Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Случайные величины

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 788088.01.99
В учебно-методическом пособии представлены основные понятия и правила для случайных величин. Кратко дается теоретическая основа, затем - иллюстрации на примерах, и в заключении - тесты для самопроверки.
Ефремова, Н. А. Случайные величины : учебно-методическое пособие к практическим занятиям по математике / Н. А. Ефремова. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 30 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896894 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

____________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 
 

Н.А.Ефремова 

 
 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 

 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

к практическим занятиям по дисциплине 

«Высшая математика» 

 
 

 
 

 
 

Москва  - 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

____________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 
 
 

Н.А.Ефремова 

 
 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 

 
 
 

 

 
 

Учебно-методическое пособие 
для студентов строительных 

специальностей ИПСС 

 
 
 

Москва – 2018 

 

УДК 519.2 
Е 92 

 
 
 
 Ефремова Н.А. Случайные величины: Учеб-

но-методическое пособие  к практическим занятиям 
по математике. -  М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 30 с. 

 
 

 

 
 
В учебно-методическом пособии представлены 

основные понятия и правила для случайных величин. 
Кратко дается теоретическая основа, затем – иллю-
страции на примерах, и в заключении – тесты для са-
мопроверки.  
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Рецензент: Платонова О.И., к.ф.-м.н., доцент 

кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ). 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
© РУТ(МИИТ), 2018 

 

Предисловие 

 

          Случайные   величины  могут  быть дискрет-
ными  и  непрерывными.     Дискретные  случайные   
величины   представляют  собой целочисленные зна-
чения исходов,  непрерывные – любые возможные 
значения на определенном участке (интервале, отрез-
ке, полупрямой и т.д.) 
 
Примеры дискретных случайных величин: 

 

Эксперимент

со случайным исходом

Случайная
величина

Значение 
случайной 
величины

Бросание монеты 2 раза и 
регистрация числа выпавших 
«цифр»

Число «цифр»
0, 1, 2

Бросание игральной кости
один раз и регистрация 
результата со случайным 
исходом

Выпавшее число
1, 2, 3, 4,
5, 6

Регистрация числа дорожных
происшествий на определен-
ном участке дороги в тече-
ние недели

Число дорожных 
происшествий за 
неделю

0, 1, 2, 3, 
…

Регистрация спроса на 
машины

Число заказов на
машины в тече-
ние дня

0, 1, 2, 3, 
…

 
 
Примерами непрерывных случайных величин  

являются время, которое служащий тратит на дорогу 
(20-30 минут), рост студентов, проходящих медко-
миссию, срок службы электроламп, а также ситуации, 
связанные с измерениями веса, объема товаров, раз-
меров изделий и т.д. 
 
 
 

1. Дискретная случайная величина 

 

 
Пример 1.1. Бросаем монету три раза и реги-

стрируем число выпавших «гербов». 
Возможные исходы: 

 
 
 
 
 

 
 
Дискретная случайная величина – количество 

«гербов», ее возможные значения: X= 0 или 1 или 2 
или 3.  
 
Получили следующее вероятностное распре-

деление, основанное на значениях возможных исхо-
дов: 
  
 
 
 
 
Распределение дискретной случайной величи-

ны x может быть представлено, например, в виде ли-
нейного графика: 

 

 
 

1.
Ц
Ц
Ц

2.
Ц
Ц
Г

3.
Ц
Г
Ц

4.
Ц
Г
Г

5.
Г
Ц
Ц

6.
Г
Ц
Г

7.
Г
Г
Ц

8.
Г
Г
Г

х
0
1
2
3

р
8
1

8
3

8
3

8
1

Среднее значение, основанное на вероятност-

ном распределении, называется математическим 
ожиданием (при условии многократного проведения 
эксперимента). Математическое ожидание дискрет-
ной случайной величины X обозначим М(X). 
 
Сумма  вероятностей   всех  исходов  (полной  

группы событий) равна 1.  
 
Математическое ожидание имеет вид: 

            
i

i

i p
x
X
M


)
(
 ,  где 
ix  – все возможные значения, 
которые может принимать случайная величина, 

ip  – вероятности, с которыми случайная величина 
принимает соответствующие значения. 
 
Нетрудно привести примеры случайных величин, 
которые имеют одинаковые математические 
ожидания, но различные возможные значения. Поэтому, 
кроме математического ожидания вводят и 
другие числовые характеристики случайной величины. 
Так, например, вариация вероятностного распределения 
может быть измерена при помощи дисперсии (
обозначим - D(X)) или среднего квадратического 
отклонения - (  (X)). 
 
Дисперсия имеет вид: 

  
 


i

i

i
p
X
M
x
X
D
2
)
(
)
(



 

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности 
случайной величины. Более удобным на 
практике является, если числовая характеристика 
имеет размерность, равную размерности случайной 
величины. Поэтому вводят среднее квадратическое 

отклонение  (X) = 
)
(X
D
. D(X) - всегда положительная 
величина, по определению. 

Вернемся к примеру 1.1.  

         Математическое ожидание «гербов»: 

          M(X) =
i

i

i p
x

 = 
8

1
0
 + 
8

3
1
 + 
8

3
2
 + 
8

1
3
 = 1,5 

         Дисперсия «гербов»: 

         D(X)=


i

i

i
p
X
M
x
2
)
(


=





8
1
5,1
0
2
  







8
3
5,1
2
2
 


8
1
5,1
3
2 

  =  0,75 

 
 

2. Непрерывная случайная величина 

 

 
Предположим, что мы имеем непрерывную 

случайную величину, принимающую значения из ин-
тервала 
)
,
(
2
1 x
x
.  

 
Плотностью вероятностей или дифференци-

альной функцией распределения называют отно-
шение вероятности попадания значений случайной 
величины х на малый интервал  Δх  к длине участка 
Δх 
в 
пределе 
при 
Δх→0: 

)
(
)
(
lim
x
f
x

x
x
X
x
p







.
 
 
 

 
График плотности вероятностей непрерывной 

случайной величины представляет собой кривую, в 
отличие от линейной диаграммы для распределения 
дискретной случайной величины. График плотности 
вероятностей называется кривой распределения. 
 
А). Плотность вероятностей: 

                 f(x) = 


x

5
8
1
,  1 < x < 5 

График плотности вероятностей для заданной 

функции будет иметь вид: 

 

 

 
           Б). Плотность вероятностей: f(x)=0,006x(10-
х), 
10
0

 x
. 

 
       График плотности вероятностей для за-

данной функции будет иметь вид: 
 

 

 
 
Любому значению дискретной случайной ве-

личины соответствует определенная вероятность. 
Очевидно, что это невозможно  для непрерывной пе-
ременной. Здесь вероятность соответствует некой об-
ласти значений непрерывной случайной величины. 

Например, находим вероятность того, что диаметр 
наудачу взятой детали из партии составит от 69,1 мм 
до 70,9 мм. 
 
Графически вероятность изображается как 

площадь под кривой, ограниченная  пределами зна-
чений переменной. Общая площадь под кривой рас-
пределения соответствует общей вероятности  равной 
1: 

         


b

a

dx
x
f
1
)
(
.   

          В 
случае, 
если 
)
;
(



x
: 








1
)
(
dx
x
f
. 

 
В примере Б) вероятность того, что случайная 

величина примет            значение от 2  до 5 представ-
лена  закрашенной  площадью   графика плотности 
распределения : 
 

 

 
          Вероятность того, что непрерывная случайная 
величина примет значение из какого-то промежутка, 

равна площади под графиком функции плотности ве-
роятности на этом промежутке. 
 
Непрерывная случайная величина в отличие 

от дискретной случайной величины, не принимает 
какое-то определенное значение, допустим 2,5 кг, она 
может быть меньше или больше 2,5 кг, или от 12,5 до 
13,0 мм, или от 20 до 25 минут.  
 
Числовые характеристики непрерывной случайной 
величины имеют соответственно вид: 
         Математическое ожидание:    

           








dx
x
xf
X
M
)
(
)
(
.   

 
         Дисперсия:   

  
 
       

dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
))
(
(
)
(
2









. 

         Среднее квадратическое отклонение: 

)
(
)
(
X
D
X 

. 

 

 
Пример 2.1. У одного из студентов дорога в 

университет занимает 30-45 минут, у другого 25-35 
минут. Любое время на дорогу в этих пределах равновероятно. 
         
Построим график для обоих случаев.