Основы финансовых вычислений

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

 высшего образования 

«Российский  университет транспорта (МИИТ)» 

 

 
 

Институт экономики и финансов 

 
 

Кафедра «Финансы и кредит» 

 
 

 
 
 
 

А.А. Орлов 

 

 
 

 
 
 
 

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ  

ВЫЧИСЛЕНИЙ  

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ»  

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

 высшего образования 

«Российский  университет транспорта (МИИТ)» 

 

 

Институт экономики и финансов 

 

Кафедра «Финансы и кредит» 

 
 
 
 
 

А.А. Орлов 

 

 
 
 
 
 
 

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ  

ВЫЧИСЛЕНИЙ  

 

Учебно-методическое пособие  

для студентов экономических, технических профилей 

 и специальностей 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018

УДК 336.64.072 
0-66 
 
Орлов А.А. Основы финансовых вычислений: Учебно-методическое 

пособие  к практическим занятиям. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 40 с. 

 
 
 
 
 
 
В учебно-методическом пособии в систематизированном виде в 

соответствии с программой дисциплины «Финансовый менеджмент» 
изложены методики решения задач, которые возникают не только перед 
экономистами, финансистами, банкирами и прочими специалистами в 
плане их профессиональной деятельности, связанной с финансовыми 
вычислениями и расчетами, но и перед обычными людьми в их 
повседневной жизни. 

Каждое методическое решение сопровождается подборкой задач, 

решение которых позволяет реализовать теоретические знания в области 
практических финансово-экономических расчетов. 

Рекомендуется не только студентам экономических профилей, 

специальностей, программ обучения в магистратуре,   но и широкому 
кругу читателей.   

 

Рецензент ст. преп. кафедры МФиУУ РУТ (МИИТ) Нуриманов Р.Н. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

                                                                                                        стр. 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………..…………………………..4  
1. ОСНОВЫ  ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ ……………….5 
1.1. Простые проценты ………………………………………………….5 
1.2. Сложные проценты ………………………………………………....8 
1.3. Финансовые ренты ………………………………………………...10 
1.3.1. Постоянная рента постнумерандо ……………………………....11 
1.3.2. Постоянная рента пренумерандо ………………………………..12 
1.4. 
Оценка эффективности финансовых операций  ……………....13 

1.5. Расчеты в условиях инфляции ………………………………….....14 
1.6.  Кредитные операции ……………………………………………....16 
1.6.1. Погашение суммы долга единовременным платежом в конце 
срока …………………………………………………………………......16 
1.6.2. Погашение суммы долга равными частями (равными  
суммами) ………………………………………………………………...18 
1.6.3. Погашение суммы  долга равными срочными уплатами …….19 
1.6.4. Частичные платежи любыми суммами актуарным методом ….20 
1.6.5. Частичные платежи любыми суммами по правилу торговца …20 
1.7. Задачи  по теории финансовых расчетов  ………………………...21 
2. 
ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ ПЛАТЕЖЕЙ ПО    

ФИНАНСОВЫМ ОБЯЗАТЕЛЬСТВАМ ……………………………….28  
2.1. Частный случай изменения условий платежей …………………..28 
2.2. Общий случай изменения условий коммерческих сделок ………32 
2.3. Конверсия   займов …………………………………………………34 
2.4. Консолидация займов ……………………………………………...35 
2.5. Реструктурирование займов ……………………………………….36 
2.6. Конверсия финансовых рент ………………………………………36 
2.7. Консолидация финансовых рент ………………………………….38 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….39 
ПРИЛОЖЕНИЕ  Таблица «Порядковые номера дней в году»……….40 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Финансовый менеджмент – это форма управления процессами 

финансирования повседневной предпринимательской деятельности, наука 
принимать 
инвестиционные 
решения 
и 
оптимальным 
образом 

формировать источники их финансового обеспечения.  

Финансовый менеджмент  как система управления состоит из двух 

подсистем: 

  управляемой подсистемы (объекта управления); 
  управляющей системы (субъекта управления). 
Объект управления включает: 
  источники финансовых ресурсов; 
  собственно финансовые ресурсы; 
  финансовые отношения. 
Субъект управления  включает: 
  организационную структуру финансового управления; 
  кадры финансового подразделения; 
  финансовые инструменты; 
  финансовые методы 
  информацию финансового характера; 
  технические средства управления. 
Целью учебно-методического пособия является освоение различных 

методик осуществления финансово-экономических расчетов и  получение 
практических навыков  их применения в разнообразных областях 
повседневной  работы 
финансового менеджера 
для обоснования 

управленческих решений. 

   
 
  
PS: По желанию студентов  на практических занятиях  можно 

использовать  данные  повседневных жизненных ситуаций и реально 
существующих предприятий. 

 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ 
 
Деньги на финансовом рынке выступают в роли товара. Процентами 

(процентными деньгами) называют сумму доходов от предоставления 
денег в долг в различных формах (открытие депозитных счетов, выдача 
кредитов, покупка облигаций и т.д.). Сумма процентов ( I ) зависит от 
суммы долга ( P ), срока на который он выдан ( n  - лет или   - дней), вида и 
величины процентной ставки (i  – ставка % из расчета годовых,  j  – ставка 
% за период, d –  учетная ставка % из расчета годовых, в том числе,  
формулы простых или сложных процентов), используемой практики 
начисления процентов (немецкой, французской, английской). 

Сумму основного долга вместе с начисленными процентами называют 

наращенной суммой долга ( S ). Увеличение суммы долга за счёт 
присоединения к ней  суммы периодически начисляемых процентов 
называют наращением. Обратная задача, - нахождение первоначальной  
(или современной) величины  по заданной наращенной (или будущей) 
сумме называется дисконтированием. Интервал времени, за который 
начисляют 
проценты, 
называют 
периодом 
наращения 
(при 

дисконтировании, соответственно,  это период дисконтирования). 

Проценты могут выплачиваться по мере начисления или в конце 

срока. Если проценты периодически начисляются на одну и ту же сумму 
долга, то в этом случае речь идёт о простых  процентах и простых 
процентных ставках. Если проценты начисляются на сумму основного 
долга и начисленных за предыдущие периоды процентов, то в этом случае 
речь идёт о сложных процентах и сложных процентных ставках. 

 
 
1.1. Простые проценты 

 

Сумма процентов за год при начислении простых процентов 

определяется по формуле: 

i
P
Ii


  (1.1)  

где I  - сумма начисленных процентов, руб.; 
      P  - первоначальная сумма (вклада, депозита, долга) , руб.; 
       i  - ставка простых процентов из расчёта      годовых,  в  долях 

единицы. 

То же, за период меньший чем год (день, месяц, квартал, полугодие): 

m
i
P
j
P
I j




         (1.2) 

где j  - ставка простых процентов за период (день,   месяц, квартал, 

полугодие); 

       m  
- 
число 
периодов 
начисления 
процентов 
в 
 
году 

(соответственно 365, 12, 4, 2). Определяется по формуле:  

l
K
m 
         (1.3) 

где K - временная база, обычно количество дней в году (или в 

месяцах); 

        l  - длительность одного периода наращения в днях (месяцах). 
Сумма процентов за год в этом случае будет определяться по 

формуле: 

m
I
I
j
i


       (1.4) 

Если период наращения составляет n   лет, то сумма начисленных 

процентов определяется по формуле: 

n
i
P
In



     (1.5) 

Наращенная сумма долга ( S ), т.е., сумма долга вместе с 

начисленными процентами  определяется по формуле:  

I
P
S


      (1.6)      или  
i)
n
(1
P
S




     (1.7) 

Если период наращения выражается в днях ( ), то в  формулы для 

определения суммы начисленных процентов или наращенной суммы долга 
вместо n- периода наращения  в годах, следует подставить отношение: 

K
n


      (1.8) 

где     – период наращения в днях; 
        K  - временная база, или количество дней в году (366, 365, 360) 
В банковской практике различных стран эти два показателя (   и K ) 

определяются по-разному. В германской практике подсчёт числа дней 
производится приближённо из расчёта продолжительности каждого 
полного месяца в 30 дней. Временная база (продолжительность года) 
берётся равной 360 дням. При использовании французской практики 
количество дней полного месяца считается точно, т. е. берётся равным их 
фактической календарной длительности (28, 29, 30 или 31 день). 
Временная база - 360 дней. При английской практике и период наращения 
в днях, и продолжительность года определяются точно. Исходя из этого, 
определяются соответственно: 

1) 
Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды 

(германская практика):  

360

п
герм
n


      (1.9) 

2) 
Обыкновенные проценты с точным числом дней  ссуды 

(французская практика): 

360

т

фр
n


        (1.10) 

3) 
Точные проценты с точным числом дней ссуды  (английская 

практика):  

)
366
(
365

т

анг
n


       (1.11) 

P.S.: Точное      число   дней периода наращения  (для французской и 

английской практик) можно определить по таблице  «Порядковые номера 
дней в году», где  11 января имеет порядковый номер 11,  а , например, 25 
сентября порядковый номер 268.  Вычитанием из    порядкового    номера    
даты окончания периода наращения (268) порядкового номера даты его 
начала (11) определяем, что период наращения составит 268-11=257 дней 
(см. табл. в приложении).   

Ставки процентов, как правило,  в течение срока действия договора не 

изменяются. Если они будут изменяться в течение срока хранения вклада, 
то сумму начисленных процентов можно определить как сумму процентов, 
начисленных для каждого периода наращения, на котором действовала 
определённая ставка процентов. 

n
I
I
I
I




...
2
1
       (1.12) 

t
t
2
2
1
1
i
n
P
i
n
P
i
n
P
I










...
      (1.13) 








n

1
t

t
t
i
n
P
I
      (1.14) 

Наращенная сумма в этом случае определяется по формуле:  

)
1(








n

1
t

t
t
i
n
P
S
       (1.15)      или  
I
P
S


 

где tn  - период времени, в течение которого действовала ставка ti . 
При изменении суммы вклада в течение срока хранения (или периода 

наращения) общая сумма процентов за весь срок может быть определена 
как сумма процентов, начисленных для каждого периода начисления, на 
котором сумма на счёте была постоянна: 

n
I
I
I
I




...
2
1
 

t
t
t
2
2
2
1
1
1
i
n
P
i
n
P
i
n
P
I










...
       (1.16) 

Наращенная сумма определяется по формуле:  

I
P
S


 

 В практике банков для начисления процентов используется также 

методика с вычислением так называемых процентных чисел. 

100

 
 
 
 
 
днях
в
хранения
её
Срок
Сумма
число
Процентное


       (1.17) 

%)
 
(
 
 

 
 
 
 
в
процентов
ставка
Годовая

году
в
дней
Количество
делитель
Постоянный

       (1.18) 

делитель
Постоянный

чисел
процентных
Сумма
руб
в
Проценты
 

 
 
.)
 
( 

            (1.19) 

  
Используя формулу 

i)
n
(1
P
S




 

можно решать обратную задачу - по известной наращенной сумме 
определять сумму первоначального взноса. Данная операция называется 
дисконтированием по простой процентной ставке. 

Известны: 
1) 
математическое дисконтирование: 

i
n
1

S
P



      (1.20)    или 

i
K
1

S
P






      (1.21)   или 
iV
S
P


    (1.22) 

где Vi   - коэффициент дисконтирования; 
2) банковский учёт:  

d)
n
-
(1
S
P



      (1.23)  или  










d
K
-
1
S
P
      (1.24) 

где d  - простая учётная ставка. 

Как правило, в операции дисконтирования K  = 360 дней. 

 Из формул: 

i)
n
(1
P
S




       или   











i
K
1
P
S
 

можно при прочих заданных условиях определить, соответственно, период 
наращения в годах и днях, ставку простых процентов.  Формулы 
предлагается 
вывести 
самостоятельно 
путём 
математических 

преобразований формул для определения наращенной суммы. 

 

 

1.2. Сложные проценты 

 

 Как было отмечено ранее, база начисления простых процентов не 

изменяется в течение всего периода наращения, т.е., проценты начисляют 
всегда на первоначальную сумму.  Наращенную сумму можно определить 
по формуле:  

i)
n
(1
P
S П




 












i
K
1
P
S П
 

 База начисления сложных процентов, в отличие от простых, 

возрастает после каждого периода наращения на сумму начисленных за 
предыдущий период процентов (естественно, в том случае, если они не 
будут выплачены вкладчику). Наращенная сумма в этом случае 
определяется по формуле: 

I
P
Sc


       (1.25)     или  
n
c
i)
(1
P
S



      (1.26)      

Сумму начисленных процентов можно определить по формуле: 


1










n
n
c
i)
(1
P
P
i)
(1
P
P
S
I
        (1.27)  

На всякий случай: если  период наращения   не является целым 

числом  (например, n=3,5 года), то множитель наращения 
n
i)
1( 
  можно 

определить двумя способами: 

1) 
используя нецелый показатель степени. Тогда наращенная 

сумма определяется по формуле:  

*
n
n,
'
i)
(1
P
S



      (1.28)      

где  n  - целая часть числа, 

*
n - дробная часть числа,   

K
''
i)
(1
P
S






        (1.29)      

2) смешанный   метод (он дает большую, по сравнению с предыдущим 

методом, итоговую сумму):  

i)
n
(1
i)
(1
P
S
*
n






'''
       (1.30)      

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз 

в году (например, ежедневно, ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям). 
В расчётах, в этом случае, используют либо сразу ставку процентов за 
период ( j  - за день,   месяц, квартал, полугодие), либо ее рассчитывают 
путем деления годовой ставки процентов (так называемой номинальной 
ставки процентов) на число периодов начисления. Наращенная сумма в 
этих случаях может быть определена по формулам:  




nm
j
1
P
S



         (1.31) 
nm

m
i
1
P
S





 


       (1.32)      

где  m  - число периодов начисления процентов в году. Определяется 

независимо от длительности периода наращения по формуле:  

l
K
m 
         (1.33)      

где l – длительность одного периода наращения в   днях (месяцах); 
      K – временная база года в днях или месяцах. 
 
n
m
N


       (1.34)     - общее число периодов начисления процентов за 

весь срок действия договора. 

Сумма начисленных процентов определяется по формулам:  

P
S
I


       (1.35)      


1





mn
j)
(1
P
I
         (1.36)  










1
mn
)
m
i
(1
P
I
     (1.37)  

Из формул для определения наращенной суммы при начислении 

сложных процентов один или несколько раз в году можно, при прочих 
известных условиях, вывести формулу для определения: 

1)  срока хранения вклада для накопления заданной суммы: 

)
1
log(

log

i

P
S

n


      (1.38)      

2)  ставки сложных процентов:              

1

 n

P
S
i
          (1.39)      

3)  значения первоначальной суммы вклада, т.е. выполнить операцию 

дисконтирования будущей суммы:  

 
n
i

S
P

)
1( 


        (1.40)      

 

K
i

S
P






)
1(

       (1.41)      

 При начислении сложных процентов несколько раз в году 

дисконтированная сумма будет определяться по формуле:  

 
mn
j

S
P

)
1( 


     (1.42)      

 

mn

m
i
S
P

)
1( 


    (1.43)  

 
 
1.3. Финансовые ренты 

 

Последовательность 
денежных 
поступлений, 
осуществляемых 

равными суммами через равные периоды времени, называют постоянной 
финансовой рентой. 

Рента характеризуется следующими параметрами: 
R  - член ренты (размер отдельного платежа); 
 l  
- 
период 
ренты 
(временной 
интервал 
между 
двумя 

последовательными платежами); 

n  - срок ренты (время от начала первого периода ренты до конца 

последнего периода); 

 i  -  годовая процентная ставка; 
p  - число платежей (взносов) в течение года (отличать от Р); 
m  - число  начислений процентов в течение года. 
По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты 

делятся на: 

  годовые (выплата  один раз в году); 
  p - срочные ( выплаты несколько раз в году,  p - раз); 
  ренты с периодом более года; 
Эти  виды рент называются дискретными. Если же платежи 

производятся очень часто, то такие ренты рассматриваются как 
непрерывные. 

По количеству начислений процентов на протяжении года различают: 
  ренты с ежегодным начислением; 
  ренты с начислением процентов несколько раз в году ( m - раз); 
  ренты с непрерывным начислением процентов.