Электрическое моделирование физических процессов

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

       _________________________________________________________________ 

 
 
 
 
 
 
Кафедра «Электроэнергетика транспорта» 

 
 
 

 

 
 
 
 

                  Г.Д.ЧАВЧАНИДЗЕ 

 
 

 
     Электрическое моделирование физических процессов 

 

 

                                          Учебно-методическое  пособие 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
                    
 
 
                           
 
                       Москва - 2018 
 

 
 

 
 
 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

       _________________________________________________________________ 

 
 

 
 
 
 
 
Кафедра «Электроэнергетика транспорта» 

 
 
 
 
 
 
 
                   Г.Д.ЧАВЧАНИДЗЕ 

 

 

         Электрическое моделирование физических процессов. 

 
 

      Учебно-методическое пособие 

                  для студентов электротехнических специальностей  ИТТСУ 

 

 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
              
               Москва - 2018 

УДК 621.3 

 

Ч 12 
 
Чавчанидзе Г.Д. Электрическое моделирование физических процессов: 
Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы. - М.: РУТ 
(МИИТ), 2018. – 21 с. 
 
       Учебно-методическое 
пособие 
предназначено 
для 
студентов 

электротехнических 
специальностей. 
Учебно-методическое 
пособие  

позволяет оказать помощь в работе над темами, не входящими в основной 
курс дисциплины. Оно содержат основные положения и схемные решения 
электрического моделирования для возможного представления физического 
объекта в электрической форме.  
 

 

 
                      Рецензент: кандидат технических наук РУТ (МИИТ) А.В. Волков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 РУТ (МИИТ), 2018  

 

 

 

 

1.Схемные решения электрического моделирования. 

         Электрическое 
моделирование 
представляет 
собой 
построение 

электрической модели любой физической системы, элементы которой  
заменяются 
определенным 
электрическим 
аналогом. 
Эквивалентная 

электрическая схема, полученная в результате замены физических 
элементов 
их 
электрическими 
аналогами, 
позволяет 
определить  

динамические свойства системы в различных режимах работы. Для 
выбранных переменных будут действительны все известные методы 
математического анализа и расчета. 
         При проектировании механических, тепловых и других систем 
необходимо проводить оценку динамических процессов, протекающих в 
рабочем режиме. Для этого каждый элемент физической системы заменяют 
соответствующим электронным элементом, параметры которого находятся в 
таком же соотношении друг к другу, как и в реальной установке. Полученная 
таким 
образом 
электронная 
схема, 
позволяет 
проанализировать 

работоспособность физической системы в различных переходных режимах.  
Динамические процессы, протекающие в физических системах, имеют как 
линейный, так и нелинейный характер. Например, с увеличением растяжения 
пружины, находящейся в состоянии покоя, пропорционально увеличивается 
и сила упругости. 
         Зависимость является линейной и моделируется с помощью линейного 
активного 
сопротивления, 
сила 
тока 
которого 
увеличивается 

пропорционально  увеличению напряжения. 
         Нелинейная зависимость между силой упругости и деформацией 
возникает при введении промежуточных опор или использовании пружины  
за пределом упругости. При достижении данного предела сила упругости 
может увеличиваться достаточно резко или, при использовании пружины из 
эластичного материала, более плавно.      Электрически смоделировать 
изменения упругости можно, соответственно, с помощью варистора, у 
которого резко возрастает ток после порогового значения напряжения, когда  
его сопротивление становится равным нулю, либо с помощью лампы на-
каливания с металлической нитью, у которой после разогрева нити ток 
плавно увеличивается с увеличением напряжения. 
        Варистор и лампа накаливания с металлической нитью накала являются  
нелинейными двухполюсниками. Вари́стор представляет собой переменный 
резистор, сопротивление 
которого 
нелинейно 
зависит 
от 

приложенного напряжения. При увеличении напряжения варистор резко 
уменьшает своё сопротивление до десятков Ом. 

Лампа накаливания представляет собой искусственный источник света, в 
котором для накала используется спираль из тугоплавкого металла - 
вольфрама. Для исключения  окисления вольфрама  при контакте с воздухом 
его помещают, как правило,  в колбу, заполненную инертными газами. Для 
получения видимого свечения температура излучающего тела должна 
превышать 570 °C.  
           За 
счет 
 
положительного температурного 
коэффициента 

сопротивления, когда электрическое удельное сопротивление увеличивается 
 с ростом температуры, лампы накаливания подключаются  к электрическим 
сетям без использования, ограничивающих ток, балластных двухполюсников. 
Это  выгодно отличает их от газоразрядных люминесцентных ламп.  
        Существуют три способа реализации моделирования: 
− способ приближенного моделирования, когда некоторые свойства, не 
оказывающие решающего действия,  моделируются приближенно или совсем 
не моделируются; 
−  способ неполного или частичного моделирования; 
−  способ полного подобия модели и моделируемого объекта. 
       В любом случае, необходимым требованием при моделировании объекта 
является то, что модель должна быть  упрощенной    копией  оригинала.  В 
зависимости  от  поставленной  задачи  выбирается  определенный  способ 
моделирования с  необходимой степенью подобия.  
       Для большей степени подобия динамические свойства объекта 
описываются соответствующими переменными, которыми описывается 
любая электрическая цепь: напряжение, заряд  и др. Число независимых 
первичных 
переменных 
определяется 
числом 
действующих 
сил.   

Производные от выбранных переменных позволяют отразить динамическое 
поведение объекта  по времени и получить вторичные параметры, например, 
ток: 

i = dq

dt ,        i − ток,     q − заряд. 

     Интегрирование соответствующих первичных переменных приводит к 
определению импульсных составляющих, например:   

                                    ψ = ∫ Udt,     ψ − потокосцепление, U − напряжение. 

     Производные от импульсных составляющих по вторичным параметрам 
позволяют определить индуктивные параметры:  

L = dψ

di . 

 

Производные первичных параметров  по напряжению – емкостные: 

С = dq

dU. 

      Производные первичных параметров по току – резистивные: 

R = dU

di . 

      Наиболее распространенным видом моделирования является 
аппроксимация. С возрастанием сложности исследуемых объектов значение 
фактора аппроксимации существенно возрастает. Аппроксимация позволяет 
оптимизировать  моделирование,  определить  закономерности  и  выявить 
основные управляющие команды. 
       Для сложных физических систем количество  элементов электронной 
схемы 
замещения 
определяется 
 
нелинейными 
характеристиками 

двухполюсников, совокупность которых позволяет получить требуемую  
зависимость 
между 
физическими 
величинами. 
При 
этом 
точность 

аппроксимации 
будет 
определяться 
количеством 
используемых 
при 

моделировании нелинейных элементов. 
Рассмотрим некоторые способы частичного моделирования, которые 
позволяют аппроксимировать характеристики  нелинейных двухполюсников, 
для получения требуемой выходной зависимости.   
        На рис. 1.1 представлены схемы нелинейных двухполюсников из 
«идеального» диода VD, линейного сопротивления R и источника э.д.с. Е,         
равного опорному напряжению диода Uд, совокупность характеристик 
которых позволяет получить ломаную характеристику требуемой формы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Е



I

U



Е

I

I

a
b

d

I=f(Uд)

I=f(UR)

I=f(UR+ Uд)

VD

U12

UД

Е

I
R

2

1

VD

U12

UД

Е

I
R

2

1

а)
б)

Рис.1.1. 

U12

с

«Идеальный диод» равносилен модели идеального вентиля, когда он 
либо  полностью открыт (прямое включение), либо полностью закрыт 
(обратное включение). Диод или закрыт при любом отрицательном 
напряжении, 
когда 
его 
дифференциальное 
сопротивление 
равно 

бесконечности и ток через него равен нулю, или открыт, когда 
дифференциальное 
сопротивление 
равно 
нулю, 
и, 
соответственно,  

напряжение также равно нулю при любом токе.  
         Принцип действия полупроводниковых диодов основан на физических 
явлениях в электронно-дырочном p-n-переходе. По существу, электронно-
дырочный 
переход 
в 
исходном 
состоянии 
представляет 
собой 

полупроводниковый диод или двухэлектродный полупроводник с одним p–n-
переходом односторонней проводимости. Две области или  два электрода 
диода обладают разным типом проводимости. Одна область является 
положительным 
электродом, 
называется 
анодом 
и 
обладает 

электропроводностью p-типа. Другая область является, соответственно, 
отрицательным 
электродом, 
называется 
катодом 
и 
обладает 

электропроводностью n-типа. 
          Вольт-амперная характеристика (в.а.х.) диода (рис.1.2) относится к 
разряду несимметричных и определяется  протеканием токов прямого и 
обратного направлений.  
 
 

                                             
 

                                                    Рис. 1.2. 
        Двухполюсники отличаются способом включения диодов и источников 
э.д.с. Опорное напряжение используется для сдвига в.а.х. диода VD на 
величину э.д.с. источника Е. Меняя значение и включение э.д.с., получают 
необходимую в.а.х. для заданного режима схемы. 

     Уравнение для схемы (рис. 1.1,а) по второму закону Кирхгофа: 

                                     U12 =Uд + IR + Е.  
       При заданных в.а.х. I=f(Uд) и I=f(UR) результирующая кривая I=f(Uд+UR) 
определяется графическим суммированием по току линейной I=f(UR) и 
нелинейной I=f(Uд) характеристик. Например, точка d результирующей 
кривой определяется суммированием отрезков: 
. Величина 

статического сопротивления Rсm определяется тангенсом угла наклона 
результирующей к оси абсцисс: 
                                       tgα∙mU/m1=Rст. 
         Ток в схеме находится графически при заданном значении входного 
напряжения U12, которое откладывается по оси абсцисс. При известном 
значении тока в цепи напряжение U12 на зажимах схемы определяется 
графически обратным путём. 
         Для схемы рис. 1.1, б  уравнение электрического состояния цепи имеет  
вид:                                   U12 =Uд + IR – Е. 
         В результате, результирующая кривая сместится на величину э.д.с. 
влево от начала координат. Диод в схеме закрыт до тех пор, пока напряжение  
U12 не станет больше значения э.д.с. При U12> Е в цепи начинает протекать 
ток.  
        При  необходимости получить более сложную характеристику 
используют разветвленные электрические  схемы. Получение необходимой 
результирующей кривой обеспечивается сложением кусочно-ломаных 
характеристик ветвей схемы. 
        На схеме (рис. 1.3,а) представлена цепь  с тремя параллельными 
ветвями, в которых Ro>R1>R2 и E1<E2. Ha рис.1.3,б приведены в.а.х. ветвей 
схемы  и ее результирующая характеристика I=f(U), которая строится путем  
графического суммирования по напряжению линейной и двух ломаных 
кривых. 
Точность 
результирующей 
характеристики 
определяется     

количеством параллельно включённых ветвей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

U

I0
I1
I2

VD1
VD2

E2
E1

I

R1
R2
R0

Результирующая

I1=f(UVD1+UR1)

I2=f(UVD2+UR2)

I0=f(UR0)

I=f(U)

I

U
Е1

Е2

б)

а)

Рис. 1.3.

U

I

Рис. 2.1.

U

VD

U

I

U=E

 
         Использование в схеме (рис. 1.3,а) нескольких источников э.д.с. 
затрудняет возможность увеличения схемы. Для  каждой последующей ветви 
нужен свой источник опорного напряжения. 
         Схема с одним источником опорного напряжения, которая по своей 
вольт-амперной характеристике тождественна предыдущей (рис.1.3, а), 
представлена на рис. 1.4. В ней последовательно каждому диоду включаются 
активные сопротивления, выполняющие функцию делителя напряжения.  
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
2. Построение вогнутых характеристик без источников опорных напряжений. 

 

         Источники опорных напряжений можно заменить полупроводниковыми 
стабилитронами - опорными диодами, обозначение и вольт-амперная 
характеристика которых  приведена на рис. 2.1, где  U - опорное напряжение. 
Режим работы стабилитрона  характеризуется обратной ветвью вольт-
амперной характеристики в области пробоя. Вольт-амперная характеристика 
в области пробоя обладает высокой линейностью при достаточно постоянном 
напряжении пробоя. Стабилизация напряжения осуществляется на обратной 
ветви вольт-амперной характеристики, в области прямой ветви стабилитрон 
аналогичен диоду.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

R0

VD1
E

Рис. 1.4.

R1
R2

VD2

R3
R4

U

I

Рассмотрим схему (рис.2.2), которая позволяет реализовать вогнутую 
в.а.х. Используя диод с в.а.х. близкой к идеальной, стабилитроны и линейные 
резисторы  построим вогнутую характеристику. Опорные напряжения для 
данной схемы, при которых стабилитроны начинают пропускать ток, 
находятся в следующей зависимости:  U1 > U2>U3, а сопротивления, 
соответственно:   R1>R2>R3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          В исходном состоянии стабилитроны закрыты, ток в схеме не 
протекает. При повышении входного напряжения U до величины U1 
открывается первый стабилитрон, через него, диод VD и сопротивление R1 
начинает протекать ток: 

                                                
1

1

1
R

U
U
I
I



.  

           Падение напряжения на диоде VD, из-за малого сопротивления диода в 
прямом направлении, не учитывается. Величина напряжения  U1достаточна 
для открытия  второго стабилитрона.  Ток в цепи становится равным: 

                                    
1

2
1

1

1

2
1
R

U
U
U

R

U
U
I
I
I







. 

         Таким образом, при открытии    n-го стабилитрона ток в цепи будет 
выражен следующей формулой:  

                                     














n

k
k

n

k
k

R

E
U

R

E
U
I

2

1

1

1
. 

         Выходная в.а.х. строится графическим способом с учетом  исходных 
характеристик нелинейных элементов и схемы их последовательно-
параллельного соединения (рис. 2.3). 
 
 
 

Рис.2.2.

I1

I

I2
I3

R3

R1

R2
U

VD
U2
U3
U1

I1

1
3