
22

2.2  
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа…………….
26

2.3
Свойства определителей………………………………………………….
32

2.4
Определители 
-го порядка…………………………………………….
43

2.4.1
Понятие перестановки……………………………………………...
43

2.4.2  Понятие определителя n–го порядка…………………………….
44

2.4.3
Второе определение определителя………………………………
46

2.4.4  Метод приведения определителя к треугольному виду………..
47

Закончить выражения……………………………………………………………
54

Упражнения для самостоятельного решения…………………………………
54

Раздел 3 Системы линейных уравнений……………………………………….
56

3.1
Обратная матрица………………………………………………………..
56

3.2  
Ранг матрицы. Свойства ранга………………………………………….
69

Упражнения для самостоятельного решения…………………………………
86

3.3  
Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения…
89

3.4  
Система 
линейных уравнений с 
переменными. Метод обратной 

матрицы……………………………………………………………………..
91 

3.5  
Система 
линейных уравнений с 
сменными. Метод Крамера……
98

Упражнения для самостоятельного решения…………………………………..
109

3.6  
Система 
линейных уравнений с 
неизвестными. Метод Гаусса. 

Теорема Кронекера-Капелли………………………………………………
111 

3.7
Однородные системы линейных уравнений…………………………….
132 

Упражнения для самостоятельного решения………………………………….
150

Раздел 4.  Использование инструментария Excel для решения систем 
линейных алгебраических уравнений …………………………………………..
153 

4.1
Основные правила создания формул и функций………………………...
153

4.2
Решение систем линейных уравнений методом Крамера в среде  MS 
Excel…………………………………………………………………………
155 

4.3
Решение систем линейных уравнений матричным методом в MS Excel
157

4.4
Решение 
систем 
линейных 
уравнений 
методом 
Гаусса 
с 

использованием табличного процессора MS Excel……………………..
161 

4.5
Использование надстройки Excel «поиск решения» для решения 
систем линейных алгебраических уравнений……………………………
163 

n

n
n

n
n

m
n

Терминологический словарь ключевых понятий………………………………
166

Раздел 5. Теоретические вопроса и задачи……………………………………..
166

5.1
Теоретические вопросы……………………………………………………
166

5.2  
Расчетные задачи…………………………………………………………..
167

Список литературы………………………………………………………………..
190

 
         
 
 

Раздел 1.  МАТРИЦЫ  
1.1 Основные понятия. Виды матриц 
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (действительных или 
комплексных). Горизонтальные ряды чисел называются строками, вертикальные — 
столбцами. Строки нумеруются сверху вниз, столбцы — слева направо. 
Матрицей размера 
 называется прямоугольная таблица чисел, которая 
содержит 
 строк и 
 столбцов. Заметим, что на первом месте в этой записи 
указано количество строк матрицы, а на втором — количество столбцов. Например, 
запись размера матрицы 
 означает, что в ней пять строк и три столбца. Числа, 
которые составляют матрицу, называются элементами матрицы.  
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского 
алфавита: 
..., а для обозначения элементов матрицы используются малые 
(строчные) буквы с двойной индексацией: 
, где i – номер строки, j  – номер 
столбца.  
Например, матрица А размера 
 запишется в виде: 
 

m n
A
=  
 

 
или в сокращенной записи: 
, 
; 
. 

Например,  

2 3
2
3
lg5

1
1
2
6

A
tg
π



−


= 

−



 .

 

Одновременно с круглыми скобками используются и другие обозначения 
матрицы: 
 
Две матрицы 
 и 
 одного размера называются равными, если 
соответствующие элементы совпадают, то есть: 
 для всех 
; 

.  
 
Виды матриц 
 
Матрица, которая задаётся одной строкой – называется матрицей-строкой 
(вектором- строкой), а с одного столбца – матрицей-столбцом (вектором-столбцом).  
Например,      
 

m
n
×

m
n

5
3
×

,  ,  
A
B
C

ij
a

m
n
×

11
12
1
1

21
22
2
2

1
2

1
2

  
  ...  
  ...   

  
  ...  
  ...   

.....................................

   
  ...  
   ...   

.....................................

  
  ...  
  ...  

j
n

j
n

i
i
ij
in

m
m
mj
mn

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a























(
)
ij
A
a
=
1, 2, ... 
i
m
=
1, 2, ... 
j
n
=

[ ],
.

A
B

ij
ij
a
b
=
1, 2, ... 
i
m
=

1, 2, ... 
j
n
=

– матрица-строка; 

    
   – матрица-столбец. 

Итак, матрицу 
m n
A
 (1) можно записать как вектор-строка, компонентами 
которого являются векторы-столбцы: 

  
где  

 

 
Аналогично 
матрицу 
А 
можно 
представить, 
как 
вектор-столбец, 
компонентами которого являются векторы-строки: 

 

 
Например, матрицу А размера 3 × 4 можно представить в виде 
 

 

где 

 

 
 
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк m 
совпадает с количеством столбцов n, то есть 
. 

Например, 

11
12

21
22

a
a
A
a
a


= 



 – квадратная матрица второго порядка. 

(
)
1
11
12
1
  
  ...  
n
n
A
a
a
a
=
= α

11

21
1

1

n

n

b

b
B

b







=
=








β

(
)
,
,
,
m n
n
A × =
1
2 
α
α
α

11
12
1

21
22
2
1
2

1
2

,
, ...,
.

n

n
n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a

a
a
a



















=
=
=






















α
α
α

1
1
11
12
1

2
2
21
22
2

1
2

(
,
, ...,
);
(
,
, ...,
);
,
....................................
(
,
, ...,
).

n

n
m n

n
m
m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

×

=




=


= 



=





β
β
β
β

β
β

1

3 4
1
2
3
4
2

3

1
2
4
7

2
0
3
8
(
,
,
,
)
,

3
1
2
9

A ×









=
=
= 







−





β

α α α
α
β

β

1
2
3
4

1
2
4
7

2 ,
0 ,
3 ,
8 ;

3
1
2
9

 


 
 
 


 
 
=
=
=
=
 


 
 
 


 
 
−
 


 
 

α
α
α
α

1
2
3
(1, 2, 4, 7),
(2, 0, 3, 8),
(3,
1, 2, 9).
=
=
=
−
β
β
β

m
n
=

Например, A =   
 – квадратная матрица третьего порядка. 

Итак, порядком квадратной матрицы называют количество ее строк 
(столбцов).  
Элементы матрицы 
, в которых номер столбца совпадает с номером строки, 

 называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. 
 Для квадратной матрицы n-го порядка главную диагональ образовывают 
элементы 
, а побочную диагональ – элементы 
. 
Например, для матрицы А 3-го порядка 

 

главную диагональ образовывают элементы 
, а побочную 
диагональ – элементы 
. 
     Если  

, 

 
то матрица называется симметричной.  
Например, 

 

    Если  

, 

 
то матрица называется кососимметричной.  
У кососимметричной матрицы диагональные элементы равняются нулю, 
поскольку 
, 
 Например, матрица В 3-го порядка   

  

является кососимметричной. 

2

sin2    
3  8
7
  
0,4  
3
9
  6   
log 5
0







−









ij
a

(
)
i
j
=

11
2 2
, 
, ... 
n n
a
a
a
1
2
1
1
, 
, ... 
n
n
n
a
a
a
−

5
5

3
2
0,7
8

2
0,4
log 9
6
0
3
À







= 










11
2 2
3 3
2, 
0,4, 
3
a
a
a
=
=
=

1 3
2 2
3 1
0,7; 
0,4; 
6
a
a
a
=
=
=

ij
ji
a
a
=

2
1
5
1
3
6
5
6
4
A




= 






ij
ji
a
a
= −

ii
ii
a
a
= −
1, 2,
, .
i
n
=


0
1
2
1
0
3
2
3
0
B
−




= −




−



Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равняются нулю, то 
матрица называется диагональной.  

 

Например, 

 
= 
– диагональная матрица третьего порядка. 

Если у диагональной матрицы 
-го порядка все диагональные элементы 
равняются единице, то матрица называется единичной 
-го порядка и обозначается 
буквой 
. 

 

Заметим, что единичную матрицу можно представить через векторы 
 канонического базиса: 

  

  Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее 
элементы равняются нулю: 

.

 

   Транспонированием матрицы называется замена её строк на столбцы с 
сохранением порядка их записи. 
  Операцию транспонирования обозначают буквой Т в показатели степени или 
штрихом: 

 

(
)

11

22
11
22

0
...
0
0
...
0
,
,
,
...
...
...
0
0
0
...

nn

nn

a
a
A
diag a
a
a

a







=
= 








(
)

      
2, 4, 9
      
     
A
diag
=

 2  0  0 
 0  4  0 
 0  0  9












n

n

E

1
0
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1

E







= 






1
2
,
, ...,
n
e e
e

1
2
1
2

1
0
0
0
1
0
(
)
.

0
0
1

n
n
E
e , e , ...,e , e
, e
, ..., e

 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 





 0  0  ...  0 
 0  0  ...  0 
0
  ..............  
 0  0  ...  0 

m n
×







= 






11
12
1
11
21
1

21
22
2
12
22
2

1
2
1
2

...
...
...
...
,
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

n
m

n
m

m
m
mn
n
n
mn

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
A

a
a
a
a
a
a

Τ













′
=
=
=













Например,  
  

  Очевидно, что выполняется равенство 
 

 

 
  Диагональная матрица в результате транспонирования не меняется. 

= АТ 

       В частности, для единичной матрицы имеем  
 
   Для симметричной матрицы А исполняется равенство 

           
 

        для  кососимметричной матрицы  
 

   Квадратная матрица называется треугольной матрицей, если все ее элементы, 
размещенные под главной диагональю или над ней, равняются нулю. 
   Например,  

 

  Матрица А1 называется верхней треугольной, а матрица А2 — нижней 
треугольной матрицей. 
 
1.2 Действия над матрицами 
 
Над матрицами, как и над числами, можно делать ряд операций, причем 
некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые – 
специфические. 
 
1.2.1 Линейные операции над матрицами 
 
К линейным операциям над матрицами относят операции умножения матрицы 
на число и сложение матриц. 
       Произведением матрицы 
 на число 
 (лямбда) называется матрица 
, 
элементы которой 
, для 
; 
. 
 
 

0
2
2
1
3 ,
4
1 .
0
4
5
5
3

A
A
A
Τ







′
=
=
=











(
)
(
)
.
T
T
A
A
A
′ ′ =
=

(
)

11

22
11
22

0
...
0
0
...
0
,
,
,
...
...
...
0
0
0
...

nn

nn

a
a
A
diag a
a
a

a







=
= 








T
E
E
E.
′=
=

,
A
A
′ =

.
A
A
′ =−

11
12
13
11

1
22
23
2
21
22

33
31
32
33

0
0

0
,
0
.

0
0

a
a
a
a

A
a
a
A
a
a

a
a
a
a









=
=













A
λ
B
A
λ
=
⋅

ij
ij
b
a
λ
=
⋅
1, 2, ... 
i
m
=
1, 2, ... 
j
n
=

Например,  

если  
, то  

 

Следствие 
Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. 
Например, 

.
 

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, то есть  
               

. 
 

 Суммой двух матриц 
 и 
 одинакового размера 
 называется 

матрица такого же размера (
) 
 элементы которой 
 для 

; 
 (то есть матрицы складываются поэлементно). 

 

 

11
12
1
1

21
22
2
2

1
2

  
  ...  
  ...   

  
  ...  
  ...   

.......................................................
  
  ...  
  ...  

j
n

j
n
m
n

m
m
mj
mn

a
a
a
a

a
a
a
a
À

a
a
a
a

λ
λ
λ
λ

λ
λ
λ
λ
λ

λ
λ
λ
λ

×

⋅
⋅
⋅
⋅




⋅
⋅
⋅
⋅


⋅
= 





⋅
⋅
⋅
⋅



0
1
3
5
2
4
6
8
A


= 



2 0
2 1
2 3
2 5
0
2
6
10
2
2 2
2 4
2 6
2 8
4
8
12
16
A
⋅
⋅
⋅
⋅




⋅
=
=




⋅
⋅
⋅
⋅





3
6
1
2
3
9
12
3
4




= ⋅









11
12
1
1

1
2

  
  ...  
  ...   
0  0  ...  0  ...   0
0
0
.....................................
...........................
  
  ...  
  ...  
0  0  ...  0  ...  0

j
n

m n

m
m
mj
mn

a
a
a
a

A
a
a
a
a

×









⋅
=
⋅
=













m n
A ×
m n
B ×
m
n
×

m
n
×
C
A
B
=
+
ij
ij
ij
c
a
b
=
+

1, 2, ... 
i
m
=
1, 2, ... 
j
n
=

11
12
1
11
12
1

21
22
2
21
22
2

1
2
1

11
11
12
12
1
1

21
21
22
22
2
2

1
1

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
...

n
n

n
m
m n
m n

m
m
mn
m
mn
mn

n
n

n
n

m
n

a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
A
B

a
a
a
b
b
b

a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

a
b

×
×













+
=
+
=












+
+
+
+
+
+
=

+
1
2
...

m n

m
m
mn
mn

C

a
b
a
b

×






 =




+
+



Например, 
найти 
сумму 
матриц 
 
и 

. 

Вычислим элементы матрицы 
, складывая элементы исходных 
матриц, которые стоят на одинаковых местах: 

 

Итак, 

 

  Замечание  

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие 
операции 
 и составляется из разностей соответствующих 
элементов заданных матриц. 
Например, найдём сумму и разность двух матриц  

 и 
 

. 

Пример 1 
Найти линейную комбинацию двух матриц А и В, то есть матрицу 

 если 
2
3
1
4
3
2
,
,
5,
2
1
0
2
3
1
4
A
B
λ
µ
−




=
=
=
= −




−
−
−
−





. 

Решение 
 

10
15
5
8
6
4
5
, 2
5
0
10
6
2
8
A
B
−




⋅
=
⋅
=




−
−
−
−





  

Итак,  
10
15
5
8
6
4
5
2
5
0
10
6
2
8
A
B
−




⋅
−
⋅
=
−
=




−
−
−
−





 

. 

 
Согласно приведенным определениям выполняются такие правила: 
 

2 4
2
3
1
1

0
4
2
8
A ×
−


= 

−



2 4
1
4
0
1

2
2
5
7
B ×
−
−


= 

−



2 4
2 4
2 4
C
A
B
×
×
×
=
+

11
11
11
12
13
14

21
22
32
14

2
1 1;
3
4
1;
1
0
1;
1 1
0;

0
2
2;
4
2
2;
2
5
3;
8
7
15.

c
a
b
c
c
c

c
c
c
c

=
+
=
− =
= − +
=
= +
=
= − =

=
+
=
=
−
=
= − +
=
=
+
=

1
1
1
0 .
2
2
3 15
A
B


+
= 




(
)
1
A
B
A
B
−
=
+ −
⋅

1
3
4
2
1
3
A


= 

−



2
1
3
3
2
4
B
−


= 




3
2
7
1
4
1
,
5
1
7
1
3
1
A
B
A
B
−




+
=
−
=




−
−
−





C
A
B
λ
µ
=
⋅
+
⋅

10
8
15
6
5
4
2
21 1
5
6
0
2
10
8
1
2
2
−
−
−
−
−




=
=




− +
−
−
+
−
−



