Кинематика плоскопараллельного движения

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

 
ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ 
 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 
 
 

Е.В. ЧЕФАНОВА, А.Н. ТЕЛЫХ 

 

КИНЕМАТИКА 

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ  

 
 
 

Учебное пособие  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2020 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

 
ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ 
 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 
 
 

Е.В. ЧЕФАНОВА, А.Н. ТЕЛЫХ 

 

КИНЕМАТИКА 

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ  

 
 
 
 
 

Учебное пособие  

для студентов механических специальностей 

 
 
 
 
 
 

Москва – 2020 

УДК 531.01 
Ч 55 
 

Чефанова Е.В., Телых А.Н. Кинематика плоскопараллельного 

движения:  Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2020.  – 70 с. 
 

Учебное пособие предназначено для использования преподавателями 
и студентами на практических занятиях, при самостоятельной 
подготовке и подготовке к экзамену по курсу «Теорети-
ческая механика», кинематика, плоскопараллельное движение, а 
также выполнения домашних заданий по дисциплинам «Теорети-
ческая механика» и «Прикладная механика». В учебном пособии 
подробно, с приложением схем и иллюстраций, изложен теорети-
ческий материал по одному из самых сложных разделов кинема-
тики, включая вращательное движение, передачу движения, пло-
скопараллельное движение, графо-аналитический анализ движе-
ния. Даны указания по определению кинематических характери-
стик движения при помощи мгновенного центра скоростей и 
ускорений и используя общую формулу плоского поля ускоре-
ний. В пособии также представлены задания с вариантами прак-
тических работ по кинематике механизмов. 
 
Рецензенты: доцент кафедры «Путь и путевое хозяйство» 
РУТ (МИИТ)», к.т.н. Якименко Ю.Б; 
доцент кафедры строительной механики ФГБОУ Московский 
автомобильно-дорожный государственный технический уни-
верситет (МАДИ), к.т.н. В.И. Иванов-Дятлов 

 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2020 

Введение в кинематику 

 

 
Кинематикой называется раздел теоретической меха-

ники, в котором изучается движение тел вне зависимости от 

сил, определяющих это движение. 

 
Слово кинематика происходит от греческого слова 

“cinema”, что означает движение. 

 
В курсе кинематики изучают геометрические свойства 

движения, основанных на аксиомах и положениях геометрии 

без учѐта инертности (массы) тел и действующих на них сил. 

 
Но в отличие от геометрии, в кинематике, кроме про-

странства, в котором возможно движение тела, рассматрива-

ется и время (t), в течение которого совершается это движе-

ние. 

 
Кинематически определить движение тел – это значит 

указать их положение в любой момент t относительно друго-

го тела, называемого системой отсчета. 

 
Цель учебного пособия  – приобрести навыки в реше-

нии задач кинематики, применительно к плоским рычажным 

механизмам со степенью подвижности (свободы W = 1) при 

разнообразии последних.  

 

 

I. Рычажные механизмы 

 
Механизмом называется механическая система, со-

стоящая из искусственно созданной совокупности подвижно 

соединѐнных тел, совершающих под действием приложенных 

сил определѐнные целесообразные движения. Твѐрдые тела, 

составляющих механизм называют звеньями. 

 
Плоским называется такой механизм, все точки звеньев 
которого движутся параллельно одной и той же неподвижной 
плоскости. 

 
Таким образом, любой механизм представляет собой 

механическую систему, состоящую из связанных между собой 
материальных точек, предназначенную для преобразования 
механического движения одного или нескольких тел в 

движении других тел.  

 

II. Движения твёрдого тела 

2.1. Простейшие случаи движения твердого тела 

– Поступательное движение тела – такое движение, 

при котором всякая прямая линия, взятая произвольно на рассматриваемом 
теле и неизменно с ним связанная, движется 

параллельно самой себе. 

При поступательном движении кинематические параметры (
скорость и ускорение) любой точки тела равны, а тра-

ектории движения одинаковы. Поэтому поступательное движение 
тела – это единственный случай движения, когда движение 
тела можно рассматривать как движение любой его 

точки. 

Примерами поступательного движения могут служить 

движение вагона поезда по прямолинейному пути, движение 

поршня в цилиндре двигателя и др. (рис.1). 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1 

               2.2. Вращательное движение тела 

– Движение твѐрдого тела, при котором две точки, 

принадлежащие этому телу (или неизменно с ним связанные), 

во всѐ t движения остаются неподвижными. Прямая   
z
z


, 

проходящая через неподвижные точки 0 и 0, называется 

осью вращения (рис.2). Очевидно, что все точки, лежащие на 

этой прямой, при вращательном движении будут неподвиж-

ны, а все остальные точки тела описывают окружности, ле-

жащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Цен-

тры этих окружностей лежат на оси вращения. 

При вращении тела вокруг оси 
z
z


 угол поворота   

изменяется с течением t:   

 = f(t) – уравнение движения твѐрдого тела вокруг 

неподвижной оси. 

Зачастую угол поворота   выражают числом оборотов 

N. Очевидно, что:   

N


2

 (рад). 

Для измерения быстроты вращения (быстроты измене-

ния угла поворота ), вводим понятие угловой скорости: 

t
ср





. 
 
 
(1) 

        

 

 

Рис. 2 

Так как средняя угловая скорость не даѐт представле-

ния о быстроте вращения тела в данный момент t, то взяв 

предел,  











dt
d

t
tlim

0

           
(2) 
 

получим значение мгновенной угловой скорости  (угловой 

скорости в данный момент t). Следовательно, для определе-

ния мгновенной  , необходимо знать закон движения вра-

щающегося тела, что является не всегда возможным. 

 
На практике, ведущее звено механизма чаще всего 

приводится в движение от вала электродвигателя. Поэтому 

используют другую характеристику движения наряду с   – 

частоту вращения n (число оборотов в минуту).  

Определим соотношение между   и n:   

n
n
n
105
,0
30
60

2









 







с
рад  
 
(3) 

или n = 9,55 . 

 
Быстрота изменения   в зависимости от t характери-

зуется угловым ускорением  : 

t
ср





. 
 
 
(4) 

По аналогии – мгновенным   (в данный момент вре-

мени): 

2

2

0
lim
dt

d

dt
d

t
t































2
с

рад . 
 
(5) 

 

2.2. Определение линейных скоростей и ускорений 

вращательного движения 

 

 

 

 

 

 
 

       Рис.3. Треугольники распределения скоростей кривошипа 

 

При вращении кривошипа ОА вокруг оси, проходящей 

через точку 0, линейная скорость любой точки будет опреде-

ляться:  

 
i
i
i
R
n
R
V




30


  
 
(6) 

и направлена по касательной к траектории движения 
)
(
R

 в 

сторону вращения кривошипа ОА, где: R – радиус-вектор, соединяющий 
произвольную точку i с осью 0. 

Треугольники распределения скоростей кривошипа ОА 

представлены на рис.3. 

90

0

А



0

А



Точно также определяется и скорость любой точки 

вращающегося диска. Угловые кинематические параметры 

характеризуют вращение всего тела, относятся к любой точке 

этого тела. В то же время, как было сказано выше, каждая 

точка вращающегося тела имеет криволинейную траекторию, 

радиус которой можно подсчитать для любого момента времени 
или на любом участке движения. Для этого момента 

времени можно также определить линейную скорость v любой 
точки вращающегося тела: 

        

Вывод. Линейная скорость вращающего звена изменяется 
по линейному закону от нуля (точка, совпадающая с 

осью) до максимального значения, соответствующего максимальному 
удалению точки от оси вращения. 

Абсолютное ускорение любой точки кривошипа ОА 

определяется по векторному уравнению: 


AO

n
AO
A
a
a
a


, 
 
 
(7) 

Где: 
n
AO
a
– нормальное (центростремительное ускорение точки 
А;  


AO
a
 – касательное (тангенциальное) ускорение точки 

А при вращении вокруг точки 0.