Производная и ее свойства

 
 

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

___________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

А.И. ГУСЕВ 

 

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 
 

 

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

__________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

А.И. Гусев 

 

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов экономических специальностей 

 

 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 
 

 
 

УДК  517 
Г96  

     

 Гусев А.И.  Производная и ее свойства: Учебно-методическое пособие. 

– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 38 с. 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
      В 
учебно-методическом 
пособии 
представлен 
теоретический 
и 

практический  материал  для вычисления производных функций. Рассмотрены 
явный, неявный и  параметрический  вид задания функций.  
     Изложенный материал иллюстрируется  большим количеством  примеров и 
задач разного уровня сложности. 
      Учебно-методическое пособие содержит варианты  индивидуальных 
заданий. 
 

 
 
Рецензент д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ) 
                    Е.В.Корольков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

Определение  производной 
 
     Пусть функция   у = f (x )  определена на интервале ( а, b ).  Возьмем какое-
нибудь значение   
х  ( а, b ). Затем возьмем другое новое значение аргумента  х + х  ( а, b ),  
где  х может быть как положительным, так и отрицательным. Найдем 
приращение функции  у,  отвечающее приращению  х  аргумента:     у =  f 
(x + х ) -  f (x ). 
     Составим  разностное отношение приращения функции у  к 
соответствующему приращению  х  0  аргумента:                     

).
0
(
)
(
)
(










x
x

x
f
x
x
f

x
y
   

     При фиксированном  х  это отношение является функцией от  х:   
 
x
y


  = φ (х) . 

Если при  х  0  существует предел отношения   y / х,  то этот 

предел называется  производной от функции у = f (x ) в данной точке х
и обозначается    f (x ).
 

 

   Функция  у = f ( x ), имеющая производную в каждой точке интервала 
 ( а, b ), называется дифференцируемой  в этом интервале;  операция 
нахождения производной функции называется дифференцированием.    
 

Геометрический смысл производной  

  

   Рассмотрим график функции   у = f ( x ), непрерывной на интервале ( а, b ).   
Фиксируем произвольную точку  М (х, f ( x ) )  кривой   у = f ( x ).  Пусть 
Р (х +х, f (х + х ) )– другая точка этой кривой  (см. Рис.1). Проведем 
секущую МР . 

Рис.1 
     Касательной к кривой  у = f (x ) в точке М  назовем  прямую  МТ,  
проходящую через точку М и являющуюся предельным положением  
секущей МР  при стремлении точки Р к точке М по кривой  (или, что то                     
же, при  х  0 ).  Это предельное положение секущей определяется тем, 
 что угол ТМР стремится к нулю, когда точка Р стремится к точке М.    Из 
рисунка видно, что  
угловой коэффициент  kc секущей МР равен 
                                                     
.
tg
x
y
kc





                                                

    Предел полученного выражения (если он существует) есть  
производная    f (x ),  так что    f (x ) = tg   - тангенс угла наклона 
касательной.  
    

Уравнения касательной и нормали к кривой 

 

      Пусть имеем кривую, заданную уравнением   у = f (x ).  Возьмем на этой 
кривой точку   
М0 (х0,  f (x0))  и выведем уравнение касательной к кривой в точке М0, 
предполагая, что существует производная   f (x0 ). 
      Уравнение прямой с угловым коэффициентом  k, проходящей через точку 
М0 (х0, у0),  выглядит так   у - у0 = k (х - х0 ). 
      Угловой коэффициент касательной   kr  = f (x0 ),   поэтому уравнение 
касательной к кривой   у = f (x)  в точке М0  имет вид 

                              
 

      Нормалью  к кривой в данной ее точке  называется прямая, проходящая 
через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.  Из 
определения  нормали следует, что ее угловой коэффициент  kn   связан с  
угловым коэффициентом  kr   касательной соотношением  

 

Поэтому уравнение нормали к кривой   у = f (x)  в точке М0  ( х0, у0) имеет вид   

                              
 

  В случае, когда  f (x0 ) = 0,  уравнение нормали  есть  х = х0 . 
     

 

 

Производная с точки зрения механики 

    
Пусть S = S(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, 
выражающей путь S, пройденный точкой, как функцию времени.  Обозначим 
через  S путь, пройденный точкой за промежуток времени  t  от момента t  
до  t +t,  т.е.   S = S(t +t) - S(t).  
    Отношение   S /t   есть средняя скорость за время от  t  до  t +t.  Скорость 
v(t)  в данный момент t, т.н. мгновенная скорость, определяется как предел 
средней скорости  за промежуток времени от  t  до  t +t,  когда    
t  0, т.е.    

 

Т.о.,  скорость  v(t)  есть производная от пути   S = S(t)  по времени:  v(t) = 
S′(t).\ 
 
 
 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции 
 
  Теорема .  Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она 
непрерывна в этой точке. 
 Доказательство.  Пусть функция  у = f (x )  дифференцируема в некоторой 
точке х. Следовательно, существует предел   

                            
 

  Отсюда  имеем    y/x = f (x ) + ,   
где    0  при  x 0,  т.е.    y = f (x ) x + x. 
    Переходя к пределу при  x 0,  получаем    y  0.    А это и означает, что 
функция    у = f (x )  непрерывна в точке х.   
  Обратная теорема неверна:  непрерывная функция может не иметь 
производной. 
       Примером такой функции является функция         
 у = |x| =








.0
,

,0
,

х
если
x

х
если
x
 

         
   Если функция  у = f (x)  имеет непрерывную производную  у = f (x)  в 
некотором интервале   
(a, b), то эта функция называется  гладкой. 
 
  Производная суммы, разности, произведения и частного функций 
 
       Пусть функции  u = u ( x)  и  v = v ( x ) – две дифференцируемые в 
некотором интервале  ( a, b )  функции. 
 

Теорема .  Производная  суммы (разности)  двух  функций  равна  сумме
(разности)  

производных этих функций:  

( u  v ) = u  v.

 
  Доказательство.   Обозначим   у = u  v.   По определению производной 
имеем: 

  

т.е.    ( u  v ) = u  v.     ч.т.д.     
    Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. 
 
Теорема .  Производная  произведения  двух  функций  равна  произведению  
производной   первого сомножителя на второй плюс произведение первого 
сомножителя на  производную второго:

( u  v ) = uv + vu.

 
 

 

Следствие 1. Если u=с – const, то  ( с  v ) = с  u.    
 Следствие 2. ( u  v  w ) = uv w + u vw + u v w. 
Это верно и для большего количества сомножителей. 
 
         

Теорема .  Производная  частного  двух  функций u ( x) / v ( x )   (v ( x )  0)   
равна  дроби,  

числитель которой есть разность произведений производной

числителя на знаменатель дроби и числителя дроби на производную 
знаменателя, а знаменатель есть  квадрат  прежнего знаменателя:  

( u / v ) = ( uv - vu )  / v2
(v  0) .

 
Доказательство теоремы аналогично предыдущему доказательству. 
 
 Производные некоторых основных элементарных функций 
 
        Показательная функция     у = ах  ( а > 0, a  1 ) 
  Эта функция определена на всей числовой оси, и потому для всякого х и 
любого  х  имеем  у= ах+х - ах  = ах (ах – 1). Поэтому 

 

 
          Логарифмическая функция      у = ln x  ( x > 0 ) 
 
    При любых  х > 0  и  х таких, что  x+ х > 0,  имеем   
  у = ln ( x+ х) - ln x = ln ( 1 + х / x ). 

 

 
 
Степенная функция      у = x   ( - любое действительное число). 
 
       Эта функция определена во всяком случае для всех  x > 0.   
Имеем   у = ( x+ х)  - x = x [ ( 1 + х / x )  - 1].    Отсюда  

Тригонометрические функции    у = sinx,   у = cosx,   у = tgx,    у = ctgx   
    Рассмотрим функцию  у = sinx,   - < x < +.  Во всякой точке х  и для 
любого х 
Δу = sin (x + Δx) – sin x = 2 sin

2
х
 cos 





 2

х
x
.     

       Отсюда   
х
у


 =
х

x





2

sin
2

 cos 





 2

х
x
 =

2

2

sin

х

x





 cos 





 2

х
x
.  Учитывая,  что 

 

получаем 

 

 
     Аналогично получаем        (cos x)′ = – sin x   .  
 
     Пользуясь полученными формулами и правилом дифференцирования 
частного, найдем производную от функции  y = tg x:     (tg x)′ = 






x
x

cos
sin
= 

x

x
x
x
x

2
cos

)
cos
(
sin
cos
)
sin
(



 = 
x

x
x

2

2
2
cos

sin
cos

 = = 
x
2
cos

1
 = sec2x.      Т.о.   

...
,2
,1
,0
,
2
π








k
π
k
x
,
sec
cos

1
)
tg
(
2

2
x
x
x
 

     Аналогично:       
...
,2
,1
,0
,
,









k
π
k
x
x
x
x
2

2
cosec
sin

1
)
ctg
(
 

 

 Производная сложной функции 

 
   Пусть  y = f ( u )  и  u =   ( x ),   тогда    y = f (  ( x ) ) – сложная функция с 
промежуточным аргументом  u  и независимым аргументом  х. 
 

Теорема .  Если функция u =  (x)  имеет производную ux в точке х, а 
функция y = f (u)   имеет производную уu в  соответствующей точке
u =  (x), то сложная функция y = f ( (x) ) )  имеет производную ух в точке х,  
которая находится по формуле:

у х = у u  ux .

 
Доказательство.   

 

 
     Т.о., для нахождения производной сложной функции надо  производную 
данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную 
промежуточного аргумента по независимому аргументу. 
    Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. 
Так, если     y = f ( u ),   u =   ( v ),    v = g  ( x ),   то     у х =  у u   uv   vx . 
 

           
.
2
2
cos
2
sin
:

2
sin
функции
ю
производну
Найти
















x
x
y
x
u
u
y
x
y
x
u
u
y
сложная
Функция

x.
y
.1
Пример

 

 

           

.
3
4
4
2
cos

1

2
ln
4
tg

1
4
tg
2
2
log
3

4
tg
2
log
3
:

4
tg
3
2
log
функции
ю
производну
Найти

x

x
x

x
x
y

x
q
q
z
z
u
u
y
x
y
x
q
q
z
z
u
u
y
сложная
Функция

.
x
y
.

























2
Пример