Сложные проценты
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Финансовая математика
Издательство:
Российский университет транспорта
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 75
Дополнительно
Учебное пособие предназначено для студентов направления 380301 «Экономика», обучающихся по дисциплине «Финансовая математика». Учебное пособие удовлетворяет требованиям ФГОС 3+ и написано в соответствие рабочей программой дисциплины «Финансовая математика». Пособие включает следующие темы: «Формула наращения», «Сравнение роста по сложным и простым процентам», «Номинальная ставка», «Эффективная ставка», «Дисконтирование по сложной ставке», «Эффективная учетная ставка», «Наращение по учетной ставке», «Определение срока ссуды и размера процентной ставки», «Непрерывные проценты», «Связь дискретных и непрерывных процентных ставок». Предлагаемое пособие содержит задачи для самостоятельного решения и может быть полезно в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Л.В. Кекух Сложные проценты Учебное пособие Москва – 2018
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Л.В. Кекух Сложные проценты Учебное пособие для студентов направления «Экономика» Москва – 2018
УДК – 51 И 97 Ишханян М.В., Кекух Л.В. Сложные проценты: Учебное пособие. – М.: РУТ(МИИТ), 2018. – 75 с. Учебное пособие предназначено для студентов направления 380301 «Экономика», обучающихся по дисциплине «Финансовая математика». Учебное пособие удовлетворяет требованиям ФГОС 3+ и написано в соответствие рабочей программой дисциплины «Финансовая математика». Пособие включает следующие темы: «Формула наращения», «Сравнение роста по сложным и простым процентам», «Номинальная ставка», «Эффективная ставка», «Дисконтирование по сложной ставке», «Эффективная учетная ставка», «Наращение по учетной ставке», «Определение срока ссуды и размера процентной ставки», «Непрерывные проценты», «Связь дискретных и непрерывных процентных ставок». Предлагаемое пособие содержит задачи для самостоятельного решения и может быть полезно в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов. Рецензенты: О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ(МИИТ). А.С. Поляков, к.ф.-м.н., старший консультант ООО «Глоу Байт Консалтинг». © РУТ (МИИТ), 2018
Оглавление §1. Формула наращения .................................................. 4 Переменные ставки ...................................................... 6 §2. Сравнение роста по сложным и простым процентам ................................................................................................... 7 §3. Номинальная ставка ................................................... 8 §4. Эффективная ставка ................................................. 11 §5. Дисконтирование по сложной ставке .................... 12 Математическое дисконтирование ........................... 12 Правило 69 ............................................................... 16 Правило 72 ............................................................... 16 Учет по сложной учетной ставке .............................. 16 §6. Эффективная учетная ставка .................................. 17 §7. Наращение по учетной ставке ................................ 18 §8. Определение срока ссуды и размера процентной ставки ..................................................................................... 19 Срок ссуды .................................................................. 19 Величина процентной ставки .................................... 20 §9.Непрерывные проценты ........................................... 23 Формула непрерывного начисления процентов ...... 23 Сила роста ................................................................... 25 Переменная сила роста .............................................. 26 §10. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок...................................................................................... 29 §11. Практикум ............................................................... 31 Решение типовых задач ............................................. 31 Задачи для самостоятельного решения .................... 45 Тестовые задания ....................................................... 53 Приложения .................................................................... 73 Приложение 1 ............................................................. 73 Приложение 2 ............................................................. 74 Литература ...................................................................... 75
§1. Формула наращения
В среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях,
если проценты не выплачиваются сразу после их
начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют
сложные проценты.
База для начисления сложных процентов не остается
постоянной – она увеличивается во времени. Присоединение
начисленных процентов к сумме, которая послужила
базой для их начисления, называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы.
Пусть Р – первоначальная сумма, i – годовая процентная
ставка.
За первый год наращенная сумма равна
𝑆1 = 𝑃 + 𝑃𝑖 = 𝑃 (1 + 𝑖).
За второй год наращенная сумма равна
𝑆2 = 𝑆1 + 𝑆1𝑖 = 𝑆1(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)2.
За третий год наращенная сумма равна
𝑆3 = 𝑆2 + 𝑆2𝑖 = 𝑆2(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)3 и т. д.
За 𝑛 лет наращенная сумма равна
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
(1)
Формулу (1) называют формулой наращения по сложным
процентам.
( 1 + 𝑖)𝑛 – множитель наращения по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.) Проценты за срок n находят по формуле: 𝐼 = 𝑆 − 𝑃 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 − 𝑃 = 𝑃((1 + 𝑖)𝑛 − 1) Часть данных процентов получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет 𝐼𝑝 = 𝑃[(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑛𝑖)] Очевидно, что с ростом срока доля процентов на про- центы в общей сумме начисленных процентов увеличива- ется. Рост по сложным процентам представляет собой про- цесс, соответствующий геометрической прогрессии, пер- вый член которой равен Р, а знаменатель – (1 + 𝑖). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным про- центам представлена на рис. 1. Рис.1
Пример 1.1 Сбербанк начисляет ежегодно 5,5% годовых (слож- ных). Клиент положил в этот банк 10000 руб. Какой будет сумма на счету через 5 лет? Решение. 𝑃=10000 руб., 𝑖 = 5,5%, 𝑛 = 5 лет, 𝑆 – ? Наращённую сумму найдём по формуле наращения по сложным процентам(1): 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 10000 (1 + 0,055)5 = 13069,60 ≈ 13070 руб. Примечание. Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как 365/365. Переменные ставки Формула (1) предполагает постоянную ставку на протя- жении всего срока начисления процентов. В случае, когда в контракте фиксируются изменения размеров ставок, то наращенная сумма вычисляется по фор- муле: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖1)𝑛1(1 + 𝑖2)𝑛2 ⋅ … ⋅ (1 + 𝑖𝑘)𝑛𝑘, (2) где 𝑖1, 𝑖2, …, 𝑖𝑘 – последовательные значения ставок, 𝑛1, 𝑛2, …, 𝑛𝑘 – периоды, в течение которых «работают» соответ- ствующие ставки. Пример 1.2 Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов в течение 5 лет: первые два года – 12,5% (сложных), в оставшиеся три года – 12,75%. Опре- делить множитель наращения за 5 лет. Решение.
𝑛 = 5 лет, 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑛5 𝑛1 = 𝑛2 = 1 год (итого 2 года), 𝑖1 = 𝑖2 = 12,5% 𝑛3 = 𝑛4 = 𝑛5 = 1 год (итого 3 года), 𝑖3 = 𝑖4 = 𝑖5 = 12,75% (1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)-? Множитель наращения по сложным процентам равен: ( 1 + 0,125)2(1 + 0,1275)3 = 1,265625 ⋅ 1,433341 = 1,81407 §2. Сравнение роста по сложным и простым процентам Сравним множители наращения по простым и сложным процентным ставкам: 1 + 𝑛𝑖 – множитель наращения по простым процентам; ( 1 + 𝑖)𝑛– множитель наращения по сложным процентам. При n = 1 множители наращения равны. При n < 1 множитель наращения по простым процентам больше множителя наращения по сложным процентам. При n > 1 множитель наращения по сложным процен- там больше множителя наращения по простым процентам. Отметим также, что при n > 1 с увеличением срока раз- личие в последствиях применения простых и сложных про- центов усиливается. Графическую иллюстрацию соотноше- ния множителей наращения см. на рис.2.
Рис.2 Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарак- теризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвое- ния первоначальной суммы. §3. Номинальная ставка В современных условиях проценты капитализируются, как правило, несколько раз в год – по полугодиям, кварта- лам и так далее. При начислении процентов несколько раз в год можно воспользоваться формулой (1), т.е. 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛, в которой параметр 𝑛 будет означать число периодов начисления, а под ставкой 𝑖 следует понимать ставку за со- ответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 6 лет общее число периодов начисления составит 6 ⋅ 4 = 24.
Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 9% в этом случае равен: (1 + 𝑖)24 = (1 + 0,09)24 = 7,91108 На практике, как правило, в контрактах обычно фикси- руется не ставка за период начисления, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов. Например, «15% годовых с поквартальным начисле- нием процентов». Пусть годовая ставка равна 𝑗, число периодов начисле- ния в году – 𝑚 . Каждый раз проценты начисляются по ставке 𝑗𝑚/𝑚. Ставку 𝑗𝑚 называют номинальной. Выведем формулу наращения: 𝑆1 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 𝑆2 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 2𝑚 … 𝑆𝑛 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 ⋅ … ⋅ (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 ⏟ 𝑛 раз = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑛𝑚 Таким образом, за 𝑛 лет наращенная сумма равна 𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑛𝑚 (3) Формулу (3) называют формулой наращения номи- нальной ставке.
Пример 1.3 Сбербанк начисляет 15% годовых (сложных) с по- квартальным начислением процентов. Клиент положил в этот банк 20000 руб. Какой будет сумма на счету через 5 лет? Решение. Р = 20000 руб., 𝑗4= 15%, 𝑛 = 5, 𝑚 = 4 Наращённую сумму найдём по формуле наращения по номинальной ставке(3): 𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑗 𝑚) 𝑛𝑚 = 20000\свще (1 + 0,15 4 ) 5⋅4 = 20000 ⋅ 2,08815 = 41763 руб. Замечание. Понятно, что чем чаще начисляются про- центы, тем быстрее идет процесс наращения. Пример 1.4 10000 руб. инвестируются на 2 года при годовой сложной процентной ставке, равной 10%. Вычислить наращенную сумму, если: начисление процентов происходит один раз в году, т.е. 𝑖 = 10%; начисление процентов происходит по полугодиям, т.е. 𝑗2 = 10%; начисление процентов поквартальное, т.е. 𝑗4 = 10%. Решение. Р = 10000 руб., 𝑗𝑚= 10%, 𝑛 = 2 года а) 𝑚 = 1 б) 𝑚 = 2 в) 𝑚 = 4 𝑆−? а) наращённая сумма в этом случае может быть вычислена по обычной формуле наращения для сложных процентов (так как m = 1):