Высшая математика

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

 (МИИТ)» 

____________________________________________________________________ 

 

Кафедра «Сервис и туризм» 

 
 
 
 
 
 

А.М. ПОПОВ, Ю.М. КОРОБОВ 

 
 
 
 
 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

 

Учебно-методическое пособие 

 

к практическим занятиям 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

 РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

____________________________________________________________________ 

 

Кафедра «Сервис и туризм» 

 
 
 
 
 
 

А.М. ПОПОВ, Ю.М. КОРОБОВ 

 
 
 
 
 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 

Для студентов направлений подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное 

управление»; 38.03.02 «Менеджмент» (профиль «Менеджмент туризма», профиль «Менеджмент 
гостинично-ресторанных предприятий»); 43.03.02. «Туризм»; 43.03.03 «Гостиничное 
дело», а также по другим направлениям подготовки 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018  

 
 

УДК 51(075.8) 
П58 
 
 
 
 
 
 
 
 

Попов А.М., Коробов Ю.М.  Высшая математика: Учебно-методическое пособие/ 
Под ред. проф. Попова А.М.  — М.: РУТ (МИИТ), 2018. —  75 с. 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным 
образовательным стандартом высшего профессионального образования третьего 
поколения по дисциплине «Математика». В нем изложены задачи  для самостоятельного решения 
по основным разделам дисциплины «Математика» для студентов направлений подготовки 
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»; 38.03.02 «Менеджмент» 
(профиль «Менеджмент туризма», профиль «Менеджмент гостинично-ресторанных предприятий»); 
43.03.02. «Туризм»; 43.03.03 «Гостиничное дело», а также для проверки знаний 
по математике по другим направлениям подготовки. 

 
Рецензент    зав.кафедрой «Психология, социология, государственное и муниципальное 
управление» РУТ (МИИТ) Быков М.Ю.   
 
 
 
 
 
 
 

© РУТ (МИИТ),  2018 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................ 4 
Глава 1 МНОЖЕСТВА ...................................................................................................................... 5 
Глава 2 ФУНКЦИИ ............................................................................................................................ 9 
Глава 3 ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ...................................................................................................... 11 
Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ................................................ 15 
Глава 5 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ .......................................................................... 18 
Глава 6 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА .............................. 22 
Глава 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................................................. 24 
Глава 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ....................................................................................... 30 
Глава 9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................................ 33 
Глава 10 РЯДЫ ................................................................................................................................. 41 
Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ............................................................... 48 
Глава 12 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ................................................................................... 51 
Глава 13 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................................................................... 59 
Глава 14 ВЕКТОРЫ ......................................................................................................................... 64 
Глава 15 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ (В ЭКОНОМИКЕ) .................................................................. 72 
ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................................................. 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Целью преподавания математики в гуманитарном вузе является 

ознакомление студентов с основами математического аппарата, необходимого 
для решения тех или иных прикладных задач; привитие студентам умения 
самостоятельно 
изучать 
учебную 
литературу 
по 
математике 
и 
ее 

приложениями; развитие логического мышления и повышение уровня 
математической культуры; выработка навыков математического исследования 
прикладных вопросов и умения сформулировать задачу на математическом 
языке. 

Учебно-методическое пособие по высшей математике предназначено для 

студентов всех форм обучения гуманитарных специальностей. 

Пособие разбито на несколько глав. В каждой главе вначале дается 

определение основных понятий (выделенных мелким шрифтом), весьма 
сжатое изложение необходимого теоретического материала и решение типовых 
примеров; после чего приводится перечень задач и упражнений для 
самостоятельного решения. 

В последней главе для примера рассмотрено приложение математических 

моделей в экономике. 

При изложении материала акцент был сделан не столько на теорию, 

сколько на ее практическое применение и выработку у студентов умения и 
навыков для решения задач. 

Материал 
пособия 
соответствует 
требованиям 
государственных 

общеобразовательных стандартов в области математики для гуманитарных 
специальностей. 

Авторы будут признательны всем, кто выскажет критические замечания 

или пожелания, и которые будут способствовать улучшению настоящего 
пособия.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 МНОЖЕСТВА  

 
Множество – это произвольная совокупность каких-то объектов. При этом сами 

объекты 
называются 
элементами 
множества. 
Принадлежность 
(соответственно, 

непринадлежность) элемента x  множеству X  обозначается так: 
X
x
 (соответственно, 

X
x
). 
Пустое множество, обозначаемое символом Ø, – это множество, не содержащее ни 

одного элемента.  

Если любой элемент множества B  является элементом множества A, то говорят, что 

B  – подмножество множества A и обозначают это так: 
A
B 
. 

Два множества A и B  называются равными (
B
A 
), если они состоят из одних и 

тех же элементов.  

Ясно, что 
B
A 
 тогда и только тогда, когда 
B
A 
 и 
A
B 
. 

Объединение множеств A и B  – это такое множество 
B
A
, которое состоит из 

всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству A или множеству B . 

Пересечение множеств A и B  – это такое множество 
B
A
, которое состоит из 

всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A и множеству B . 

Разность множеств A и B  – это такое множество 
B
A \
, которое состоит из всех тех 

и только тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .  

Множества бывают конечные или бесконечные (в зависимости от количества их 

элементов), числовые или нечисловые (в зависимости от природы их элементов). 

Способы задания множеств:  
1) с помощью перечисления всех его элементов (например, 


3,2,1

A
 – это 

множество из трех чисел: 1, 2 и 3);  

2) с помощью задания характеристического свойства, которым обладает его 

произвольный элемент, например, B  = {
x
x
 – натуральное число и x  делится на 2} – это 

множество всех четных чисел; 

3) с помощью словесного описания (например, множество всех студентов 1-го курса, 

сдавших все зачеты). 

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются 

подмножествами некоторого множества I , то I  называют универсальным множеством.  

Дополнением множества A называется множество 
A
I
A
\

, где I  – универсальное 

множество.  

Декартово (или прямое) произведение множеств A и B  – это множество 
B
A
 

всех таких упорядоченных пар 

b
a,
, что 
A
a
, 
B
b
. Элементы множества 
B
A
 

называются кортежами длины 2. Аналогично определяются декартово (прямое) 
произведение 
n
A
A
A




2
1
 и кортежи длины n. 

Соответствием между множествами A и B  называется любое подмножество f  

множества 
B
A
. При этом множество A называется областью отправления, а B  – 

областью прибытия соответствия f . 

 Областью определения 
 
f
D
 соответствия f  называется множество 



,
f
a
A a b

  

для некоторого 

B
b
, а областью значений 
 
f
E
 – множество 



,
f
b
B a b

  для 

некоторого 

A
a
. 
Соответствие 
B
A


, 
для 
которого 
 
f
D
A

 
называют 

отображением. 

 Отношением же называется соответствие между множествами A и A.  

Обозначения: N  – множество всех натуральных чисел, 

Z  – множество всех целых чисел, 
Q  – множество всех рациональных чисел, 
R  – множество всех действительных чисел, 
I  – универсальное множество. 

 
►Пример 1.1.   
Заданы множества 


3
,2
,1

X
, 


4
,3
,2

Y
.  

Вычислить 
Y
X 
, 
Y
X 
, 
Y
X \
, 
X
Y \
. 

Решение. 


4
,3
,2
,1

Y
X
, 


3
,2

Y
X
, 
 
1
\

Y
X
, 
 
4
\

X
Y
.  

Доказать тождество: 

 



C
A
B
A
C
B
A






. 

Доказательство. Покажем сначала, что левое множество содержится в 

правом.  

Пусть 


C
B
A
x



. Тогда или 1) 
A
x
 или 2) 
C
B
x


.  

Если 1) 
A
x
, то 
B
A
x


 и 
C
A
x


, а, значит, 




C
A
B
A
x




. 

Если же 2) 
C
B
x


, то 
B
x
 и 
C
x
, а, значит, 
B
A
x


 и 
C
A
x


, 

т.е. 




C
A
B
A
x




. 

Покажем теперь, что правое множество содержится в левом. Пусть 





C
A
B
A
x




. 
Тогда 
B
A
x


 
и 
C
A
x


. 
Если 
A
x
, 
то 



C
B
A
x



. Если же 
A
x
, то 
B
x
 и 
C
x
 и, значит, 
C
B
x


 и, 

окончательно, 


C
B
A
x



.► 

►Пример 1.2. 

Дано множество А = {x  Z | 0 < x  12}, где Z – множество целых чисел. 

Найти множество В такое, что В  А и В = {x |  x делится на 4}. 

Р е ш е н и е .  Ясно, что А = {1, 2, 3, ... 12}, а В содержит целые числа, де-

лящиеся на 4, но только те, которые входят в множество А. Следовательно, В = 
{4, 8, 12}. ► 

 
►Пример 1.3. 
X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y ={2, 4, 6, 7}. Найти множество X
Y
 . 

Р е ш е н и е .  X
Y
  = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. ► 

 
►Пример 1.4. 
X = {1, 2, 3, 4, 5};   Y = {2, 4, 6, 7}. Найти множество X
Y
 . 

Р е ш е н и е . X
Y
  = {2, 4}. ► 

 
►Пример 1.5. 
X ={1, 2, 3, 4, 5}; Y ={2, 4, 6, 7}. Найти множества и X \ Y и Y \ X. 
Р е ш е н и е . X \ Y = {1, 3, 5};   
\
Y X  = {6, 7}. ► 

 
 

Задачи для самостоятельного решения 

1. Верно ли, что:  

1) 
;
5
Q

 

2) π
;
R

 

3) π
;
Q

 

4) 
;



 

5) 
 ;



 

6) 
 

;
2,1
1
 

7)  
 

;
2,1
2,1

 

8)  
   

.
2,1,
3,1
,
2,1
2,1

 

 
2. Перечислите элементы следующих множеств: 

1) 

0
2
3
2




x
x
R
x
; 

2) 

0
1
2



x
R
x
; 

3) множество четных чисел от 0 до 10; 
4) множество всех корней уравнения 
0
9
6
2


 x
x
. 

3. Какие из следующих множеств конечны и какие бесконечны? 

1) 

0
4
5
2




x
x
R
x
; 

2) 




1
,0


x
R
x
; 

3) 




10
,1


x
R
x
; 

4) множество всех точек на числовой прямой. 

4. Равны ли множества: 

1) 
 
;
5
,2
,4
,2
и
5
,4
,2
 

2) 




;
2
,1
и
2
,1
 

3) 
 
;
1,2
,1,3
и
3
,2
,1
 

4) 

    

;
3
,
2
,
1
и
3
,2
,1
 

5) 



  


?
3
,2
,
1
и
3
,
2
,1
 

5. Вставьте между множествами символ  или   так, чтобы получилось 

истинное высказывание: 

1)  
1



;
2
,1
,1

2) {1,2}
{1,2,{1},{2}};

3) {1,2}
{1,2,{1,2}};

4) 
{1,2,{1},{}};

5) 
{{}};

6) 
{}.

6. Докажите следующие теоретико-множественные тождества: 

1) 



C
B
A
C
B
A





; 

2) 



C
B
A
C
B
A





; 

3) 

 



C
A
B
A
C
B
A






. 

7. Доказать тождества: 

1) 
;
\
B
A
B
A


 

2) 

 


;
\
C
A
B
A
C
B
A





 

3) 



;
\
A
B
A
B
A



 

4) 

;
B
A
A
B
A




 

5) 



;
A
A
B
B
A




 

6) 
 
 


;
\
\
\
A
B
B
A
B
A
B
A




 

7) 


 
 
;
\
\
\
B
A
B
A
B
A
B
A




 

8) 
 
 
 
;
\
\
\
B
A
B
A
A
B
B
A




 

9) 


;
\
\
B
A
B
A
A


 

10) 


;
\
B
A
B
A
B



 

11) 


;
\



B
A
B
 

12) 

 


;
\
\
\
C
A
B
A
C
B
A



 

13) 

 


;
\
\
\
C
A
B
A
C
B
A



 

14) 
.
\
B
A
B
A


 

8. Пусть 





,
15
,
12
,
10
,8
,7
,6
,4
,3
,2
,
12
,8
,5
,2
,1
,
15
,
,3
,2
,1



B
A
I

 



13
,
11
,9
,7
,3
,1

C
 

Найти 


C
B
A
D



. 

9. Заданы множества 






4
,3
,2
,
5
,3
,1
,
5
,4
,3
,2
,1



Z
Y
X
. 

Вычислить  
.
\
,
\
,
,
Z
X
Y
X
Z
Y
Z
Y


 

10. Перечислите элементы множества  
B
A
, если: 

1) 



;
5
,4
,3
,
2
,1


B
A
 

2) 



.
,
,
,
d
c
B
b
a
A


 

11. Пусть на плоскости задана декартова система координат. 

Изобразите на плоскости следующие множества: 

1) 
 
,
,
,
d
c
b
a

  где  
R
d
c
b
a

,
,
,
  и  
;
,
d
c
b
a


 

2) 
2
, b
a
. 

12. Для соответствия 
B
A


между множествами A и B  найдите его область 

определения и область значений, если: 

1) 


 

 


3
,
5
,2
,
2
,1
,
1
,
5
,4
,3
,2
,1


B
A
, 

b
a
b
a



,
; 

2) 




16
,
12
,
5
,4
,3
,2
,1


B
A
, 

,
f
a b
b
   делится на a . 

13. Для соответствия f
A B


 между множествами A и B  найдите его область 

определения и область значений, если: 

1) А={духи, платье, костюм, сумочка, рубашка},  

B={галантерея, парфюмерия, одежда, обувь},  
   

,
f
a b    товар a продается в секции b универмага; 

2) А={Вашингтон, Москва, Лондон, Париж}, 
    B={Россия, Франция, США, Польша}, 
   

,
f
a b    город a  – столица государства b. 

 

Глава 2 ФУНКЦИИ 

 
Говорят, что на множестве X  задана функция 
 
x
f
y 
 со значениями в множестве 

Y , если каждому элементу x  множества X  ставится в соответствие единственный вполне 
определенный элемент 
 
x
f
y 
 множества Y . При этом x  называется независимой 

переменной, а y  – зависимой переменной. Множество X  называется областью 

определения (обозначение – 
 
f
D
), а множество всех 
 
x
f
, где 
X
x
 – областью 

значений этой функции (обозначение –  
f
R
). 

Графиком 
функции 
 
x
f
 
называется 
множество 
 


 


f
D
x
x
f
x

,
. 

Геометрически это изображается в виде обычного графика функции. 

Основные способы задания функции: аналитический, табличный и графический. 
Функция  
x
f
 называется четной, если 

 
x
f
x
f


 для любого x  из области ее 

определения. 

График четной функции симметричен относительно оси ординат. 
Функция  
x
f
 называется нечетной, если 

 
x
f
x
f



 для любого x  из области 

ее определения. 

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 
Если же функция 
 
x
f
 не является ни четной, ни нечетной, то говорят, что она 

общего вида.  

Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению 

аргумента из области ее определения соответствует большее (меньшее) значение функции. 

Функция называется монотонной, если она возрастает или убывает. 
Функция 
 
x
f
 называется ограниченной на промежутке X , если существует такое 

число 
0

M
, что 
 
M
x
f

 для любого x  из X . 

Функция  
x
f
 называется периодической с периодом 
,0

T
 если 

 
x
f
T
x
f


 

для любого x  из области ее определения. 

Пусть задана функция 
 
x
f
y 
 с областью определения X  и областью значений Y . 

Если каждому значению y  из Y  можно поставить в соответствие единственное значение x  

из X  так, что 
 
y
x
f

, то говорят, что задана обратная функция и обозначают ее через 

 
x
f
y
1


.  

Если заданы две функции  
 
x
f
y 
  и  
 t
g
x 
, то естественным образом можно 

рассмотреть функцию 
 


t
g
f
y 
, которая называется сложной функцией (или 

суперпозицией функций g  и f ). 

Необходимо хорошо 
знать 
свойства 
и 
уметь 
строить 
графики 
основных 

элементарных функций:  

,
,
,
,
log
,
sin ,
cos ,

tg ,
ctg ,
arcsin ,
arccos ,
arctg ,
arcctg .

n
n
x
n

a
y
x
y
x
y
x
y
a
y
x
y
x
y
x

y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

















 

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного 

числа четырех алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной 
функции, называются элементарными. 

►Пример 2.1. 

Найти область определения функции 
1
ln1

x
y
x




. 

Р е ш е н и е.  Выражение, стоящее в правой части равенства, имеет смысл, 

если аргумент натурального логарифма больше нуля, а знаменатель дроби не равен 
нулю. То есть 

1
0
1

x
x




 и 
1
x  . 

Исследуя левую часть неравенства можно построить интервалы ее положительного 
и отрицательного значений. 

 
 
 
 
 
Из рисунка видно, что областью решений неравенства является интервал 

(–1; 1). Следовательно, область определения исходной функции: x  (–1; 1). ► 

►Пример 2.2. 

Установить четность функций: 

2.2.1. 

2
4
1
x
y
x


. 

Р е ш е н и е . Найдем y(–x): 

2
2
4 (
)
1
4
1
(
)
( )
(
)

x
x
y
x
y x
x
x

 







. Функция нечетная.  


2.2.2. 

2

2

4
1
x
y
x



. 

Р е ш е н и е . Найдем y(–x): 

2
2

2
2

4 (
)
1
4
1
(
)
( )
(
)

x
x
y
x
y x
x
x

 







. Функция четная.  

2.2.3. 

2
4
1
1

x
y
x




. 

Р е ш е н и е . Найдем y(–x): 

2
2
4 (
)
1
4
1
(
)
(
) 1
1

x
x
y
x
x
x

 







  . По виду функция y(–x) 

не равна ни y(x), ни –y(x). Проверим это для какой-либо произвольной точки, 
например, x =  2. 

2
4 2
1
17
(2)
2 1
3
y





;   

2
4 ( 2)
1
( 2)
17
( 2) 1
y
 






. 

1
–1
–

+

–
х