Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Аналитическая геометрия и исследование функций

Покупка
Новинка
Основная коллекция
Учебно-методическое пособие подготовлено для студентов различных технических специальностей ИТТСУ 1 курса и содержат типовые задачи по основным темам, изучаемым в 1 семестре. В издании приводятся краткие теоретические сведения, содержится список вопросов для проверки знаний студентов по изучаемым темам. При составлении учебно-методического издания использованы типовые расчёты по дисциплине «Высшая математика» для студентов 1 курса «Аналитическая геометрия. Исследование функций» Г. Ф. Канаевой, Н. А. Корниенко, О. И. Сениловой 2008 года.
Корниенко, Н. А. Аналитическая геометрия и исследование функций : учебно-методическое пособие к выполнению индивидуальных заданий типового расчета по курсу «Высшая математика»/ Н. А. Корниенко, О. А. Платонова. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 80 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896865 (дата обращения: 27.11.2022). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
___________________________________________________ 

Институт транспортной техники и систем 
управления (ИТТСУ) 

Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 

 

Н. А. Корниенко, О. А. Платонова 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ  И 
ИССЛЕДОВАНИЕ  ФУНКЦИЙ 
 
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К 
ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 
ТИПОВОГО РАСЧЁТА ПО КУРСУ                
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 

 

Москва – 2018  
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
___________________________________________________ 

Институт транспортной техники и систем 
управления (ИТТСУ) 

Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 

 

Н. А. Корниенко, О. А. Платонова 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ  И 
ИССЛЕДОВАНИЕ  ФУНКЦИЙ 
 
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ  

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА ИТТСУ 

 

Москва – 2018  
УДК 514 
К – 67 
 

        Корниенко Н. А., Платонова О. А.  Аналитическая 
геометрия и исследование функций: Учебно-методическое 
пособие к выполнению индивидуальных заданий типового 
расчета по курсу «Высшая математика». – М.: РУТ 
(МИИТ), 2018. – 80 с. 

 

         Учебно-методическое пособие подготовлено для 
студентов различных технических специальностей ИТТСУ 
1 курса и содержат типовые задачи по основным темам, 
изучаемым в 1 семестре. В издании приводятся краткие 
теоретические сведения, содержится список вопросов для 
проверки знаний студентов по изучаемым темам. При 
составлении учебно-методического издания использованы 
типовые расчёты по дисциплине «Высшая математика» 
для 
студентов 
1 
курса 
«Аналитическая 
геометрия. 
Исследование функций» Г. Ф. Канаевой, Н. А. Корниенко,  
О. И. Сениловой  2008 года. 

 

Рецензент: доцент кафедры «Прикладная математика 1» 

РУТ (МИИТ) к. ф.-м. н. Зверкина Галина Александровна 

 

© РУТ (МИИТ), 2018 
Первокурсники! 
 
Вы 
приступаете 
к 
изучению 
курса 
высшей 
математики. 
Пониманию и глубокому усвоению этой дисциплины 
будет способствовать ваша активная работа на лекциях и 
практических 
занятиях. 
Развитию 
навыков 
в 
самостоятельной работе поможет система  расчетно-
графических заданий по высшей математике. Каждое 
задание содержит список теоретических вопросов и задач, 
которые выполняются студентами самостоятельно, а затем 
защищаются. Помните, что для успешного выполнения и 
защиты необходима систематическая работа в течение 
всего семестра. 
   
О порядке выполнения и защиты                        
расчётно-графических заданий 
 
1. По указанию преподавателя студенты получают  для 
решения один из вариантов 
2. Перед каждым заданием помещён список теоретических 
вопросов, 
которые 
следует 
изучить 
перед 
его 
выполнением 
3. Выполнять расчётные задачи необходимо в тонкой 
ученической 
тетради 
по 
графику, 
установленному 
преподавателем, сдавая тетрадь на проверку. 
4. Решение задач предоставляются в письменной форме. 
Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в 
задании. 
5. Во время защиты студент должен уметь пояснить 
решение задач, ссылаясь на соответствующие понятия 
теории, и решать задачи аналогичного типа. 
6. Повторная защита для студентов, не защитивших 
задание, назначается преподавателем через неделю. 
Содержание 

Задание 1 ................................................................................. 7 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И 
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ...................................... 7 

1.1. Теоретические вопросы ............................................... 7 

1.2. Краткие теоретические сведения к задаче 1 .............. 8 

1.3. Задача 1 ........................................................................ 10 

1.4. Краткие теоретические сведения к задаче 2 ............ 11 

1.5. Задача 2 ........................................................................ 13 

1.6. Краткие теоретические сведения к задаче 3 ............ 15 

1.7. Задача 3 ........................................................................ 19 

1.8. Краткие теоретические сведения к задаче 4 ............ 23 

1.9. Задача 4 ........................................................................ 28 

Задание 2 ............................................................................... 31 

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........... 31 

ПРЕДЕЛЫ .............................................................................. 31 

2.1. Теоретические вопросы ............................................. 31 

2.2.  Краткие теоретические сведения к задаче 1 ........... 32 

2.3. Задача 1 ........................................................................ 33 

2.4. Краткие теоретические сведения к задаче 2 ............ 36 

2.5. Задача 2 ........................................................................ 36 

2.6. Краткие теоретические сведения к задаче 3 ............ 38 

2.7. Задача 3 ........................................................................ 38 
2.8. Краткие теоретические сведения к задаче 4 ............ 40 

2.9. Задача 4 ........................................................................ 41 

2.10. Краткие теоретические сведения к задаче 5 .......... 43 

2.11. Задача 5 ...................................................................... 44 

2.12. Краткие теоретические сведения к задаче 6 .......... 46 

2.13. Задача 6 ...................................................................... 47 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .................................................. 49 

2.14. Теоретические вопросы ........................................... 49 

2.15. Краткие теоретические сведения к задаче 7 .......... 50 

2.16. Задача 7 ...................................................................... 53 

2.17. Краткие теоретические сведения к задаче 8 .......... 55 

2.18. Задача 8 ...................................................................... 55 

2.19. Краткие теоретические сведения к задаче 9 .......... 58 

2.20. Задача 9 ...................................................................... 59 

2.21.Краткие теоретические сведения к задаче 10 ......... 60 

2.22. Задача 10 .................................................................... 61 

Задание 3 ............................................................................... 65 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ........................................... 65 

3.1 Теоретические вопросы .............................................. 65 

3.2. Краткие теоретические сведения к задаче 11 .......... 65 

3.3. Задача 11 ...................................................................... 67 

3.4. Краткие теоретические сведения к задаче 12 .......... 68 

3.5. Задача 12 ...................................................................... 68 
3.5. Краткие теоретические сведения к задаче 13 .......... 71 

3.6. Задача 13 ...................................................................... 72 

3.7. Краткие теоретические сведения к задаче 14 .......... 73 

3.8. Задача 14 ...................................................................... 74 

 

 

 

 

 

 
 
 
Задание 1 
 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И 
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 

1.1. Теоретические вопросы 
1. Определения вектора, длины вектора, коллинеарных 
векторов, равных векторов. 
2.  Линейные операции над векторами. 
3. Координаты вектора. Действия над векторами, 
заданными в координатной форме. 
4.  Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях. 
5.  Скалярное произведение векторов, его свойства. 
6. Направляющие косинусы вектора, их геометрический 
смысл. 
7.  Векторное произведение, его свойства. 
8.  Механический смысл векторного произведения. 
9.  Смешанное произведение, его свойства. 
10. Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей 
через данную точку перпендикулярно данному вектору, 
уравнение прямой проходящей через две точки, угловой 
коэффициент прямой, угол между прямыми, расстояние от 
точки до прямой. 
11. 
Прямая 
в 
пространстве: 
уравнение 
прямой 
проходящей через точку параллельно данному вектору, 
общее уравнение плоскости, его исследование. Угол между 
двумя плоскостями. 
12. 
Прямая 
в 
пространстве: 
уравнения 
прямой 
проходящей через точку параллельно данному вектору, 
уравнения прямой проходящей через две точки, общие 
уравнения прямой, параметрические уравнения прямой. 
13. Взаимное расположение прямой и плоскости. 
14. Линии второго порядка: окружность, эллипс, 
гипербола, парабола. 
1.2. Краткие теоретические сведения к задаче 1 
Уравнение прямой, проходящей через две точки     
 ���� (��������;��������)   и   ���� (��������;��������)   плоскости   ������������ записывается в 
виде: 

���� − ��������
 �������� − �������� = ���� − ��������
 �������� − ��������   . 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом 
имеет вид ���� = �������� + ���� , где: ���� – угловой коэффициент 
прямой. Он равен тангенсу угла, который образует прямая с 
положительным направлением оси ��������  (отсчитывается от 
оси к прямой против хода часовой стрелки);  ���� – величина 
отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. 
Если две прямые заданы уравнениями с угловым 
коэффициентом ����1 = ����1���� + ����1  и ����2 = ����2���� + ����2 , то угол 
между  ними определяется по формуле 

������������ = ����2 − ����1
 1 + ����1����2 

  . 

В случае, когда прямые заданы уравнениями с 
угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное 
условие их параллельности состоит в равенстве их 
угловых коэффициентов  ����1 = ����2, а перпендикулярности в 
том, что их угловые коэффициенты обратные по величине и 
противоположны по знаку 

����2 = − 1
 ����1   . 

Уравнение прямой проходящей через данную 
точку  M (��������;��������)  в направлении, определяемом угловым 
коэффициентом   ����:      ���� − �������� = ����(���� − ��������)  . 
Расстояние от точки  M(��������;��������) до прямой, заданной 
уравнением в общем виде  �������� + �������� + ���� = 0 , есть длина 
перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую и 
находится по формуле  
 

���� =  |������������ + ������������ + ���� | 

√����2 + ����2 

  . 

Если точки  A(��������;��������)  и  B(��������;��������)  определяют отрезок, 
то координаты точки  M (��������;��������)  делящей отрезок АВ в 
отношении  ���� =
 �������� 

��������   вычисляется по формулам  

 

-
�������� =  �������� + ������������ 

1 + ����

�������� =  �������� + ������������ 

1 + ����

   . 

 
Если  ���� = 1, то точка M  делит отрезок АВ  пополам, и 
координаты средины отрезка АВ определяется по формулам 
 

-
�������� =  �������� + �������� 

2

�������� =  �������� + �������� 

2

   . 

. 

 

 

 

 

 
1.3. Задача 1 
Даны координаты вершин треугольника. Найти: 

1. Уравнение линии BC; 
2. Уравнение 
прямой 
проходящей 
через 
точку 
A 
параллельно BC; 
3. Уравнение высоты АD; 
4. Длину высоты AD; 
5. Уравнение медианы AM; 
6. Угол при вершине В. (При нахождении внутреннего угла 
треугольника лучше  его рассматривать как угол между 
двумя векторами). 
При выполнении задачи 1 обязательно сделать чертеж. 

А
В
С

1
2
3
4

1.1
(7; 1)
(-5;-4)
(-9;-1)

1.2
(0;5)
(12;0)
(18;8)

1.3
(8;0)
(-4;-5)
(-8;-12)

1.4
(1;5)
(13;0)
(19;8)

1.5
(6;1)
(-6;-4)
(-10;-1)

1.6
(-1;5)
(11;0)
(17;8)

1.7
(6;5)
(-6;0)
(-10;3)

1.8
(-2;6)
(10;1)
(16;9)

1.9
(10;-1)
(-2;-6)
(-6;-3)

1.10
(-1;7)
(11;2)
(17;10)

1.11
(1;7)
(-4;-5)
(-1;-9)

1.12
(5;0)
(0;12)
(8;18)

1.13
(0;8)
(-5;-4)
(-2;-8)

1.14
(5;1)
(0;13)
(8;19)

1.15
(1;6)
(-4;-6)
(-1;-10)

1.16
(5;-1)
(0;11)
(8;17)

1.17
(5;6)
(0;-6)
(3;-10)
1
2
3
4

1.18
(6;-2)
(1;10)
(9;16)

1.19
(-1;10)
(-6;-2)
(-3;-6)

1.20
(7;-1)
(2;11)
(10;17)

1.21
(-7;-1)
(5;4)
(9;1)

1.22
(0;-5)
(-12;0)
(-18;-8)

1.23
(-8;0)
(4;5)
(8;2)

1.24
(-1;-5)
(-13;0)
(-19;-8)

1.25
(-6;-1)
(6;4)
(10;1)

1.26
(1;-5)
(-11;0)
(-17;-8)

1.27
(-6;-5)
(6;0)
(10;-3)

1.28
(2;-6)
(-10;-1)
(-16;-9)

1.29
(-10;1)
(2;6)
(6;3)

1.30
(1;-7)
(-11;-2)
(-17;0)

 

1.4. Краткие теоретические сведения к задаче 2 
Вектором называется направленный отрезок. Если 
начало вектора находится в точке  ����(��������; ��������; ��������), а конец в 
точке  ����(��������; ��������; ��������),  то вектор обозначается  ��������
⃗. 

 
Модулем вектора называется его длина 
 
-
��������
⃗ -
= (�������� − ��������)2 + (�������� − ��������)2 + (�������� − ��������)2  . 

 

Угол 
между 
векторами 
���� 
⃗ = ��������, ��������, ��������-
и               
���� ⃗ = ��������, ��������, ��������-
определяется формулой 

���������������� =
���� 
⃗ ∙ ���� ⃗

 | ���� 
⃗  | ∙ -
���� ⃗ -

=
�������� ∙ �������� + �������� ∙ �������� + �������� ∙ ��������
 ��������2 + ��������2 + ��������2 ∙ ��������2 + ��������2 + ��������2   

  . 
Площадь 
треугольника 
������������
 равна 
половине 
площади параллелограмма, построенного на векторах  ��������
⃗  и 
��������
⃗ , т. е.  половине модуля векторного произведения 
векторов  ��������
⃗  и ��������
⃗:    

���������������� = 1
 2 -
��������
⃗ × ��������
⃗ -
. 

. 
Объем треугольной пирамиды, построенной на 
векторах  ���� 
⃗,  ���� ⃗  и  ���� ⃗, равна шестой части абсолютной 
величины смешанного произведения этих векторов  

 

����пир =  1 
6  ���� 
⃗ ���� ⃗ ���� ⃗-
. 

Уравнение 
плоскости, 
проходящей 
через 
три 
заданных точки  ����(��������; ��������; ��������),  ����(��������; ��������; ��������), ����(��������; ��������; ��������) 
имеет вид: 

-
���� − ��������
���� − ��������
���� − ��������
�������� − ��������
�������� − ��������
�������� − ��������
�������� − ��������
�������� − ��������
�������� − ��������
-
= 0  . 

Общее уравнение плоскости  имеет вид: 

 
�������� + �������� + �������� + ���� = 0  ,   если   ����2 + ����2 + ����2 ≠ 0  , 

где ����, ����, ���� – координаты нормального (перпендикулярного 
к плоскости) вектора плоскости   ���� 
⃗ = {����, ����, ���� }. 
 

Уравнение 
плоскости, 
проходящей 
через 
точку
 ���� (��������; ��������; ��������)
 перпендикулярно 
вектору            
���� 
⃗ = {����, ����, ���� }  имеет вид 
 
 
����(���� − ��������) + ����(���� − ��������) + ����(���� − ��������) = 0  . 
  • document_id: 416035
  • product_id: 1896865
  • ins_time: 2022-06-29 01:04:09
  • upd_time: 2022-06-29 01:04:09
  • upp_upd_date: 2022-06-28
  • Full PDF: WARN Путь не доступен (не определен) /mnt/znanium_fullpdf/booksfull/done/1896/1896865.pdf
  • PDF pages: WARN Количество страниц документа (80) не соответствует физическому наличию (81). Путь /mnt/resources/resources/1896/1896865/pdf
  • XML pages: WARN Количество страниц документа (80) не соответствует физическому наличию (81). Путь: /mnt/resources/resources/1896/1896865/xml
  • text *.idx: OK
  • Full text: OK /mnt/resources/resources/1896/1896865/txt/1896865.txt
  • Оглавления: OK Путь /mnt/resources/resources/1896/1896865/txt/1896865.toc.txt