Числовые ряды

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 
 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

Л.Г. ХАЛИЛОВА  

 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

 
 

Учебное пособие  

 

 

 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 
 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

Л.Г. ХАЛИЛОВА  

 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

 
 

Учебное пособие  

для студентов всех специальностей ИЭФ 

 

 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 

УДК 517 

Х 17     
 
        Халилова Л.Г. Числовые ряды: Учебное пособие. – М.: РУТ 
(МИИТ), 2018. – 99 с. 

В учебном пособии находятся все необходимые теоретические 

сведения, методические рекомендации, методы и образцы решения 
типовых 
примеров, 
помогающие 
самостоятельно 
решить 

индивидуальные задания. 

Пособие предназначено для студентов всех специальностей 

высших технических и экономических направлений и соответствует 
Государственному образовательному стандарту. 

Данное учебное пособие предназначено для целенаправленной 

подготовки к выполнению теста "Ряды", содержит   задания для 
тренировки и тридцать вариантов индивидуальных заданий с 
решением примеров нулевого варианта. 
 
Рецензенты: 
К.ф.-м.н., доцент РТУ МИРЭА В.М.Кесельман; 
 
Зав. кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ 
(МИИТ)» к.ф.-м.н., доцент О.А.Платонова. 
 
 
 
 
 

 

© РУТ (МИИТ), 2018 

Содержание 

Введение .......................................................................................... 4 

1 Два важнейших примера числовых рядов ................................ 5 

1.1 Бесконечная геометрическая прогрессия ........................... 5 

1.2 Обобщённый гармонический ряд ....................................... 9 

2 Исследование ряда на сходимость ........................................... 11 

2.1 Необходимый признак сходимости ряда ......................... 11 

2.2 Принцип эквивалентности................................................. 13 

2.3 Как проводятся эквивалентные замены ........................... 15 

3 Примеры сходящихся и расходящихся рядов ........................ 17 

4 Признаки сходимости ряда ....................................................... 21 

4.1 Признак Даламбера ............................................................ 21 

4.2 Радикальный признак Коши .............................................. 29 

5 Абсолютно и условно и сходящиеся ряды ............................. 32 

5.1 Абсолютная сходимость ряда ........................................... 33 

5.2 Условная сходимость ряда ................................................ 36 

6 Повторение ................................................................................. 42 

7 Индивидуальные задания по теме: «Числовые ряды» ........... 49 

7.1 Примерный типовой вариант заданий.............................. 49 

7.2 Решение примеров типового варианта заданий .............. 52 

7.3 Варианты заданий .............................................................. 69 

Литература. ................................................................................... 99 

Введение 

Данное 
пособие 
ставит 
своей 
целью 
помочь 
студенту 

самостоятельно 
овладеть 
способами 
решения 
примеров 

индивидуального и тестового заданий по теме «Числовые ряды». 

В пособии приводятся все необходимые теоретические сведения 

(без доказательств) и рассматривается общая методика решения 
примеров, которые предлагаются в тесте и индивидуальном задании. 

В связи со своей целевой направленностью, данное пособие не 

может 
заменить 
собой 
обычного 
вузовского 
задачника 
по 

соответствующей теме. Тем не менее, в пособии представлен весь 
практический минимум, определяемый вузовской программой курса 
высшей математики по рассматриваемой теме. 

Однако, наряду с общей методикой, в данном пособии 

приводятся итоговые правила, позволяющие при неформальном их 
освоении, получать правильные ответы чисто формально. 

В заключении приводятся два варианта тестовых заданий 

(вместе с ответами) и тридцать вариантов индивидуальных заданий 
(вместе с решением примерного нулевого варианта) по теме «Ряды». 

В каждом варианте индивидуальных заданий предлагается 17 

примеров на тему «Числовые ряды», на все разобранные случаи в 
разделах 1-5 настоящего пособия, а также предлагаются задания на 
исследование рядов с помощью интегрального признака (примеры 
18-19), примеры на сходимость степенных рядов (примеры 22-23), 
примеры на разложение в ряды Тейлора и Макларена (примеры 24-
25) и примеры на приближенные вычисления с указанной степенью 
точности (примеры 26-27), которые в настоящем пособии не 
рассматриваются, но в решении примеров нулевого варианта 
приводятся. 
 

1 Два важнейших примера числовых рядов 

Числовым рядом называется выражение вида 













1

2
1
...
...

n

n
n
u
u
u
u
, 

представляющее собой процесс суммирования бесконечного 
числа слагаемых - вещественных чисел 
...
,
...,
,
,
2
1
n
u
u
u
, которые 

называются членами данного ряда, причём величина 
n
u  

называется общим членом ряда.  

Конечно, члены ряда можно нумеровать, начиная с 

любого начального номера n , например, даже с номера 
0

n
 

(если первому члену ряда приписать нулевой номер).  

Для 
того, 
чтобы 
придать 
смысл 
приведённому 

выражению, содержащему бесконечное число слагаемых, в 
теории рядов определяется понятие суммы числового ряда.  

Числовой ряд называется сходящимся, если его сумма 

есть конечное число. В этом случае, взяв достаточно число 
первых членов ряда, можно с любой точностью вычислить его 
сумму. 

В 
противном 
случае, 
числовой 
ряд 
называется 

расходящимся (в этом случае, его сумма либо равна 
бесконечности, либо вообще не определена).  

1.1 Бесконечная геометрическая прогрессия 

Простейшим (и одновременно важнейшим) примером 

числового ряда, известного ещё со школы, является так 
называемая бесконечная геометрическая прогрессия, которая 
имеет следующий общий вид: 

...
...
1

1

2

1
1
1









n
q
a
q
a
q
a
a
 , 

где число 
1a  называется первым членом прогрессии, а число 

(множитель) q  - знаменателем прогрессии.  

Таким образом, геометрическая прогрессия (конечная 

или 
бесконечная) 
характеризуется 
тем, 
что 
каждый 

последующий её член образуется из предыдущего с помощью 
умножения на заданный знаменатель прогрессии. 

С 
помощью 
знака 
суммы 
 бесконечная 

геометрическая прогрессия обычно записывается в одном из 
следующих видов: 









k
n

n
q
a
 или 



k
n

n
q , 

где a - некоторое заданное число, k  – начальный номер 
суммирования, т.е. конкретно указываемый номер, с которого 
начинается суммирование в прогрессии; обычно, 
0

k
 или 

1

k
. 

Отметим, что у прогрессии, записанной в таком виде, 

первый член будет равен 
k
q
a
a


1
, в частности, при 
0

k
 он 

будет совпадать с числом a .  

Таким образом, для того, чтобы определить первый член 

прогрессии, записанной с помощью знака 
, надо 

подставить в выражение, стоящее под этим знаком, вместо 
произвольного номера n  начальное заданное значение k . 

А знаменателем данной прогрессии является число, 

которое возводится в степень n .  

Пример бесконечной геометрической прогрессии, как 

числового ряда, важен и интересен тем, что мы имеем полную 
информацию о сходимости бесконечной геометрической 
прогрессии и формулу для нахождения её суммы. 

Пусть задана бесконечная геометрическая прогрессия 

с первым членом 
1a  и знаменателем q . 

Тогда эта прогрессия, как числовой ряд, сходится в 

том и только том случае, когда 
1
|
|

q
. 

В этом случае, сумма 
S  данной бесконечной 

геометрической прогрессии находится по следующей 
формуле: 

q

a
S

 1

1  . 

Итак, бесконечная геометрическая прогрессия является 

сходящимся рядом при 
1

q
 и расходящимся – при 
1

q
.  

Например, в следующих примерах: 












0
4
3
2

n

n

; 












1
6
5

n

n

; 











2
2
3
2

n

n

 

первые две бесконечные геометрические прогрессии сходятся, 
а последняя прогрессия расходится. 

При этом у первой прогрессии 
2
1 
a
, 
4
/
3

q
, у второй 

6
/
5
1


a
, 
6
/
5


q
, а у третьей 
2

1
)
2
/
3
(
2

a
, 
2
/
3


q
.  

Пример. Найти суммы следующих рядов: 

1) 



1 3

2

n

n

n

; 2) 













0
7
5
3

n

n

; 3)












2
5
3

n

n

. 

Решение. Ясно, что все три ряда представляют собой 

бесконечные геометрические прогрессии. 

1) Сначала определяем первый член 
1a  и знаменатель q  

прогрессии: 
3
/
2
1 
a
 (при подстановке 
1

n
), 
3
/
2

q
.  

Поскольку 
1

q
, то данная прогрессия сходится и, на 

основании приведённой выше формулы для суммы 
S  

бесконечной геометрической прогрессии, находим: 

2

3
2
1

3
2






S
. 

2) Аналогично, 
3
1 
a
 (при подстановке 
0

n
), 
7
/
5


q
. 

Так как 
1
|
|

q
, то прогрессия сходится и по формуле для 

суммы бесконечной геометрической прогрессии находим:  

4
7

12

7
3

7
5
1

3













S
. 

3) Здесь 
25
/
9
)
5
/
3
(
2

1



a
, 
5
/
3


q
. Прогрессия 

сходится и её сумма равна 
40
/
9

S
 (Проверьте!). 

Кроме бесконечной геометрической прогрессии в теории 

рядов имеется лишь несколько специальных типов числовых 
рядов, для которых можно найти их суммы по готовым 

формулам. Некоторые примеры таких рядов приводятся в 
учебнике и предлагаются в Типовых расчётах.  

Однако в нашем тесте суммы рядов предлагается 

находить только у бесконечных геометрических прогрессий. 

1.2 Обобщённый гармонический ряд 

Наряду с бесконечной геометрической прогрессией, 

важнейшим примером числового ряда, о сходимости которого 
мы также имеем полную информацию, является следующий 
ряд: 














1

1
...
1
...
3
1

2
1
1

n

s
s
s
s
n
n
 , 

где s – некоторое заданное число. 

При 
1

s
 такой ряд называется гармоническим рядом, а в 

случае произвольного числа s ряд указанного вида обычно 
называется обобщённым гармоническим рядом.  

В 
зависимости 
от 
значения 
s 
обобщённый 

гармонический ряд сходится или расходится.  

Например, если 
0

s
, то ряд, очевидно, расходится (в 

этом случае его общий член имеет вид 

p
n , где 
0

p
).  

Приведём 
полную 
информацию 
о 
сходимости 

обобщённого гармонического ряда в случае произвольно числа 
s. 

 Обобщённый 
гармонический 
ряд 
является 

сходящимся в том и только том случае, когда 
1

s
.  

Иными словами,  

 если 
1

s
, то обобщённый гармонический ряд сходится, 

 если 
1

s
, 
то 
обобщённый 
гармонический 
ряд 

расходится.  

В частности, гармонический ряд 
...
1
...
3
1

2
1
1





n

 

расходится. Точнее, его сумма равна 


 (как у любого 

расходящегося обобщённого гармонического ряда).  

Замечание. В отличие от бесконечной геометрической 

прогрессии, не существует 
эффективной формулы для 

вычисления суммы сходящегося обобщённого гармонического 
ряда. Только в отдельных случаях 
1

s
 найдены точные 

значениях его суммы.  

Например, для 
2

s
 

6
...
1
...
3
1

2
1
1

2

2
2
2








n
, 

но этот пример в нашем тесте не используется.