Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Случайные величины

Покупка
Новинка
Основная коллекция
В учебно-методическом пособии представлены основные понятия и правила для случайных величин. Кратко дается теоретическая основа, затем - иллюстрации на примерах, и в заключении - тесты для самопроверки.
Ефремова, Н. А. Случайные величины : учебно-методическое пособие к практическим занятиям по математике / Н. А. Ефремова. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 30 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896894 (дата обращения: 27.11.2022). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

____________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 
 

Н.А.Ефремова 

 
 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 

 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

к практическим занятиям по дисциплине 

«Высшая математика» 

 
 

 
 

 
 

Москва  - 2018 
Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

____________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 
 
 

Н.А.Ефремова 

 
 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 

 
 
 

 

 
 

Учебно-методическое пособие 
для студентов строительных 

специальностей ИПСС 

 
 
 

Москва – 2018 

 
УДК 519.2 
Е 92 

 
 
 
 Ефремова Н.А. Случайные величины: Учебно-
методическое пособие  к практическим занятиям 
по математике. -  М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 30 с. 

 
 

 

 
 
В учебно-методическом пособии представлены 

основные понятия и правила для случайных величин. 
Кратко дается теоретическая основа, затем – иллюстрации 
на примерах, и в заключении – тесты для самопроверки.  
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Рецензент: Платонова О.И., к.ф.-м.н., доцент 

кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ). 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
© РУТ(МИИТ), 2018 

 
Предисловие 

 

          Случайные   величины  могут  быть дискретными  
и  непрерывными.     Дискретные  случайные   
величины   представляют  собой целочисленные значения 
исходов,  непрерывные – любые возможные 
значения на определенном участке (интервале, отрезке, 
полупрямой и т.д.) 
 
Примеры дискретных случайных величин: 

 

Эксперимент

со случайным исходом

Случайная
величина

Значение 
случайной 
величины

Бросание монеты 2 раза и 
регистрация числа выпавших 
«цифр»

Число «цифр»
0, 1, 2

Бросание игральной кости
один раз и регистрация 
результата со случайным 
исходом

Выпавшее число
1, 2, 3, 4,
5, 6

Регистрация числа дорожных
происшествий на определенном 
участке дороги в течение 
недели

Число дорожных 
происшествий за 
неделю

0, 1, 2, 3, 
…

Регистрация спроса на 
машины

Число заказов на
машины в течение 
дня

0, 1, 2, 3, 
…

 
 
Примерами непрерывных случайных величин  

являются время, которое служащий тратит на дорогу 
(20-30 минут), рост студентов, проходящих медкомиссию, 
срок службы электроламп, а также ситуации, 
связанные с измерениями веса, объема товаров, размеров 
изделий и т.д. 
 
 
 
1. Дискретная случайная величина 

 

 
Пример 1.1. Бросаем монету три раза и регистрируем 
число выпавших «гербов». 
Возможные исходы: 

 
 
 
 
 

 
 
Дискретная случайная величина – количество 

«гербов», ее возможные значения: X= 0 или 1 или 2 
или 3.  
 
Получили следующее вероятностное распределение, 
основанное на значениях возможных исходов: 
  
 
 
 
 

Распределение дискретной случайной величины 
x может быть представлено, например, в виде линейного 
графика: 

 

 
 

1.
Ц
Ц
Ц

2.
Ц
Ц
Г

3.
Ц
Г
Ц

4.
Ц
Г
Г

5.
Г
Ц
Ц

6.
Г
Ц
Г

7.
Г
Г
Ц

8.
Г
Г
Г

х
0
1
2
3

р
8
1

8
3

8
3

8
1
Среднее значение, основанное на вероятностном 
распределении, называется математическим 
ожиданием (при условии многократного проведения 
эксперимента). Математическое ожидание дискретной 
случайной величины X обозначим М(X). 
 
Сумма  вероятностей   всех  исходов  (полной  

группы событий) равна 1.  
 
Математическое ожидание имеет вид: 

            
i

i

i p
x
X
M


)
(
 ,  где 
ix  – все возможные значения, 
которые может принимать случайная величина, 

ip  – вероятности, с которыми случайная величина 
принимает соответствующие значения. 
 
Нетрудно привести примеры случайных величин, 
которые имеют одинаковые математические 
ожидания, но различные возможные значения. Поэтому, 
кроме математического ожидания вводят и 
другие числовые характеристики случайной величины. 
Так, например, вариация вероятностного распределения 
может быть измерена при помощи дисперсии (
обозначим - D(X)) или среднего квадратического 
отклонения - (  (X)). 
 
Дисперсия имеет вид: 

  
 


i

i

i
p
X
M
x
X
D
2
)
(
)
(



 

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности 
случайной величины. Более удобным на 
практике является, если числовая характеристика 
имеет размерность, равную размерности случайной 
величины. Поэтому вводят среднее квадратическое 

отклонение  (X) = 
)
(X
D
. D(X) - всегда положительная 
величина, по определению. 
Вернемся к примеру 1.1.  

         Математическое ожидание «гербов»: 

          M(X) =
i

i

i p
x

 = 
8

1
0
 + 
8

3
1
 + 
8

3
2
 + 
8

1
3
 = 1,5 

         Дисперсия «гербов»: 

         D(X)=


i

i

i
p
X
M
x
2
)
(


=





8
1
5,1
0
2
  







8
3
5,1
2
2
 


8
1
5,1
3
2 

  =  0,75 

 
 

2. Непрерывная случайная величина 

 

 
Предположим, что мы имеем непрерывную 

случайную величину, принимающую значения из интервала 
)
,
(

2
1 x
x
.  

 
Плотностью вероятностей или дифференциальной 
функцией распределения называют отношение 
вероятности попадания значений случайной 
величины х на малый интервал  Δх  к длине участка 
Δх 
в 
пределе 
при 
Δх→0: 

)
(
)
(
lim
x
f
x

x
x
X
x
p







.
 
 
 

 
График плотности вероятностей непрерывной 

случайной величины представляет собой кривую, в 
отличие от линейной диаграммы для распределения 
дискретной случайной величины. График плотности 
вероятностей называется кривой распределения. 
 
А). Плотность вероятностей: 

                 f(x) = 


x

5
8
1
,  1 < x < 5 
График плотности вероятностей для заданной 

функции будет иметь вид: 

 

 

 
           Б). Плотность вероятностей: f(x)=0,006x(10-
х), 
10
0

 x
. 

 
       График плотности вероятностей для заданной 
функции будет иметь вид: 
 

 

 
 
Любому значению дискретной случайной величины 
соответствует определенная вероятность. 
Очевидно, что это невозможно  для непрерывной переменной. 
Здесь вероятность соответствует некой области 
значений непрерывной случайной величины. 
Например, находим вероятность того, что диаметр 
наудачу взятой детали из партии составит от 69,1 мм 
до 70,9 мм. 
 
Графически вероятность изображается как 

площадь под кривой, ограниченная  пределами значений 
переменной. Общая площадь под кривой распределения 
соответствует общей вероятности  равной 
1: 

         


b

a

dx
x
f
1
)
(
.   

          В 
случае, 
если 
)
;
(



x
: 








1
)
(
dx
x
f
. 

 
В примере Б) вероятность того, что случайная 

величина примет            значение от 2  до 5 представлена  
закрашенной  площадью   графика плотности 
распределения : 
 

 

 
          Вероятность того, что непрерывная случайная 
величина примет значение из какого-то промежутка, 
равна площади под графиком функции плотности вероятности 
на этом промежутке. 
 
Непрерывная случайная величина в отличие 

от дискретной случайной величины, не принимает 
какое-то определенное значение, допустим 2,5 кг, она 
может быть меньше или больше 2,5 кг, или от 12,5 до 
13,0 мм, или от 20 до 25 минут.  
 
Числовые характеристики непрерывной случайной 
величины имеют соответственно вид: 
         Математическое ожидание:    

           








dx
x
xf
X
M
)
(
)
(
.   

 
         Дисперсия:   

  
 
       

dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
))
(
(
)
(
2









. 

         Среднее квадратическое отклонение: 

)
(
)
(
X
D
X 

. 

 

 
Пример 2.1. У одного из студентов дорога в 

университет занимает 30-45 минут, у другого 25-35 
минут. Любое время на дорогу в этих пределах равновероятно. 
         
Построим график для обоих случаев. 
 
 
 
 
 
 
 
  • document_id: 416055
  • product_id: 1896894
  • ins_time: 2022-06-29 01:04:57
  • upd_time: 2022-06-29 01:04:57
  • upp_upd_date: 2022-06-28
  • Full PDF: WARN Путь не доступен (не определен) /mnt/znanium_fullpdf/booksfull/done/1896/1896894.pdf
  • PDF pages: WARN Количество страниц документа (30) не соответствует физическому наличию (31). Путь /mnt/resources/resources/1896/1896894/pdf
  • XML pages: WARN Количество страниц документа (30) не соответствует физическому наличию (31). Путь: /mnt/resources/resources/1896/1896894/xml
  • text *.idx: OK
  • Full text: OK /mnt/resources/resources/1896/1896894/txt/1896894.txt
  • Оглавления: OK Путь /mnt/resources/resources/1896/1896894/txt/1896894.toc.txt